Newtons love i én dimensjon () 9.1.13 husk: data lab fedag 1-16 FYS-MEK 111 9.1.13 1
Identifikasjon av keftene: 1. Del poblemet inn i system og omgivelse.. Tegn figu av objektet og alt som beøe det. 3. Tegn en lukket kuve undt systemet. 4. Finn kontaktpunkte hvo kontaktkefte angipe. 5. Navngi kontaktkefte og define symbole. 6. Identifise langtekkende kefte og define symbole. 7. Tegn objektet med skalete kefte. 8. Tegn inn koodinatsystemet. Newtons ande lov: F net i F i ma summen av alle yte kefte som påvike objektet og ha åsak i omgivelsen. fi-legeme diagam FYS-MEK 111 9.1.13
Kaftmodelle Gavitasjon F fa B på A mm γ 3 AB AB langtekkende kaft på joden mm F mg AB m 9.81 s γ g (ettet mot jodens senteet) FYS-MEK 111 9.1.13 3
Kaftmodelle: viskøs kaft hastighetsavhengig empiiske modelle viskøs kaft fo små hastighete F D kv v viskøs kaft fo støe hastighete F D Dv F D Dvv FYS-MEK 111 9.1.13 4
kontaktkaft mellom faststoff og væske viskøs kaft avhengig av hastighet Nomalkaft kontaktkaft mellom to faststoffe elatet til defomasjon Hvodan kan vi modellee defomasjonskefte? Ekspeiment: vi måle kaften som tengs fo å stekke en fjæ. Vi finne en lineæ sammenheng: F k L Det kalles fjækaft. De fleste mateiale vise en lineæ sammenheng mellom kaft og defomasjon (hvis defomasjon e små). FYS-MEK 111 9.1.13 5
Fjækaft stiv fjæ F k L k: fjækonstant L L L L : likevektslengde elongasjon vi må passe på fotegn: vi kan stekke elle kompimee. L kan også væe negativ. Buk intuisjon! Vi skive ofte: F ± k L myk fjæ FYS-MEK 111 9.1.13 6
Eksempel: Et lodd av masse m 1 kg e festet til en fjæ med fjækonstant k N/m. Beegn elongasjonen til fjæen hvis klossen e i o. x Systemet e i likevekt vi tenge ikke å bestemme bevegelsen; objektet bevege seg ikke. Men vi kan buke oppskiften fo å analysee keftene. Vi måle posisjonen til loddet oppove. kontaktkaft F fa fjæen til loddet gavitasjonskaft G Kaftmodell: F k L G L mgl L < Newtons ande lov: F net L L k L mg L mg k + L L 1kg 9.81m/s N/m ma 4.9cm 4.9cm FYS-MEK 111 9.1.13 7
Eksempel: En masse m 1 kg e festet til en fjæ med fjækonstant k 1 N/m og kan bevege seg på et bod uten fiksjon og luftmotstand. Massen bevege seg med v 1 m/s ut fa likevektsposisjon. kontaktkefte: kaft F fa fjæ til massen nomalkaft N fa bodet til massen langtekkende kaft: gavitasjonskaft G Nomalkaft kompensee gavitasjon: ingen bevegelse i y etning. N G kaft F fa fjæ til massen: F ± k L NL: vi definee x i likevektsposisjon; hvis x > tekke kaften i negativ x etning: F x F kx ma a k m x F kx initialbetingelse: x( t v( t ) m ) 1m/s FYS-MEK 111 9.1.13 8
Numeisk løsning med Eule-Come: massen svinge fem og tilbake vi lese fa diagammet: x max ±.1 m v max 1 m/s ved x m Men hva e sammenheng mellom x max m, k, og v? FYS-MEK 111 9.1.13 9
Analytisk: a F kx initialbetingelse: d x dt k m x x( t v( t ) m ) 1m/s ansatz: x( t) v( t) a( t) Asin( ωt) + B cos( ωt) dx dt dv dt ωacos( ωt) ωbsin( ωt) d x dt ω Asin( ωt) ω B cos( ωt) ω x( t) ω m k 1 N/m 1s 1kg fekvens: stiv fjæ elle liten masse ask svingning 1 x() B v() ωa v v x( t) sin( ωt) ω v( t) v cos( ωt) v 1m/s -1 ω 1s A.1m amplitude: høy initialhastighet sto amplitude FYS-MEK 111 9.1.13 1
Eksempel: En ball med adius R falle ned og spette opp igjen fa gulvet. Vi måle posisjon av ballens senteet fa gulvet med y(t). Mens ballen falle: y ( t) > R Vi se bot fa luftmotstand; eneste kaft e gavitasjon: G mg Mens ballen e i kontakt med gulvet: ˆj y ( t) < Ballen defomees vi modellee nomalkaften som en fjækaft: + k N NL: ( R y( t) ) F y ˆj R N ± k L ˆj L R y( t) > N + k( R y( t) )j ˆ y y > R R N( y) mg ma a N( y) m g N FYS-MEK 111 9.1.13 11
Numeisk løsning: FYS-MEK 111 9.1.13 1
Results: vi neglisjete luftmotstanden ingen demping stiv fjækonstant k lite kompesjon hastigheten ende fotegn mens i kontakt med gulvet (ask) kontakten e kot, men kaften meget sto viktig å velge små t Kan vi foande fekvensen hvo ofte ballen spette? FYS-MEK 111 9.1.13 13
Eksempel: bungee jump En peson av masse m 7 kg hoppe med en stikk av lengde d 5 m fa en bo av høyde h 1 m. Vi kan beskive stikken med en fjækonstant k N/m og en viskøs koeffisient k v 3 kg/s. Fo luftmotstanden kan vi buke D. kg/m. Teffe han bakken? Vi beskive bevegelsen til hoppeen. Vi måle posisjonen med x(t) oppove fa bakken. Initialbetingelse: x( t v( t ) x ) v t s 1m m/s Kontaktkefte: kaft F fa stikken til hoppeen luftmotstand F D langtekkende kefte: gavitasjon G FYS-MEK 111 9.1.13 14
Kaftmodell: gavitasjon: luftmotstand: G -mgiˆ F D -Dvv iˆ Kaften fa stikken vike bae hvis den e stukket. elongasjon: L ( h d) x fjækaft: F F S + k Liˆ L> L viskøs kaft avhenge av endingsaten fo L: d dt d L ( h d x) dt dx dt v NL: k( h d x) iˆ kviˆ x< h d v F x> h d F+ G+ F D F( x, v) iˆ mgiˆ Dvviˆ maiˆ FYS-MEK 111 9.1.13 15
FYS-MEK 111 9.1.13 16
Nå slutte bevegelsen? FYS-MEK 111 9.1.13 17
Newtons føste lov: Alle legeme bevae sin tilstand av o elle jevn bevegelse i en ett linje, desom det ikke blitt tvunget til å ende denne tilstand av kefte som bli påføt. spesiell tilfelle som følge fa Newtons ande lov: Fnet ma dv a dt v konst. husk: det gjelde bae fo inetialsysteme. FYS-MEK 111 9.1.13 18
Newtons tedje lov: Enhve vikning ha alltid og tilsvaende en motvikning, elle den gjensidige påvikning av to legeme på hveande e alltid lik, og motsatt ettet. F fa F A på B fa B på A Newtons tedje lov fobinde kefte mellom legeme: Hvis jeg dytte på veggen, dytte veggen tilbake på meg med like sto kaft. essensiell fo å beskive systeme som bestå av flee legeme kefte komme i pa: kaft og motkaft keftene i paet vike på foskjellige legeme FYS-MEK 111 9.1.13 19