Kap. 9+10 otasjon av stive legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) otasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ ulling Spinn (deieimpuls): L Spinnsatsen (N2-otasjon): τ = dl/dt N2-otasjon: τ = I dω/dt Stive legeme: L = I ω, τ = I dω/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Denne uka Spinn (angula momentum) Y&F 10.5-7 L&L 5.5, 5.9, 6 1 Spinn fo punktlegeme 1.1 Spinn ved otasjon L = m v v => L = m v L ω L = m 2 ω = I ω 90 o 1 Spinn fo punktlegeme 1.2 Spinn ved vilkålig bevegelse L = m v v ikke => L = m v sin Φ L mv mv 1 Spinn fo punktlegeme 1.3 Spinn ved ettlinjet bevegelse L = m v L = m v sin Φ = 0 mv v v v v 0 Φ Hvis F = 0 e v = konst => L=konst. = mv 0 Hvis f.eks. F = e τ 0 => L endes L avhengig av valgt oigo ( 0 og avhengig av ) 1
1 Spinn fo punktlegeme 1.3 Spinn ved ettlinjet bevegelse Med patikkelbanen gjennom (oigo), e v ( 0 =0) og: L = m v = 0 v v v v Φ 2 Spinn ved otasjon av stive legeme om sym.akse L i = i m i v i v i => L i = i m i v i L i = m i i2 ω alle L i ω 90 o Stivt legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i2 ω = I ω otasjon av stive legeme Fa kap.8: Fiksjonsfitt, hoisontalt undelag: Teghetsmoment I = Σ i2 m i (om en gitt akse) otasjonsenegi E k = ½ Σ m i v i 2 = ½ I ω 2 Kaftmoment: τ = F Spinn (deieimpuls) L = m v stive legeme om sym.akse: L = I ω Massesente Spinnsatsen (N2-ot): τ = d/dt L Ingen yte moment (N1-ot): L = konst. τ = I d/dt ω (N2-ot) Massesente ha konstant fat, uavhengig av evt. otasjon Skal nå studee staten på bevegelsen, i fom av en kollisjon (ett skudd med kule). Y&F Figue 8.29 2
Sva: Like høyt fo alle. Bevegelsesmengde bevat: lltid samme fat fo klossen: Fa kap.8. Kollisjone: Oppgave: Ei kule skytes inn i en tekloss som fae opp i lufta (fullst. uelastisk støt). Kula teffe ved, B elle C. Hvilket teff løfte teklossen til støst høyde h? h g Øving 5. Oppgave 4: Kule skytes inn i stav som e hengslet ved. E yte kefte og yte kaftmoment lik null? mv = (M+m)V cm I tillegg komme otasjon ved B og C (mest ved C) M Demonstet og foklat på YouTube: www.youtube.com/watch?v=blyoylcdgpc&list=uuhnyfmqig1u-2mssqlbx B C Kule med høy fat v m Tanslasjon: Bevegelsesmengde (linea momentum): p = m v otasjon: Spinn (angula momentum): L = m v L = I ω Stivt legeme om sym.akse Snelle med sno Finn a nå S og θ e gitt 3 ukjente: F N,, a(=α) y S F N θ + x N2-tans: F = dp/dt Stivt legeme (konst. m): F = m dv/dt = m a F = 0 => p = konstant (N1) stivt legeme: v = konst N2-ot (spinnsatsen): τ = dl/dt Stivt legeme om sym.akse (konst. I ): τ = I dω/dt = I α τ = 0 => L = konstant (N1-ot) stivt legeme om sym.akse: ω = konst 3 likninge: (N1y) S sin θ + F N = (1) (N2x) S cos θ = ma (2) (N2-ot) S = Iα = (c m 2 ) a/ (3) Tekkes mot deg ved liten vinkel θ Tekkes fa deg ved sto vinkel θ I o ved en viss vinkel θ 3
Snelle med sno Tekkes mot deg ved liten vinkel θ Tekkes fa deg ved sto vinkel θ I o ved cos θ = / Stive legeme i o (statisk likevekt): Ingen tanslasjon => Σ F = 0 Ingen otasjon => Σ τ = 0 ( τ = F )» om enhve valgt akse θ S F N Skli: ω = 0 v 0 Bowlingkule (L&L Eks. 6.15) ω < v/ B l Om : L = m v + I 0 ω Ingen kefte ha moment => L = konst. = mv 0 ulle: ω = v ull / v ull L stat = L slutt => v ull = v 0 5/7 (*) -- uten å kjenne! Om B: L B = I 0 ω τ B = => L B ikke konst. men I 0 dω/dt =, må kjenne Skli: ω = 0 v 0 Bowlingkule ω < v/ ulle: ω = v ull / v ull Effekt = moment vinkelhastighet τ P = τ ω skli = μ k (uavhengig v) v = v 0 +at = v 0 μ k gt ω= ω 0 +α t ulling, konst v = 0 t v ull = konst. ω ull = v ull / = konst. f = 4000 PM P = 70 kw τ = 160 Nm Stemme med P = τ ω 0 Nm PM= 60ω/2π Saab 9-3 1.8i 122hk. Effekt og deiemoment, diagam. Den sote kuven angi deiemomentet i newton-mete (Nm), den oange angi effekten i kw elle hestekefte (bhp). 4
Tanslasjon: (konstant akseleasjon a) v = v 0 + a t Konstant-akseleasjonslikninge otasjon om fast akse: (konstant vinkelakseleasjon α) ω = ω 0 + α t Punktpatikkel: L = m v = m 2 ω = I ω τ = dl/dt Stivt legeme, ot. om symmetiakse: L = Σm i i 2 ω = I ω τ = I dω/dt s = s 0 + v 0 t + ½ a t 2 φ = φ 0 + ω 0 t + ½ α t 2 v 2 v 02 = 2as s -s 0 = <v>t = ½(v+v 0 ) t ω 2 ω 02 = 2αφ φ φ 0 = <ω>t = ½(ω+ω 0 ) t Kap. 9+10. otasjon. Oppsummeing. Vinkelhastighet ω = dφ/dt, vinkelakseleasjon α = dω /dt Sentipetalakseleasjon a c = - ω 2 = - ωv = - v 2 / Baneakseleasjon a t = α otasjonsenegi E k = ½ I ω 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i 2 dm (om en gitt akse) Deiemoment: τ = F Spinn (deieimpuls) = L = m v (om en gitt akse) Stivt legeme om sym. akse: L = I ω Spinnsatsen: τ = dl /dt (N2-ot) Stivt legeme om sym.akse: τ = I dω/dt Fiksjon e vesentlig fo ulling: ein ulling: statisk fiksjon μ s F N. Fiksjonsabeidet neglisjebat slue/gli: kinetisk fiksjon = μ k F N. Fiksjonsabeidet viktig Eksemple: ulling, gyoskop (sykkelhjul), banekausell, m.m. Kap. 9+10. nalogie tanslasjons- og otasjonsbevegelse 5
Teghetsmoment (om en gitt akse): I = Σ i2 m i 2 dm lle I 0 om massesentum (cm): ing om sentum: I 0 = M 2 ing om diamete: I 0 = ½ M 2 Sylinde elle skive om sentum: I 0 = ½ M 2 Kule om diamete: I 0 = (2/5) M 2 Kuleskall om diamete: I 0 = (2/3) M 2 Legeme som kan ulle: I 0 = c M 2 (c=1, ½, 2/5 etc.) Lang, tynn stav om midtpunkt: I 0 = (1/12) M L 2 ektangulæ plate om midtpunkt: I 0 = (1/12) M (a 2 + b 2 ) Om annen paallell akse i avstand d ( Steines sats): I = I 0 + M d 2 Se også Table 9.2 i Young & Feedman. Fa en eksamensoppgave annet fysikkemne: tist + sykkel (unt. hjul) ha i utgangspunkt spinn L atist = 0 Hjulene ha (positivt) spinn L hjul ned i papiplanet. L tot = L hjul + L atist e bevat. a) Desom L hjul øke må L atist peke opp av planet (steile) b) Desom L hjul avta må L atist peke ned i planet (stupe) a) Hvodan vil vinkelen θ ende seg hvis motosyklisten i svevet gi me gass (øke tutallet til motoen)? Begunn svaet. Du kan se bot fa luftmotstanden. b) Hvodan vil vinkelen θ ende seg hvis motosyklisten i svevet i stedet tykke inn handbemsa på famhjulet? Begunn svaet. Du kan se bot fa luftmotstanden. Spinn om bilens c.m. B Spinn om fast bakkepunkt Spinn fo akseleeende/bemsende bil (H&S kap. 4.7.2 og 5.4.4) N b B mv N f N b l b N f l f = h m a y z x otasjon om akse ikke-paallell med symmetiakse (Ikke pensum) L 2 = I 2 ω 2 L = L 1 + L 2 Symmetiakse ω 2 I 1 ω otasjonsakse ω 1 x Detalje på «Foelesningsplanen» på web Eks: Bil Symmetiakse 2 I 2 L 1 = I 1 ω 1 nta: I 2 > I 1 Da e ikke L paallell med ω L ende altså etning unde otasjonen 6