NORGES TEKNISK- NTURVITENSKPELIGE UNIVERSITET Institutt for konstruksjonsteknikk Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis rne alberg 73 59 46 24 EKSMEN I EMNE TKT4116 MEKNIKK 1 Mandag 2. juni 2008 Kl 09.00 13.00 Hjelpemidler (kode ): Irgens: Formelsamling mekanikk. estemt, enkel kalkulator. Settet består av i alt 15 ark. Legg vekt på å levere en ryddig besvarelse med tydelige skisser og systematisk redegjørelse for hva som beregnes. Gjør egne, begrunnede antagelser hvis noen deler av oppgaveteksten synes ufullstendig. Lever besvarelsen med arkene tydelig nummerert og sortert. I besvarelsen skal oppgaven ligge i stigende rekkefølge: Oppgave 1, Oppgave 2, Oppgave 3, Oppgave 4 og Oppgave 5. lle oppgaver (1 til 5) skal begynne på en ny side. OS: Oppgaven har totalt 8 stk vedleggs-ark hvor du skal besvare deler av oppgavesettet, og levere som del av din besvarelse. Sjekkliste for innlevering: Oppgave Vedlegg Sidenummerering Oppgave 1 Vedlegg 1-3 Side 1-3 Oppgave 2 Oppgave 2 Vedlegg 4 Vedlegg 5-7 Side 4 Ihht din egen nummerering Oppgave 3 Vedlegg 8 Ihht din egen nummerering Oppgave 4 - Oppgave 5 - Lykke til! Side 1 av 15
OPPGVE 1 (20 %) Hele oppgave 1 skal du besvare direkte på Vedleggene 1 til 3, og legg arkene ved din besvarelse som side 1-3. Ytterligere ark vil ikke bli vurdert. a. Vedlegg 1 viser fire fagverk, Fagverk til. Hvert av fagverkene er enten statisk underbestemt, statisk bestemt eller statisk ubestemt (det siste er av noen også kalt statisk overbestemt ). u skal avgjøre/beregne hvilken kategori fagverkene tilhører. Før løsningen din inn i Vedlegg 1. enne vedleggssiden skal leveres som side 1 i din besvarelse. Videre skal du på Vedlegg 1 kommentere om fagverkene er stabile, dvs om konstruksjonen er av en slik art at fagverket blir stående og ikke faller sammen. elastningen som er påført, lasten F, kan endre retning. E 20 kn 4 m 5 m 5 m Figur 1 Fagverk. Figur 1 viser et annet fagverk. Fagverket er statisk bestemt. b. eregn samtlige opplagerkrefter og stavkrefter for fagverket i Figur 1, og tegn aksialkraftdiagram for fagverket. Tegning og beregninger for opplagerkrefter (med retninger) og stavkrefter skal føres direkte inn på Vedlegg 2 og 3 på anvist sted. Tegn aksialkraftdiagrammet direkte på figuren nederst i Vedlegg 3. Husk å indikere kraftvirkningssymboler og tallverdier for stavkreftene. Lever Vedlegg 2 og 3 som side 2 og 3 i din besvarelse. Side 2 av 15
OPPGVE 2 (35 %) q E L/2 L/2 L/2 L/2 Figur 2 Ramme med fordelt vertikallast. En ramme er fritt opplagt i punkt og, se figuren over. egge opplagerpunkter er uforskyvelige leddlager. Rammen er belastet med en jevnt fordelt vertikallast (q) som virker langs rammens overside (lengden --E). I punkt er det et momentfritt ledd. a. Tegn fritt-legeme-diagram (FL) for rammen som helhet, og deretter for rammens to deler (dvs splitt rammen i del -- og del -E-). Tegningene skal føres på Vedlegg 4, som leveres som side 4 i din besvarelse. b. estem opplagerkreftene til rammen uttrykt ved q og L. isse beregningene føres og leveres på de ordinære arkene for eksamensbesvarelser. Tegn belastningsdiagram for rammen på Vedlegg 5, som leveres. c. eregn og tegn lastvirkningsdiagrammene for rammen (N-, V- og M-diagram). eregningene leveres på egne ark, mens detaljtegning av diagrammene føres direkte på figurene i Vedlegg 6 og 7, som leveres. Husk størrelser og virkningssymboler, og at M-diagrammet tegnes på strekksiden. Vis tydelig ekstremalverdier på diagrammene og hvor de forekommer. Side 3 av 15
OPPGVE 3 (25 %) P 45 o 40 30 400 40 5a 3a Fig 3a - jelken Figur 3 jelke med punktlast på enden. 200 (alle mål i mm) Fig 3b - Tverrsnitt av bjelken Figur 3a viser en stålbjelke () påkjent av en punktlast (P) i ende. Punktlasten har en vinkel 45 med bjelkeaksen. jelkens tverrsnitt er vist i Figur 3b. a. eregn opplagerkreftene i punkt og uttrykt ved P og a. b. eregn og tegn lastvirkningsdiagrammene (N-, V- og M-diagram) for bjelken, og tegn diagrammene direkte på figurene i Vedlegg 8 (skal leveres med oppgavebesvarelsen). Husk størrelser og virkningssymboler, og at M- diagrammet tegnes på strekksiden. c. Vis at vertikalforskyvningen u i punkt kan uttrykkes ved u Pa = 12 2 EI 3 Tips: Her bør du bruke formlene for deformasjon av enkle bjelker i formelsamlingen. d. jelken har tverrsnitt som vist i Figur 3b, og er laget av stål. Sett lasten P=30 kn og lengdemålet a=1,5 m (gjelder også i resten av oppgaven). E-modul for stål er 210 000 N/mm 2. eregn nedbøyningen i bjelkens punkt (angi svaret i mm). e. ngi hvor langs bjelken vi finner de største opptredende bøyespenninger, og skisser hvor i bjelkens tverrsnitt vi finner største strekkspenning fra momentet alene. ngi spenningen i N/mm 2. (Hvis du ikke har lyktes med de foregående spørsmål kan du her vise hvordan du vil regne ut en bøyespenning for et moment M=110 knm og 2. arealmoment for bjelken i Figur 3b lik I=66,66 10 6 mm 4. Merk at dette er oppkonstruerte verdier). f. jelken er utsatt for normalspenninger fra både bøyemoment og aksialkraft. estem hvor langs bjelken og skisser hvor i tverrsnittet vi finner største trykkspenning i tverrsnittet. Skisser fordelingen av spenningene over tverrsnittet, sett på verdier. Side 4 av 15
OPPGVE 4 (6 %) For en gitt bjelke er det regnet ut følgende utbøyningsfunksjon ux ( ) 15(kNm) = x EI 2 Startpunktet for x (origo) er ved bjelkens venstre ende. jelkens lengde er L. enytt den oppgitte utbøyningsfunksjon og bestem bjelkens opplagerbetingelser og belastning. Valget skal begrunnes. Tips: Tabell 1 viser et utvalg bjelker med belastning. Ett av alternativene i tabellen er den riktige bjelken! Tabell 1 Mulige bjelker. Tilfelle Tilfelle 120 kn/m 720 kn E L/2 L/2 450 kn/m 30 knm F 1152 kn/m 30 knm G 90 kn 120 kn/m H x x Side 5 av 15
OPPGVE 5 (14 %) 220 meter Elgeseter bro lengdeoppriss 0,9 m ro Fuge Landkar (endeopplegg ) 150 mm iverse data for armert betong: Trykkfasthet f = 25 N/mm 2 Strekkfasthet s = 3 N/mm 2 Elastisitetsmodul E = 25 000 N/mm 2. Tetthet ρ = 2500 kg/m 3 Tverrkontraksjonstall ν = 0,15 Termisk utvidelseskoeff. α = 1 10-5 / K Farge: grå etalj av fuge ved ende av broen Figur 4 Elgeseter bro i Trondheim foto, prinsippskisser og betongdata. Elgeseter bro ved Studentersamfundet er laget av armert betong, og er 220 m lang. roen virker som en kontinuerlig bjelke over ni spenn, se Figur 4. roen ligger på landkar (endeopplegg) i ende og ende, og på fire rekker med slanke søyler ute i elva. robjelken har et tilnærmet rektangulært tverrsnitt, med bredde =23,4 m og en tykkelse lik t=0,9 m. roen er fastholdt ved ende (det er fastlager ved Samfundet) og har forskyvningsmuligheter ved søyleoppleggene og ved ende (bysiden av broen). ll utvidelse eller forkortelse av broen må derfor skje ved ende, hvor broen er utstyrt med en fuge (fri åpning) som skal tillate tilstrekkelig bevegelsesmulighet. Ved vinterstid kan vi tenke oss at laveste temperatur i betongbroen kan bli -20, mens i en varm periode på sommeren kan den bli maksimalt +25. Side 6 av 15
a. eregn horisontal forskyvning av broens ende ved punkt når temperaturen endres fra minimum til maksimum. b. Fugen ved ende er målt til å ha en åpning 150 mm når temperaturen i broen er på det laveste (-20 ). På grunn av dårlig vedlikehold kan det være at fugen delvis fylles med sand og skitt. nta at fugen er fylt slik at den bare tillater 50 mm forskyvning. eregn aksialkraften som oppstår i broen for den gitte temperaturendringen. c. roen må bære sin egen tyngde og all trafikk som belaster broen. roens egen tyngde kan vi anta skyldes kun tyngden av betongen (vi neglisjerer asfaltdekke og brorekkverk). Trafikklasten kan konservativt settes lik 1,5 kn/m 2 virkende over hele broens overside. Sett g=9,82 m/s 2. eregn jevnt fordelt totalbelastning (q) i broens lengderetning. ngi lasten i kn/m. Side 7 av 15
Vedlegg 1 Side: 1 F F E Fagverk Fagverk Vurdering Fagverk (statisk underbestemt/bestemt/ubestemt): Vurdering Fagverk (statisk underbestemt/bestemt/ubestemt): Vurdering Fagverk. Stabilt? Vurdering Fagverk. Stabilt? F F E Fagverk Fagverk Vurdering Fagverk (statisk underbestemt/bestemt/ubestemt): Vurdering Fagverk (statisk underbestemt/bestemt/ubestemt): Vurdering Fagverk. Stabilt? Vurdering Fagverk. Stabilt? Side 8 av 15
Vedlegg 2 Side: 2 E 20 kn 4 m 5 m 5 m eregning av opplagerkrefter (tegn kreftenes retning på figuren over!): eregning av stavkrefter: Side 9 av 15
Vedlegg 3 Side: 3 Fortsettelse: eregning av stavkrefter: ksialkraftdiagram med lastvirkningssymboler og kraftverdier skal du tegne på den ferdigtrykte figuren her: Side 10 av 15
Vedlegg 4 Side: 4 (oppgave 2) FL for hele rammen: FL for rammedel --: FL for rammedel -E-: Side 11 av 15
Vedlegg 5 (oppgave 2) Side: elastningsdiagram () for rammen: (dvs tegning med laster og krefter med verdier og retning) Side 12 av 15
Vedlegg 6 (oppgave 2) Side: N-diagram V-diagram Side 13 av 15
Vedlegg 7 (oppgave 2) Side: M-diagram Side 14 av 15
Vedlegg 8 (oppgave 3) N-diagram 5a Side: 3a V-diagram M-diagram Side 15 av 15