Eric Nævdal og Jon Vislie; 2. aril 27 Forslag til obligatoriske ogaver i ECON 22 våren 27. For å lette lesingen er den orinnelige ogave teksten satt i kursiv. Ogave. 3 2 a) Hvis f( K) = ( K + ), finn f ( K ). Svar: 6( K + ) K 3 2 b) Finn et uttrykk for du dk når U = F( K, L) og L= g( K ). du Svar: = F ( K, L) + F 2( K, g( K) ) g ( K) dk c) Hvis y er gitt imlisitt som en funksjon av x ved likningen 3x + 2xy+ y = 6, finn y når x = y =. Finn også y når x = y =. Svar: Denne ogaven kan løses å flere måter. Her er én: Først må vi sjekke at 3x + 2xy+ y =6 er definert i (x, y) = (, ). Siden 3 2 + 2 + 2 = 6så er dette greitt. Den letteste måten å finne y å er å sette f ( xy, )= 3x + 2xy+ y. Da er: dy f x ( x, y) 6x + 2y 3x + y y ( x) = = = = dx f y ( x, y) 2x + 2y x + y Sesielt er dy f x (,) 3+ = = = 2 dx, f (,) + x= y= y For å finne y ( x) er det greitt å skrive y (x) å følgende måte: f x ( x, y) 3x+ y( x) y ( x) = = f y ( xy, ) x+ yx Da finner en ved rett frem derivasjon at: d 6x+ 2y( x) y( x) xy ( x) y ( x) = = 2 2 dx 2x + 2y ( x) ( x+ y( x) ) Sesielt er y x lik: ( ) x =, y = y( x) xy ( x) x+ y( x) ( 2) 3 3 2 = 2 = 2 = ( + ) 4 2 x=, y= Fra denne drøftingen vet vi at y(x) i et område rundt (, ) er avtakende og konkav. Videre har tangenten til y(x) helning lik 2 i unktet (, ). Dette bekreftes av følgende figur der 3x + 2xy+ y = 6 og tangenten i (x, y) = (,) er lottet inn.
2 Ogave 2. ( 2 a) Hvis Gx = ax+ b), finn G ( x). 3 d dx Svar: G ( x) = 3( a x+ b) ( a x+ b) = 3a ( a x+ b) b) Betingelsen sh( k) = λk, for k >, med h ( k) >, h < og sh () > λ, definerer k som en funksjon av de ositive konstantene s og λ ; ksλ (, ). Illustrer kurvene, og forklar hva betingelsen sh () > λ betyr. Finn også og *. (Hint: sh ( k ) λ <.) λ Svar: Her er en illustrasjon når h(k) = k : s
3 sh () og λ er den deriverte for de to kurvene i k =. Røft sagt så er sh () > λ en nødvendig betingelse for at sh( k) = λk skal ha en løsning for k >. Dersom sh () < λ så medfører h < at sh( k) < λk for alle k >. sh () > λ er bare nødvendig siden det er godt mulig at sh( k) > λk for alle k når sf () > λ er større enn k. Skriver vi sh( k) = λk sh( k) λk = finner vi at: ( sh( k) λk) h( k) ( sh( k) λk ) s ; λ k = = = = s ( sh( k) λk) sh ( k) λ λ ( sh( k) λk) sh ( k) λ Alternativt kan en differensiere imlisitt. Først finner vi dk/ds. sh( k ) = λk h( k ) + sh ( k ) = λ s s Løser vi det siste uttrykket m.h.. k får vi: s k h( k) = s sh k λ Tilsvarende har vi at / λ kan finnes å følgende måte: sh( k ) = λk sh ( k ) = k + λ λ λ Løser vi dette uttrykket m.h. / λ får vi:
4 c) La U( x, y) k k = λ sh ( k) λ Ax = y, der x, y, > >, > >. Definer en nivåkurve til denne funksjonen som samlingen av alle ikke negative verdier av ( x, y ) slik at funksjonsverdien er konstant; dvs. U = Ax y. Denne sammenhengen definerer y som en funksjon av x. Finn dy 2 dx og d y 2 dx. Svar: Denne ogaven kan også løses å flere måter. En måte er: og: Setter vi: dx Ax y x dy Ax y y = Ax y U = = Så får vi igjen ved derivasjon: dy y x = dx x y x x y x + y x 2 d y d dy = 2 = = dx dx dx x x Alternativt så kan en løse Derivasjon gir: U = Ax y m.h.. y. Da får vi: U y= A x ( + ) ( + ) dy U Ax y y = x = x = dx A A x dy d U U d + U dx dx A A dx A 2 ( + ) ( ) ( ) + + ( ) = x = x = x + ( + ) Ax y ( + ) y( x) 2 x = = A Disse svarene er ekvivalente. Den første måten er helt klart å foretrekke her siden den gir mindre regning, men det er ikke feil å gjøre det å den andre måten. x
5 Ogave 3. En konsument har referanser over to goder, gitt ved nyttefunksjonen Uxy (, ) = y+ Ax, der x og y er mengder av de to godene. A og er konstanter, med A > og > >. La ris er enhet av y varen være lik, mens risen er enhet av x varen er. Forbrukeren har en gitt inntekt m og otrer som en nyttemaksimerende risfast kvantumstilasser i begge markeder. i) Still o konsumentens tilasningsroblem ved hjel av Lagranges metode, og utled ettersørselsfunksjonene. (Anta indre løsning.) Svar: Vi danner først Lagrangefunksjonen: (,, λ) = + λ( + ) L x y y Ax x y m Førsteordensbetingelsene er gitt ved: L = λ = y L = Ax = x x + y = m λ Den første likningen gir λ =. Da kan den andre likningen skrives: L = Ax λ = x Ax x = = A x = A Fra budsjettbetingelsen får en så at: y = m x= m = m A A ii) Bestem de artielle deriverte av ettersørselsfunksjonene og bruk disse til å si noe om hvordan ettersørselen etter de to varene åvirkes av at inntekten m øker risen øker
6 Svar: Derivasjon gir: 2 x x d =, = = < m A d A y =, m y d = m = = A A d A > iii) Hvordan varierer samlet utgift til x varen med risen? Kan du fra dette konkludere noe om hvorvidt ettersørselen etter x varen er elastisk eller uelastisk? Svar: Samlet utgift til x varen er gitt ved: x = A = A. Vi finner da at: = A + d d ( x) = = < d d A A Budsjettandelen er således en avtakende funksjon av. For å se sammenhengen mellom dette uttrykket og graden av elastisitet kan en merke seg at for enhver ettersørselsfunksjon holder følgende: d ( ) x x = x + x = x + d x Om x() konsumeres i et ositivt kvantum følger det at endringen i x ( ) budsjettandel er negativ dersom < som igjen er betingelsen x for at et gode er riselastisk. Siden vi i denne ogaven har at budsjettandelen er en fallende funksjon, medfører dette at riselastisiteten er mindre enn og x er således elastisk. Dette kan for x ( ) øvrig sees direkte ved å regne ut at = /( ) <. x
7 Sett A = og = 2 arameterverdiene? i det følgende. Hva blir ettersørselsfunksjonene med disse Svar: x=, y= m 2 4 4 Finn deretter et uttrykk for den maksimale nytten som en funksjon av og m, og kall V(, m) 2 denne verdifunksjonen for V(, m). Vis at = ( 2). Svar: Innsetting i objektfunksjonen gir: V (, m)= m+ 4 Da er V(, m) 2 = = ( ). 4 Dette siste resultatet kunne også vært funnet v.h.a. omhyllingsteoremet. Ogave 4. Vis hvorfor en rofittmaksimerende rodusent ikke vil rodusere mindre av en vare når roduktrisen øker. Svar: Denne kan gjøres veldig enkelt. La rofitten være gitt ved π = x C(x). Her er lik ris og x er rodusert mengde. Første ordensbetingelse for rofittmaksimum er π = C (x) =. C x <. Imlisitt derivering Annenordensbetingelsen er at m.h.. gir dx dx C x = = > hvis C x < ( d d C x ) Ogave 5. Anta at en bedrift roduserer en vare i mengde y med en kostnadsfunksjon θ C( y; w, q) = y φ( w, q), der w og q er faktorriser og θ en ositiv konstant og større enn én. a) Utled gjennomsnitts og grensekostnad. Hva er sammenhengen mellom dem? Svar: Skriver for letthets skyld φ( wq, ) som φ. Da er:
8 Følgelig er: C = θc. θ θ C y y φ θ C ( y) = θ y φ C = = = y φ y y b) Hvis bedriften maksimerer rofitten π = y C( y; w, q), der er roduktrisen, vis at tilbudsfunksjonen kan skrives som: y(, w, q) = θ φ( wq, ) θ. Svar: Vi finner at: y = y = θ π θ φ = y θφ θ y = θφ θ c) Hvordan varierer tilbudt kvantum med roduktrisen? Svar: Vi deriverer y m.h.. θ θ θ θ θ θ dy d d = = = = d d θφ θφ d θ θφ θ θφ 2 θ θ > d) Finn et uttrykk for den maksimerte rofitten. (Hint: Sett inn for y( wq,, ) i uttrykket for rofitten.) θ θ θ θ θ θ Π = π = φ = y(, w, q) φ θφ θφ θφ θφ Ogave 6. Drøft åstand kort med utgangsunkt i antakelser vi gjør i teori for konsumenttilasning: Noen mennesker er så rike at når de blir rikere vil de konsumerer mindre av alt! θ θ
9 Svar: Alle konsumrofiler som kan onås ved en inntekt m kan også onåes ved en inntekt m* > m. Dersom en ved høyere inntekt velger en konsumvektor som maksimerer nytten ved inntekten m, så kan ikke nytte maksimeres ved en konsumrofil der alle elementene har lavere verdi. Da ville denne vektoren blitt valgt også før inntektsøkningen. Ogave 7. (Kan eventuelt droes.) Hvis roduktfunksjonen har konstant skalautbytte, vil en t dobling av faktorinnsatsene føre til en t dobling av roduktmengden y; dvs. ftntk (, ) = t fnk (, ). Hold ( nk,) fast og ofatt ftntk (, ) som en funksjon av t: ht (): = ftntk (, ). a) Vis at grenseroduktiviteten til hver faktor er uåvirket av av en t dobling; (, ) (, ) (, ) (, ) dvs. ftntk tn fnk ftntk fnk = t t = t, slik at ( tn) n n ( tn) n ftntk (, ) fnk (, ) = ; tilsvarende for den andre faktoren. ( tn) n Svar: Dette er helt trivielt. Forkort t å begge sider av: ftntk (, ) fnk (, ) t = t. ( tn) n b) Hvordan åvirkes den marginale substitusjonsbrøk av en slik roorsjonal faktorvariasjon? Hvordan ser substitumalen (for et gitt faktorrisforhold) ut ved konstant skalautbytte? Svar: Den marginale substitusjonsbrøk er: f tn, tk t f tn, tk MRS = = f tn, tk t f tn, tk Siden vi vet fra forrige ogave at grenseroduktiviteten ikke åvirkes av en t dobling, så endres ikke MRS heller. Substitumalen er en rett linje fra origo, jfr. argumentet å s 44 i Sydsæter. c) Fra sammenhengen ftntk (, ) = t fnk (, ), skal du vise at: f ( tn, tk) ( tn) f ( tn, tk) ( tk) h () t = + = f( n, k). Kombiner resultatet ( tn) t ( tk) t fra a) og ftntk (, ) = t fnk (, ), til å vise at fnk (, ) fnk (, ) n f k f h () t = n + k = y. La εn = og ε = være n y k n y k grenseelastisitetene til de to innsatsfaktorene. Vis at med konstant skalutbytte vil ε + ε =. n k
Svar: Siden ftntk (, ) = t fnk (, ) har vi at: ε n d h () t = f ( tntk, ) n+ f 2( tntk, ) k= ( tf( nk, )) = f( nk, ) = y dt + ε = fremkommer direkte ved å dele f ( tn, tk) n + f ( tn, tk) k = y k å y å begge sider. 2