30 2
Formler og likninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk, rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk omforme en praktisk problemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen
2.1 Grafer Aviser og tidsskrifter bruker ofte grafer i stedet for formler for å vise sammen henger. Grafen nedenfor viser hvor stor del av ungdomskullet som konfirmerte seg i kirka i årene 1960 2004. ANTALL KONFIRMERTE I KIRKEN 1960-2004 100 93,0% 89,0% 85,0% 90 80 70 60 50 40 30 20 10 81,4% Borgerlig konfirmasjon 2001-2004 75,4% 70,2% 68,2% 0 1960 1970 1980 1985 1990 1995 2000 68,4% 67,5% 16,1% 16,1% 02 67,7% 17,1% 16,7% 04 Ut fra grafen virker det som andelen kirkekonfirmerte har gått ganske jevnt nedover i hele perioden. Grafen viser samtidig at andelen ungdommer som velger borgerlig konfirmasjon, har økt i årene etter 2000. Grafer kan være et godt hjelpemiddel til å se en utvikling over tid. Men det er lett å la seg lure av grafen ovenfor. Vi legger merke til at det i perioden fra 1960 til 1980 er 5 år mellom hver strek på førsteaksen. Etter 1980 er det 1 år mellom hver strek. I 1960 var det 93,0 % av ungdommene som ble konfirmert i kirka. I 1980 var det 89,0 %. Nedgangen var dermed 93,0 89,0 20 = 4,0 20 = 0,2 prosentpoeng per år. I 2000 var det 70,2 % som konfirmerte seg i kirka. Nedgangen fra 1980 til 2000 var 89,0 70,2 20 = 18,8 20 = 0,94 prosentpoeng per år. Vi ser at nedgangen var mye kraftigere i perioden 1980 2000 enn fra 1960 til 1980. Det kan vi ikke se direkte av grafen.! Hvis en graf skal vise en utvikling på riktig måte, er det viktig at det er jevn avstand mellom tallene på aksene. På grafen ovenfor er noen av prosenttallene skrevet på selve grafen. Det er ikke vanlig i matematikk. Som oftest må vi lese av grafen selv. 32 32 Sinus 1TIP > Formler og likninger
EKSEMPEL En hydraulisk presse består av et pumpestempel og et trykkstempel. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom kraften P på pumpestempelet og kraften T på trykkstempelet. Begge kreftene er målt i newton (N). a) Hvor stor kraft blir det på trykkstempelet når kraften på pumpestempelet er 60 N? b) Hvor stor kraft må vi bruke på pumpestempelet for at kraften på trykkstempelet skal bli 1200 N? N 1600 T 1400 1200 Trykkstempel 1000 800 600 400 200 P 20 40 60 80 100 Pumpestempel N Løsning: a) Vi tar utgangspunkt i tallet 60 N på førsteaksen (aksen med pumpekraften). Vi kommer fram til tallet 900 på andreaksen. Kraften på trykkstempelet er på 900 N. b) Når kraften på trykkstempelet er på 1200 N, går vi ut fra tallet 1200 på andreaksen og leser av som vist på figuren ovenfor. Vi kommer fram til tallet 80. Vi må bruke en kraft på 80 N på pumpestempelet. 33
? Oppgave 2.10 Bruk grafen i eksempelet på forrige side i denne oppgaven. a) Finn kraften på trykkstempelet når kraften på pumpestempelet er 50 N. b) Hvor stor kraft må vi bruke på pumpestempelet for at kraften på trykkstempelet skal bli 1000 N? Oppgave 2.11 En sylinder med et stempel inneholder en gass. Grafen viser sammenhengen mellom volumet V av gassen og trykket p av gassen. bar 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 p V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dm 3 a) Hvor stort er trykket når volumet er 6 dm 3? b) Hvor stort må volumet være for at trykket skal bli på 8 bar? Oppgave 2.12 Figuren nedenfor viser hvor mange tonn torsk som ble fisket per år i Canada fra 1850 og fram til 2000. 34 34 Sinus 1TIP > Formler og likninger
a) Hvor mange tonn torsk ble det fisket i 1900? b) I hvilke år ble det fisket 500 000 tonn torsk per år? c) I hvilket år ble det fisket mest torsk? Hvor mange tonn ble det fisket det året? Hvordan vil du beskrive resultatet av det fisket? d) Helt fram til slutten av 1980-årene var det ikke lov å fiske småtorsk. Hva skjedde da det forbudet ble opphevet? Oppgave 2.13 I 2005 lånte en bilmekaniker bilen til en kunde og prøvekjørte den på offentlige veier. Grafen nedenfor viser farten til bilen på forskjellige tidspunkter. Bruk grafen og svar på spørsmålene. a) Hvor lenge varte kjøreturen? b) Hva var den høyeste farten? c) Hvor mange ganger stoppet mekanikeren helt? d) Omtrent hvor stor var gjennomsnittsfarten? e) Omtrent hvor lang var kjøreturen? f) Hvilke konsekvenser tror du denne kjøreturen hadde for mekanikeren? 35
2.2 Likninger Å løse likningen x + 2 = 7 er det samme som å finne verdier for tallet x slik at høyre og venstre side av likhetstegnet får samme verdi. Det er det samme som å finne ut hvilket tall som passer i den tomme ruta her: + 2 = 7 Tallet 5 er det eneste som passer. 5 + 2 = 7 Likningen x + 2 = 7 har dermed løsningen x = 5. Mange enkle likninger kan vi løse på denne måten uten å bruke regneregler for likninger. EKSEMPEL Løs likningene uten å bruke regneregler for likninger. a) 3x = 12 b) 2x + 1 = 5 Løsning: a) Vi lager en rute og ser hvilket tall som passer. 3x = 12 3 4 = 12 x = 4 b) 2x + 1 = 5 2 2 + 1 = 5 x = 2? Oppgave 2.20 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) x + 5 = 12 b) x 3 = 5 c) 2x = 8 d) 4x = 12 Oppgave 2.21 Løs likningene uten å bruke regnereglene for likninger. a) 2x 1 = 3 b) 3x + 1 = 10 c) 5x 1 = 14 d) 6x 4 = 20 36 36 Sinus 1TIP > Formler og likninger
Likningen x + 2 = 7 kan vi også løse på denne måten: Ettersom tallene på begge sidene av likhetstegnet skal være like, må vi kunne trekke fra 2 på hver side av likhetstegnet og fortsatt ha to like tall. x + 2 2 = 7 2 x = 7 2 Vi ser at å trekke fra 2 på hver side i likningen x + 2 = 7 svarer til å flytte 2 over på høyre side og samtidig skifte fortegn på tallet. På tilsvarende måte kan vi flytte alle ledd over på motsatt side av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddene. Når vi løser likninger, kan vi bruke disse regnereglene: Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.? x + 2 = 7 3x = 2x + 5 x = 7 2 3x 2x = 5 Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. 1 2 x = 2 2x = 4 2 1 2 x = 2 2 2x 2 = 4 2 Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da løsningen inn i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 5x + 3 = 2x 11 b) 1 2 x + 3 = 3 4 x 1 37
Løsning: a) Vi bruker regnereglene for likninger. 5x + 3 = 2x 11 5x + 2x = 11 3 7x = 14 7x 7 = 14 7 x = 2 Flytt alle ledd med x over på venstre side og alle tall over på høyre side. Trekk sammen leddene på hver side. Divider med tallet foran x. Vi kontrollerer løsningen x = 2 ved å sette prøve. Venstre side: 5x + 3 = 5 ( 2) + 3 = 10 + 3 = 7 Høyre side: 2x 11 = 2 ( 2) 11 = 4 11 = 7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig. b) Fellesnevneren for brøkene 1 2 og 3 er 4. Vi multipliserer med 4 4 på begge sidene av likhetstegnet for å få bort brøkene. 2 1 2 x + 3 = 3 4 x 1 4 1 2 x + 4 3 = 1 4 3 4 x 4 1 Multipliser alle leddene med fellesnevneren, som her er 4. 1 2x + 12 = 3x 4 2x 3x = 4 12 x = 16 x = 16 1 Flytt over ledd og trekk sammen leddene på hver side. Når x = 16, er x = 16. Vi kontrollerer løsningen x = 16 ved å sette prøve. 1 Venstre side: 2 x + 3 = 1 16 + 3 = 8 + 3 = 11 2 3 Høyre side: 4 x 1 = 3 16 1 = 12 1 = 11 4 Venstre og høyre side er like. Løsningen er altså riktig.? Oppgave 2.22 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x + 3 = 7 b) 2x + 3 = 11 c) 2x = x + 3 d) 4x 1 = 2x + 7 Oppgave 2.23 Løs likningene. a) 3x 1 = x + 4 b) 5x + 1 = 2x 3 c) 2x + 1 = x + 7 d) 2,5x + 2 = 5x 8 38 38 Sinus 1TIP > Formler og likninger
2.3 Likninger med brøker Når vi skal løse en likning som inneholder brøker, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 2 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente. EKSEMPEL Løs likningen x 2 x 3 = x + 7 6 Løsning: x 2 x 3 = x + 7 6 x 2 6 3 x 3 6 2 = x 6 + 7 1 1 1 3x 2x = 6x + 7 x = 6x + 7 x + 6x = 7 Tallene viser til numrene i framgangsmåten foran. 6 6 Fellesnevneren er 6. 7x = 7 7x 7 = 7 7 Vi dividerer med 7. x = 1 1? Oppgave 2.30 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 1 3 x + 2 = 1 2 x 1 b) 2x 2 = 1 3 3 x 1 x 2 c) = 2 x d) 1 2x 3 2 3 3 = 4 + 2x 5 5 I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller bruker vi regnereglene slik vi har gjort ovenfor, men da må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen. 39
EKSEMPEL Løs likningene. a) 5 x + 3 = 1 x + 1 b) x 1 x = 2 3 1 x Løsning: a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 x + 3 = 1 x + 1 x 5 x x + 3x = 1 x x + x 5 + 3x = 1 + x 3x x = 1 5 2x = 4 x = 2 x = 2 gir ikke null i noen nevner og er dermed en løsning. b) Fellesnevneren er 3x. Vi multipliserer derfor med 3x på begge sidene av likhetstegnet. x 1 = 2 x 3 1 x 3x x 1 3x = 2 x 3 3x 1 x 3x (x 1) 3 = 2x 3 3x 3 = 2x 3 3x 2x = 3 + 3 x = 0 x = 0 gir null i to av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 2.31 Løs likningene. a) c) 2 x + 3 = 0 x 1 x + 2 = 1 x d) b) 5 x 3 = 8 x 1 x 2 + 2 = 3 x 2 40 40 Sinus 1TIP > Formler og likninger
2.4 Formler En konus er ei avkappet, rett kjegle. Begge endeflatene er sirkler. D L d Konisiteten forteller hvor mye konusen skrår mellom endeflatene. Vi regner ut konisiteten K ved hjelp av denne formelen: K = D d L Her er D diameteren i den største endeflaten, d er diameteren i den minste endeflaten, og L er lengden av konusen. EKSEMPEL I en konus er den største diameteren 40 mm, den minste er 30 mm, og lengden av konusen er 100 mm. Finn konisiteten. Løsning: Vi setter D = 40 mm, d = 30 mm og L = 100 mm inn i formelen. Vi får da K = D d = L Konisiteten er 1 : 10. 40 mm 30 mm = 100 mm 10 mm 100 mm = 10 1 100 = 1 10 10 Legg merke til at vi skriver konisiteten som et forhold (et delingsstykke) og ikke som en brøk.? Oppgave 2.40 I en konus er den største diameteren 80 mm, den minste er 70 mm, og lengden av konusen er 200 mm. Finn konisiteten. 41
? Oppgave 2.41 I en konus er den største diameteren 48 mm, den minste er 36 mm, og lengden av konusen er 60 mm. Finn konisiteten. En sylinder med et stempel inneholder en gass eller en væske. Vi trykker på stempelet med en kraft K. Trykket p i gassen eller væsken er da gitt ved formelen p = K A K der A er arealet av stempelet. Hvis vi måler arealet i kvadratmeter (m 2 ) og kraften i newton (N), blir trykket i pascal (Pa). 1 Pa er et veldig lavt trykk. Vi bruker ofte enheten bar i stedet, der 1 bar = 100 000 Pa EKSEMPEL A p Arealet av stempelet i en sylinder er 12 cm 2. Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 600 N. Løsning: Først regner vi arealet om til kvadratmeter. 12 cm 2 = 0,12 dm 2 = 0,0012 m 2 Deretter regner vi ut trykket i pascal. p = K A = 600 N = 500 000 Pa 0,0012 m2 Ettersom 100 000 Pa = 1 bar, er p = 500 000 Pa = 5 bar Trykket i sylinderen er 5 bar.? Oppgave 2.42 Arealet av stempelet i en sylinder er 0,2 dm 2. Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 800 N. Oppgave 2.43 Arealet av stempelet i en sylinder er 3,2 cm 2. Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 1200 N. 42 42 Sinus 1TIP > Formler og likninger
Når vi borer, er skjærefarten den farten sponen har idet den forlater arbeidsstykket. Vi finner skjærefarten v målt i meter per minutt (m/min) ved hjelp av formelen v = d n 1000 der d er diameteren i millimeter og n er tallet på omdreininger per minutt (r/min). EKSEMPEL Når vi borer i kopper med et hurtigstålbor, skal skjærefarten være mellom 30 m/min og 70 m/min. Vi borer nå med et bor der diameteren d = 30 mm og tallet på omdreininger n = 750 r/min. Gir dette en passe stor skjærefart? Løsning: Vi regner ut skjærefarten i meter per minutt: v = d n = 30 750 = 71 1000 1000 Skjærefarten er 71 m/min. Skjærefarten er litt for høy.? Oppgave 2.44 Når vi borer med et hardmetallbor i herdet stål, må skjærefarten være 8 12 m/min. Vi bruker et hardmetallbor der diameteren er 8 mm. Omdreinings tallet er 400 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Er dette en passende skjærefart? Oppgave 2.45 Når vi borer med et hurtigstålbor i sprø messing, må skjærefarten være 70 120 m/min. Vi bruker et hurtigstålbor der diameteren er 25 mm. Omdreinings tallet er 750 r/min. Gir dette en passe stor skjærefart? 43
2.5 Praktisk bruk av likninger Noen ganger bruker vi likninger til å løse praktiske problemer. Vi skal vise noen eksempler på det. Når vi sender en strøm I gjennom en motstand med resistansen R, finner vi spenningen ved hjelp av Ohms lov: U = RI Når strømmen I er i ampère (A) og resistansen R i ohm ( ), blir spen ningen U i volt (V). Hvis vi kjenner to av disse størrelsene, kan vi regne ut den tredje. EKSEMPEL Anne har en motstand med resistansen R = 22 som hun kopler til en spenningskilde. Hun måler strømmen I = 0,5 A gjennom motstanden. a) Finn spenningen U. b) Hun kopler en motstand med resistansen R = 25 til denne spenningskilden. Hvor stor blir strømmen I? Løsning: a) Spenningen U er gitt ved U = RI = 22 0,5 A = 11 V b) Her kjenner vi resistansen R = 25 og spenningen U = 11 V. Strømmen I er ukjent. Vi snur da først formelen slik at vi får den ukjente på venstre side. Vi regner uten enheter. RI = U 25I = 11 25I 25 = 11 25 = 0,44 Strømmen er I = 0,44 A.? Oppgave 2.50 Vi kopler en motstand til en spenningskilde. Når resistansen er på 1,2, får vi en strøm på 20 A. a) Finn spenningen U. b) Hvor stor må resistansen være for at strømmen skal bli 4,8 A? 44 44 Sinus 1TIP > Formler og likninger
? Oppgave 2.51 Vi kopler en motstand med resistansen R til en spenningskilde på 60 V. a) Finn strømmen I når resistansen er på 24. b) Finn resistansen når strømmen er på 4,8 A. Vi trykker på et stempel med en kraft K. Trykket p i gassen eller væsken er da gitt ved formelen p = K A der A er arealet av stempelet. I denne formelen må vi måle arealet av stempelet i kvadratmeter og kraften K i newton. Vi får da trykket i pascal. Kvadratmeter er en lite praktisk enhet for stempelareal, og pascal er en veldig liten enhet for trykk. Hvis vi regner stempel arealet A i kvadratcentimeter og kraften K i newton, får vi trykket p målt i bar hvis vi bruker formelen p = K 10A Kan du forklare hvorfor dette blir riktig? K A p EKSEMPEL Stempelet i en sylinder har radien r = 2 cm. Væsketrykket i sylinderen er 23,9 bar. Bruk formelen K p = 10A til å finne stempelkraften K. Løsning: Ettersom sylinderen er en sirkel, er arealet av stempelet A = r 2 = (2 cm) 2 = 12,57 cm 2 Nå snur vi formelen for p slik at vi får den ukjente på venstre side av likhetstegnet, og setter inn trykket i bar og arealet i kvadratcentimeter. K 10A = p K 10 12,57 = 23,9 K 125,7 = 23,9 125,7 K = 23,9 125,7 = 3004 Kraften er ca. 3000 N. 45
? Oppgave 2.52 Stempelet i en sylinder har radien 4 cm. Væsketrykket i sylinderen er 10 bar. K Bruk formelen p = til å finne stempelkraften K. 10A Oppgave 2.53 Væsketrykket i en sylinder er på 15 bar når stempelkraften er på 5000 N. Finn arealet av stempelet. Når vi dreier, borer eller freser, er skjærefarten v målt i meter per minutt (m/min) gitt ved formelen v = d n 1000 der d er diameteren i millimeter og n er omdreiningene per minutt (r/min). EKSEMPEL Vi skal frese en stålplate med en fres som har diameteren 25 mm. Skjærefarten skal være 20 m/min. Finn det omdreiningstallet som vi må stille inn fresen på. Løsning: Først snur vi formelen for skjærefarten for å få det ukjente omdreiningstallet n på venstre side av likhetstegnet. Deretter setter vi inn v = 20, d = 25 og = 3,14. d n = v 1000 3,14 25 n = 20 1000 1000 78,5 n 1000 = 20 1000 1000 78,5 n = 20 000 78,5 n = 20 000 78,5 78,5 n = 255 Vi stiller inn fresen på 255 r/min. 46 46 Sinus 1TIP > Formler og likninger
? Oppgave 2.54 Vi skal bore et hull i en kopperplate. Diameteren i hullet skal være 12 mm, og skjærefarten bør være 50 m/min. Hvilket omdreiningstall må vi stille inn boret på? Oppgave 2.55 Vi skal bore i en hard treplate med et bor som har omdreiningstallet 5000 r/min. Skjærefarten bør være mellom 100 m/min og 150 m/min. a) Finn diameteren på det største boret vi kan bruke. b) Finn diameteren på det minste boret vi kan bruke. 2.6 Omforming av formler Når vi har en formel, kan vi lage nye formler ved hjelp av regnereglene for likninger. Vi skal vise med noen eksempler hvordan vi gjør det. EKSEMPEL a) Bruk Ohms lov U = RI til å finne en formel for strømmen I. b) Bruk formelen i oppgave a til å finne strømmen når spenningen U = 110 V og resistansen R = 44. Løsning: a) Først snur vi formelen for å få den ukjente strømmen I på venstre side av likhetstegnet. Deretter dividerer vi med R på begge sidene av likhetstegnet. RI = U RI R = U R I = U R b)vi setter U = 110 V og R = 44 inn i formelen. I = U R = 110 V 44 = 2,5 A A 100 110 120 90 130 80 140 70 150 60 160 50 170 40 180 30 190 20 200 10 47
15 10 5 0? Oppgave 2.60 a) Lag en formel for resistansen R uttrykt ved spenningen U og strømmen I. b) Finn hvor stor resistans R vi må ha for at strømmen I skal bli 5,5 A når spenningen U er 220 V. I en hydraulisk presse er oljetrykket mot pumpestempelet gitt ved formelen p = K 1 A 1 der K 1 er kraften mot pumpestempelet og A 1 er arealet av dette stempelet. Oljetrykket mot trykkstempelet er gitt ved p = K 2 A 2 der A 2 er arealet av trykkstempelet og K 2 er presskraften. Oljetrykket er det samme mot begge stemplene. Dermed er K 1 = K 2 A 1 A 2 Denne formelen er riktig uansett hvilke enheter vi bruker for kraft og areal, så lenge vi bruker de samme enhetene på begge sidene av likhetstegnet. D AN GE R EKSEMPEL a) Bruk formelen K 1 = K 2 til å finne en formel for presskraften K A 1 A 2 2. b) I en hydraulisk presse har pumpestempelet arealet 10 cm 2 og trykkstempelet arealet 80 cm 2. Finn presskraften når pumpekraften er 600 N. Løsning: a) K 2 = K 1 A A 2 A 2 1 K 2 A A 2 = K 1 A 2 A 2 1 K 2 = K 1 A 2 A 1 Først snur vi formelen slik at den ukjente kraften K 2 kommer på venstre side. 48 48 Sinus 1TIP > Formler og likninger b) Vi setter inn i formelen ovenfor og finner presskraften K 2 = 600 N 80 cm2 10 cm 2 = 4800 N
? Oppgave 2.61 Bruk formelen i eksempelet på forrige side til å finne presskraften i en presse der pumpekraften er 400 N, radien i pumpestempelet er 2,0 cm, og radien i trykk stempelet er 4,5 cm. Oppgave 2.62 a) Bruk formelen K 1 = K 2 til å finne en formel for pumpekraften K A 1 A 2 1. b) I en hydraulisk presse har pumpestempelet arealet 8,0 cm 2 og trykkstempelet arealet 64 cm 2. Hvor stor pumpekraft må vi bruke for at presskraften skal bli 1000 N? c) I en annen presse har pumpestempelet radien 1,2 cm og trykkstempelet radien 6 cm. Hvor stor pumpekraft må vi bruke for at presskraften skal bli 5000 N? EKSEMPEL Konisiteten til en konus er gitt ved formelen L D d K = D d L der D er diameteren i den største endeflaten, d er diameteren i den minste endeflaten, og L er lengden av konusen. a) Finn en formel for den store diameteren D. b) Finn den store diameteren når den lille er 1,5 cm, lengden av konusen er 10 cm og konisiteten er 1 : 5. Løsning: a) Først snur vi formelen. Deretter ganger vi med L på begge sidene av likhetstegnet. D d = K L L D d L = K L L D d = K L D = K L + d b) Her er d = 1,5 cm, L = 10 cm, og konisiteten K = 1 : 5 = 1 5 Den store diameteren er D = K L + d = 1 5 10 cm + 1,5 cm = 2 cm + 1, 5 cm = 3,5 cm 49
? Oppgave 2.63 a) Lag en formel for lengden L i en konus uttrykt ved de to diametrene og konisiteten. b) Bruk formelen i oppgave a til å finne lengden av en konus der den lille diameteren er 15 mm, den store diameteren er 20 mm, og konisiteten er 1 : 10. EKSEMPEL Bruk formelen for skjærefarten v til å finne en formel for omdreiningstallet n når vi kjenner diameteren d og skjærefarten v. Finn omdreiningstallet når vi bruker et bor på 8 mm og skjærefarten skal være 40 m/min. Løsning: a) Først snur vi formelen, og deretter ganger vi med 1000 på begge sidene av likhetstegnet. d n = v 1000 1000 d n 1000 = v 1000 1000 d n = 1000v d n d = 1000v d n = 1000v d b) Når diameteren d = 8 mm og skjærefarten v = 40 m/min, må tallet på omdreininger per minutt være n = 1000v = 1000 40 = 1592 d 8? Oppgave 2.64 Vi skal bore et hull i en kopperplate. Diameteren i hullet skal være 8 mm, og skjærefarten bør være 50 m/min. Bruk formelen ovenfor til å finne det omdreiningstallet vi må stille inn boret på. Oppgave 2.65 a) Bruk formelen for skjærefarten til å finne en formel for diameteren d. b) Når vi borer i manganstål med et hardmetallbor, må skjærefarten være mellom 10 m/min og 20 m/min. Vi borer med 1000 r/min. Finn diameteren på det minste og på det største boret vi da kan bruke. 50 50 Sinus 1TIP > Formler og likninger
2.7 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), (mindre enn eller lik), > (større enn) og (større enn eller lik). Når vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent som likninger. Vi har disse regnereglene: Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhets tegnet. EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) 3x + 4 < x + 8 b) x 2(4 x) 5x + 2 Løsning: a) 3x + 4 < x + 8 3x x < 8 4 2x < 4 2x 2 < 4 2 x < 2 b) x 2(4 x) 5x + 2 x 8 + 2x 5x + 2 x + 2x 5x 2 + 8 2x 10 2x 2 10 2 x 5 Vi dividerer med 2 på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet. 51
? Oppgave 2.70 Løs ulikhetene. a) 3x + 2 > 8 b) 2x + 5 > x 1 c) x 3 < 3x 1 d) 2(x 1) 3(x 6) Oppgave 2.71 Løs ulikhetene. a) 2x 5 > 4x + 1 b) 2(3 x) < 2 + 3(x 1) c) 2 + 3x 6(1 x 2 ) > 0 d) 2 3 5 2 x < 1 3 x e) 5 2 x 1 6 > 7 6 + 9 2 x Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv. EKSEMPEL I Øverbygda er det 120 cm snø i påska. Etter påske minker snømengden med 4 cm per dag. Når er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda? Løsning: Etter x dager er snømengden s målt i centimeter gitt ved formelen s = 120 4x Vi skal finne ut når snømengden er mindre enn 40 cm. Det er det samme som at s < 40 Ettersom s = 120 4x, gir det ulikheten 120 4x < 40 4x < 40 120 4x < 80 4x 4 > 80 4 x > 20 Når det har gått mer enn 20 dager, er snømengden mindre enn 40 cm. 52 52 Sinus 1TIP > Formler og likninger
? Oppgave 2.72 La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U = 9,40x + 20 a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 255 kr? b) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være større enn 302 kr? Oppgave 2.73 Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 C og synker med 2,5 C per time. a) Når er temperaturen over 61 C? b) Når er temperaturen under 71 C? Oppgave 2.74 Anne og Einar er ute og reiser. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? Oppgave 2.75 Løs ulikhetene. a) 8 2 (a 1 c) 2 ) < 2 3 a 3(2 a ) b) 6 4(t 8) + 2t > 34 6t 3 2s + 1 4(2s 1) < 1 2 2.8 Likningssett Mari har en mobiltelefon som hun bruker mye. Hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y kroner, der y = 0,89 x + 150 Hvis hun en måned ikke ringer, er x = 0. Da er utgiftene i kroner y = 0,89 0 + 150 = 150 Hvis hun en måned ringer i 400 minutter, er utgiftene i kroner denne måneden y = 0,89 400 + 150 = 506 Vi samler utregningene i en tabell og tegner deretter en graf som viser utgiftene. Se den røde linja på figuren på neste side. 53
x 0 400 x 0 400 y 150 506 y 50 606 kr 600 y y = 1,39x + 50 y = 0,89x + 150 500 400 300 200 100 100 200 300 400 500 minutter Mari syns at telefonregningen blir stor. Hun vurderer derfor et annet abonnement der hun betaler 50 kr per måned i fast avgift og 1,39 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i x minutter, blir utgiftene y i kroner y = 1,39 x + 50 Hvor mye må hun ringe per måned for at det skal lønne seg å ha det første abonnementet? Vi lager en tabell og tegner ei blå linje sammen med den røde linja ovenfor. Avlesingen på figuren ovenfor viser at begge abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 200 minutter per måned. Hvis hun ringer mer enn det, lønner det seg å ha abonnementet med høyest fast avgift. Vi kan også finne ut ved regning hvor mye hun må ringe for at de to abonnementene skal koste like mye. Utgiftene y er like for de to abonnementene hvis 1,39x + 50 = 0,89x + 150 1,39x 0,89x = 150 50 0,50x = 100 x = 100 0,50 = 200 De to abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 200 minutter per måned. Når vi skal finne utgiftene, setter vi inn i en av likningene. y = 1,39 200 + 50 = 328 Begge abonnementene koster da 328 kr. 54 54 Sinus 1TIP > Formler og likninger x
Vi har nå løst likningssettet y = 0,89x + 150 og y = 1,39x + 50 både grafisk og ved regning.!? Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig. Oppgave 2.80 Per er 140 cm høy og vokser 5 cm per år. Om x år er høyden i centimeter gitt ved formelen y = 5x + 140. a) Hvor høy er Per om 5 år? b) Høyden i centimeter til Anne om x år er gitt ved formelen y = 2x + 155. Hvor høy er Anne nå, og hvor mye vokser hun per år? c) Lag et koordinatsystem og tegn linjer som viser høyden til Per og høyden til Anne de neste 10 årene. d) Bruk linjene til å finne ut når Per og Anne er like høye. e) Finn ved regning når Per og Anne er like høye. Oppgave 2.81 Ved lønnsforhandlingene i et datafirma får en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) En fast lønn på 15 000 kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. 2) En fast lønn på 16 500 kr pluss 250 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to formler for lønna når han selger x datamaskiner per måned. b)finn grafisk hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva er månedslønna i dette tilfellet? Oppgave 2.82 Løs likningssettene grafisk og ved regning. a) y = 2x + 1 b) y = x + 4 c) y = 1 2 x 4 y = x + 4 y = 2x 2 y = 3 2 x Vi skal nå løse likningssettet 5x 2y = 4 x + y = 5 ved regning. Da bruker vi en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Først finner vi et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for x fra den andre likningen. x + y = 5 x = 5 y 55
Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i den første likningen: 5x 2y = 4 5 (5 y) 2y = 4 25 5y 2y = 4 7y = 4 25 7y = 21 Divider med 7. y = 3 Til slutt finner vi x ved å sette inn i uttrykket x = 5 y. x = 5 y = 5 3 = 2 Løsningen blir x = 2 og y = 3. EKSEMPEL Løs likningssettet 2x y = 8 3x + 4y = 1 Løsning: Vi velger å finne et uttrykk for y fra den første likningen. 2x y = 8 y = 2x + 8 Multipliser alle leddene med 1. y = 2x 8 Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x + 4y = 1 3x + 4(2x 8) = 1 3x + 8x 32 = 1 11x = 33 x = 3 Vi finner y ved å sette x = 3 inn i uttrykket for y. y = 2x 8 = 2 3 8 = 6 8 = 2 Løsningen er x = 3 og y = 2.? Oppgave 2.83 Løs likningssettene ved regning. a) x + 2y = 5 b) 3x + 4y = 1 c) x 2y = 4 d) x + 2y = 2 x + y = 2 6x + y = 7 3x y = 3 1 2 x + y = 1 56 56 Sinus 1TIP > Formler og likninger
SAMMENDRAG Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Framgangsmåte når vi løser likninger 1 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 2 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 3 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 4 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 5 Finn løsningen ved å dividere med det tallet som står foran den ukjente. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett ved regning, finner vi et uttrykk for x eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent som vi løser. 57
2 Formler og likninger KATEGORI 1 2.1 Grafer Oppgave 2.110 Petter tar ofte drosje. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom prisen i kroner på en drosjetur og lengden av turen målt i kilometer. kr 400 350 300 250 200 150 100 50 y 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 km a) En dag kjørte han 16 km med drosje. Hva måtte han betale for den turen? b) Omtrent hvor mange kilometer kan han kjøre for 300 kr? x Oppgave 2.111 Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom kraften P på et pumpestempel og kraften T på et trykkstempel. N 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 T 10 20 30 40 50 60 70 80 N a) Hvor stor kraft T blir det på trykkstempelet når kraften P på pumpestempelet er 20 N? b) Hvor stor kraft blir det på trykkstempelet når kraften på pumpestempelet er dobbelt så stor som i a? c) Hvor stor kraft må vi bruke på pumpestempelet for at kraften på trykkstempelet skal bli 1500 N? P 182 Sinus 1TIP > Formler og likninger
Oppgave 2.112 Grafen viser sammenhengen mellom elektrisk resistans og lengde for en motstandstråd. 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 Resistans 0,4 Lengde 0,8 1,2 1,6 m a) Hvor stor er resistansen når lengden er 0,8 m? b) Hvor stor er resistansen når lengden er 1,2 m? c) Hvor lang må tråden være for at resistansen skal være 0,012? Oppgave 2.113 Frida har mobiltelefon. På en graf kan hun lese av utgiftene per måned til bruk av telefonen når hun bare bruker den til samtaler. kr 300 250 200 150 100 50 y 30 60 90 120 150 180 min a) Hvor store var telefonutgiftene når hun en måned snakket til sammen i to timer? b) En annen måned hadde hun ikke råd til å bruke mer enn 150 kr på telefonen. Hvor mange minutter kunne hun da snakke til sammen? x Oppgave 2.114 Grafen viser sammenhengen mellom effekt og spenning for en motstand. W 400 350 300 250 200 150 100 50 Effekt Spenning 5 10 15 20 25 30 35 40 45 V a) Finn effekten når spenningen er 20 V. b) Hvor stor er spenningen når effekten er 175 W? Oppgave 2.115 Lise skal kjøre langt med bilen og fyller bensintanken helt opp før start. Grafen viser hvordan bensinmengden minker med avstanden. liter 70 60 50 40 30 20 10 y 10 20 30 40 50 60 70 80 mil a) Hvor mye rommer bensintanken? b) Hvor mye er det igjen på tanken når Lise har kjørt 50 mil? c) Hvor langt har hun kjørt når det er 40 liter bensin igjen? d) Hvor langt kan Lise kjøre før tanken er tom? x 183
2.2 Likninger Oppgave 2.120 Løs likningene. a) 2x 3 = 1 b) x + 2 = 4 x c) 3 + 2x = 1 d) 5 2x = x 4 Oppgave 2.121 Løs likningene. a) 4 + 4x = 2x + 8 b) 5x 6 = 4x 5 c) 1 x = x + 1 d) 3 3x = x 5 Oppgave 2.122 Løs likningene. a) x + 2 2x = 3 2x b) 4 5x = x 14 c) 3x 1 = 4x + 4 d) 2x + 2 3x = 0 Oppgave 2.123 Løs likningene. a) 2 2x = 4x 10 b) 3x 8 = 4 + 2x 6 c) x + 2 2x = x + 4 2.3 Likninger med brøker Oppgave 2.130 Løs likningene. a) 1 2 x 2 = 1 2 c) b) 2 3 x + 3 2 = 1 6 1 2 x 2 5 x = 1 d) 2 1 x = 6 3 x Oppgave 2.131 Løs likningene. a) 1 + 2 = 3 x b) 2 1 x 2 = 5 2x c) 1 2 2 3 x = 3 4 + 1 12 d) 5 + 1 x 2 = 3 2.4 Formler Oppgave 2.140 Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h. g Regn ut arealet når a) g = 6 m og h = 8 m b) g = 120 mm og h = 8 mm c) g = 0,2 cm og h = 3,1 cm Oppgave 2.141 La s være strekningen i kilometer som du har kjørt med bil på t timer. Hvis du holder jevn fart på 60 km/h, er s = 60 t a) Hvor langt kjører du på 2 timer? b) Hvor langt kjører du på 3,5 timer? Oppgave 2.142 Formelen for konisitet er K = D d l Regn ut konisiteten når a) D = 60 mm, d = 30 mm og l = 60 mm b) D = 36 mm, d = 26 mm og l = 40 mm c) D = 48 mm, d = 33 mm og l = 90 mm Oppgave 2.143 I en konus er den største diameteren 90 mm, den minste er 70 mm, og lengden av konusen er 160 mm. a) Finn konisiteten. b) En annen konus er dobbelt så lang som den i a. Diametrene er de samme. Finn konisiteten. h 184 Sinus 1TIP > Formler og likninger
Oppgave 2.144 Hvor mange bar er a) 100 000 Pa b) 400 000 Pa c) 450 000 Pa d) 923 000 Pa e) 1 200 000 Pa f) 3200 Pa Oppgave 2.145 Arealet av stempelet i en sylinder er 0,008 m 2. a) Finn trykket p i sylinderen målt i pascal når vi bruker en kraft på 1000 N. b) Hvor mange bar tilsvarer det? Oppgave 2.146 Guri har et mobilabonnement der hun betaler fast 59 kroner i måneden og en minutt pris på 1,49 kr for samtaler. Dersom hun en måned bare bruker mobiltelefonen til samtaler, er utgiftene U i kroner for x minutter med samtale U = 1,49x + 59 a) Hvor store er utgiftene når hun en måned snakker i telefonen i 200 minutter? b) Hvor store er utgiftene når hun en måned snakker i telefonen i 350 minutter? 2.5 Praktisk bruk av likninger Oppgave 2.150 Folkemengden i verden var i 2000 på 6,1 milliarder. Noen hevder at x år etter 2000 vil folkemengden i milliarder være F = 6,1 + 0,1 x a) Finn ved regning når folkemengden er 7,6 milliarder. b) Finn ved regning når folkemengden er fordoblet i forhold til i 2000. Oppgave 2.151 Sammenhengen mellom spenning U, resistans R og strøm I er gitt ved U = RI. A 100 110 120 90 130 80 140 70 150 60 160 50 170 40 180 30 190 20 200 10 a) Finn U når I = 4 A og R = 6. b) Finn I når U = 12 V og R = 2. Oppgave 2.152 Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h, der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. a) Hvor lang er grunnlinja når A = 30 cm 2 og h = 7,5 cm? b) Finn høyden når A = 22,4 cm 2 og g = 4,7 cm. Oppgave 2.153 For et bor med diameter på 10 mm er formelen for skjærefarten v (m/min) v = 0,0314 n der n er omdreiningstallet (r/min). a) Hva er skjærefarten ved 1000 omdreininger per minutt? b) Hva er omdreiningstallet når skjærefarten er 35 m/min? R 185
Oppgave 2.154 Inga tar av og til drosje på dagtid. Prisen T i kroner for en drosjetur på x kilometer er T = 13,70x + 31 a) Finn ved regning hvor lang drosjeturen er når prisen er 168 kr. b) Finn ved regning hvor lang drosjeturen er når prisen er 305 kr. Oppgave 2.155 Ola drikker ofte en kopp varm te om morgenen. Når han lager te, bruker han alltid varmt vann med temperaturen 88 C. Ola lar teen stå til avkjøling i koppen, og etter t minutter er temperaturen i teen målt i celsiusgrader T = 88 2t a) Hva er temperaturen i teen etter 3,5 minutter? b) Ola liker best å drikke te med temperaturen 70 C. Finn ved regning hvor lenge han da må vente før han drikker teen. c) En dag glemte han hele teen, og temperaturen i teen sank til 52 C. Finn ved regning hvor lang tid det da hadde gått fra han helte på vannet. 2.6 Omforming av formler Oppgave 2.160 Sammenhengen mellom spenning U, resistans R og strøm I er gitt ved U = RI. a) Finn en formel for resistansen R. b) Hvor stor er resistansen når spenningen er 6,0 V og strømmen 1,5 A? Oppgave 2.161 Formelen for arealet A av et rektangel er A = g h, der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. a) Hvor stort er arealet når g = 4 cm og h = 7 cm? b) Finn en formel for grunnlinja g. c) Hvor lang er grunnlinja når arealet er 27 cm 2 og høyden er 9 cm? Oppgave 2.162 La U være prisen i kroner uten merverdi avgift på en vare, og la P være prisen med merverdiavgift. Hvis merverdi avgiften er 25 %, er P = 1,25 U a) Finn en formel for U uttrykt ved P. b) En vare koster 45 kr med 25 % mva. Hva koster varen uten mva.? c) Vis at vi kan skrive formelen i oppgave a U = 4 5 P 186 Sinus 1TIP > Formler og likninger Oppgave 2.163 a) Bruk formelen nedenfor og lag en formel for I. P = U I b) Bruk formelen nedenfor og lag en formel for V. T = m V
Oppgave 2.164 Sammenhengen mellom farten v, strekningen s og tida t for en bil som kjører med konstant fart, er gitt ved v = s t a) Finn en formel for strekningen s. b) En bil kjører i 60 km/h i 1,5 timer. Hvor langt kommer bilen? c) Finn en formel for tida t. d) En bil kjører 75 km med farten 50 km/h. Hvor lang tid tok bilturen? Oppgave 2.165 Ved kraftoverføring med reimdrift gjelder formelen n 1 d 1 = n 2 d 2 der d 1 og d 2 er diametrene i de to hjulene og n 1 og n 2 er omdreiningstallene. a) Finn et utrykk for d 1. b) Regn ut d 1 når n 1 = 300 r/min, n 2 = 200 r/min og d 2 = 180 mm. 2.7 Ulikheter Oppgave 2.170 Løs ulikhetene. a) x 2 > 4 b) x + 1 < 3 c) 2x + 2 < x 4 d) 3 x > 3x + 11 Oppgave 2.171 Løs ulikhetene. a) x + 2 > 2x + 3 b) 3 x < 7 2x c) 8 3x > 7 2x d) 6 + 2(x + 2) < 0 Oppgave 2.172 Temperaturen T i en bestemt tekopp etter t minutter er gitt ved T = 3,0t + 77 a) Når er temperaturen under 44 C? b) Når er temperaturen over 62 C? 2.8 Likningssett Oppgave 2.180 Løs likningssettene ved regning. a) y = x + 1 2x + y = 7 b) x = 2y 1 3x y = 2 Oppgave 2.181 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordinat systemet nedenfor. 5 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 5 y 1 2 3 4 5 a) Finn løsningen av likningssettet. b) Likningssettet i oppgaven er 3x 2y = 4 y = x + 3 Løs likningssettet og kontroller svaret i oppgave a. Oppgave 2.182 Løs likningssettene både grafisk og ved regning. a) y = 2x 1 y = x + 1 b) x = y + 2 y + 2x = 1 x 187
KATEGORI 2 2.1 Grafer Oppgave 2.210 Anne skal klippe en stor plen. Hun arbeider i jevnt tempo. Grafen viser hvor mange kvadratmeter hun har igjen å klippe den nærmeste tida. m 2 1400 1200 1000 800 600 400 200 y 10 20 30 40 50 60 70 80 90100 min a) Hvor stor er plenen som skal klippes? b) Hvor mange kvadratmeter har Anne igjen å klippe etter 40 minutter? c) Hvor mange minutter har Anne klipt når det gjenstår 300 m 2 å klippe? d) Hvor lang tid bruker hun på hele jobben? Oppgave 2.211 Grafen viser hvordan temperaturen varierte ei kald høstnatt. Enheten langs førsteaksen er timer etter midnatt. C 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x x timer b) Hva var temperaturen kl. 08.30? c) Når var temperaturen lavest? Hva var temperaturen da? d) Når var temperaturen 1 C? Oppgave 2.212 Biler slipper ut karbondioksid (CO 2 ). Hvor mye CO 2 en bil slipper ut, avhenger blant annet av farten. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom CO 2 - utslipp og farten for en bestemt bil. g/km y 300 250 200 150 100 50 20 40 60 80 100 120 km/h Karbondioksidmengden er målt i gram per kilometer (g/km), og farten er i kilometer per time (km/h). a) Hvor mye CO 2 slipper bilen ut når farten er 40 km/h? b) Hvor mye CO 2 slipper bilen ut når farten er 110 km/h? c) Hvilken fart gir minst utslipp? Hva er utslippet av CO 2 da? d) Hva er farten når utslippet er 150 g/km? x a) Hva var temperaturen kl. 03.00? 188 Sinus 1TIP > Formler og likninger
Oppgave 2.213 En stein blir kastet rett opp i lufta. Grafen viser hvordan høyden y over bakken forandrer seg med tida t. m 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y 0,5 1 1,5 2 2,5 a) Hvor høyt er steinen etter 0,25 s? b) Hvor høyt er steinen etter 2 s? c) Når er steinen høyest? Hvor høyt over bakken er steinen da? d) Når treffer steinen bakken? e) Fra hvilken høyde ble steinen kastet? f) Når er steinen 8 m over bakken? Oppgave 2.214 Grafene viser sammenhengen mellom volumet og trykket for to sylindere med stempler. bar 14 12 10 8 6 4 2 p Sylinder 2 Sylinder 1 V 2 4 6 8 10 12 14 dm 3 a) Hvor stort er trykket i sylinder 1 når volumet er 10 dm 3? t s b) Hvor stort er volumet i sylinder 2 når trykket er 4 bar? c) I hvilken av sylindrene er trykket 8 bar når volumet er 4 dm 3? d) Hvor stor er trykkforskjellen i de to sylindrene når volumet er 4 dm 3 i begge? e) Er trykkforskjellen størst ved stort eller ved lite volum? 2.2 Likninger Oppgave 2.220 Løs likningene. a) 25x + 12 = 2 15x b) 14s 6 + 7s = 15 c) 32t + 18 = 12t 5t + 68 d) 4 5(I 2) 2 + 2I = 0 Oppgave 2.221 Løs likningene. a) 0,3x + 1,7x = 3,6 + 0,2x b) 1,5x 0,2 = 1,3x + 0,6 c) 0,6 2 (0,2x + 0,3) = 0,1x + 2,5 2.3 Likninger med brøker Oppgave 2.230 a) 1 2 x 5 2 = 2 ( 1 3 + x ) 1 6 b) 2 3 t 1 (7 t) = 0 2 c) 2 ( 1 2 t ) 2t = 1 3 d) 2 (1 4 5 s ) + s = 7 5 Oppgave 2.231 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 3 2 (R + 1) 2 3 (1 + R) = 5 2 R b) 1 (I 1) 3 (1 I) = 0 5 10 189
Oppgave 2.232 Løs likningene. 1 a) 2x + 3 2 = 1 1 x b) 1 2 x x + 1 = 4 x c) x x 1 + 1 x = 1 8 x + 1 Oppgave 2.233 Løs om mulig likningene. a) x + 1 x b) c) 1 x + 2 2 1 1 x + 1 x = 2.4 Formler + 3 2 = 1 x x + 1 = 3 x + 2 2x 1 x(1 x) Oppgave 2.240 Arealet av stempelet i en sylinder er 0,5 dm 2. a) Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 2500 N. b) Finn trykket hvis kraften dobles. Oppgave 2.241 Formelen for arealet av stempelet i en sylinder er A = r 2, der r er radien. Et stempel har en radius på 2,1 cm. a) Regn ut arealet av stempelet. b) Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 350 N på stempelet. Oppgave 2.242 Vi bruker et bor med diameteren 24 mm. Regn ut skjærefarten og fyll ut tabellen nedenfor. Oppgave 2.243 Vi fyller varmt drikke på ei tekanne. Kanna holder relativt godt på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsiusgrader i kanna T = 90 1,6x a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i kanna etter 20 minutter? Oppgave 2.244 To motstander med resistansene R 1 og R 2 er koplet parallelt. Samlet resistans i parallellkoplingen er da gitt ved R 2 R 1 R = R R 1 2 R 1 + R 2 a) Finn R når R 1 = 6 og R 2 = 4. b) Finn R når R 1 = 10 og R 2 = 10. c) Hva er den største verdien R kan ha når summen av R 1 og R 2 skal være 10? Prøv deg fram ved å sette inn ulike verdier i formelen. Oppgave 2.245 En bil har en bensintank på 48 liter. En familie skal ut på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Bilen bruker 0,60 liter per mil. a) Hvor mange liter bensin er det igjen etter 32 mil? b) Finn et uttrykk for bensinmengden B etter x mil. Omdreiningstall (r/min) Skjærefart (m/min) 200 400 600 800 190 Sinus 1TIP > Formler og likninger
2.5 Praktisk bruk av formler Oppgave 2.250 Arealet av stempelet i en sylinder er 0,7 dm 2. a) Finn trykket p i sylinderen målt i bar når vi bruker en kraft på 1300 N på stempelet. b) Hvor stor er kraften når trykket er 3,7 bar? c) Med et annet stempel er trykket 13 bar når kraften er på 1300 N. Hvor stort er arealet? Oppgave 2.251 Vi bruker et bor der diameteren er 6 mm. Omdreiningstallet er 2000 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Hva er omdreiningstallet når skjærefarten er 10 m/min? c) I hardt stål må ikke omdreiningstallet være for stort. Ellers blir boret for varmt, og eggen blir ødelagt. Hva er det største omdreiningstallet du kan bruke når skjærefarten ikke skal være større enn 12 m/min? Oppgave 2.252 Skjærefarten for slipeskiver kan regnes ut ved v = d n 1000 60 der farten v er oppgitt i meter per sekund (m/s), omdreiningstallet n i omdreininger per minutt (r/min) og diameteren d i millimeter (mm). Ei slipe skive har en diameter på 200 mm og en skjærefart på 30 m/s. a) Finn omdreiningstallet. b) Ei annen slipeskive har en diameter på 230 mm. Skjærefarten skal ligge mellom 20 og 25 m/s. Finn det største og minste omdreiningstallet du kan bruke. Oppgave 2.253 Ved kraftoverføring med reimdrift gjelder formelen n 1 d 1 = n 2 d 2 der d 1 og d 2 er diametrene i de to hjulene og n 1 og n 2 er omdreiningstallene. n 1 n 2 d 1 d 2 a) Finn omdreiningstallet n 1 når n 2 = 500 r/min, d 1 = 180 mm og d 2 = 270 mm. b) Finn diameteren d 1 når n 1 er 400 r/min, n 2 = 800 r/min og d 2 = 400 mm. Oppgave 2.254 En bil har en bensintank med 48 liter bensin. Etter x mil med jevn kjøring er det igjen y liter på tanken, der y = 48 0,6x Bilen fortsetter med jevn kjøring. a) Hvor langt har bilen kjørt når det er igjen 39 liter på tanken? b) Hvor langt har bilen kjørt når det er igjen 27 liter på tanken? Oppgave 2.255 Arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er A = gh 2 Høyden i en trekant er 18 cm og arealet 126 cm 2. Finn grunnlinja i trekanten. 191
2.6 Omforming av formler Oppgave 2.260 Arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er A = gh 2 Finn en formel for høyden i en trekant uttrykt ved arealet og grunnlinja. Oppgave 2.261 Konisiteten til en konus er gitt ved K = D d l der D og d er diametrene til endeflatene og l er lengden av konusen. a) Finn en formel for lengden l av konusen uttrykt ved K, D og d. b) Finn lengden av en konus når den store diameteren D er 90 mm, den lille diameteren d er 50 mm, og konisiteten K er 1 : 8. c) Vi sliper til konusen slik at konisiteten blir 1 : 6, uten å endre lengden og den store diameteren. Finn den lille diameteren etter slipingen. Oppgave 2.262 Ellen trenger å leie en bil noen dager. Det koster 800 kr i faste utgifter og 5 kr per kjørte kilometer. a) Hva koster det Ellen å kjøre 120 km? b) Finn en formel som viser kostnaden K i kroner for x kjørte kilometer. c) Finn en formel for x uttrykt ved kostnaden K. d) Hvor langt kan Ellen kjøre for 1700 kr? Oppgave 2.263 Ved dreiing av konuser må vi kjenne konusvinkelen α. Når vinkelen er mindre enn 10, kan vi regne ut vinkelen ved formelen (D d) 29 α = l D l a) Finn vinkelen α når den største diameteren er 42 mm, den minste er 36 mm, og lengden er 110 mm. b) Bruk formelen til å lage en formel for lengden av konusen. c) Den største diameteren i en konus er 112 mm, den minste er 94 mm, og vinkelen er 3,1. Hvor lang er konusen? d) En konus er 76 mm lang, og den minste diameteren er 47 mm. Hvor stor kan den største diameteren være når vi skal bruke formelen? Oppgave 2.264 Jeppe har drukket alkohol og har en promille på 1,8. Han regner med at promillen avtar med 0,15 per time. a) Hvor høy promille har Jeppe i kroppen etter 6 timer? b) Finn en formel for promillen P som Jeppe har i kroppen etter x timer. c) Finn en formel for x uttrykt ved P. d) Hvor lang tid har det gått når promillen er 0,3? e) Når er alkoholen helt ute av kroppen hans? d 192 Sinus 1TIP > Formler og likninger
2.7 Ulikheter Oppgave 2.270 Løs ulikhetene. a) 5x + 4 > 2x 2 b) 3(2 x) < 3 x c) x + 3 2(3 + 2x) < 5(2 x) d) 2(x 1) 3(1 x) < x + 3 e) 3(2x + 1) (5 x) > 1 (x + 3) Oppgave 2.271 Løs ulikhetene. a) x + 4 3 b) 7x + 4 4 c) x 4 + 7 3 d) 3 5x 5 e) > 2x + 1 + 1 3 2 x 3 2 6 > 5 2x 2 > 1 + x 3 2(x 1) 3 4 2 5 + 4x 3 + 3x 8 Oppgave 2.272 Per har 28 600 kr på konto og tar ut 740 kr hver måned. Anne har 13 240 kr på konto og setter inn 540 kr hver måned. Vi ser bort fra renter. Når har Anne mer penger enn Per på kontoen sin? 2.8 Likningssett Oppgave 2.280 a) Løs likningssettet ved regning. x y = 5 2x + 3y = 5 b) Løs likningssettet grafisk. y = 1 2 x 2 x + y = 4 Oppgave 2.281 Løs likningssettene grafisk og ved regning. a) 2x y = 3 b) x 3y = 4 2x + y = 5 x + 2y = 1 c) 2x 3y = 3 d) 6x 3y = 8 2x + y = 7 2x + 3y = 4 Oppgave 2.282 a) Løs likningssettet ved regning. x y = 24 2 3 x + 3 4 y = 373 b) Ved en videregående skole opplyste 1 av jentene og 1 av guttene at de 3 4 ikke røykte. Det var 373 elever som røykte. På skolen var det 24 flere jenter enn gutter. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det på skolen? Oppgave 2.283 Kari og Ola er til sammen 62 år gamle. Om to år er Ola akkurat dobbelt så gammel som Kari. Hvor gamle er de i dag? Oppgave 2.284 En videregående skole har en varmdrikkautomat for te og kaffe. En kopp te koster 6 kr, og en kopp kaffe koster 8 kr. En dag var det solgt i alt 58 kopper te og kaffe, og det var akkurat 400 kr på automaten. Hvor mange kopper te og hvor mange kopper kaffe var det solgt den dagen? 193
BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 2.300 En familie skal ut på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B = 60 0,75x a) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom x og B. b) Hvor mange liter rommer bensintanken? c) Hvor mange liter bensin er det igjen etter 30 mil? d) Finn ved regning hvor langt de har kjørt når det er igjen 36 liter på tanken. e) Hvor mange mil kan de kjøre før de må fylle bensin igjen? Oppgave 2.301 Grafen viser sammenhengen mellom strømmen I og spenningen U for en motstand. V 280 240 200 160 120 80 40 U 2 4 6 8 10 12 14 16 18 A a) Hvor stor er spenningen når strømmen er 15 A? b) Hvor stor er strømmen når spenningen er 120 V? c) Effekten P i motstanden kan regnes ut ved hjelp av formelen P = U I. Finn effekten når strømmen er 15 A. d) Finn effekten når spenningen er 60 V. I Oppgave 2.302 a) Løs likningssettet ved regning. x + y = 4 2x y = 5 b) Lise og Henrik er foreldrene til Katrine. Til sammen er familien 108 år. Lise er fire år yngre enn Henrik, og Henrik er akkurat tre ganger så gammel som Katrine. Hvor gamle er de enkelte familiemedlemmene? Oppgave 2.303 a) Hva forteller konisiteten oss om en konus? b) I en konus er den store diameteren 30 mm, den lille diameteren 15 mm og lengden 60 mm. Finn konisiteten. c) I en konus er den store diameteren 30 mm og den lille diameteren 10 mm. Finn lengden av konusen når konisiteten er 1 : 5. d) En konus er 120 mm lang og har konisiteten 1 : 8. Finn den store diameteren når den lille diameteren er 20 mm. Oppgave 2.304 a) Løs likningene. 1) 2 3x = 5x 6 2) 1 (x 2) = x 2 4 + 1 b) I en forretning er kiloprisen på epler 2 kr høyere enn kiloprisen på appelsiner. Svein kjøper 2,5 kg epler og 3 kg appelsiner. Til sammen betaler han 93 kr. Hva var kiloprisen på epler og kilo prisen på appelsiner i denne forretningen? 194 Sinus 1TIP > Formler og likninger
Oppgave 2.305 Grafen viser hvordan vannstanden varierer i løpet av et døgn i et område med tidevann. På figuren tilsvarer x = 0 midnatt. m 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y 6 12 18 24 timer a) Når på døgnet er vannstanden høyest? b) Når på døgnet er vannstanden lavest? c) Hva er vannstanden kl. 06.00? d) Hva er vannstanden kl. 16.00? Oppgave 2.306 Tettheten T av et stoff finner vi av formelen T = m V der m er massen og V er volumet. Bruk tabellen nedenfor til å finne ut hvilke metaller dette kan være. Stoff Tetthet Aluminium 2,74 kg/dm 3 Stål 7,89 kg/dm 3 Magnesium 1,74 kg/dm 3 a) m = 1,79 kg, V = 1,03 dm 3 b) m = 0,82 kg, V = 0,104 dm 3 c) m = 42,8 kg, V = 15,6 dm 3 x Oppgave 2.307 I en kopp kaffe er temperaturen 68 C. Etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i koppen T = 68 3,6t a) Når er temperaturen i koppen mer enn 50 C? b) Når er temperaturen i koppen mindre enn 32 C? Oppgave 2.308 To hjul er forbundet med ei reim slik at vi kan få kraftoverføring. Dersom det drivende hjulet har omdreinings tallet n 1 og det drevne hjulet har omdreiningstallet n 2, definerer vi utvekslingstallet i ved i = n 1 n 2 a) Regn ut utvekslingstallet når n 1 = 180 r/min og n 2 = 45 r/min. b) Finn n 2 når n 1 = 210 r/min og i = 3 2 Dersom diametrene til de to hjulene er henholdsvis d 1 og d 2, gjelder formelen n 1 d 1 = n 2 d 2 c) Vis at vi da kan skrive i = d 2 d 1 d) En motor driver et annet hjul ved hjelp av reimdrift. Reimskiva til motoren har diameter d 1 = 240 mm og omdreiningstall n 1 = 1600 r/min. Det drevne hjulet har diameter d 2 = 320 mm. 1) Finn omdreiningstallet til det drevne hjulet. 2) Finn farten til reima i meter per sekund (m/s). 195
196 Oppgave 2.309 a) Løs likningene. 1) 2(x 2) (1 x) = 7 2) 1 3 x 1 2 (1 x) = 17 6 b) En kuleformet vanndråpe har diameteren D. Etter t sekunder har fordampingen gjort at diameteren er d. Sammenhengen mellom D, d og t er gitt ved d = D 0,01 t 1) Finn diameteren d når D = 2,1 mm og t = 60 s. 2) Finn en formel for t uttrykt ved de andre størrelsene. 3) Hvor lang tid tar det for vanndråpen å fordampe helt når D = 2,1 mm? Oppgave 2.310 Massetettheten T til et legeme med massen m og volumet V er gitt ved T = m V a) Finn en formel for volumet V. b) Gull har massetettheten 19,3 g/cm 3. En gullring har massen 25 g. Finn volumet til ringen. Oppgave 2.311 En motor med tannhjul og z 1 tenner driver en arbeidsmaskin med z 2 tenner. Utvekslingstallet er da gitt ved i = z 2 z 1 En motor med tannhjul har et omdrei ningstall på 500 r/min. Antallet tenner på driv hjulet er 60. Tannhjulet driver en arbeids maskin med et tannhjul som har 75 tenner. a) Finn utvekslingstallet. b) Finn omdreiningstallet på arbeidsmaskinen. Sinus 1TIP > Formler og likninger Oppgave 2.312 a) Grafen viser hvordan snødybden på Blåfjell varierte i mars måned et år. cm 180 160 140 120 100 80 60 40 20 y 3 6 9 1215 1821 24 27 30 dager 1) Hva var snødybden 6. mars? 2) Når var snødybden minst? Hva var snødybden da? 3) Når var snødybden 90 cm? b) På Kvitfjell var snødybden S målt i centimeter x dager ut i april et år gitt ved S = 160 4x 1) Hva var snødybden 8. april? 2) Finn ved regning når snødybden var 96 cm. 3) Finn x uttrykt ved S. 4) Når var snødybden 1,2 m? Oppgave 2.313 Løs likningene. a) 2(x 2) (1 x) + 14 = 0 b) 2 3 x 1 2 (x 4) = 1 2 x 3 c) 2 3 + 1 = 3 x ( 1 9 + 2 3x ) d) 1 t + 3 2t = 2 t 1 Oppgave 2.314 Løs likningssettet grafisk og ved regning. x 2y = 2 x + 4y = 8 x
Oppgave 2.315 Ved kraftoverføring med tannhjul er utvekslingsforholdet i gitt ved i = z 2 z 1 der z 1 og z 2 er tallet på tennene på de to hjulene. Dersom z 1 = 20 og z 2 = 30, er for eksempel i = 30 20 = 3 2 Oppgave 2.319 Petter fyrer med ved på hytta. En vinterkveld sluttet han å fyre ved midnatt. Grafen viser hvordan temperaturen går ned i stua i timene etter midnatt. C 25 20 15 T z 1 z 2 10 a) Finn utvekslingstallet når z 1 = 30 tenner og z 2 = 48 tenner. b) Finn utvekslingstallet når z 2 har tre ganger så mange tenner som z 1. Oppgave 2.316 3 barn og 2 voksne betaler til sammen 56 kr for bussbilletter. En voksenbillett koster dobbelt så mye som en barnebillett. Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett? Oppgave 2.317 Vi bruker et bor der diameteren er 6 mm. Omdreiningstallet er 1000 r/min. a) Finn skjærefarten. b) Hva blir skjærefarten dersom omdreinings tallet dobles til 2000 r/min? c) Hva blir omdreiningstallet når skjærefarten er dobbelt så stor som i b? 5 1 2 3 4 5 6 7 8 timer a) Hva var temperaturen i stua 1) kl. 02.00 2) kl. 06.00 b) Når var temperaturen i stua 15 C? Temperaturen T i celsiusgrader t timer etter midnatt kan uttrykkes ved T = 24 1,8t c) Finn temperaturen i stua 1) kl. 02.00 2) kl. 06.00 d) Finn ved regning når temperaturen i stua var 15 C. e) Finn en formel for t uttrykt ved T. Bruk denne formelen til å kontrollere svaret i oppgave d. t Oppgave 2.318 Løs ulikhetene. a) 1 2 (x 3) < 1 1 3 x b) 2 3 x 1 > 1 (x 2) 1 5 2 30 197