R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store, og da er trekantene formlike. b Vi setter opp følgende proporsjoner: AB AC = DE DC AB 9 = 3 9 AB = = 6 3 BC AC = EC DC BE + EC AC = EC DC BE + 1, 5 9 = 1, 5 3 BE + 1, 5 = 3 1, 5 BE + 1, 5 = 3 1, 5 = 4, 5 BE = 3 c Forholdet mellom to tilsvarende sider i to formlike trekanter er konstant og blir ofte kalt n. AB 6 Vi har n = = = 3. DE Det betyr at alle avstander i ABC er tre ganger så store som tilsvarende avstander i DEC. Det betyr at arealet av trekant ABC er ni ganger så stort som arealet av trekant DEC. A ABC a A DEC = = 9 9 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 10
d Ortosenteret faller utenfor trekanten, fordi en av vinklene i trekanten er større enn 90. e (Det er en feil i oppgaven (1. og. opplag av boka). Det skal stå omsenteret i stedet for ortosenteret.) Konstruerte midtnormalene på AB og BC. Skjæringspunktet O mellom dem er omsenteret i trekanten ( OA = OB = OC). Omsenteret ligger utenfor trekanten siden en av vinklene er stump. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 10
6.B x = 30 fordi SA = SB = R, og da er SAB likebeint og SAB = SBA = x = 30. Sentralvinkelen y spenner over samme bue som periferivinkelen x. Derfor er y = 30 = 60. 6.C a 1 Vi avsatte AB = 10 cm. Vi fant midtpunktet på AB, S, og slo en sirkel om S med radius 5 cm. Vi oppreiste en normal på AB og avsatte avstanden 3 cm. I dette punktet konstruerte vi en parallell til AB. Skjæringspunktet mellom denne linja og sirkelen om S ga punktet C. Etter Thales setning er da ACB = 90. Av figuren ser vi at skjæringspunktene mellom midtnormalene faller midt på siden AB. Trekantens omsenter er S. b Av figuren ser vi at konstruksjonsoppgaven i oppgave a har én løsning når høyden er mindre enn eller lik 5 cm. Oppgaven har ingen løsninger når høyden er større enn 5 cm. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 10
6.D a De punktene som ligger like langt fra A som fra B, er midtnormalen på AB. De punktene som ligger like langt fra m som fra n, er de to vinkelhalveringslinjene. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 10
b Hvis midtnormalen faller sammen med en av vinkelhalveringslinjene, blir det uendelig mange punkter. Se figuren. Dersom midtnormalen er parallell med en av vinkelhalveringslinjene eller skjærer dem i skjæringspunket, blir det ett punkt. Ellers blir det to punkter. Se figurene. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 10
6.E 1 Avsatte linjestykket AB lik 5 cm. I punkt B konstruerte vi en vinkel på 10 og satte av 7 cm på det høyre vinkelbeinet i B. Da fikk vi punkt C. 3 Konstruerte en halvsirkel med AC som diameter. 4 Konstruerte en hjelpetrekant A'D'C', der D' = 90, C'D' = cm og D'A' = 5 cm. 5 Kopierte C'A'D' til punkt A. 6 Fant punkt D som skjæringspunktet mellom halvsirkelen fra 3 og vinkelbeinet fra 5. 6.F a Siden trekanten er likebeint, må medianen fra B til AC være like lang som medianen fra A til BC. Begge disse medianene er 8 cm. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 10
b Medianene i en trekant skjærer hverandre i et punkt. Dette punktet deler medianene i forholdet : 1. Vi kaller det tyngdepunktet i trekanten G. Da kan vi sette opp AG = og AD = 8 cm (Se figuren nedenfor.) GD 1 AG + GD = 8cm AG = GD Det gir 3 GD = 8 cm 8 GD = cm 3 8 16 AG = cm= cm = 5,33cm 3 3 16 A og B ligger cm = 5,33 cm fra tyngdepunktet. 3 c 1 Vi avsatte et linjestykke på 8 cm og delte linjestykket i tre. (Se ev. Lokus.) AG = BG = 8 cm 3 Vi avsatte linjestykket AB lik 10 cm. 3 Vi slo sirkelbuer om A og om B med radius lik AG. (Se over.) Der disse sirkelbuene skar hverandre, fant vi G. 4 Vi forlenget AG og BG til 8 cm og fant da henholdsvis D og E. 5 Vi forlenget linjestykkene AE og BD til de skar hverandre og fant da C. d Trekanten ABC er likebeint. Medianen fra C på AB faller derfor sammen med normalen fra C ned på AB. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 7 av 10
e Vi bruker pytagorassetningen for å finne FG: AF + FG = AG FG = 5,33 5 = 3, 44, dvs. at FG = 1,86 cm Siden CF er median, er GC = 1,86cm = 3,7cm FC = 1,86 cm + 3,71cm = 5,57 cm A ABC AB FC 10 cm 5,58 cm = = = 7,8 cm 6.G a 90 A er en periferivinkel som spenner over en bue på 90. A= = 45. 10 C er en periferivinkel som spenner over en bue på 10. C = = 60. Vinkel summen i en trekant er 180. B = 180 45 60 = 75. b Vi kjenner ikke noen av lengdene i trekanten og kan derfor ikke konstruere ABC. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 8 av 10
c 1 Avsatte linjestykket AB = 8 cm. Konstruerte en vinkel på 45 med toppunkt A. 3 Konstruerte en vinkel 75 med toppunkt i B. 4 Forlenget vinkelbeina i A og i B til de skar hverandre og fant C. 5 Konstruerte midtnormalen på AB, på BC og på AC. Skjæringspunktet mellom midtnormalene på sidene i en trekant er trekantens omsenter S. 6 Konstruerte den omskrevne sirkelen. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 9 av 10
6.H a De fire trekantene er rettvinklede og kongruente. Vi ser at da blir området i midten et kvadrat. Vi ser at hver av sidene i kvadratet i midten er (b a). Det betyr at arealet av dette kvadratet er (b a). b ABCD er et kvadrat med side c. Det gir = 4 1+ c A A 1 c = 4 a b+ ( b a) c = ab+ b ab+ a c = a + b Pytagorassetningen er dermed bevist. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 10 av 10