ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag
2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i utfallsrommet. (Dvs. vi beskriver observasjonene med tall) Eksempler: 1. Kast terning og registrer antall øyne. 2. Trekk student og registrer antall vekttall i et semester 3. Trekk en velger og registrer 1 hvis han/hun vil stemme på partiet BP og 0 hvis ikke. 4. Registrer antall epost som kommer til en epostadresse på en bestemt dag. Merk: Tilfeldige variabler er knyttet til et eksperiment der vi ikke kan forutse utfallet.
Vi skiller mellom: diskrete tilfeldige variabler med tellbart antall mulige verdier f.eks.: Antall biler som passere et lyskryss i løpet av en periode Antall mål i en fotballkamp kontinuerlige tilfeldige variabler med ikke-tellbart antall mulige verdier f.eks.: Høyden på en person Tiden en person er innlagt på sykehus
4 Hvilke av disse er tilfeldige variabler? Tilf.=tilfeldig, Determ.=deterministisk. Antall dager i oktober 2011 Antall dager med temperatur over 10 grader i oktober 2011 Antall studiepoeng i ST0202 Antall spørsmål i en ST0202 forelesning Antall minutter i en time Høyden til en tilfeldig valgt student Tilf. Determ.
5 Sannsynlighetsfordelingen til en diskret tilfeldig variabel (5.2) Sannsynlighetsfordeling: De mulige verdiene den tilfeldige variabelen kan ta, sammen med de tilhørende sannsynlighetene for disse verdiene. Sannsynlighetene gis ofte ved hjelp av en Sannsynlighetsfunksjon: En regel som gir en sannsynlighet P(x) til hver mulig verdi x for den tilfeldige variablen. Eksempel: Terningkast x=antall øyne P(x)=sannsynligheten for at antall øyne er lik x (dvs. 1/6)
6 Sannsynlighetsfordeling til terningkast P(x) er altså en kort skrivemåte for sannsynligheten for den hendelsen at vi får et utfall som gir verdien x på den tilfeldige variabelen. x P(x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Alternativ skrivemåte: P(x)=1/6 for x=1,2,3,4,5,6
7 Egenskaper til sannsynlighetsfordeling Sannsynlighetsfunksjonen P(x) tilfredstiller de vanlige kravene til sannsynligheter: 1. 0 P(x) 1 2. P(x) = 1 Oppgave: Er P(x) = x 10 for x = 1, 2, 3, 4 en sannsynlighetsfordeling? Hva er P(x = 5)?
8 Eksempel: Meningsmåling I en populasjon er det 43% EU-tilhengere og 57% EU-motstandere. Spør en tilfeldig valgt person om EU, og sett x=1 hvis personen er for og sett x=0 ellers. Da er sannsynlighetsfordelingen til x gitt ved x P(x) 0 0.57 1 0.43 Merk: En sannsynlighetsfordeling viser teoretiske sannsynligheter. Den skal representere populasjonen.
9 Eksempel: Meningsmåling (forts.) Ved meningsmålinger er andelen av EU-tilhengere i populasjonen ukjent, og vi setter den til p og skriver x P(x) 0 1 p 1 p Da er p en parameter siden den beskriver populasjonen. Vi ønsker nå å bruke meningsmålingen (dvs. utvalget) til å anslå verdien på p. (Vi kommer tilbake til dette i kap. 9)
10 Eksempel: Maskinutleie Maskinutleiefirma disponerer 4 mobile heisekraner Tilfeldig variabel er x = antall utleide kraner en tilfeldig dag. Sannsynlighetsfordeling: x 0 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.20 0.4 0.25 0.05 Sannsynlighetene kan f.eks. være basert på lang erfaring.
11 Grafisk representasjon av sannsynlighetsfordeling Husk: sannsynlighet er areal og derfor skal summen av arealene av sã ylene bli 1.
12 Forventning og varians til en diskret tilfeldig variabel (5.3) Forventningen til en diskret tilfelding variabel x er eller mu = sum av hver x multiplisert med sannsynligheten P(x) µ = Σ[x P(x)] Dette er parameteren (for populasjonen) som svarer til gjennomsnittet i et utvalg: x = Σx n
13 Eksempel: Terningkast P(x) = 1 6 for x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 µ = [xp(x)] = 1 1 6 + 2 1 6 + 3 1 6 + 4 1 6 + 5 1 6 + 6 1 6 = 3.5
14 Eksempel: Maskinutleie x 0 1 2 3 4 P(x) 0.10 0.20 0.4 0.25 0.05 Forventet antall utleide heisekraner: µ = [xp(x)] = 0 0.10+1 0.20+2 0.40+3 0.25+4 0.05 = 1.95
15 Grafisk representasjon av forventning
16 Oppgave x 0 1 2 P(x) 0.64 0.32 0.04 1. Sjekk at P(x) er en sannsynlighetsfordeling. 2. Finn forventningsverdien µ.
17 Varians til en diskret tilfeldig variabel Variansen til en diskret tilfeldig variabel er gitt ved: sigma i annen, som beregnes ved å multiplisere de kvadratiske avvikene fra gjennomsnittet, (x µ) 2, med de tilsvarende sannsynligheter P(x) og så summere dette, dvs. σ 2 = [(x µ) 2 P(x)] Formel: Husk utvalgsvarians σ 2 = [x 2 P(x)] µ 2 s 2 = (x x) 2 n 1 = x 2 ( x) 2 /n n 1
18 Standardavvik til en tilfeldig variabel Dette er definert som kvadratroten til variansen, dvs. standardavvik: σ = σ 2
Eksempel: Terningkast, µ = 21 6 [x 2 P(x)] = 1 2 1 6 + 22 1 6 + 32 1 6 +4 2 1 6 + 52 1 6 + 62 1 6 = 91 6 σ 2 = Σx 2 P(x) µ 2 = 91 ( ) 21 2 6 6 = 2.917 σ = σ 2 = 1.71
20 Mynteksempel En student kaster en mynt tre ganger. La antall kron som inntreffer i de tre kastene være den tilfeldig variablen x. Finn forventningsverdi, varians og standardavvik til x. Da må vi først skrive ned sannsynlighetsfordelingen til x, ved å telle opp ulike utfall i utfallsrommet. Hint: sannsynlighetstre!
21 Mynteksempel Det er åtte mulige utfall (K=kron, M=mynt): { KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK, MMM} Ett utfall gir x = 0, tre gir x = 1, tre gir x = 2 og ett gir x = 3. x 0 1 2 3 1 3 3 1 P(x) 8 8 8 8
22 Mynteksempel
23 Mynteksempel µ = [xp(x)] = 1.5 σ 2 = [x 2 P(x)] { [xp(x)]} 2 = 3.0 (1.5) 2 = 3.0 2.25 = 0.75 σ = 0.75 = 0.87 Dette betyr at 0.87 er standardavviket i den teoretisk fordelingen til den tilfeldige variablen antall kron i tre kast med en mynt. Vi vil forvente at hvis vi kaster en mynt tre ganger, og gjentar ekspermentet mange ganger så vil standardavviket (som vi regner ut fra dette utvalget) være omtrent 0.87.
24 Oppgave: Gitt P(x) = x 10 for x = 1, 2, 3, 4, finn forventning og varians.
5.3 Binomisk sannsynlighetsfordeling
26 Lekseprøve! I et fag på ungdomsskolen trekker læreren plutselig opp et ark og forteller at det skal være lekseprøve. Det er fire spørsmål og det er angitt tre svaraltenativer for hvert spørsmål. Du har ikke lest på leksa, og bestemmer deg for å krysse av helt tilfeldig. Svararket ser slik ut: Sett en ring rundt det beste svaret p\aa\ hvert sp\o rsm\aa 1. a b c 2. a b c 3. a b c 4. a b c
27 Spørsmål 1. Hvor mange riktige svar har du mest sannsynlig? 2. Hvor sannsynlig er det at mer enn halvparten av svarene dine er riktige? 3. Hva er sannsynligheten for at alle fire svar er korrekte? 4. Hvor sannsynlig er det at du har fire gale svar? 5. Hvis alle i klassen svarte helt tilfeldig på spørsmålene, hva er da det gjennomsnittlige antallet riktige svar?
28 Vi gjør følgende La den tilfeldige variabelen x være antall korrekte svar på de fire spørsmålene. For hvert spørsmål lar vi C betegne rett svar ( correct ) og W betegne galt svar ( wrong ). Sett opp et sannsynlighetstre for de fire spørsmålene i rekkefølge 1,2,3,4. Hint: det er 16 mulige utfall, slik at treet ditt skal ha 16 greiner.
30 Vi setter sannsynligheter inn i treet For hvert spørsmål er det bare ett riktig svar blant de tre mulige svarene, slik at sannsynligheten for å velge det korrekte svaret er 1/3. Sannsynligheten for å velge galt svar er da 2/3. Sannsynligheten for en gren finner vi ved å gange (multiplisere) sammen sannsynlighetene i treet som leder frem til grenen. Sannsynligheten for hver verdi av x finner vi ved å regne ut sannsynligheten for hver gren i treet og så summere sannsynlighetene til de grenene som har samme x verdi.
For hvert spørsmål er P(C) = 1/3, P(W) = 2/3 Vi ser at sannsynlighetsfunksjonen P(x) blir: P(0) = P(0 rette) = 2 3 2 3 2 3 2 3 = ( ) 2 4 = 16 3 ( 1 P(1) = P(1 rett) = (4) 1 3 2 3 2 3 2 3 = (4) P(2) = P(2 rette) = (6) 1 3 1 3 2 3 2 3 = (6) P(3) = P(3 rette) = (4) 1 3 1 3 1 3 2 3 = (4) P(4) = P(4 rette) = 1 3 1 3 1 3 1 3 = ( 1 3 81 = 0.198 ) 1 ( ) 2 3 = 0.395 3 3 ( ) 1 2 ( ) 2 2 = 0.296 3 3 ( ) 1 3 ( ) 2 1 = 0.099 3 3 ) 4 = 1 81 = 0.012
33 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Da er P(x) = c(p x )(q n x ) for x = 0, 1, 2,..., n der c er antallet grener med x suksesser. c kalles binomisk koeffisient og kan regnes ut ved ( ) n n! c = = x x!(n x)! der n! leses n-fakultet og er gitt ved n! = 1 2 n. Tips: p 0 er alltid lik 1; også 0! = 1.
34 Hands-on P(x) = ( ) n (p x )(q n x ) for x = 0, 1, 2,...,n x Anta at vi har den situasjon som fører til en binomisk fordeling. Vi har n = 5 forsøk med p = 0.25 som suksess-sannsynlighet. x er antallet suksesser på n = 5 forsøk. Finn P(x), x=0,1,2 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling. (Du må gjerne finne for x=3,4,5 også.) Finn P(x 2). Vi kan regne på kalkulatoren eller slå opp i Appendix B, tabell 2.
35 Forstå P(x) P(x) = ( ) n (p x )(q n x ) for x = 0, 1, 2,...,n x Vi ser at sannsynlighetsfunksjonen er produktet av tre faktorer: På hvor mange måter kan akkurat x suksesser inntreffe i løpet av n forsøk: ( n x). Sannsynligheten for akkurat x suksesser: p x. Sannsynligheten for akkurat n x fiaskoer: q (n x), der q = 1 p.
36 Når bruker vi binomisk sannsynlighetsfunksjon? Svar: når vi har et binomisk eksperiment. Binomisk eksperiment: Et eksperiment som består i gjentatte forsøk med følgende egenskaper: 1. Det er n identiske uavhengige forsøk. 2. Hvert forsøk har to mulige utfall, ofte kalt suksess og fiasko. 3. P(suksess)=p, P(fiasko)=q, p + q = 1. 4. Den binomiske tilfeldige variabelen x er antallet suksessfulle utfall som inntreffer, og x kan anta enhver heltallsverdi fra 0 til n.
37 Hvilke er binomiske eksperimenter? Du triller en terning 12 ganger. La suksess være at terningen viser 1. Fiasko er dermed at terningen ikke viser 1. La x være antallet suksesser. Vi tipper en rekke Lotto (velger 7 av 34 tall). La x være antallet rette vi får. Jeg står slalom og teller antall ganger, x, jeg faller. Jeg øver meg på å stupe og forsøker 10 stup. Jeg teller antall ganger som jeg ikke ender opp med mageplask og lar det være x.
38 Quiz-eksemplet: Svar på spørsmålene x er binomisk fordelt med n = 4 og p = 1/3. 1. Hvor mange riktige svar har du mest sannsynlig? Det mest sannsynlige antall riktige svar er ett, siden det har en sannsynlighet på 0.395. 2. Hvor sannsynlig er det at mer enn halvparten av svarene dine er riktige? Halvparten er 4/2 = 2, og mer enn halvparten er x = 3 eller x = 4. 0.099+0.012 = 0.111. Hvis det kreves mer enn halvparten korrekt for å klare testen så gjør man det 11% av tiden.
39 Svar på spørsmålene 3. Hva er sannsynligheten for at alle fire svar er korrekte? x = 4 hvis alle svar er korrekte og P(4) = 0.012. Inntreffer 1% av tiden. 4. Hvor sannsynlig er det at du har fire gale svar? x = 0 hvis aller gale og P(0) = 0.198. Inntreffer nesten 20% av tiden.
40 Forventning og standardavvik for binomisk fordeling Forventning for binomisk fordeling med n forsøk, suksesssannsynlighet p og fiaskosannsynlighet q: µ = np Standardavvik for binomisk fordeling: σ = npq Oppgave: Finn forventning og varians for en binomisk tilfeldig variabel med n=4 og p=1/3. Hvor komme disse tallene fra?
41 Grafisk fordeling Binomisk fordeling med n = 20 og p = 0.2.
42 Grafisk fordeling med µ og σ Binomisk fordeling med n = 20 og p = 0.2.
43 Eksempel 5.9: Dårlige egg Bestyreren på Steve s Food Market garanterer at alle hans kartonger med 12 egg inneholder høyst ett dårlig egg. Hvis en kartong inneholder mer enn ett dårlig egg, vil han erstatte hele dusinet (dvs. alle 12 eggene) og la kunden beholde de gode eggene! Hvis sannsynligheten for et dårlig egg er 0.05, hva er sannsynligheten for at bestyreren må erstatte en gitt kartong?
44 Løsning på dårlige egg La x være antall dårlige egg i en tilfeldig eske. Hvilke forutsetninger må vi gjøre for at vi skal kunne anta at x har en binomisk fordeling med n = 12 forsøk og sannsynlighet for suksess lik 0.05? Sannsynligheten for at en kartong inneholder x dårlige egg er da ( ) 12 P(x) = (0.05) x (0.95) 12 x for x = 0, 1, 2,...,12 x
Bestyreren vil erstatte en eske hvis x er enten 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. For å finne sannsynligheten for dette er det lettere å først finne sannsynligheten for å ikke erstatter kartongen, dvs. for at x = 0 eller 1. Dette har sannsynlighet P(0)+P(1) = ( ) 12 (0.05) 0 (0.95) 12 + 0 ( ) 12 (0.05) 1 (0.95) 11 1 = (0.95) 12 + 12 (0.05) 1 (0.95) 11 = 0.540+0.341 = 0.881 Sannsynligheten for å erstatte en kartong er da 1 0.881 = 0.119.
46 Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B La x være antall dårlige egg i en tilfeldig eske. x har en binomisk fordeling med n = 12 forsøk og sannsynlighet for suksess lik 0.05. Sannsynligheten for at en kartong inneholder x dårlige egg er da gitt i Tabell 2 i Appendix B Leser ut av tabell: Sannsynligheten for å få en kartong med høyst ett dårlig egg er P(0)+P(1) = 0.540+ 0.341 = 0.881
47 Tabell 2 i Appendix B Leser av at med n = 12, p = 0.05 er P(0) = 0.540, P(1) = 0.341
48 Hands-on: Eksamen desember 2010 Et mobiltelefonselskap tilbyr et abonnement som er tilpasset kunder som ringer relativt lite, og som er spesielt gunstig dersom total ringetid i løpet av en måned er under 275 minutter. En kunde som har abonnementet nevnt ovenfor, regner med at hans sannsynlighet for å overskride en ringetid på 275 minutter i løpet av en måned er 0.25 og at ringetidene i ulike måneder er uavhengige av hverandre. Hva er da sannsynligheten for å overskride en ringetid på 275 minutter i to eller flere måneder i løpet av ett år? A) 0.90 B) 0.12 C) 0.84 D) 0.87 E) 0.50
49 Hands-on: Eksamen desember 2009 En håndballspiller tar 4 straffkast i løpet av en kamp. Det antas at spilleren har en sannsynlighet p = 0.8 for å få mål på hvert straffekast og at straffekastene resulterer i mål eller ikke mål uavhengig av hverandre. Hva er sannsynligheten for at spilleren får mål på minst 3 av de 4 kastene? A) 0.82 B) 0.75 C) 0.51 D) 0.92 E) 0.24
50 Hands-on: Regnvær Det er 50% sannsynlighet at det vil regne på lørdag. Det er 50% sannsynlighet at det vil regne på sødag. Hvor stor sannsynlighet er det for at det regner minst en av dagene? Hvilke antagelser må du gjøre? Hva har dette med binomisk fordeling å gjøre? Hva er x og hva betyr minst en av dagene?