ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallene av et stokastisk forsøk Utfallsrom: samling av alle mulige utfall Eks.: et terningkast; utfallsrommet kan bestå av de seks enkeltutfallene 1, 2, 3, 4, 5, og 6 (Andre utfallsrom er mulige) 2 1
Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall Utfallsrom: Ω = { u, u,...} 1 2 Sannsynligheten for utfallet, u: u), der 0 u) 1 og u ) + u ) + L = 1 1 2 Dvs.: Sannsynligheten for utfallet, u, defineres til et tall mellom 0 og 1. 3 Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall Hvert utfall har en sannsynlighet, kjent eller ukjent Summen av alle sannsynligheter i utfallsrommet er lik 1 Tilordningen av sannsynlighet baseres på bl.a. erfaring og egenskaper ved det stokastiske forsøket God/realistisk tilordning: overensstemmelse mellom relativfrekvenser og sannsynligheter 4 2
Grunnbegrep, sannsynligheter og relativfrekvenser n gjentakelser av et stokastisk forsøk (f.eks. n kast med en terning) La n u være antall ganger utfallet u forkommer blant de n forøkene (f.eks. antall seksere blant alle kastene) Relativfrekvensen til u, er forholdet mellom n u og n: n u n EXCEL-simulering 5 Grunnbegrep, sannsynlighetsmodell Utfallsrommet med sannsynligheter tilordnet alle enkeltutfall, kalles en sannsynlighetsmodell 6 3
Grunnbegrep, uniform modell Utfallsrommet med sannsynligheter tilordnet alle enkeltutfall, kalles en sannsynlighetsmodell Uniform sannsynlighetsmodell: For et stokastisk forsøk med k (endelig) antall utfall, der alle utfall har like stor mulighet for å inntreffe, defineres sannsynligheten til å være den samme for alle utfallene, 1/k. Denne modellen kalles en uniform sannsynlighetsmodell. Eks. 1: kast med pengestykke; {mynt, kron} Eks. 2: kast med terning; {1, 2, 3, 4, 5, 6} 7 Grunnbegrep, uniform modell Eks. 3: trekke en rekke i LOTTO (7 av tallene 1, 2,..., 34); k = 5 379 616 Uniform modell? (JA!) Sannsynligheten for en bestemt rekke: en bestemt rekke trekkes) = 1/ 5 379 616 = 0.0000002 8 4
Grunnbegrep, uniform modell Eks. 4: kast med to terninger; betrakter summen av resultatene med de to terningene: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, (k=11) sum = 7) = 1/11 (v/uniform sannsynlighetsmodell) 9 Grunnbegrep, uniform modell Eks. 4: kast med to terninger; betrakter summen av resultatene med de to terningene: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, (k=11) sum = 7) = 1/11 (v/uniform sannsynlighetsmodell) Er dette rimelig?? F.eks. vil da ha at: sum=12) = sum=7)! 10 5
Grunnbegrep, uniform modell Uniform modell 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 Grunnbegrep, uniform modell Virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 6
Grunnbegrep, uniform modell Blå: uniform; rød: virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 Grunnbegrep, uniform modell Nytt forslag til utfallsrom: { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1),... (2,6),... (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }; k=36 (f.eks. betyr (3,5): rød terning=3 og blå terning=5) Her er alle utfall like mulige!! (=> uniform modell) 14 7
Grunnbegrep, begivenheter En begivenhet er en samling av utfall. eks.: minst fem : {5, 6} partall : {2, 4, 6} Generelt : { u, u, K} Utfallsrom : Ω = 1 2 Begivenhet : A ( A Ω) Sannsynligheten for A: A) 15 Grunnbegrep, begivenheter Sannsynligheten for begivenheten er summen av sannsynlighetene til enkeltutfallene: Terningkast, A Sannsynligheten for A) = {5,6}) 1 1 2 = + = = 6 6 6 = "minst fem" = 1 3 A: {5}) + {6}) 16 8
Grunnbegrep, begivenheter Sannsynligheten for begivenheten er summen av sannsynlighetene til enkeltutfallene; Generelle formuleringer og implikasjoner: Sannsynligheten for A: A) A) = u) u A 0 A) 1 Ω) = 1 (husk at Ω er en begivenhet; den MÅinntreffe!) 17 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter (kp. 2.2, 2.3) Vi har ofte behov for å utrykke og finne sannsynligheten for sammensatte begivenheter; A eller B, A eller B eller C, B og C, osv. Snitt, union og komplement fra mengdelæren brukes. 18 9
Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter (kp. 2.2, 2.3) Referanseeks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } A: kron minst to ganger, B: mynt i første Da: A={u 1, u 2, u 3, u 4 } og B={u 4, u 6, u 7, u 8 } 19 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter; Venndiagram A={u 1, u 2, u 3, u 4 } og B={u 4, u 6, u 7, u 8 } Venndiagram: A u 4 B u 5 Veldig nyttig hjelpemiddel i en del situasjoner. 20 10
Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter Operasjon: Unionen mellom A og B Skrivemåte: A B Inntreffer A eller B (eller begge) inntreffer A u 4 B u 5 21 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter Operasjon: Skrivemåte: Inntreffer Snittet mellom A og B AB, A B A og B inntreffer A u 4 B u 5 22 11
Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter Operasjon: Skrivemåte: Inntreffer Koplementet til A A C, A A ikke inntreffer A A C 23 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter To begivenheter sies å være disjunkte hvis og bare hvis begivenhetene ikke kan inntreffe samtidig. Disjunkte mengder har ingen felles element. C D C D = φ 24 12
Regneregler med sannsynlighet 1. Komplementsetningen: A) = 1 A) ( Ω) = 1) A A C 25 Regneregler med sannsynlighet 2. Addisjonssetningen (generell): A B) = A) + B) A B) A B 26 13
Regneregler med sannsynlighet Er addisjonssetningen gyldig for to disjunkte begivenheter? C D) = C) + D) C D) C D 27 Sannsynlighetsregning, eksempel A) = 1 A) A B) = A) + B) A B) Tokomponentsystem, parallellkoplet A System ok når minst en av B komponentene er ok. Anta at : A ok) = 0.9 = B ok) og begge ok) = a) Hva er sannsynligheten for at systemet er ok? 0.85 b) Hva er sannsynligheten for at ingen av komponentene er ok? 28 14
Sannsynlighetsregning, oppsummering av regneregler Sannsynligheten for A: A) = u), u A A) 0 A) 1, Ω) = 1 Komplementsetningen : A) = 1 A) Addisjonssetningen : A B) = A) + B) A B) Disjunkte begivenheter : C D = φ, ("den tomme mengden"; C og D har ingen felles element / utfall) 29 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2.4 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori); opptellingsregler 30 15
Opptellingsregler (kp. 2.4) Ved bruk av uniform modell: P ( A) = g k der g=antall utfall i begivenheten A, og k er antall utfall i utfallsrommet., Noen ganger enkelt: Trekk et tilfeldig kort fra en kortstokk; konge) = 4 52, 31 Opptellingsregler (kp. 2.4) Fort mer komplisert: Trekk to tilfeldige kort fra en kortstokk; g begge er konger) = =? k Vi trenger verktøy for å håndtere slike og (mange) lignende problemer! 32 16
Opptellingsregler, situasjon Situasjon; Med eller uten tilbakelegging? Ordnet eller uordnet utvalg? (ordnet: vi tar hensyn til rekkefølgen objektene blir trukket ut i) Populasjon, N ulike objekt N s... fire muligheter... Utvalg, s objekt 33 Opptellingsregler, situasjon Vi fokuserer på uordnede utvalg uten tilbakelegging. Men vi bruker ordnede utvalg underveis. Populasjon, N ulike objekt N Tilb.legging? s ja ja nei Utvalg, s objekt ordnet? nei 34 17
Opptellingsregler Multiplikasjonsregelen Dersom et forsøk består av to deler slik at første del kan ha m 1 ulike resultat og slik at det til hvert resultat i første del kan være m 2 ulike resultat i andre del, så er det totale antall ulike resultat lik m 1 m 2. Eks. 1: ruter- og kløverkort Eks. 2: Utvidelse til mer enn to deler Eks. 3: Bilnummer (se bok) 35 Opptellingsregler Ordnede utvalg uten tilbakelegging Antall mulige ulike utvalg: ( N ) s = N( N 1)( N 2) L( N s + 1) 144444 244444 3 s faktorer Populasjon, N ulike objekt N s Eks.: Trekke tre av de 13 ruterkortene Utvalg, s objekt Begrunnelse for resultat: vha. multiplikasjonsregelen 36 18
Opptellingsregler Antall rekkefølger (permutasjoner) av N ulike objekt: (N) N = N(N-1)(N-2)...3*2*1 = N! N-fakultet Eks.: De 13 ruterkortene kan permuteres på 13! ulike måter. 37 Opptellingsregler Uordnede utvalg uten tilbakelegging: Eks.: Vi skal trekke tre av ruterkortene (uten tilbakelegging). Hvor mange ulike utvalg (uordnede) er mulig? Resonnement: 1. Ant. ordnede: 13*12*11 = 1716 2. Hvert av disse kan permuteres på 3!=3*2*1 måter 3. Da må vi ha: (ant. ordnede) = (ant. uordnede)*3! Dvs.: (ant. uordnede) = (ant. ordnede) / 3! 38 19
Opptellingsregler Antall uordnede utvalg uten tilbakelegging når s objekt trekkes fra N ulike objekt er : Populasjon, N ulike objekt N ( ) s! N s s Ant. ordnede: (N) s Ant. permutasjoner: s! 39 Opptellingsregler, uordnede utvalg uten tilbakelegging Skrivemåte: N ( N) = s s! s Populasjon, N ulike objekt N Vi kan se at: N = s N! s!( N s)! s N ( N) = s s! s N( N 1) L( N s + 1) ( N s)! N! = = s! ( N s)! s!( N s)! 40 20
Opptellingsregler, uordnede utvalg uten tilbakelegging Eks.: Syvmanns lag av ti spillere. Regel: N N = s N s Populasjon, N ulike objekt N s Obs.: N N = 1 ; Derfor defineres : = 1 N 0 41 Opptellingsregler, uordnede utvalg uten tilbakelegging Eks.: LOTTO. 34 kuler nummerert fra 1 til 34; Syv trekkes ut. Hvor mange muligheter finnes det? Populasjon, N ulike objekt N s 42 21
Opptellingsregler Tilfeldig utvalg Et utvalg av s objekter tatt fra N ulike sies å være et tilfeldig utvalg dersom alle N s mulige utvalg har lik sannsynlighet for å bli tatt ut. (Dette betyr at vi kan bruke uniform modell.) 43 Opptellingsregler, oppsummering Multiplikasjonsregelen : m m L m 1 2 k Antall ord. utvalg, s fra N : ( N) = N( N 1)( N 2) L ( N s + 1) s Antall permutasjoner av N : ( N) N = N( N 1)( N 2) L 3 2 1 = N! Antall utvalg, s fra N N ( N) : = s s! s 44 22
Opptellingsregler, oppsummering Tre eksempler 1. To kort trekkes fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for at begge er konger? 2. Fem kort trekkes fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for at vi får akkurat to konger og to damer? (Dvs.: det femte kortet er noe annet enn konge eller dame.) 3. Meningsmåling 45
ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Eksempel, meningsmåling (s. 1) Situasjon: N = 1000000 stemmeberettigede; vi antar at vi vet at: 400000 (40 %) er for (en bestemt sak... ), og 600000 (60 %) er mot denne saken. (Vi antar videre at det ikke er "vet-ikke-individer"i populasjonen.) s = 1000 tilfeldig utvalgte spørres. Problem: Hva er sannsynligheten for at gallupen (meningsmålingen) viser flertall for (gir som resultat at mer enn 50 % er for)? ( ) N Utfallsrom: Ω = {alle mulige utvalg} s At utvalget gjøres tilfeldig, betyr at alle utvalg er like sannsynlige, og at vi dermed kan bruke uniform sannsynlighetsmodell. P (Gallup viser flertall for) = P (Mer enn 500 av de 1000 i utvalget er for) = P (501 for i utvalget 502 for i utvalget 1000 for i utvalget) }{{}}{{}}{{} A 1 A 2 A 500 = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A 500 ) Den siste likheten finner vi ved å bruke addisjonssetningen og at A i ene er disjunkte begivenheter. P (A 1 ): ( ) 400000 Antall utvalg der 501 kommer fra de 400 000 for-individene er, og antall utvalg 501 ( ) 600000 der 499 (resten av utvalget) kommer fra de 600 000 mot-individene er. Derfor blir 499 ( ) ( ) 400000 600000 antall utvalg som er slik at A 1 inntreffer lik:. Da blir sannsynligheten 501 499 for begivenheten A 1 : P (A 1 ) = ( ) ( 400000 501 600000 499 ( ) 1000000 1000 )
ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Eksempel, meningsmåling (s. 2) På tilsvarende måte kan finne sannsynlighetene for de andre begivenhetene. For A i (der 500 + i for-stemmere er med i utvalget, i = 1, 2,...) får vi: P (A i ) = ( ) ( 400000 600000 500 + i 500 i ( ) 1000000 1000 ) Derfor får vi: P (Gallup viser flertall for) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A 499 ) + P (A 500 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 400000 600000 400000 600000 = 501 ( 1000000 1000 6.7 10 11 499 ) + 502 ( 1000000 1000 498 ) + + ( ) ( ) ( ) ( 400000 999 600000 400000 1 1000 600000 0 ( ) 1000000 + ( ) 1000000 1000 1000 ) Vi ser altså at vi i prinsippet kan løse problemet. Men sannsynlighetene P (A i ) = ( ) ( 400000 600000 500 + i 500 i ( ) 1000000 1000 er veldig tungvinte å beregne, og vi må regne ut 500 slike! Vi skal seinere lære å bruke tilnærmingsmetoder for å finne slike sannsynligheter. Med disse metodene vil det være enkelt å finne svaret. )
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 2.5 Betinget sannsynlighet 46 23
Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast; {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall gis sannsynligheten 1/6. treer ) = 1/6 B: Ikke sekser. Dersom vi får vite at B har inntruffet, hva da med treer )?? (Vi kan åpenbart ikke lenger bruke uniform modell på {1, 2, 3, 4, 5, 6}! ) 47 Betinget sannsynlighet - innledning Opplysningen om at B har inntruffet, vil kunne føre til at treer ) endres fra det opprinnelige. Den nye sannsynligheten skriver vi: treer B ) Den betingede sannsynligheten for å få treer, gitt at B har inntruffet. 48 24
Betinget sannsynlighet Def. For to begivenheter A og B definerer vi den betingede sannsynligheten for A gitt B (at B har inntruffet) ved: A B) = A B) B) (Sannsynlighetene på høyre side er vanlige, ubetingede.) 49 Betinget sannsynlighet Eks.: Hva bør treer B ) være??... Ved bruk av definisjonen: A={3}, B={1,2,3,4,5}, AB={3}; AB) = 1/6, B) = 5/6. Derfor: 50 25
Betinget sannsynlighet Eks.: Hva bør treer B ) være??... Ved bruk av definisjonen: A={3}, B={1,2,3,4,5}, AB={3}; AB) = 1/6, B) = 5/6. Derfor: 1 A B) {3}) A B) = = = 6 = B) {1,2,3,4,5}) 5 6 1 5 51 Betinget sannsynlighet Motivering for definisjon Vi er interessert i A og A). A 52 26
Betinget sannsynlighet Motivering for definisjon Vi er interessert i A og A). A Når det forutsettes at B har inntruffet (skal inntreffe), er kun utfall i snittet AB av interesse derfor AB). A AB B 53 Betinget sannsynlighet Motivering for definisjon Vi er interessert i A og A). A Når det forutsettes at B har inntruffet (skal inntreffe), er kun utfall i snittet AB av interesse derfor AB). Vi ordner det slik at B B) = 1. Derfor: A B) A B) = B) A AB B 54 27
Betinget sannsynlighet C D C D ) =? E F E F ) =? F E ) =?? 55 Betinget sannsynlighet Eks.: Anta at sannsynligheten for regn i dag og imorgen er 0.3 og at sannsynligheten for regn i dag er 0.4. Dersom det regner i dag, hva er sannsynligheten for at det regner imorgen? 56 28
Betinget sannsynlighet Eks.: Anta at sannsynligheten for regn i dag og imorgen er 0.3 og at sannsynligheten for regn i dag er 0.4. Dersom det regner i dag, hva er sannsynligheten for at det regner imorgen? Løsning: La R 1 = det regner i dag, og la R 2 = det regner imorgen. Da vet vi: R 1 ) = 0.4 og R 1 R 2 ) = 0.3 Sannsynligheten for regn imorgen når det regner i dag er: R 2 R 1 ) = R 1 R 2 ) / R 1 ) = 0.3/0.4 = 0.75 57 29