Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Målemodelle m/ormalatakelse og kjet σ 2 : måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,. X i ormalfordelt og σ 2 kjet. Test (m/ sig.ivå α) for H : μ = μ mot H 1 : μ<μ Forkast H dersom X μ z α σ 2 Test med Stadardisert teststørrelse: Forkast H dersom X μ σ 2 z α
μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; Ma er iteressert i om hardhete er lavere e 35 kg/mm 2. Tyder resultatee på at hardhete er lavere e 35? Målemodell med ormalatakelse; kjet varias, σ 2 =25 2. Forvetige, μ: virkelig hardhet Vil teste: H : μ = 35 mot H 1 : μ<35 Lag e test med sigifikasivå 2.5% (eller ev. 5%) μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Høyresidig alterativhypotese: Test (m/ sig.ivå α) for H : μ = μ mot H 1 : μ>μ Forkast H dersom X μ +z α σ 2 Test med stadardisert teststørrelse: Forkast H dersom X μ z α σ 2
μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Eksempel: 1 blodsukkerih.måliger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Gjeomsitt: 4.35; ormalatakelse med kjet varias lik.5 2 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee. Problem: Er virkelig blodsukkerihold høyere e 4.? Vi vil teste: H : μ = μ =4 mot H 1 : μ>μ =4 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Målemodell med ormalatakelse og med kjet varias (lik.5 2 ) Dersom H er riktig i virkelighete, så er dataee utfall av e ormalfordelig med forvetig 4 og varias.5 2, grø kurve: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee og ullfordelige (til X i ee) N(4,.5 2 ) tetthet. Syes det rimelig? Ka det tekes at dataee er utfall av e slik fordelig (eller er det ku rimelig dersom fordelige flyttes mer oppover/til høyre)?
μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Gjeomsitt av måligee er 4.35. Dersom H er riktig i virkelighete, så er gjeomsittet utfall av e ormalfordelig med forvetig 4 og varias.52 1,blåkurve: Var(X) = σ2 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee og ullfordelige til X i ee: N(4,.5 2 ) tetthet og til X: N(4,.25) tetthet. Dersom datagjeomsittet er stort i forhold til ullfordelige til X, har vi grulag for å forkaste H og istede tro på at H 1 : μ>μ =4er riktig i virkelighete. μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test for: H : μ = μ =4 mot H 1 : μ>μ =4 Test: Forkast H dersom X k Test på stadardisert form: Forkast H dersom 3 2 1 3 3.5 4 4.5 5 Nullfordelig til X: N(4,.25) tetthet..5.4.3 X 4.5 2 1 z α.2.1 Nullfordelig til -3-2 -1 1 2 3 X 4..5 2 : N(, 1) tetthet. 1
μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test for: H : μ = μ =4 mot H 1 : μ>μ =4 Test: Forkast H dersom X 4.5 2 1 z α.1-3 -2-1 1 2 )( 3.5.4.3.2 Nullfordelig til X 4..5 2 : N(, 1) tetthet. 1 Dersom vi vil ha test med 5% sigifkasivå: velg α =.5 (z.5 =1.645) Forkastigsområdet er itervallet (1.645, ). Forkast H dersom utfallet av X 4 er i forkastigsområdet..5 2 1 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test (m/ sig.ivå α =.5) for H 1 : μ>μ =4 Forkast H dersom X 4.5 2 1 1.645 Data: utfall av teststørrelse: 4.35 4.5 2 1 =2.21 H : μ = μ =4mot Side 2.21 er i forkastigsområdet (1.645, ) (er større e kritisk verdi = 1.645), forkastes H vi tror på H 1 : μ>4; at virkelig blodsukkerihold er høyere e 4. Lag e test med sigifikasivå.25! ( X form og stadardisert form.)
Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Målemodelle: måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =1,...,. σ 2 (og μ ) ukjet; (ige forutsetig om fordelig til X i ee eller om kjet varias) Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H : μ = μ mot H 1 : μ<μ Forkast H dersom X μ S 2 z α Estimator for variase: S 2 = σ 2 = 1 ( 1 i=1 Xi X ) 2
μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Dersom H : μ = μ er riktig i virkelighete ( uder H ), har vi tilærmet at: X μ N(, 1). S 2 Dvs.: ullfordelige til teststørrelse (tilærmet) X μ S 2 er N (, 1)..5.4.3.2.1 α -3-2 -1 1 2 3 ) ( N(, 1) tetthet. Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Eksempel: Levetid til e type mikroorgaisme er kjet å være 15 dager ormalt. Uder påvirkig av e kjemikalie er levetide til 4 orgaismer registrert; prikkdiagram over datee:, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Prikkdiagram over levetidee. Gjeomsitt: 13.68 dager Normalatakelse er urimelig (hvorfor?), og varias ukjet Problem: Er virkelig levetid lavere e 15? Vi vil teste: H : μ = μ =15 mot H 1 : μ<μ =15
μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Målemodelle: dataee er utfall av =4uif. tilfeldige variable X 1,...,X 4 μ = E(X i )=virkelig levetid (med kjemikaliepåvirkig). SGT sier at X N(μ, σ2 ), tilærmet. Estimat av variase, σ 2 : s 2 = 1 4 (x i x) 2 = 225.3 39 Uder H (levetid er virkelig 15), er gjeomsittet (13.68) utfall av tilærmet e ormalfordelig med forvetig 15 og varias 225.3 =5.63, blå 4 kurve: i=1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Bakterielevetidee og ullfordelig til X:N (15, 5.63) tetthet. μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Uder H (levetid er virkelig 15), er gjeomsittet (13.68) utfall av tilærmet e ormalfordelig med forvetig 15 og varias 225.3 =5.63, blåkurve: 4, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Bakterielevetidee og ullfordelig til X. Dersom datagjeomsittet, 13.68, er lite i forhold til ullfordelige til X, har vi grulag for å forkaste H og istede tro på at H 1 : μ<15 er riktig i virkelighete. Stadardisert teststørrelse: X 15 ; Nullfordelig N (, 1), til. S 2 4 Små utfall av teststørrelse idikerer at H 1 er riktig i virkelighete..5.4.3.2.1 α -3-2 -1 1 2 3 ) ( N(, 1) tetthet.
μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α )..2 Sig.ivå 5%: α =.5 z.5 =.1 1.645 = kritisk verdi Utfall: 13.68 15 225.3 4 =.56 > 1.645.5.4.3 α -3-2 -1 1 2 3 ) ( N(, 1) tetthet. Side utfallet av teststørrelse ikke er i forkastigsområdet (-.56 er ikke midre e -1.645), gir ikke dataee grulag for å hevde at H 1 : μ<15. (Dataee gir ikke grulag for å hevde at kjemikaliepåvirket levetid i virkelighete er midre e 15 dager.) μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H : μ = μ mot H 1 : μ>μ Forkast H dersom X μ z α S 2 Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (z α, )..5.4.3.2.1 α -3-2 -1 1 2 3 )( N(, 1) tetthet.
μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Eksempel: E type tabletter ieholder et stoff R. Iholdet pr. tablett må helst ikke overstige 3 mg. I e kotroll ble iholdet i 5 tilfeldig utvalgte tabletter registrert. Resultat (x 1,...,x 5 ): Gjeomsitt: x =3.7; empirisk stadardavvik: s = 1 5 1 5 i=1 (x i x) 2 =4. Gir dette grulag for å hevde at iholdet av R er mer e 3 mg? Formuler problemet som et hypotesetestigsproblem, og gjeomfør teste! Ev.: Bruk sigifikasivå... Oversikt 1. Geerelt om hypotesetestig 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig.
Geerelt om hypotesetestig Vi ka kokludere feil. To typer feil ka gjøres: type I-feil, ogtype II-feil Virkelighete H riktig H 1 riktig Koklusjo på test: Forkast H I-feil ok! Koklusjo på test: Behold H ok! II-feil Geerelt om hypotesetestig Def.: Sigifikasivå til test = P (forkaste H H riktig) Sigifikasivået er sasylighete at utfallet faller i forkastigsområdet ved e tilfeldighet (og at vi kokluderer med H 1 ), år i virkelghete H er riktig. ph-eks; Forkast H dersom 1 X 6. 1.645 =5.48 Forkastigsområde: (, 1 5.48) Stadardisert teststørrelse: Test: Forkast H dersom X 6. 1 1 z α = 1.645 Fork.omr.: (, 1.645) 1.2.8.4 4 5 6 7 8 Nullfordelig til X: N (6,.1).5.4.3.2.1 α -3-2 -1 1 2 3 )( Nullfordelig, N (, 1)
Geerelt om hypotesetestig Eks.: ph-måliger Det ble av oe hevdet at ma ikke skulle påstå at ph e var lavere e 6. dersom ikke gjeomsittet var lavere e 5.. Dvs. bruke teste: Forkast H dersom X 5. Eller: forkast H dersom X 6. 1 1 3.16 1.4 1.2 1.8.6.4.2 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 N (6,.1) tetthet Hva er sigifikasivået til dee teste? Geerelt om hypotesetestig Sigifikasivå til test = P (forkaste H H riktig) Dvs.: sigifikasivå til test = P (gjøre type I-feil ) Virkelighete H riktig H 1 riktig Koklusjo på test: Forkast H I-feil ok! Koklusjo på test: Behold H ok! II-feil Lavt sig.ivå: lite sasylighet for type I-feil. Type II-feil. Sasylighete for å ikke gjøre type II-feil år H 1 riktig har med testes styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boke (seiere).
Oversikt 1. Iledig 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. N (, 1)-kvatiler
p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Eksempel: Et bestemt parti hadde 2% oppslutig ved sist valg. Meigsmålig å: 91 av 5 spurte (18.2%) vil stemme på partiet. Problem: Har oppslutige gått ed? Ved sist valg: N stemmebrettigede M stemte på aktuelt parti M/N =.2 Problem: Hva er å M? Hva er å p = M/N? p, i biomisk og ormaltilærmig p = M N : adel som vil stemme partiet å N (, 1)-kvatiler (ukjet parameter) Estimat av p: 91 5 =.182 Er det grulag for å hevde at (virkelig) oppslutig har gått ed? Vi vil teste: H : p =.2 mot H 1 : p<.2
p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Vi betrakter resultatet av meigsmålige (91 av 5) som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y B(, p), = 5, p: ukjet adel. (Egetlig: Y hyperg.(m,n,), me til. Y B(, p)) Dersom H er riktig, har Y fordelige B(5,.2):.5.4.3.2.1 7 8 9 1 11 12 13 Blå søyler: B(5,.2)-sasyligheter. Dette beskriver hva som er tekelige utfall uder H p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Normaltilærmiger: Når Y B(, p) og p(1 p) 1: Y er tilærmet N (p, p(1 p)) p {}}{ Rød kurve: N ( 1, p(1 p) {}}{.5.4.3.2.1 8 ) tetthet 7 8 9 1 11 12 13 Med p = Y : p N(p, p(1 p) ), og Y p p(1 p) = p p p(1 p) N(, 1), tilærmet.
p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Teststørrelse: vi ka bruke p = Y Nullfordelig (tilærmet): N (forvetigsrett estimator for p) (.2,.2(1.2) 5 ) 25 2 15 1 5.1.15.2.25.3 Små verdier/utfall av p idikerer at H 1 : p<.2, erriktig. p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Stadardisert teststørrelse: Små verdier/utfall av p, svarer til små verdier/utfall av teststørrelse p.2..2(1.2) 5 Nullfordelig: N (, 1). 25 2 15 1 5.1.15.2.25.3.5.4.3.2.1 α -3-2 -1 1 2 3 ) ( N(, 1) tetthet. Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ).
p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Gjeomførig/koklusjo: Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Sig.ivå 5%: α =.5 z.5 = 1.645 =.1 α kritisk verdi -3-2 -1 1 2 3 ) (.5.4.3.2 N(, 1) tetthet. Utfall av: p.2.2(1.2) 5 :.182.2.2(1.2) 5 = 1.1 >k= 1.645 Side utfallet av teststørrelse ikke er i forkastigsområdet (-1.1 er ikke midre e -1.645), gir ikke dataee grulag for å hevde at H 1 : p<.2. (Dataee gir ikke grulag for å hevde at partiets oppslutig har gått ed.) p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Geerelt Situasjo: Biomisk modell (ev. som tilærmig til hypergeom.) Data: atall suksesser av mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av de tilfeldige variable Y der Y B(, p) og p er slik at fordelige til Y ka tilærmes med ormalfordelige. La p = Y (estimator for p).
p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Vi vil teste: H : p = p mot H 1 : p<p Teststørrelse: p p p (1 p ) Nullfordelig (tilærmet): N (, 1) Små verdier idikerer at H 1 er riktig..5.4.3.2.1 α -3-2 -1 1 2 3 )( Nullfordelig, N (, 1) Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H dersom p p p (1 p ) z α p, i biomisk og ormaltilærmig N (, 1)-kvatiler Vi vil teste: H : p = p mot H 1 : p>p Teststørrelse: p p p (1 p ) Nullfordelig (tilærmet): N (, 1) Store verdier idikerer at H 1 er riktig..5.4.3.2.1 α -3-2 -1 1 2 3 )( Nullfordelig, N (, 1) Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H dersom p p z α p (1 p )
N (, 1)-kvatiler N (, 1)-kvatiler - kvatile i N(,1) - fordelige skriver vi : som for har seg i z og er det tallet sasylighet til N(,1) - fordelige. høyre N(,1),5,4,3,2,1, -4, -3, -2, -1,, 1, 2, 3, 4, z 27 α.1.5.25.1 z α 1.282 1.645 1.96 2.326 p, i biomisk og ormaltilærmig, eksempel N (, 1)-kvatiler Produksjo av tallerkeer; kvalitetsovervåkig Stikkprøve på 2 tilfeldig valgte tallerkeer tas regelmessig av produksjoe og atall defekte registreres. Normalt: 5% defekte i det lage løp Basert på resultatet av e stikkprøve, vil vi teste: H : p =.5 mot H 1 : p>.5 Lag e test med tilærmet sigifikasivå 5%, og lag e test med tilærmet sigifikasivå 1%. Hva er tilærmet sigifikasivået til teste: Forkast H dersom det er mist 2 defekte i stikkprøve?