Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015

Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start - Første fire dager om matriser, siste tre om differensiallikninger. - Øvinger på slutten av hver dag.

I dag - Definisjon av matrise. - Regneoperasjoner på matriser. - Introdusere noen spesielle typer matriser. - Lineære likningssystemer på matriseform. - Gausseliminasjon

Matriser En matrise er en rektangulært ordnet mengde med tall (senere: funksjoner) i rader og kolonner. Vi referer til et tall i matrisen som et element. 0.3 5 5 10 15 a11 a 12 a 13 0.7 0.3 3 2 1 a 21 a 22 a 23 [ ] 5 3 3 10 5 10 15 20 Den første matrisen er kvadratisk siden den har like mange rader som kolonner. Vektorer er matriser som har enten én rad eller én kolonne. De to nederste er vektorer.

Genekspresjonsdata

Nettverksdata

Notasjon La A være en matrise. Vi sier at A er en m n-matrise hvis A har m rader og n kolonner og referer til m n som størrelsen til A. Vi beskriver elementet på rad j og kolonne k i A som A jk. Dette kan også uttrykkes som A [A jk ]. Følgende er en 3x2-matrise A [A jk ] A 11 A 12 A 21 A 22 A 31 A 32 3 2 5 6 1 0 Vi ser at A 11 3, A 12 2, A 21 5, A 22 6, A 31 1 og A 32 0.

Likhet av Matriser To matriser A [A jk ] og B [B jk ] er like hvis de er av samme størrelse (like mange rader og kolonner) og de er elementvise like: A 11 B 11, A 12 B 12,.... A 5 3 2 1 B 10 6 4 2 C 5 3 2 1 D 5 3 2 1 0 0 Her er A C og de andre parvis ulike.

Sum av Matriser La A [A jk ] og B [B jk ] være to m n-matriser. NB: samme størrelse! Summen av A og B er m n-matrisen A + B [A jk + B jk ]. A 5 3 2 1 B [ 5 ] 3 2 1 C [ 4 ] 3 2 0 A + B 0 0 0 0 A + C 1 0 0 1 B + C [ 9 ] 6 4 1

Skalar Multiplikasjon La c være et reelt tall og A [A jk ] en m n-matrise. Produktet av c med A er m n-matrisen ca [ca jk ]. La c 1 10, c 2 5, c 3 1 og c 4 0, og 5 3 A 2 1 c 1 A [ 50 ] 30 20 10 c 2 A [ 25 ] 15 10 5 c 3 A [ 5 ] 3 2 1 c 4 A 0 0 0 0 Når c 1 skriver vi ca som A. Vi kan også trekke fra matriser: A B A + ( B).

Noen Regneregler La 0 m n være m [ n-matrisen ] med alle elementer lik 0. For 0 eksempel: 0 2 1, 0 0 1 4 0 0 0 0. For m n-matriser A og B og et reelle tall c og d gjelder følgende: - A + B B + A - (A + B) + C A + (B + C) - A + 0 m n A - A + ( A) 0 m N - c(a + B) ca + cb - (c + d)a ca + da - c(da) (cd)a - 1A A. Alt dette følger lett siden vi arbeider komponentvis.

Matrisemultiplikasjon Dette defineres ikke komponentvis. La A [A jk ] være en m n-matrise og B [B jk ] en n p-matrise. Da er produktet av AB m p-matrisen C [C jk ] der C jk n A ji B ik A j1 B 1k +... + A jn B nk. i 1 A11 A 12 B11 B 12 B 13 A11 B 11 + A 12 B 22 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 11 B 13 + A 12 B 23 A 21 A 22 B 21 B 22 B 23 A 21 B 11 + A 22 B 22 A 21 B 12 + A 22 B 22 A 21 B 13 + A 22 B 23 Merk!!: antall kolonner i A må være lik antall rader i B.

Matrisemultiplikasjoner 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 [ 1 2 3 1 1 4 5 6] 1 6 15 3 5 1 2 2 3 1 4 0 2 5 0 7 8 6 3 2 9 4 1 1 22 2 43 42 26 16 14 6 9 4 37 28

NBNB! Generelt sett er det ikke sant at AB BA. 1 1 0 1 1 1 A B AB 1 0 1 0 0 1 BA 1 0 1 1 For m n-matrise A, n p-matrise B og reelt tall k så gjelder kab: (ka)b k(ab) A(kB) ABC: A(BC) (AB)C - (A + B)C AC + BC - C(A + B) CA + CB

Identitetsmatrisen Identitetsmatrisen I n er den (kvadratiske) n n-matrisen med 1 på diagonalen og 0 ellers. I 1 1 I 2 1 0 0 1 I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Hvis A er en m n-matrise og B er en n p matrise så er AI A og IB B. [ 2 3 5 1 0 0 0 1 0 1 2 1] 0 0 1 2 3 5. 1 2 1

Transposisjon Hvis A [A jk ] er en m n-matrise så er den transponerte av A n m-matrisen A T [A kj ]. A A11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A T A 11 A 21 A 12 A 22 A 13 A 23 A 1 1 2 3 3 5.5 A T 1 3 1 3 2 5.5

Noen regneregler - (A T ) T A - (A + B) T A T + B T - (ca) T ca T - (AB) T B T A T. A 1 1 1 0 B 0 1 1 0 AB 1 1 0 1 (AB) T 1 0 1 1 A T 1 1 1 0 B T 0 1 1 0 B T A T 1 0 1 1

(Skjev-)Symmetriske Matriser En n n-matrise A er 1. symmetrisk hvis A A T, 2. skjev-symmetrisk hvis A A T. A 1 2 2 1 A T 1 2 2 1 A 0 2 2 0 A T 0 2 A 2 0

Triangulære og Diagonale Matriser En n n-matrise A er øvre triangulær hvis alle elementene under diagonalen er lik 0: [ 1 3 1 4 2 0 3 2 0 2] 0 0 6 En n n-matrise A er nedre triangulær hvis alle elementene over diagonalen er lik 0: 2 0 0 8 1 0 7 6 8 3 0 0 0 9 3 0 0 1 0 2 0 1 9 3 6 En n n-matrise A er diagonal hvis den er 0 overalt unntatt diagonalen. Eksempel: I n.

Lineære Likningssystemer Et lineært likningssystem i m likninger og n ukjente x 1,..., x n er en samling likninger A 11 x 1 +... + A 1n x n b 1 A 21 x 1 +... + A 2n x n b 2.. A m1 x 1 +... + A mn x n b m En løsning er tall x 1,..., x n slik at alle likningene over er tilfredstilt. Systemet er homogent hvis b 1 b 2 b m 0.

Lineære Likningssystemer Vi kan danne oss en koeffisientmatrise A og en vektor b fra likningssystemet. Den augmenterte matrisen til likningsystemet er m (n + 1)-matrisen Ã. A 11 A 1n A A 21 A 2n... A m1 A mn b 1 b b 2. b m A 11 A 1n b 1 A Ã 21 A 2n b 2.... A m1 A mn b m Merk at en løsning er en x x 1 x 2 x n slik at Ax b

Lineære Likningssystemer 2x 2 + x 3 8 x 1 2x 2 3x 3 0 x 1 + x 2 + 2x 3 3 A 0 2 1 1 2 3 1 1 2 b 8 0 3 A x 1 x 2 x 3 b 2x 2 + x 3 x 1 2x 2 3x 3 x 1 + x 2 + 2x 3 8 0 3

Echelonform En matrise er på echelonform hvis - Alle rader med kun 0 er på bunn av matrisen. - Første element ulikt 0 på rad k er strengt til høyre for første element ulikt 0 på rad k 1. [ 1 0 1 0 2 0 1 1 0 0] 0 0 10 1 2 3 0 0 1 0 0 0 1 2 3 4 5 0 0 7 8 9 0 0 0 10 11 0 0 0 0 0

Likningssystemer på echelonform Hvis den augmenterte matrisen er på echelonform kan vi enkelt løse likningssystemet ved tilbakesubstitusjon. 5 3 2 Ã 5x 0 2 1 1 + 3x 2 2 og 2x 2 1 x 2 1/2 og 5x 1 2 3x 2 2 3/2 1/2. Så, x 1 1/10 og x 2 1/2. Vi skal løse likninger ved å redusere den augmenterte matrisen til echelonform.

Gausseliminasjon Ved Gausseliminasjon kan man gjøre følgende: - Bytte om på to rader. - Addere et multiplum av en rad til en annen. - Multiplisere en rad med en konstant ulik 0. Hvis à kan oppnås fra B ved hjelp av Gausseliminasjon så har de to likningssystemene de samme løsningene. Vi sier at à er radekvivalent til B.

Gausseliminasjon: eksempel 1 2x 2 + x 3 8 x 1 2x 2 3x 3 0 x 1 + x 2 + 2x 3 3 0 2 1 8 Ã 1 0 0 4 1 2 3 0 0 1 0 5 1 1 2 3 0 0 1 2 Dette gir likningene x 3 2, x 2 5 og x 1 4.

Gausseliminasjon: eksempel 2 x 1 x 2 + 2x 3 3 4x 1 + 4x 2 2x 3 1 2x 1 + 2x 2 4x 3 6 1 1 2 3 Ã 1 1 2 3 4 4 2 1 0 8 10 13 2 2 4 6 0 0 0 0 x 1 x 2 + 2x 3 3 8x 2 10x 3 13 Siste likning gir x 2 13/8 + 10/8x 3 13/8 + 5/4x 3. Setter vi dette inn i første likning får vi x 1 (13/8 + 5/4x 3 ) + 2x 3 3. Eller, x 1 3/4x 3 11/8. Det er uendelig mange løsninger! 3/4t 11/8 x 5/4t + 13/8, t et reelt tall t

Gausseliminasjon: eksempel 3 x 1 2x 2 6x 3 12 2x 1 + 4x 2 + 12x 3 17 x 1 4x 2 12x 3 22 Ã 1 2 6 12 2 4 12 17 1 4 12 22 1 2 6 12 0 2 6 10 0 0 0 1 Siste likning gir at 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 1. Umulig!! Dermed INGEN løsninger.