Konsumentteori Kjell Arne Brekke Mars 2017 1 Budsjettbetingelser Vi skal betrakter en konsument som kan bruke inntekten m på to varer. Konsumenten kjøper et kvantum x 1 av vare 1 til en pris p 1 per enhet, som gir en total kostnad på p 1 x 1, og med tilvarende notasjon for vare 2 blir utgiften her x 2. Vi skal se på en situasjon der konsumenten bare kan velge mellom disse to varene. Med inntektene gitt må han da velge slik at p 1 x 1 + x 2 m Dette kaller vi budsjettbetingelsen. I de tilfellene vi skal se på vil det alltid lønne seg å bruke hele inntekten, det blir da Dette kaller vi budsjettlinja. p 1 x 1 + x 2 = m 1.1 Preferanser og nyttefunksjon Den neste ingrediensen i teorien er preferanser, som vi her skal gi ved hjelp av en nyttefunksjon. Konsumenten skal alså velge et kvantum av x 1 og x 2. Vektoren (x 1, x 2 ) kaller vi en "varekurv". Om en varekurv (x 1, x 2) er bedre enn en annen (x 1, x 2) skriver vi det som (x 1, x 2) (x 1, x 2) En nyttefunksjon er en funksjon som representerer preferansene, det vil si en funksjon U med den egenskapen atvi vil anta at en slik "numerisk representasjon" av preferansene alltid gjelder. Merk at dersom φ( ) er en strengt voksende funksjon, så vil funksjonen ha den egenskapen at V (x 1, x 2 ) = φ (U(x 1, x 2 )) V (x 1, x 2) > V (x 1, x 2) hvis og bare hvis U(x 1, x 2) > U(x 1, x 2) 1
med andre ord vil V også være en nyttefunksjon som representerer akkurat de samme preferansene. Vi kaller V for en voksende monoton transformasjon av U og noterer at vi kan foreta slike voksende monotone transformasjoner uten at det endrer preferansene. Et eksempel er U(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 og V (x 1, x 2 ) = ln x 1 + ln x 2. Disse to funksjonene representerer de samme preferansene da V er en monoton transformasjon av U: V (x 1, x 2 ) = ln U(x 1, x 2 ) = ln (x 1 x 2 ) = ln x 1 + ln x 2. Legg også merke til at om vi nå ser på tre forskjellige varekurver A,B og C, så gir de to funksjonene samme rangering: A U( 1 4, 1 4 ) = 1 16 V ( 1 2, 1 2 ) = 4 ln 2 B U(1, 1) = 1 V (1, 1) = 0 C U(2, 2) = 4 V (2, 2) = 2 ln 2 Om vi ser på U er det størst nytteforskjell mellom B og C (4 versus 3) mens om vi ser på V så er det større forskjell mellom A og B enn mellom B og C. Siden begge nyttefuksjonene representerer de samme preferansene, kan vi ikke si om en av dem representere preferansene bedre enn den andre. Det gir derfor ingen mening å snakke om hvor stor nytteforskjellen er eller at det er større forskjell mellom A og B enn mellom B og C. Det vil alltid avhenge av hvilken tranformasjon vi bruker. 2 Nyttemaksimering Vi har nå innført nyttefunksjon og budsjettbetingelser. Vi antar at konsumenten velger den beste varekurven hun har råd til. Siden nyttefunksjonen representerer preferansene blir det det samme som å maksimere nytten. max U(x 1, x 2 ) gitt p 1 x 1 + x 2 = m x 1,x 2 Problem 1 Løs nyttemaksimeringsproblemet med nyttefunksjonen ovenfor U(x 1, x 2 ) = ln x 1 + ln x 2 Løsningsforslag 1 - innsetting Om vi bruker nyttefunksjonen ovenfor blir problemet max x 1,x 2 ln x 1 + ln x 2 gitt p 1 x 1 + x 2 = m Dette kan løses på to måter, enten ved innsetting, da ser vi fra budsjettbetingelsen at x 2 = m p 1x 1 2
så problemet blir å velge x 1 for å maksimere funksjonen f(x 1 ) der f(x 1 ) = ln x 1 + ln m p 1x 1 Vi ser nå at f (x) < 0, (regn ut f og sjekk selv at dette stemmer) og vi har da et maksimum når f (x) = 0 som gir f (x 1 ) = 1 ( + p ) 1 = 0 x 1 m p 1 x 1 som gir Siden x 2 = m p1x1 p 1 x 1 = m p 1 x 1 x 1 = m 2p 1 får vi etter litt mellomregning, x 1 = m 2 Løsningsforslag 2 - Lagranges metode Alternativt kan vi bruke Lagranges metode L = ln x 1 + ln x 2 λ (p 1 x 1 + x 2 m) For å finne stasjonærpunktene til L deriverer vi med hensyn på begge variable, og setter dem lik 0: som gir L x 1 = 1 x 1 λp 1 = 0 L x 2 = 1 x 2 λ = 0 p 1 x 1 = x 2 = 1 λ Dette betyr at vi konsumutgiften til begge varene er den samme, altså vil bruke halve budsjettet på hver av varene. Formlet ser vi det vet å kombinere med budsjettligningen p 1 x 1 + x 2 = m Dette gir (Tenk på y = p 1 x 1 og z = x 2 som ukjente, da sier ligningene y = z(= 1 λ ) og y + z = m, som gir y = z = m/2.) p 1 x 1 = x 2 = m 2 3
2.1 Generelt La oss nå bruke Lagranges metode på et generelt nyttemaksimeringsproblem. Vi ønsker altså å løse og lager Lagrange funksjonen. max U(x 1, x 2 ) gitt p 1 x 1 + x 2 = m x 1,x 2 L = U(x 1, x 2 ) λ (p 1 x 1 + x 2 m) For å finne stasjonærpunktene til L deriverer vi med hensyn på begge variable, og setter dem lik 0: som gir Den siste ligningen kan skrives om som L x 1 = U x 1 λp 1 = 0 L x 2 = U x 2 λ = 0 λ = U x 1 p 1 = U x 2 (1) U x 1 U x 2 = p 1 (2) som sier at den marginale substitusjonsbrøken er lik prisforholdet. Merk: Siden hensikten med dette notatet er å gi en kort presentasjon av en mer formell konsumentteori diskuteres ikke betingelser som de ovenfor ytterligere, det er diskutert i læreboka. Men det betyr ikke at det er uviktig. Skal du lære dette faget tilfredsstillende må du kunne fortelle med ord - uten å snakke om deriverte - hva som ligger i de to numererte ligningenen ovenfor. Det handler om bytteforhold, substitusjonsbrøk og hva de uttrykker, og det handler om hvor mye "nytte" du får for en krone. 2.2 Marshall-etterspørsel og Indirekte nytte Løsningen på maksimeringsproblemet gir oss det vi kaller Marshall-etterspørselen. Vi kan skrive dette som (x 1 (m, p 1, ), x 2 (m, p 1, )) = arg max U(x 1, x 2 ) gitt p 1 x 1 + x 2 = m der "arg max" betyr den verdien av (x 1, x 2 ) som løser problemet, altså de argumentene som gir funksjonen sin maksimale verdi. I oppgaven vi løste ovenfor så fant vi at vi maksimerte nytten ved å velge x 1 = m 2p 1 og x 2 = m 2 4
Det betyr at Marshall-etterspørselen er x 1 (m, p 1, ) = m 2p 1 x 2 (m, p 1, ) = m 2 Når vi finner Marshall-etterspørselen er det tre ting vi tar som gitt: inntekten og de to prisene, derfor er dette argumenter i denne funksjonen. Et annet begrep som noen ganger er nyttig er indirekte nytte, som vi ofte skriver V (p 1,, m). Det er det nyttenivået vi når når vi maksimerer nytten, gitt priser og inntekt, formelt: V (p 1,, m) = max x 1,x 2 U(x 1, x 2 ) gitt p 1 x 1 + x 2 = m Igjen kan vi se på oppgaven ovenfor, om vi setter inn løsningen i nyttefunsjonen får vi ( ) ( ) m m V (p 1,, m) = ln + ln = 2 ln m 2 ln 2 ln p 1 ln 2p 1 2 2.3 Elastisiteter Vi er ofte interessert i hva som skjer med etterspørselen om vi endrer priser eller inntekter, men ofte er det nyttigere å se på elastisitetene som uttrykker de relative endringene i etterspørselen for en relativ endring i prisen, eller mer konkret: Hvor mange prosent øker etterspørselen om vi øker inntekten med en prosent. Alle endringer måles altså i prosent når vi ser på elastisiteter. Vi har to viktige elastisiteter: Inntektselastisiteten (også kalt Engel-elastisistet). Denne uttrykker nettopp det vi sa ovenfor: hvor mange prosent øker etterspørselen om vi øker inntekten med en prosent? Inntektselastisiteten til vare i kaller vi E i og defineres som E i = m inntektselastisiteten til vare i m c i Det andre vi er interessert i er pris-elastisisteter, noen ganger også kalt Cournot elastisiteter, disse uttrykker hvor mange prosent øker etterspørselen etter vare i om vi øker prisen på vare j med en prosent, vi skriver denne som e ij. Om i og j er samme vare, i = j, så kaller vi det egenpriselastisitet. Merk at når prisen øker vil etterspørselen typisk falle, så elastisiteten er negativ. Ulike lærebøker vil her bruke litt ulike standarder og noen vil refererer til egenpriselastisteten som absoluttverdien av dette tallet. Formelt e ij = p j c i 5
2.3.1 Identiteter for elastisitetenene Etterspørselen må tilfredsstille budsjettligningen, og vi kan bruke dette til å utlede noen ligninger for elastisitetene. p 1 c 1 (m, p 1, ) + c 2 (m, p 1, ) = m Om vi deriverer med hensyn på m så ser vi at p 1 c 1 m c 1 p 1 m + p c 2 2 m = 1 c 1 m + c 2 c 2 m m c 1 m m c 2 = 1 α 1 E 1 + α 2 E 2 = 1 Her er α i = p ic i m budsjettandel vare i, merk α 1 + α 2 = 1 Altså de veide inntektselastistitetene skal være lik 1. Vi kan si litt mer. Merk først at (x 1, x 2 ) er en vektor som oppfyller budsjettbetingelsen p 1 c 1 + c 2 = m så gjelder også kp 1 c 1 + k c 2 = km Det endrer altså ikke budsjettbetingelsen om vi ganger priser og inntekter med m, og når budsjettbetingelsen ikke endres og vi har de samme preferansene må konsumet også være det samme. Altså må vi ha følgende likhet Deriver denne med hensyn på k : om vi så deler på c i får vi c i (kp 1, k, km) = c i (p 1,, m) p 1 + + m m = 0 p 1 c i + c i + m c i m = 0 e i1 + e i2 + E i = 0 Summen av Cournot og Engel-elastisiteten blir lik 0. 3 Utgiftsminimering Vi stiller her det hypotetiske spørsmålet. Gitt at vi skal nå nyttenivået u, hvor mye inntekt trenger vi. Y (u, p 1, ) = min (p 1 c 1 + c 2 ) c 1,c 2 gitt U(c 1, c 2 ) = u 6
Løsningen på dette problemet kaller vi Hicks-etterspørsel h i (u, p 1, ) Denne kan også kalles kompensert etterspørsel. Vi kan nå bruke omhylningsteoremet. Omhylningsteoremet for betinget optimalisering, sier at dersom L(u, p 1, ) = (p 1 c 1 + c 2 ) λ (U(c 1, c 2 ) u) er Lagrangefunksjonen til minimeringsproblemet, så er Y = L Om vi ikke hadde omhlvi skal ikke vise denne versjonen av omhylningsteoremet i dette kurset. Dette gir oss. dvs Y = L = (p 1 c 1 + c 2 λ(u(c 1, c 2 ) u)) = c 1 Y = c 1 men c 1 her er den optimale etterspørselen gitt priser og nytte, altså hicketterspørselen, dvs Y = h 1 (u, p 1, ) Siden vi ikke viser omhylningsteoremet kan det være nyttig å tenke på intuisjonen. For å være litt konkret, la vare 1 være kopper kaffe på kaffebar per måned. La oss tenke oss en student som drikker 300 slike kopper i året. Om prisen på kaffen øker med en krone, hvor mye høyere inntekt trenger studenten for å være like godt stilt. Vel svarert sier at Y = h 1 = 300, altså 300 kroner, nok til å kjøpe akkurat like mye kaffe som før uten å ha mindre penger igjen til andre ting. Er ikke det opplagt? Vel, teorien tilsier også at student skulle revurdere sitt kaffeforbruk når prisen går opp, kanskje konsumerer studenten nå bare 298 kopper. Men hvorfor betyr dette ingenting? Fordi optimal tilpassning vil tilsi at studenten har samme nytte av siste krone enten den ble brukt på vare 1 eller vare 2. En liten vridning av forbruket har ingen betydning for nytten. 3.1 Slutsky ligningen Merk nå at h i (u, p 1, ) er forbruket av vare i om konsumenten skal nå nyttenivå u, mens c i (m, p 1, ) er konsumet om inntekten er m.videre er Y (u, p 1, ) den inntekten konsumenten trenger for å nå nyttenivå u. Altså må: h i (u, p 1, ) = c i (Y (u, p 1, ), p 1, ) 7
Vi deriver denne ligningen med hensyn på p j, det gir Så bruker vi Y h i = Y + m = h i c j m = h j = c j som vi fant ovenfor. Dette gir ligningen = h i c j m Dette kaller vi Slutsky-ligningen.Denne er sentral i mange anvendelser og diskuteres videre i læreboka, jeg skal derfor være kort i omtalen her. Slutskyligningen ser på effekten av en prisendring. Merk at en prisendring har to effekter: (1) Når prisen på var j øker så har vi råd til mindre - kjøpekraften svekkes. (2) Vare j blir nå relativt dyrere sammenlignet med andre varer. Slutskyligningen skiller disse to effektene. Ligningen består av tre ledd : Hva skjer med etterspørselen etter vare i når prisen på vare j øker h i : Som ovenfor, men nå for gitt nytte. Dvs uten at kjøpekraften svekkes. c j m : Her endres ingen priser. Dette er effekten av at kjøpekraften svekkes. Hvorfor ganger vi med c j foran ci m og hvorfor er fortegnet negativt. Jo det er negativt fordi kjøpekraften svekkes. Og hvor mye kjøpekraften svekkes når vi øker prisen på vare j avhenger av hvor mye konsumenten bruker av denne varen. Jeg leier aldri lystyatch men kjøper mye poteter. Mitt forbruk av poteter er upåvirket av en økning i leieprisen på lystyatcher fordi jeg aldri leier dem: c j = 0. At jeg bruker mye poteter, c i er stor, er irrelevant for effekten av en økning i leieprisen på lystyatcher. 3.1.1 Elastisitetsform Vi kan skrive Slutskyligningen på elastisitetsform. Vi ganger da med pj c i : p j = h i p j p j m c j c i c i c i m m = h i p j c jp j m c i m m c i e ij = S ij α j E i 8