Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2 vite hva et stokastisk forsøk er og kjenne begrepene utfallsrom, enkeltutfall og hendelser. Et forsøk sies å være et stokastisk forsøk dersom a) Forsøket kan gjentas under (tilnærmet) samme betingelser så mange ganger en ønsker. b) En ikke kan forutsi utfallet av et enkeltforsøk, og c) Det er mulig å angi en mengde enkeltresultater slik at hvert forsøk gir som resultat ett og bare ett av enkeltresultatene i denne mengden. Mengden av enkeltresultater som vi beskriver i c) kalles et utfallsrom for forsøket og betegnes ofte med S. Elementene (resultatene) i utfallsrommet S kalles gjerne enkeltutfall og betegnes ofte med e i, i=1,2. S = {e 1, e 2,e i } Utfallsrommet er ikke entydig gitt i enhver situasjon, men ofte vil et bestemt utfallsrom være mest hensiktsmessig å bruke. Utfallsrommet kan undertiden inneholde et endelig antall enkeltutfall, i andre tilfelle et uendelig antall enkeltutfall. 1
En delmengde av et utfallsrom kaller vi en hendelse. Det består av ett eller flere enkeltutfall. Hendelsene betegnes ofte A, B, C osv. Her er noen eksempler på stokastiske forsøk og utfallsrom: Kaste med terning. Notere antall øyne som terningen viser. S = {1,2,3,4,5,6} Kaste med 2 pengestykker. Notere for hver av dem om det blir kron (K) eller mynt (M). S = {KK,KM,MK,MM} Trekke 13 kort fra en kortstokk og registrere hvilke tretten kort en får. S = {13spar...) Vi skal senere se at det ialt blir 635.013.559.600 enkeltutfall. Kaste terning inntil en sekser S = {1,2, }. Uendelig antall enkeltutfall. Tenne en lyspære og notere tid til den brenner ut. S = {t: t>0} I de 4 første eksemplene er utfallsrommene diskrete dvs. enkeltutfallene er punkter på tallinjen. Det siste er et eksempel på et stokastisk forsøk der utfallsrommet er kontinuerlig dvs. resultatene utgjør uendelig mange verdier på tallinjen, Hendelsene utgjør da intervaller på tallinjen. Sannsynlighetsbegrepet 2
Subjektiv sannsynlighet gir uttrykk for hvilken grad av tro vi har på at en gitt hendelse skal inntreffe. Eks:Det er 10% sannsynlighet for at jeg går på kino ikveld. Vi skal ikke befatte oss med denne type sannsynlighet, men du kan hvis du er interessert lese mer om dette i 3.2.3 i læreboka. Vi skal se på sannsynligheter knyttet til stokastiske forsøk og kan da definere sannsynligheten slik: Sannsynligheten for at en hendelse A skal inntreffe er det relative antall ganger A inntreffer når vi gjør uendelig mange forsøk. Denne sannsynlighet betegner vi P(A). Vi kan finne sannsynligheten for en hendelse på 2 måter: 1) Vi kan resonnere oss frem til en teoretisk sannsynlighet. 2) Vi kan utføre mange forsøk og registrere relative frekvens av hendelsen. I terningspill,lotterier o.l. kan vi resonnere oss frem til sannsynlighetene for forskjellige hendelser. Kaster vi en ordinær terning er sannsynligheten for å få en sekser 1/6. Denne sannsynligheten finner vi ved ressonnement. I andre situasjoner anslår vi sannsynlighetene ut fra data. Sannsynligheten for at et barn som blir født er en gutt er 0.514. Denne sannsynlighet er funnet ut fra frekvensen for guttefødsler gjennom lengre tid dvs. her er sannsynligheten bare estimert ut fra registrering av mange fødsler. 3
De store talls lov Hvis et forsøk gjentas mange ganger, vil den frekvensbaserte sannsynligheten nærme seg sin teoretisk riktige verdi. At denne loven er realistisk kan dere lett verifisere ved å kaste en terning og notere antall seksere. Kaster vi 10 og 10 terninger vil det relative antall 6 ere variere ganske mye. Kaster vi 100 og 100 terninger blir variasjonen adskillig mindre. Kaster vi med 1000 terninger vil det relative antall nærme seg 1/6 som er den teoretiske sannsynlighet for å få 6 er. Litt mengdelære. En hendelse er en mengde av enkeltelementer. For å finne sannsynligheter for hendelser må en kjenne litt til mengdelære. dette står beskrevet i 3.3 i læreboka. Vi skal ta for oss de viktigste begrepene og illustrere disse ved å innføre et Venn-diagram. La A og B være 2 hendelser. A B : Unionen av A og B er en hendelse som inntreffer hvis A eller B eller begge inntreffer. A B : Snittet mellom A og B er en hendelse som inntreffer hvis både A og B inntreffer. 4
A : Komplementet til A inntreffer hvis A ikke inntreffer. = A = B =A B = A B = A B A A B B Venn- diagram Disjunkte hendelser A og B er disjunkte hendelser hvis de ikke kan inntreffe samtidig. Vi sier da at A B = den er tom, dvs. hendelsen(a B) er en umulig hendelse. Det er ofte lurt å lage Venn-diagrammet når vi skal finne hendelser vi er interessert i. Vi skal ta et eksempel som illustrerer de forskjellige hendelser. La vårt eksperiment bestå i å trekke et kort fra en kortstokk. S = {kl.2, kl3......sp.ess} dvs. 52 enkeltutfall (e'er) A er hendelsen vi trekker et billedkort dvs. 16 e er B er hendelsen vi trekker en hjerter dvs.13 e er A er hendelsen Vi trekker ikke et billedkort dvs. 36 e er A B er hendelsen kortet vi trekker er et billedkort i hjerter. dvs. 4 e er. 5
A B er hendelsen kortet vi trekker er enten et billedkort eller hjerter eller begge deler dvs.25 e er.. A A = S dvs enten inntreffer A eller A. A B = A B er hendelsen kortet vi trekker er et ikke billedkort i kløver,ruter eller spar dvs.27 e er. A B = A B er hendelsen kortet vi trekker er enten ikke billedkort eller ikke hjerter dvs. 48 e er. Tegn Venn-diagram og sjekk at hendelsene stemmer. Union og snitt av mer enn 2 hendelser. Union og snittsymbolet kan anvendes på flere enn 2 hendelser.. I eksemplet ovenfor kan vi innføre en ny hendelse C. La C være hendelsen kortet vi trekker er en 6 er dvs. 4 e er. B C blir da hendelsen vi trekker hjerter 6 dvs. 1 e. A og C er disjunkte, A C = dvs. 0 e er. Hendelsen A B C er hendelsen vi trekker enten billedkort eller hjerter eller en sekser dvs. 28 e er. Tegn de tre hendelsen inn i et Venn-diagram 6
Den teoretiske definisjon av sannsynlighetsbegrepet. Den aksiomatiske definisjon av sannsynlighetsbegrepet bygger på 3 aksiomer ( Kolmogorov) 1) P(A ) 0 2) P (S) = 1 3) Dersom A 1,A 2, er parvis disjunkte hendelser skal P (A 1 A2...) = P(A j) j= 1 Disse egenskaper er analoge til de relative hyppigheter. Regneregler for sannsynlighet Sannsynligheten for at en hendelse A skal inntreffe er summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene som A består av. Hvis A består av e 1,e 2, e r så er P (A) Da P(S) =1 får vi at 0 P(A) 1. = r j= 1 P(e j ) Komplementregelen P( A ) = 1 P(A) Addisjonsregelen 7
For 2 hendelser A og B gjelder generelt P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Vi skal ta for oss eksemplet med å trekke et kort fra en kortstokk A = trekke et billedkort B = trekke en hjerter P(A) = 16/52, P(B) = 13/52, P(A B) = 4/52. P(A B) = 16/52 + 13/52 4/52 = 25/52 8