8 1
Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede for noen plassverdisystemer og gi praktiske eksempler på slike
1.1 Potenser Med vårt tallsystem må vi bruke potenser når vi skal arbeide med spesielt små og spesielt store tall. Hvis vi for eksempel skal regne med massen av hele jorda i kilogram, må vi skrive et tall med 24 siffer. Massen til et hydrogenatom i kilogram får på tilsvarende måte 26 nuller etter kommaet. Dette tallet klarer vi ikke å regne med hvis vi ikke bruker en potens med en negativ eksponent. Dette skal vi lære om nå. Men først repeterer vi noen av potensreglene fra ungdomsskolen. Vi skal også se på hvorfor reglene er riktige. Uttrykket 2 4 kaller vi en potens. Denne potensen betyr 2 2 2 2. Eksponenten 4 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Hvis vi skal regne ut 2 4 2 3, får vi 4 + 3 faktorer 2 4 2 3 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 4 + 3 = 2 7 Denne regelen gjelder: 4 faktorer 3 faktorer a m a n = a m + n Regn ut 5 4 5 2. 5 4 5 2 = 5 4 + 2 = 5 6 Hvis vi skal regne ut 35 3, får vi 3 5 3 3 = 3 3 3 3 3 3 3 3 Vi ser at 3 5 3 3 = 35 3 = 3 2 = 9 3 = 3 3 = 3 1 2 = 9 10 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
Vi har denne regelen: a n a m = a n m Her må vi foreløpig forutsette at n er større enn m. Siden skal vi utvide potensbegrepet slik at formelen gjelder for alle n og m. Regn ut. a) 47 4 5 b) 52 5 4 5 3 a) 47 4 5 = 47 5 = 4 2 = 16 b) 52 5 4 5 3 = 52 + 4 5 3 = 56 5 3 = 56 3 = 5 3 = 125 Vi kan også regne på denne måten: 5 2 5 4 5 3 = 52 + 4 3 = 5 3 = 125? Oppgave 1.10 Regn ut. a) 3 2 b) ( 3) 2 c) 3 3 d) ( 3) 3 Oppgave 1.11 Trekk sammen som én potens. a) 3 2 3 3 b) 2 4 2 6 c) 5 3 5 d) 10 2 10 3 10 5 e) (2 10 4 ) (5 10 3 ) Oppgave 1.12 Regn ut. a) 24 b) 105 23 10 3 c) 4 3 4 2 4 4 d) 38 3 6 3 5 3 7 e) 2 10 5 6 10 2 4 10 4 11
1.2 Potensene a 0 og a n Hittil har vi studert potensen a n der n er et naturlig tall. Vi skal nå innføre potenser der eksponenten er null eller negativ. Hva skal vi mene med 2 0? Det gir ingen mening å multiplisere 2 med seg selv null ganger. Vi ønsker at regnereglene for potenser skal gjelde for alle heltallseksponenter. Vi regner ut 23 3 på to måter: 2 2 3 2 3 = 8 8 = 1 2 3 2 3 = 23 3 = 2 0 Vi forutsatte at potensregelen for brøker gjelder her. For at de to utregningsmåtene skal gi samme svar, må vi ha at 2 0 = 1. Vi kan gjennomføre det samme resonnementet for potensen a 0 der a er et positivt tall. For å få regne reglene til å passe må vi ha at a 0 = 1. a 0 = 1 Hva skal vi mene med uttrykket 2 4? Vi kan jo ikke forestille oss at vi multipliserer 2 med seg selv 4 ganger. Vi definerer 2 4 på en slik måte at regnereglene for potenser gjelder for negative eksponenter: 2 4 = 2 0 4 = 20 2 4 = 1 2 4 = 1 16 Vi velger derfor å definere a n slik: a n = 1 a n Regn ut. a) 3 0 b) 50 0 c) 3 2 d) 7 10 3 a) 3 0 = 1 b) 50 0 = 1 c) 3 2 = 1 3 2 = 1 9 = d) 7 10 3 = 7 1 10 3 = 7 1000 = 12 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
Skriv tallet 1,7 10 4 som et desimaltall. 1,7 10 4 = 1,7 1 10 4 = 1,7 10 000 = 0,00017 Vi kan vise at regnereglene for potenser også gjelder for eksponenter som ikke er positive. Reglene gjelder altså også når eksponentene er negative eller null. Regn ut. a) 2 4 2 3 b) 37 3 1 3 3 3 6 a) 2 4 2 3 = 2 4 + ( 3) = 2 1 = 2 b) 37 3 1 3 3 3 6 = 37 + ( 1) = 36 3 3 + 6 3 3 = 36 3 = 3 3 = 27? Oppgave 1.20 Regn ut og skriv svaret som en brøk eller et helt tall. a) 5 0 b) ( 2) 0 c) 5 1 d) 2 4 e) 10 2 f) 10 0 g) 10 4 Oppgave 1.21 Regn ut. a) 2 3 2 4 b) 3 4 3 5 c) d) 2 3 2 5 2 3 2 1 e) a 4 a 3 a 2 a 3 2 3 3 13
1.3 Regneregler for potenser Hvis vi skal regne ut ( 2 ) 3, kan vi gjøre det slik: 3 ( 2 3 ) 3 = 2 3 2 3 2 3 = 2 2 2 3 3 3 = 23 3 3 = 8 27 Vi har denne regelen for alle hele tall n: ( a b ) n = an b n Regn ut. a) ( 2 5 ) 3 b) ( 3 a) ( 2 5 ) 3 = 23 b) ( 3 2 ) 4 ( x 2 ) 4 ( x 3 ) 3 5 3 = 8 125 = 3 ) 3 = 34 2 4 x3 3 3 = 34 x 3 2 4 3 3 = 34 3 x 3 2 4 = 3x3 16 Uttrykk som (2x) 3 kan vi regne ut uten å kjenne noen potensregel: (2x) 3 = 2x 2x 2x = 2 2 2 x x x = 2 3 x 3 = 8x 3 Vi ser at (2x) 3 = 2 3 x 3. Tilsvarende gjelder for alle produkter ab og alle eksponenter n: (a b) n = a n b n Regn ut. a) (3x) 2 b) (2x) 1 4x 14 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
a) (3x) 2 = 3 2 x 2 = 9x 2 b) (2x) 1 4x = 2 1 x 1 4x = 1 2 1 x 2 4x 4x = 2x = 2!? I eksempelet ovenfor så vi at (3x) 2 = 9x 2. Det er dermed stor forskjell på (3x) 2 og 3x 2. I 3x 2 skal vi bare kvadrere x og ikke 3-tallet. I (3x) 2 kvadrerer vi 3-tallet også. Oppgave 1.30 Regn ut. a) ( 1 2 ) 3 b) ( 2 3 ) 3 c) ( 1 10 ) 3 d) ( 2 Oppgave 1.31 Regn ut. a) ( 2 3 ) 3 3 3 b) 25 5 2 ( 5 3 ) 4 2 ) 3 c) ( x 2 ) 2 d) 3 5 ( x 3 ) 4 Vi skal nå finne en regel vi kan bruke når vi skal regne ut en potens der grunntallet er en potens. Uttrykket (2 3 ) 4 er av den typen. (2 3 ) 4 = 2 3 2 3 2 3 2 3 = 2 3 + 3 + 3 + 3 = 2 3 4 = 2 12 For to vilkårlige eksponenter m og n får vi: (a m ) n = a m n Regn ut. a) (3 2 ) 3 b) (2x 2 ) 1 a) (3 2 ) 3 = 3 2 3 = 3 6 = 729 b) (2x 2 ) 1 = 2 1 (x 2 ) 1 = 1 2 x( 2)( 1) = 1 2 x2 15
! Du må ikke blande sammen (a 2 ) 4 og a 2 a 4. (a 2 ) 4 = a 2 4 = a 8 a 2 a 4 = a 2 + 4 = a 6? Oppgave 1.32 Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall. a) (5 10 3 ) 3 b) (2 10 2 ) 1 c) (3 10 3 ) 2 (3 10 2 ) 1 d) 5 10 2 9 10 4 3 10 3 Oppgave 1.33 Skriv enklest mulig. a) x 7 (x 2 ) 3 b) (2x 2 ) 1 2x 3 1.4 Tall på standardform Store tall med mange siffer er uoversiktlige. Ofte gjør vi regnefeil når vi skal regne med slike tall, for det er lett å glemme et siffer. Hvis vi i stedet skriver tallet ved hjelp av tierpotenser, får vi bedre styring med utregningene. Skriv tallet 8 700 000 ved hjelp av tierpotens. Tallet er 8 700 000 = 8,7 1 000 000 = 8,7 10 6 Til vanlig skriver vi direkte 8 700 000 = 8,7 10 6. Eksponenten 6 forteller oss hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot venstre. 16 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
Når vi skal regne med svært små desimaltall, er det lett å gjøre kommafeil. Vi regner mye sikrere hvis vi skriver tallene ved hjelp av tierpotenser med negative eksponenter. Nå skal vi regne ut noen tierpotenser med negativ eksponent så vi ser hvordan systemet er. 10 1 1 = 10 1 = 1 10 = 0,1 10 2 1 = 10 2 = 1 100 = 0,01 10 3 1 = 10 3 = 1 1000 = 0,001 10 4 1 = 10 4 = 1 10 000 = 0,0001 Skriv tallene ved hjelp av tierpotenser og regn ut 0,00012 0,000037. Vi omformer 0,00012: 0,00012 = 1,2 0,0001 = 1,2 10 4 Den negative eksponenten 4 forteller hvor mange plasser vi har fl yttet kommaet mot høyre. For tallet 0,000037 får vi 0,000037 = 3,7 10 5 Nå finner vi produktet. 0,00012 0,000037 = 1,2 10 4 3,7 10 5 = 1,2 3,7 10 4 + ( 5) = 4,44 10 9 = 0,00000000444 Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ±a 10 n der 1 a < 10 og n er et helt tall. 17
Skriv tallene 230 000 og 0,0000000167 på standardform. 230 000 = 2,3 10 5 0,0000000167 = 1,67 10 8 Lommeregneren har en egen tast som vi bruker når vi skal legge inn tall på standardform. ON CASIO Når vi skal legge inn tallet 2,3 10 5, taster vi først 2.3, trykker så på EXP og taster til slutt 5. Hvis vi nå trykker på EXE, får vi skrevet tallet på vanlig måte som vist på figuren nedenfor. TEXAS Når vi skal legge inn tallet 2,3 10 5, taster vi først 2.3, trykker så på EE ( 2nd og, ) og taster til slutt 5. Hvis vi nå trykker på ENTER, får vi skrevet tallet på vanlig måte som vist på figuren nedenfor. Noen ganger skriver lommeregneren svaret på standardform når vi legger inn vanlige tall. På figuren nedenfor har vi regnet ut 2 300 000 320 000 og 2 : 2500 på lommeregneren. Noen ganger skriver lommeregneren svaret på standardform når vi legger inn vanlige tall. På figuren nedenfor har vi regnet ut 2 300 000 320 000 og 2 : 2500 på lommeregneren. 18 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
OFF Vi ser at svarene blir 7.36E+11 og 8.E 04. Disse tallene er skrevet på standardform. 7.36E+11 = 7,36 10 11 8.E 04 = 8,0 10 4 = 0,0008 Vi ser at svarene blir 7.36E11 og 8E 4. Disse tallene er skrevet på standardform. 7.36E11 = 7,36 10 11 8E 4 = 8,0 10 4 = 0,0008? Oppgave 1.40 Skriv som hele tall eller som desimaltall. a) 2,3 10 3 b) 7,1 10 2 c) 8,44 10 6 d) 2,92 10 5 Oppgave 1.41 Skriv på standardform. a) 0,000153 b) 14 300 c) 937 000 000 d) 0,00000275 Når vi har en oppgave der tallene er skrevet på standardform, er det ofte lurt å regne slik vi gjør i dette eksempelet: a) Regn ut 2,3 10 8 1,6 10 6. b) Bruk lommeregneren og regn ut 8 106 6 10 3 4 10 3 3 10 2. a) Vi samler tallene og tierpotensene hver for seg. 2,3 10 8 1,6 10 6 = 2,3 1,6 10 8 10 6 = 3,68 10 8 + ( 6) = 3,68 10 2 = 368 ON b) På figuren til venstre nedenfor har vi regnet oppgave b på Casio. På figuren til høyre er oppgaven regnet på Texas. Legg merke til at vi setter parentes om telleren og om nevneren. OFF 19
? Oppgave 1.42 Regn ut og skriv svaret som desimaltall. a) (5 10 3 ) (3 10 6 ) b) (2 10 1 ) (5 10 1 ) c) 8,4 10 2 2,1 10 3 d) (5 10 2 ) (9 10 4 ) 3 10 3 Oppgave 1.43 Regn ut både med og uten lommeregner. Skriv svaret på standardform. a) (4 10 4 ) (2 10 2 ) b) (8 10 6 ) (3 10 2 ) c) (3,2 10 5 ) (4 10 2 ) 1,6 10 3 d) (2 107 ) (4 10 5 ) (4 10 2 ) 2 Oppgave 1.44 Gjør om til standardform og regn ut. a) 12 000 000 0,0000023 b) 0,00075 0,000000017 c) 4 600 000 000 0,000002 d) 0,00045 0,0012 27 000 000 Oppgave 1.45 Jordradien er 6 400 000 m. Bruk formelen V = 4 3 r3 og regn ut volumet av jorda i kubikkmeter. 1.5 Det binære tallsystemet Når vi regner, bruker vi titallssystemet. Dette tallsystemet har ti tallsymboler (0, 1, 2,..., 9). Hvordan det virker, kan vi finne ut ved å se på for eksempel tallet 2347: 2347 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 7 Hvis vi bruker potenser, får vi 2347 = 2 10 3 + 3 10 2 + 4 10 + 7 Det siste sifferet er enere, det nest siste er tiere, det tredjesiste hundrere, osv. Det er plasseringen av sifrene som forteller om det er enere, tiere, hundrere, osv. Et slikt system kaller vi et plassverdisystem. 20 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
I en datamaskin eller lommeregner kan vi tenke oss at alle tall blir lagret ved at en bryter er av eller på. Da har vi bare to mulige tallsymboler: 0 når bryteren er av, og 1 når den er på. Vi må derfor bruke et tallsystem med bare to symboler, 0 og 1. Dette tallsystemet kaller vi totallssystemet eller det binære tallsystemet. Alle tall i dette systemet består dermed bare av nuller og enere. Tallet 1010 er et eksempel på et binært tall. Det er ikke lik tusen og ti. Når vi skal finne ut hvilket tall det er, gjør vi slik: 1010 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 0 = 1 8 + 0 4 + 1 2 + 0 = 10 Det binære tallet 1010 er det samme som tallet ti. Vi ser at det binære tallsystemet virker på samme måten som titallssystemet. Forskjellen er at for binære tall bruker vi potenser av to i stedet for potenser av ti. Alle datamaskiner og lommeregnere bruker totallssystemet til all regning uten at vi oppdager det. Når du skriver et regnestykke ved hjelp av tastaturet, blir tallene automatisk oversatt til totallssystemet. Alle utregningene blir så gjort i totallssystemet. Svaret blir deretter oversatt til titallssystemet før det blir skrevet ut på skjermen. Vi skal nå lære å oversette tall mellom totallssystemet og titallssystemet. Regn om fra binære tall til vanlige tall. a) 101 b) 1101 c) 10011 a) 101 = 1 2 2 + 0 2 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5 b) 1101 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 c) 10011 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19? Oppgave 1.50 Regn om fra binære tall til vanlige tall. a) 110 b) 1110 c) 10110 d) 111001 Oppgave 1.51 Fyll ut tabellen. Binærtall 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 Vanlige tall 21
Hvordan kan vi oversette fra vanlige tall til binære tall? Vi tar utgangspunkt i denne tabellen med potenser av 2. 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Hvis vi skal skrive tallet 23 som et binært tall, leter vi oss fram til den største toerpotensen som er mindre enn 23. Det er 16. Videre er 23 = 16 + 7. Nå finner vi den største toerpotensen som er mindre enn 7. Det er 4. Ettersom 7 = 4 + 3, får vi 23 = 16 + 4 + 3 eller 23 = 16 + 4 + 2 + 1 Dermed er 23 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 1 2 + 1 Tallet 23 er altså det samme som det binære tallet 10111. Skriv 37 som et binært tall. Tallet 37 kan vi skrive slik: 37 = 32 + 5 = 32 + 4 + 1 Dermed er 37 = 1 32 + 0 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 = 100101? Oppgave 1.52 Skriv tallene som binærtall. a) 13 b) 23 c) 42 d) 70 Oppgave 1.53 Skriv tallene fra 1 til 16 som binærtall. 22 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
1.6 Det oktale tallsystemet Vi kan også lage et tallsystem med 8 som grunntall. Da bruker vi symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Hvis 463 er et tall i åttetallssystemet eller det oktale tallsystemet, så er det det samme som 463 = 4 8 2 + 6 8 + 3 = 4 64 + 6 8 + 3 = 307 Tallet 463 i åttetallssystemet er det samme som tallet 307 i titallssystemet.? Oppgave 1.60 Tallene 561, 720, 2356, 6200 og 12 020 er skrevet i åttetallssystemet. Oversett dem til vanlige tall. Hvordan kan vi oversette et tall fra titallssystemet til åttetallssystemet? Vi viser metoden i et eksempel. Oversett tallet 6206 til det oktale tallsystemet. Vi lager en tabell med potenser med grunntallet 8. 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 64 512 4096 32 768 Vi finner det største tallet i tabellen som er mindre enn 6206. Det er 4096. Vi skal dividere 6206 med 4096. Ved hjelp av lommeregneren finner vi at Altså er 6206 1 4096 = 2110 6206 = 1 4096 + 2110 6206 = 1 8 4 + 2110 Nå dividerer vi 2110 med det neste tallet i tabellen, som er 512. 23
Lommeregneren gir 2110 4 512 = 62 2110 = 4 512 + 62 2110 = 4 8 3 + 62 Innsatt i uttrykket for 6206 gir det 6206 = 1 8 4 + 2110 6206 = 1 8 4 + 4 8 3 + 62 Tallet 62 er mindre enn 64 eller 8 2, som er det neste tallet i tabellen på forrige side. Dermed er 6206 = 1 8 4 + 4 8 3 + 0 8 2 + 62 Når vi dividerer 62 med 8, går det en 7-gang. Videre er Dermed er 62 7 8 = 6 62 = 7 8 + 6 6206 = 1 8 4 + 4 8 3 + 0 8 2 + 7 8 + 6 Tallet 6206 skrevet i åttetallssystemet er 14 076.? Oppgave 1.61 Skriv tallene i åttetallssystemet. a) 347 b) 1289 c) 5714 d) 89 123 Det er enklere å oversette mellom totallssystemet og åttetallssystemet enn mellom titallssystemet og åttetallssystemet. Når vi oversetter mellom totallssystemet og åttetallssystemet, bruker vi denne tabellen: Totallssystem 000 001 010 011 100 101 110 111 Åttetallssystem 0 1 2 3 4 5 6 7 Vi viser framgangsmåten med et eksempel. 24 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
a) Tallet 241 er skrevet i åttetallssystemet. Skriv tallet i totallssystemet. b) Tallet 11010110 er skrevet i totallssystemet. Oversett tallet til åttetallssystemet. a) Når vi skal oversette fra åttetallssystemet til totallssystemet, bruker vi tabellen på forrige side og oversetter hvert siffer til totallssystemet. 010100001 2 4 1 Vi tar bort nuller fremst i tallet. Tallet er 10 100 001 skrevet i totallssystemet. b) Når vi skal oversette fra totallssystemet til åttetallssystemet, deler vi tallet opp i tre og tre siffer. Begynn bakerst! Hvis oppdelingen ikke går opp, legger vi til nuller foran som vist nedenfor. 011010110 3 2 6 Deretter bruker vi tabellen på forrige side og oversetter tre og tre siffer til åttetallssystemet. Tallet er 326 i åttetallssystemet.? Oppgave 1.62 Oversett fra åttetallssystemet til totallssystemet. a) 72 b) 345 c) 1653 d) 12 453 Oppgave 1.63 Oversett fra totallssystemet til åttetallssystemet. a) 110101 b) 10111011 c) 1000100101 d) 10111001101 Oppgave 1.64 a) Tallet 873 er skrevet i titallssystemet. Oversett det til totallssystemet. b) Oversett svaret i oppgave a til åttetallssystemet. c) Oversett svaret i oppgave b til titallssystemet. Fikk du 873? 25
1.7 Det heksadesimale tallsystemet De binære tallene inneholder mange siffer. Når vi skriver tallet 211 som et binærtall, blir det 11010011. Det er fort gjort å gjøre feil når vi skal skrive et slikt tall, eller når vi skal si tallet til en annen person. Vi kunne ha delt opp tallet i tre og tre siffer og oversatt til åttetallssystemet. Men i datateknologien er det vanlig at binære tall inneholder 16 siffer, 32 siffer, 64 siffer osv. Det blir derfor lettere hvis vi leser fire og fire siffer om gangen. I tillegg bruker vi denne tabellen: Binært tall Vanlig tall Symbol Binært tall Vanlig tall Symbol 0000 0 0 1000 8 8 0001 1 1 1001 9 9 0010 2 2 1010 10 A 0011 3 3 1011 11 B 0100 4 4 1100 12 C 0101 5 5 1101 13 D 0110 6 6 1110 14 E 0111 7 7 1111 15 F Tallet 11010011 deler vi opp i to deler og leser det på denne måten: 11010011 D 3 Når vi så skal ha tilbake binærtallet, bruker vi tabellen og erstatter D med 1101 og 3 med 0011. Da får vi tilbake tallet 11010011. Når vi skal finne ut hvilket tall D3 er, kan vi gjøre slik: I tabellen ser vi at D er tallet 13. Da er D3 det samme som 13 16 + 3 = 211 Tallet 10111001001 har elleve siffer. Når vi skal lese dette tallet, setter vi en 0 foran slik at det blir tolv siffer. Da kan vi sette sammen fire og fire 0 og 1 på denne måten: 010111001001 5 C 9 Vi leser tallet som 5C9. Hvilket tall er så det? 26 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
Vi skriver 5C9 ved hjelp av potenser av 16. Husk at C er det samme som 12. 5C9 = 5 16 2 + 12 16 + 9 = 5 256 + 12 16 + 9 = 1481 Tallet 5C9 er skrevet i 16-tallssystemet (det heksadesimale tallsystemet) og er det samme som 1481 i titallssystemet. a) Skriv det binære tallet 1011011001 i det heksadesimale tallsystemet. b) Skriv tallet i det vanlige tallsystemet. a) 1011011001 = 001011011001 = 2D9 2 D 9 b) Ettersom D er tallet 13, blir dette 2D9 = 2 16 2 + 13 16 + 9 = 2 256 + 13 16 + 9 = 729? Oppgave 1.70 a) Skriv det binære tallet 11100101 i det heksadesimale tallsystemet. b) Hvilket tall er det i vårt tallsystem? Oppgave 1.71 a) Skriv det binære tallet 1111010100 i det heksadesimale tallsystemet. b) Hvilket tall er det i vårt tallsystem? Oppgave 1.72 a) Skriv tallet 729 i det binære tallsystemet. b) Skriv svaret i oppgave a i det heksadesimale tallsystemet. c) Kontroller om svaret i oppgave b gir tallet 729. 27
SAMMENDRAG Definisjon av a 0 For alle tall a 0 er a 0 = 1 Definisjon av a n For alle tall n og alle tall a 0 er a n = 1 a n Regneregler for potenser For alle tall m og n er a m a n = a m + n a n a m = a n m (a b) n = a n b n ( a b ) n = an b n (a m ) n = a m n Tall på standardform Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ±a 10 n der 1 a < 10 og n er et helt tall. Titallssystemet Titallssystemet er det tallsystemet med grunntall 10 som vi bruker daglig. Tallet 247 betyr 247 = 2 10 2 + 4 10 + 7 Totallssystemet Totallssystemet (det binære tallsystemet) har 2 som grunntall. Alle tall skriver vi der ved hjelp av sifrene 0 og 1. Det binære tallet 1101 er det samme som 1101 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 13 28 Sinus Påbyggingsboka P > Potenser og tallsystemer
Åttetallssystemet Åttetallssystemet (det oktale tallsystemet) har 8 som grunntall. Alle tall skriver vi der ved hjelp av sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Tallet 2573 i åttetalls systemet er det samme som 2573 = 2 8 3 + 5 8 2 + 7 8 + 3 = 1403 16-tallssystemet 16-tallssystemet (det heksadesimale tallsystemet) har 16 som grunntall. Alle tall skriver vi der ved hjelp av sifrene 0, 1,..., 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) og F (15). Tallet 8D3 i 16-tallssystemet er det samme som 8D3 = 8 16 2 + 13 16 + 3 = 2259 29