Tall. Posisjons-tallsystemer. Representasjon av heltall. Tall positive, negative heltall, flytende tall. Tekst ASCII, UNICODE XML, CSS

Transkript

1 Tall jfr. Cyganski & Orr 3..3, 3..5 se også Tekst ASCII, UNICODE XML, CSS Konverteringsrutiner Tall positive, negative heltall, flytende tall INF00-Tall- INF00-Tall- La oss anta at Representasjon av heltall vi har 3 biter til disposisjon dvs. 8 mulige kombinasjoner vi vil representere heltallene fra 0 til 7 I utgangspunktet kan vi bruke en helt vilkårlig tilordning, f.eks. heltall binærkode En slik tilfeldig tilordning er selvsagt mulig, men ytterst uhensiktsmessig. Vi foretrekker et system der vi kan avlede binærkoden fra heltallet, og vice versa INF00-Tall-3 Posisjons-tallsystemer Vårt velkjente 0-talls-systemet er et posisjonssystem: 357 = eller: 357 = (3 x 0 ) + ( x 0 3 ) + (5 x 0 ) + ( x 0 ) + (7 x 0 0 ) Potenser av = 0 =0 0 =0x0= =0x0x0=000 0 =0x0x0x0=0000 osv Vi har 0 fingre og bruker et 0-talls-system. Tilfeldig? INF00-Tall-

2 Desimale vs. binære tall Konvertering fra binær til desimal Desimaltall 0000 posisjon 000 posisjon 00 posisjon 0 posisjon posisjon posisjon Binært tall 8 posisjon posisjon posisjon posisjon 0 0 Bruk samme prinsipp som ved desimale tall, men med potenser av istedenfor potenser av 0! Eksempel: 00 3 x 0,000 = x,000 = x 00 = x 0 = + 7 x = 7 = 357 (0) x = + 0 x 8 = 0 + x = + 0 x = 0 + x = = (0) (x 5 ) + (x ) + (0x 3 ) + (x ) + (0x ) + (x 0 ) = = 53 (0) 00 () = 53 (0) INF00-Tall-5 INF00-Tall- er-potensene Det er nyttig å ha god oversikt over er-potensene: Konvertering fra desimal til binær Enkle konverteringer kan gjøres intuitivt. Noen eksempler: 0 = = = x = 3 = xx = 8 = xxx = 5 = xxxx = 3 = xxxxx = 7 = xxxxxx = 8 8 = xxxxxxx = 5 9 = xxxxxxxx = 5 0 = xxxxxxxxx = 0 osv desimaltall 8-biters binærtall INF00-Tall-7 INF00-Tall-8

3 Konvertering fra desimal til binær En algoritme: La desimaltallet være D. Del D på, gir D og rest R R er siste binærsiffer Del D på, gir D3 og rest R3 R3 er nest siste binærsiffer. Fortsett til Dn blir 0 Eksempel: 53 : = rest : = 3 rest 0 3 : = rest : = 3 rest 0 3 : = rest : = 0 rest altså: 53 (0) = 00 () Algoritmen: Er tallet et oddetall eller et partall? Er halvparten av tallet et oddetall eller et partall? Forresten hva er en algoritme? Algoritme (latin, opprinnelig arabisk): Metode eller formel for en utregning Har en bestemt input Har en bestemt output Har bestemte trinn Kan utføres av en maskin Algoritmen vil terminere hvis input er korrekt Vi bruker algoritmer for å konvertere fra binær til desimal (eller omvendt) INF00-Tall-9 INF00-Tall-0 Konvertering fra desimal til binær En alternativ algoritme: La desimaltallet være D. Finn den største er-potensen som er mindre enn D og sett en i denne posisjonen Trekk denne toerpotensen fra D og få D Finn den største er-potensen som er mindre enn D og sett en i denne posisjonen Eksempel: 53, største er-potens er 3 = 5, altså et bit i 5. posisjon 53 3 =, største er-potens er =, altså et bit i. posisjon = 5 5, største er-potens er =, altså et bit i. posisjon 5 =, største er-potens er = 0, altså et bit i 0. posisjon altså: 53 (0) = 00 () INF00-Tall- Enkel addisjonstabell 0+0 = 0 0+ = +0 = Binære regnestykker + = 0 med i mente Enkel multiplikasjonstabell 0*0 = 0 0* = 0 *0 = 0 * = Et binært tall ganges med (0) ved å føye til en 0 bakerst Disse operasjonene kan utføres på nanosekunder i datamaskinenes elektroniske kretser INF00-Tall-

4 Binær addisjon - eksempel Binær multiplikasjon - eksempel 53 (0) = 0 0 (), (0) = 0 0 () 53 (0) = 0 0 () (0) = 0 0 () () = * (0) + *8 (0) + * (0) = 7 (0) 0 0 * () = *0 (0) + * (0) + * (0) +*8 (0) + * (0) = 3 (0) INF00-Tall-3 INF00-Tall- Overløp ("overflow") Negative tall I en datamaskin regner vi som regel med tallrepresentasjoner med et fastlagt antall biter (vanligvis 8,,, 3 eller ) Dersom en aritmetisk operasjon fører til at resultatet faller utenfor det mulige tallområdet, har vi et overløp ("overflow") Regneenheten sender da et signal til den omkringliggende programvaren slik at den kan ta seg av situasjonen (feilmelding) Eksempel forutsetter 8 biters tallrepresentasjon 3 (0) = () 0 (0) = () 8 biter begrenser mulig tallområde til [0,,55] = 39 Mange representasjonsmuligheter, men stor fordel om vi kan bruke samme elektronikk for å regne som for positive tall Derfor representeres negative tall som komplementer Vi ser først på litt "klokkearitmetikk" (modulo-operasjoner) Deretter lager vi oss en -timers ( biters) klokke, og blir enige om at tallene på venstre del av skiven (som alle starter med en binær ) skal tolkes som negative Modulo-operatoren utføres ganske enkelt ved å se bort fra overløpet Overløp 0 0 () INF00-Tall-5 INF00-Tall-

5 "Klokkearitmetikk" "Klokkearitmetikk" er-komplement Hvis klokka er 0, hvor mye er den om 5 timer? Jo: (0+5)% %: Modulo-operanden (rest av heltallsdivisjon) Forutsetter -biters tallrepresentasjon, gir tallområdet [ 8, 7] Hvis klokka er, hvor mye er den om 5 timer? Jo: (0+00)% INF00-Tall-7 INF00-Tall-8 Komplementregning med desimaltall korrigert Anta at vi arbeider med siffer.sept 00 Aer-komplementet (0er-komplementet) til n er da 0 n Kan beregnes ved å trekke hvert siffer i n fra 9 og addere til slutt Eksempel: Aer-komplementet til er (90-0) + (9-) + = 79 For å regne ut 53 + ( ) kan vi isteden regne ut og kaste 00-menten: = 3, kast 00-menten, resultatet er 3 Tenk deg en digital teller som står på 0. Drei den i negativ retning. Første nye tall som dukker opp er Aer-komplementet til, dvs er-komplementet Det binære er-komplementet er lett å beregne: Ta et binært tall Erstatt alle 0 med, alle med 0 (legg merke til at vi må vite antall biter for tallrepresentasjonen) Legg til Eksempel: (0) = (forutsetter 8 bit) er-komplementet er = 0 0, dvs 35 (0) Regne ut 53 + ( ): = = 3 (0) Hva er det binære er-komplementet til? INF00-Tall-9 INF00-Tall-0

6 Noen observasjoner om er-komplement Positive binære tall begynner på 0 (mest signifikante bit, MSB =0) Negative binære tall begynner på (mest signifikante bit, MSB =) Endret Dersom.sept. vi adderer to tall der MSB=0 og får et tall der MSB=, 00 eller adderer to tall der MSB= og får et tall der MSB=0, er vi kommet utenfor det tallområdet som kan representeres. Vi har altså et overløp! Dersom vi adderer to tall og får mente som renner over i forkant, skal menten bare kastes dette er en konsekvens av trikset med er-komplementrepresentasjon Dersom vi legger sammen et binært tall med dets er-komplement, får vi 0 (selvfølgelig ) er-komplementet av er-komplementet av et tall er tallet INF00-Tall- En annen vri tall med "bias" Vi skal representere tallene [ 8,,7] (8 biters tallrepresentasjon) Vi legger en bias 8 til alle tallene, slik at vi istedenfor kan representere tallene [0,,55] og det er jo helt kurant Ved addisjon kommer bias med to ganger, så vi må trekke den fra igjen Eksempel (forutsetter 8 biters tallrepresentasjon og derfor bias 8): Vi skal addere 53 og. 53 (0) bias 8 (0) = 8 (0) = 0 00 () - (0) bias 8 (0) = 07 (0) = 00 0 () 8 (0) + 07 (0) - 8 (0) = 000 () () () = () = 0 (0) = 3 (0) bias 8 (0) Dette prinsippet brukes for eksponenten i flytende tall, se lysark Tall- INF00-Tall- Heltallstyper i Java Flytende tall datatype byte antall biter 8 minste tall 8 største tall 7 Hva hvis heltallsområdet ikke er stort nok? Hva med desimaler etter komma? short Svaret er flytende tall! int long Vi ser først på den desimale verden: Et tall kan skrives som 0 eksponent * mantisse Legg merke til at største tall er en mindre enn minste tall med motsatt fortegn. Tallet 0 tar den første positive plassen! Eksempler: 0 * 0,5 = 00 * 0,5 = * 0,5 = * 0,5 = 0,5 0 - * 0,5 = 0, * 0,5 = 0, * 0,5 = 0, * 0,5 = 0,05 INF00-Tall-3 INF00-Tall-

7 Et binært flytende tall er basert på eksponent * mantisse Vi må representere eksponent og mantisse Begge må kunne være både positive og negative (og null) Mange representasjonsmuligheter, verden har imidlertid standardisert på IEEE 75 To varianter: Binære flytende tall 3-biter representasjon (single precision, datatype real ) Single precision Double precision Binære flytende tall (forts.) fortegnsbit 8 3 eksponent med bias 7 mantisse ( fraction ). Ikke-lagret ledende med antatt desimalpunkt fortegnsbit eksponent med bias 03 mantisse ( fraction ) 5 Vi legger en bias til eksponenten slik at representasjonen aldri er negativ! -biter representasjon (double precision, datatype double ) se INF00-Tall-5. Ikke-lagret ledende med antatt desimalpunkt Vanligvis er mantissen normalisert, slik at første bit alltid er. Derfor sparer vi plass ved ikke å lagre denne biten! INF00-Tall- datatype real double Flyttallsområder i IEEE 75 (og i Java) antall biter 3 minste positive tall + = + ~0, = + ~0 33,3 og tilsvarende for negative tall minste positive tall 0 overflow-område underflow-område største positive tall + ( 3 )* 7 = + ~0 38,53 + ( 5 )* 03 = + ~ største positive tall overflow-område Spesielle verdier: Null: Både eksponent og mantisse er 0 (både +0 og 0) Uendelig: Eksponent med bare ere, mantisse med bare 0ere Not A Number: Eksponent med bare ere, mantisse 0 Mantisse som starter med : Resultat av en udefinert operasjon (eksempel: 0/0) Mantisse som starter med 0: Resultat av en ulovlig operasjon (eksempel: N/0) INF00-Tall-7 Om presisjon og nøyaktighet Presisjon ( precision ): Hvor presist vi ønsker å representere et tall. Er direkte avhengig av hvor mange biter vi velger å bruke. Heltall er alltid presist representert innenfor tallområdet. Nøyaktighet ( accuracy ): Hvor nøyaktig vi ønsker (eller greier) å måle eller observere en størrelse. Heltall er alltid presist representert innenfor tallområdet. Presisjonen for flytende tall varierer, men er omvendt proporsjonal med tallets størrelse. Jo mindre tall, jo større presisjon! INF00-Tall-8