Tall. Binære regnestykker. Binære tall positive, negative heltall, flytende tall

Transkript

1 Tall To måter å representere tall Som binær tekst Eksempel: '' i ISO 889-x og Unicode UTF-8 er U+ U+, altså Brukes eksempelvis ved innlesing og utskrift, i XML-dokumenter og i programmeringsspråket COBOL Som binært tall (internt, native ) Eksempel: = Brukes som internt format ved lagring og beregninger Verdien av et binært tall er (jf. lysark tall-9) x = s (n-) + s * (n-) + + s n- * () + s n * () = s * (n-) + s * (n-) + + s n- * () + s n * () n = s k * (n-k) Vi skal her se nærmere k= på binære tall INF-repravtall- INF-repravtall- Binære regnestykker Enkel addisjonstabell + = + = + = Tall som tekst ASCII, UNICODE XML, CSS Konverteringsrutiner Binære tall positive, negative heltall, flytende tall + = med i mente Enkel multiplikasjonstabell * = * = * = * = Et binært tall ganges med ved å føye til en bakerst Disse operasjonene kan utføres på nanosekunder i datamaskinenes elektroniske kretser INF-repravtall- INF-repravtall-

2 Binær addisjon - eksempel Binær multiplikasjon - eksempel =, = = = = * + * = + = * = * + * + 9 * = = INF-repravtall- INF-repravtall- Overløp ("overflow") I en datamaskin regner vi som regel med tallrepresentasjoner med et fastlagt antall biter (vanligvis 8,,, eller ) Dersom en aritmetisk operasjon fører til at resultatet faller utenfor det mulige tallområdet, har vi et overløp ("overflow") Regneenheten sender da et signal til den omkringliggende programvaren slik at den kan ta seg av situasjonen (feilmelding) Eksempel forutsetter 8 biters tallrepresentasjon Negative tall Mange representasjonsmuligheter, men stor fordel om vi kan bruke samme elektronikk for å regne som for positive tall Derfor representeres negative tall som komplementer Vi ser først på litt "klokkearitmetikk" (modulo-operasjoner) Deretter lager vi oss en -timers ( biters) klokke, og blir enige om at tallene på venstre del av skiven (som alle starter med en binær ) skal tolkes som negative = = 8 biter begrenser mulig tallområde til [,,] + = 9 Modulo-operatoren utføres ganske enkelt ved å se bort fra overløpet overløp INF-repravtall- INF-repravtall-8

3 "Klokkearitmetikk" Negative tall som er-komplement Hvis klokka er, hvor mye er den om timer? Jo: (+)% %: Modulo-operanden (rest av heltallsdivisjon) Tenk deg en digital teller som står på. Drei den i negativ retning. Første nye tall som dukker opp er komplementet til, dvs INF-repravtall-9 INF-repravtall- "Klokkearitmetikk" er-komplement Forutsetter -biters tallrepresentasjon, gir verdiområdet [ 8,,] Hvis klokka er, hvor mye er den om timer? Jo: (+)% er-komplementet Det binære er-komplementet er lett å beregne: Ta et binært tall Erstatt alle med, alle med (legg merke til at vi må vite antall biter for tallrepresentasjonen) Legg til Eksempel: = (forutsetter 8 bit) er-komplementet er + =, dvs. * + * = Regne ut + ( ): + = = * = Hva er det binære er-komplementet til? INF-repravtall- INF-repravtall-

4 Noen observasjoner om er-komplement Positive binære tall begynner på (mest signifikante bit, MSB =) Negative binære tall begynner på (mest signifikante bit, MSB =) Dersom vi adderer to tall og får mente som renner over i forkant, skal menten bare kastes dette er en konsekvens av trikset med er-komplementrepresentasjon Men dersom overløpsmenten ( eller ) ikke har samme verdi ( eller ) som foregående mente, har vi et overløp! Eksempel: To ulike menter -> overløp Se Dersom vi legger sammen et binært tall med dets er-komplement, får vi (selvfølgelig ) er-komplementet av er-komplementet av et tall er tallet dette gjelder dog ikke for tallet - n ( the weird number ) En annen vri tall med "bias" Vi skal representere tallene [ 8,,] (8 biters tallrepresentasjon) Vi legger en bias 8 til alle tallene, slik at vi istedenfor kan representere tallene [,,] og det er jo helt kurant Ved addisjon kommer bias med to ganger, så vi må trekke den fra igjen Eksempel (forutsetter 8 biters tallrepresentasjon og derfor bias 8): Vi skal addere og. bias 8 = 8 = - bias 8 = = = + - = = * = = bias 8 Dette prinsippet brukes for eksponenten i flytende tall, se lysark Tall-xx INF-repravtall- INF-repravtall- Heltallstyper i Java Flytende tall datatype byte antall biter 8 minste tall 8 største tall Hva hvis heltallsområdet ikke er stort nok? Hva med desimaler etter komma? short 8 Svaret er flytende tall! int long Vi ser først på den desimale verden: Et tall kan skrives som eksponent * mantisse Legg merke til at største tall er en mindre enn minste tall med motsatt fortegn. Tallet tar den første positive plassen! Eksempler: *, = *, = *, = *, =, - *, =, *, =, - *, =, *, =, INF-repravtall- INF-repravtall-

5 Et binært flytende tall er basert på eksponent * mantisse Vi må representere eksponent og mantisse Begge må kunne være både positive og negative (og null) Mange representasjonsmuligheter, verden har imidlertid standardisert på IEEE To varianter: Binære flytende tall -biter representasjon (single precision, datatype real ) Single precision Double precision Binære flytende tall (forts.) fortegnsbit 8 eksponent med bias mantisse. Ikke-lagret ledende med antatt binærpunkt fortegnsbit eksponent med bias mantisse Vi legger en bias til eksponenten slik at representasjonen aldri er negativ! -biter representasjon (double precision, datatype double ) se INF-repravtall-. Ikke-lagret ledende med antatt binærpunkt Mantissen er normalisert, slik at første bit alltid er. Derfor sparer vi plass ved ikke å lagre denne biten! INF-repravtall-8 datatype real double Flyttallsområder i IEEE (og i Java) antall biter minste positive tall + = + ~,8 + = + ~, og tilsvarende for negative tall minste positive tall overflow-område underflow-område største positive tall + ( )* = + ~ 8, + ( )* = + ~ 8. største positive tall overflow-område Spesielle verdier: Null: Både eksponent og mantisse er (både + og ) Uendelig: Eksponent med bare ere, mantisse med bare ere Not A Number: Eksponent med bare ere, mantisse Mantisse som starter med : Resultat av en udefinert operasjon (eksempel: /) Mantisse som starter med : Resultat av en ulovlig operasjon (eksempel: N/) INF-repravtall-9 Om presisjon og nøyaktighet Presisjon ( precision ): Hvor presist vi ønsker å representere et tall. Er direkte avhengig av hvor mange biter vi velger å bruke. Heltall er alltid presist representert innenfor tallområdet. Nøyaktighet ( accuracy ): Hvor nøyaktig vi ønsker (eller greier) å måle eller observere en størrelse. Heltall er alltid presist representert innenfor tallområdet. Presisjonen for flytende tall varierer, men er omvendt proporsjonal med tallets størrelse. Jo mindre tall, jo større presisjon! INF-repravtall-