Løsningsforslag eksamen TFY416 18 des 1 Ins for fysikk, NTNU Oppgae 1 a) Toal mekanisk energi er bear når sylinderne ruller ned skråplane fordi de kun er konseraie krefer som irker. Den oale mekaniske energi ed en gi høyde h er gi ed kineisk energi knye il ranslasjon (, hor m er masse og hasighe), roasjon (, hor I er ghesmomen og er roasjonshasighe) og poensiell energi (mgh): For både den hule og den massie sylinderen, il den oale mekaniske energi ære den samme i sarposisjon på skråplane og ed enden. Bruker indeks for sar og e for egenskapene ed enden a skråplane. Får da (for her a sylinderne): Siden h er mål relai h e er h e =. Videre er iniialhasigheer for begge sylindre lik, =, = (de er i ro). Dee gir: Relasjon mellom ranslasjonshasighe og roasjon er gi ed /r siden sylinderne ruller uen å skli. Får da: Løs mhp sluhasighe: Ser nå på ghesmomene for de o ype sylinderne for å kunne beregne sluhasigheen: For hul sylinder er (indeks h for hul), og sluhasighe blir:, For massi sylinder er (indeks s for «solid»), og sluhasighe blir, 4 / 1.15 Massi sylinder kommer førs fram il enden siden den har sørs hasighe ed enden.
b) Før kollisjonen er sanga i ro, og de er kun prosjekile som har kineisk energi, momen og spinn om aksen A: og c) I e fullsendig uelasisk sø er ikke mekanisk energi bear. Under kollisjonen il de irke ei kraf fra opplagringsaksen på saen. Derfor er ikke beegelsesmengde bear. Den y krafa som irker i opplagringsaksen har null arm om opplagringsaksen A. Siden denne krafa irker gjennom A, har den null arm, og dermed er krafmomene null. Dee gjør a spinne om aksen A il syseme er bear. De er ikke ilskkelig id il a fjæra blir komprimer i løpe a søe, derfor er de heller ikke noe krafmomen fra denne. Eer kollisjonen gjelder følgende sammenheng mellom spinn L og roasjon a sanga: Hor I er ghesmomene il sanga (med kula) og er inkelhasigheen. Bearing a spinn, og innsa urykke for ghesmomen il sanga, oppnås: ; => Vinkelhasigheen il sanga blir: 6 Den oale mekaniske energien il syseme re eer kollisjonen er den kineiske energien il sanga (med kula) knye il roasjonen: = Med M = 1m, blir: 1 1 1 Ds., 97% a den mekaniske energien går ap i den uelasiske kollisjonen. Oppgae a) Neokrafen som irker på massen er summen a fjærkrafen, krafen knye il friksjon og den ekserne krafen: Neokrafen gir oppha il akselerasjon a massen i følge Newons.lo: Omorganiser: som skulle ises. Med y kraf gi som en harmonisk kraf: sin, hor F er ampliuden il krafen, innsa i differensial likningen oer, gir:
sin Deler på M: sin sammenlikning med: a sin gir følgende relasjoner: ; ; og Usagne: «Syseme i Figur med M =. kg, k= N/m, b= Ns/m holdes i ro med en konsan kraf F = N. Krafen slippes ed =» gjør a i har en beskrielse a e singesyseme med iniialerdier. Usagne ilsier a syseme har er i ro og har e using x gi ed balanse a eksern kraf og fjærkraf:.1 / Eer a krafa er slip ed =, følger massen beegelsen il en dempe singning. Løsningen er på formen: x () Ae cos( ) d Hor A er en konsan, er som gi oer, d er inkelfrekens il den dempede singningen, gi ed d og en fase. Numeriske erdier: N / m km 15s 1.4 s.kg 1 b Ns/ m 5s M.kg 1 d 15 s 5s 11.18s 1 Verdiene a konsanen A og fase må besemmes for å kunne sare på spørsmåle. Disse oppnås ed å se på sarerdiene a x() og dx/d ed = (den sise er lik null siden massen holdes med konsan kraf før den slippes ed =: F x( ) Ae cos( d) Acos.1m k
dx / d Ae cos( ) Ae sin( ) d d d dx / d A cos A sin Denne har o løsninger: enen A= eller an d Den maemaiske løsningen A= gir null ampliude for alle, og a den grunn er den ikke ineressan. d Den andre gir: arcan.4 radianer og d F.1m A.11m k cos.91 Using og usingshasighe ed =.5 s: x(.5 s).4m; dx / d Ae cos( ) Ae sin( ) ed =.5s er.7 m/s d d d Oppgae b Frekensen som obseraøren regisrer, f, er gi ed: 1 / f f 1 / s s s s Her er bølgehasighe, hasighe il obseraør, s hasighe il kilde (sender) og f s frekens som kilde sender u. De er fire mulige relaie beegelser a kilde og obseraør når de beeger seg langs samme linje. Disse og de frekenser som obseraøren regisr er: Kilde s = +6 m/s, obseraør, = m/s og kilde nærmer seg obseraør. 4 5 5 fs Hz Hz s 4 6 Kilde s = 6 m/s, obseraør, = m/s og kilde fjerner seg fra obseraør: 4 ( ) 5 46 fs Hz Hz s 4 ( 6) Kilde s = 6 m/s, obseraør, = m/s og kilde og obseraør beeger seg mo herandre: 4 ( ) 5 66 fs Hz Hz s 4 6 Kilde s = 6 m/s, obseraør, = m/s og kilde og obseraør beeger seg fra herandre:
4 5 87 fs Hz Hz s 4 ( 6) Oppgae c Bølgehasighe og rening il de andrende bølgene beskree ed bølgefunksjonene: y 1 ( x, ) A sin k x (4 m / s ), og ( / ) y ( x, ) Be kx ms, finnes ed å se på beingelsene y = konsan. Dee gir: for y 1 : dx k( x (4m / s) ) kons. Derier med hensyn på og forkor med k: 4 m / s d dx = 4 m/s mo ens (negai x) x For y : (iser fremgangsmåe hor i ser på y direke, uen å argumenere for a i kan se på eksponenen): k y ( x, Ae ) x (m / s) kons Derierer med hensyn på og seer lik : dy d Ae k x(m / s) dx k( m / s) d ds., = m/s mo høyre (posii x) for y De er her alg å ise fremgangsmåen full u for å finne. Begge bølgefunksjonene er a formen x y x, ) f ( ) (for bølge i posii x rening) og bølgehasigheen kan også ses direke fra denne ( sammenhengen. Bølgepulsen i ) D y ( x, ) D ( x), D = 1. cm og = m/s 1. y(x,=)/cm.5. 1 x/cm U fra ligningen finner en a maksimum i y innr når x=. Maksimalerdien er y max = D. For x = x 1 gir dee.4 m iden 1 : 1 x1 / 1 s ms m/s Ligningen for uslag reduser il 5% a maks ed x 1, finnes ed innseing i y (x,): y ( x, ) D D ( ) 1 D x1
Dee gir: 1 1 1 x1 D eller: x1 D ; x1 D Innsa med de numeriske allene fås o løsninger for : 1.5 ms og.5 ms. De er den sise a disse som er > 1, og sare er: =.5 ms Oppgae a Den oale armesrømmen gjennom eggen, ykkelse 5 cm er: I T A hor er armeledningsenen for, A, de oale areal, T er emperaurdifferanse mellom u og innside og ykkelse a lage. Innsa med numeriske erdier oppnår i: T K I A.8Wm K 11m 44W 4.4kW.5m 1 1 5 Eer a eggen er er: Temperauren i grenseflaen mellom og asjonslag innsiller seg slik a armesrømmen blir den samme i de o lagene (med her sin emperaurdifferanse): T T I A A Hor indeks for ariablene gjelder for asjonsmaeriale. T og T er emperaurdifferansen oer henholdsis og asjonsmaeriale. Areale er de samme for de o maerialene. Varmesrømmen gjennom den ere eggen, I kan beregnes u fra e a urykkene oer, men nger å besemme enen T eller T. Temperaurforskjellen oer eggen er: T T T 5K Løser likn i I mhp T og seer inn i T T T T T T 1 5K Løs mhp T : 1 1.5.5 T T1 1 5K 1.8K.8.15
Dee gir armesrøm I T A 1..5Wm K 11m 1 1 1.8K 56.15m W.56kW (ugne u fra emperaurforskjellen oer lage med i den ere eggen:) I T A 1 1.8Wm K. K 11 m 56W.5 m.56kw b Den ideell gassen med adiabakonsan =5/ /, ed olum.5m ogg rykk amm ed emperauren 77 C refereres il som ilsand 1. Ds., V 1 =.5m, p 1 = am og T 1 =(7+7.15) K =.15 K. Figur il ens skisserer prosessenn som er beskree. Adiabaisk prosess il ilsand hor V =1.m. Siden dee er en adiabaisk prosess gjelder ilsandslikningen TV 1 1 konsan T V og løs mhp T : 1 1 1 1 T T V V TV 1 1 1.15KK.5 1. i hele oergangen fra ilsand 1 >. Forr endepunkene a denne prosessen får i: / 167.4KK Komprimerer gassen ed en isobar prosess il sarolume, il en ilsandd i kaller. Oergangenn fra ilsand > er da karakeriser ed: pv pv nrt 1 T p V nr 1 pv 1 T pv V1 T V.5 1 167.4K 69.7K 1. Ved reur ilbake il ilsand 1 (isokorr prosess), kommer en ilbake il emperauren T 1. Arbeide som uføres i den sykliske prosessen er: Fra ilsand 1 il : Adiabaisk prosess. W 1 nr T T 1 1 67. kj
Fra ilsand il : pdv arbeide under konsan rykk: W kj (nger p som er beregne il.465 am, og konererin: 1 am = 1.1 1 5 N/m ) For oergangen fra ilbake il 1: ikke noe arbeid uføres. Toal arbeide: Wo W1 W (67. ) kj 4.kJ Oppgae c. Beraker en ideell gass, ds. pv nrt gjelder. Fra armelærens 1. hoedsening har i: du dq dw Hor U er indre energi, Q er arme og W arbeide. Definisjon a inkremenell endring a enropi: dq ds T Bruk a armelærens 1. hoedsening: dq du dw du pdv ds T T T T T For akuell gass med U nrt og eliminering a T i ledde som kommer fra dw ed likning for ideell gass: du pdv nrdt nrt dv dt dv ds nr T T T V T T V Inegrering a urykke for ds: / / ln ln ln ln ln S nr T V S nr T V S nr VT S Hor S er en konsan. Enropiforskjellen fra ilsanden (V 1,T 1 ) il (V,T ) er gi ed: 1 1 / / S S() S(1) nr ln V T S nr ln V T S V nrln V T ln T 1 1