Introduksjon og grunnleggende begreper

Introduksjon og grunnleggende begreper Innhold VEKTORER... NYTTIGE RELASJONER...2 IMPEDANS...3 OVERFØRINGSFUNKSJONER...6 SIGNALER...7 Harmonisk signal og aritmetiske rekker...8 Oktaver og geometriske rekker...9 TIDS OG FREKVENS PLAN...9 OPPGAVER... Vektorer En vektor er en pil med lengde og retning. Den kan angi et punkt i rommet, fortelle hastighet i en bestemt retning eller angi forflyttning fra a til b. Vi kan beskrive en vektor på mange ulike måter enten ved hjelp av hvor mye vektoren strekker seg langs de ulike aksene i planet eller rommet ved å angi absolutt lengde og vektorens vinkel i forhold til aksene. Her er fire ulike måter å angi en vektor på. z = (a, b), Tabellform hvor a og b er koeffisienter som forteller hvor mye vektoren strekker seg langs hver av aksene. Tabellposisjonen forteller hvilke akse det er snakk om. Her er det naturlig å si at første posisjon indikerer x-asksen, mens andre posisjon indikerer y-aksen. z = a+jb, Enhetsvektorform. Vektoren for a skrives ikke da det regnes for gitt at den peker langs x-aksen. j er en enhetsvektor som står normalt på x-aksen og derved peker langs y-aksen eller den komplekse aksen. En enhetsvektor er en vektor med lengde som utelukkende peker langs en bestemt akse. z = z e jθ, eksponensiell vinkelform. z angir lengden mens e jθ angir vinkelen mellom aksene. z= z cos(θ) + j z sin(θ), trigonometrisk vinkelform hvor z angir lengden mens θ angir vinkelen mellom aksene. j Merk at cos( ) j sin( ) og e er enhets vektorer som alltid har lengden og som pekte i retningen beskrevet av θ.

Den komplekse enhetsvektoren j (noen bruker bokstaven i) er definert som roten til minus. I kapittelet om laplacetransformasjoner i 0-punkter kommer vi tilbake til grunnlaget for å definere denne spesielle komplekse enhetsvektoren. Her nevner vi bare noen av regnereglene. j j j j 2 3 4 j 2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 4 /5( 2 j) Lengden til en vektor z=a+jb er gitt ved z z z * 2 2 ( a jb) ( a jb) a b Vinkelen finner vi med tangenssetningen som sier at tan(θ)=motstående / hosliggende tan b / a side. Vinkelen til en vektor z=a+jb er derfor y z θ Figur. Vektoren z i et xy- plan. x Nyttige relasjoner Ved fourieranalyse får vi ofte løsninger som inneholder en kombinasjon av ω, n og T. hvor ω =2πf = vinkelfrekvens, T= periodetid og n er en heltall indeks. Da er det viktig å huske at vi har relasjonen 2 / T som ofte setter oss i stand til å bli kvitt enten T eller ω etter behov.

v(t) T ) t Figur 2. Periodetid T angir tiden for en full syklus av et signal med grunnfrekvens f Når vi har kvittet oss med alle T og ω sitter vi ofte igjen med svingeledd med diskret innmat som for eksempel cos ( n π ) Da kan det være praktisk å se etter relasjoner som n cos( n ) ( ) Når vi regner med vektorer på formen e jθ er følgende regel praktisk å huske e j cos jsin Dette setter oss i stand til å hoppe mellom trigonometrisk og eksponentiell representasjon om vi skulle komme utfor utrykk vi ikke greier å løse slik de står i øyeblikket. kalles Eulers relasjon og fremkommer ved Taylor rekkeutvikling. Denne viser at e jθ er en vektor som alltid har lengde og som kan peke på alle punkter på enhetssirkelen. Ut fra denne relasjonen kan vi utlede at Relasjonen e j cos jsin cos sin j j e e 2 j j e e j2 Merk slike forhold som at e j e j og at vi derfor alltid kan utvide et urykk med dette. Dette er et triks vi vil benytte gjentatte ganger senere i boka. Impedans Vi har tre passive komponenter som er resistanser, spoler og kondensatorer. Disse oppfører seg forskjellig med hensyn til spenning og strøm. Vi kan studere dette ved å måle strøm og spenning i de tre følgende kretsene.

v V inn Bryter R R V ut i t Figur 3. Spenning og strøm forhold i to motstander t 0 t v V inn Bryter R X C V ut i Figur 4. Spenning og strøm forhold i motstand og kondensator. Spenning, strøm og ladning i en kondensator er som følger: v(t) i(t)dt, c q(t)/v(t), i(t) dq/dt, X c /jωj c t 0 t t v V inn Bryter R X L V ut i t t 0 t Figur 5. Spenning og strøm forhold i motstand, kondensator og spole Spenning og strømforhold i en spole er som følger: v( t) L i( t), X L jl Når bryteren kobles på i tiden t 0 vil strøm og spenningsforhold se ut som i skissene til høyre for hver figur. Vi ser at strøm og spenning er i fase for to motstander. For en motstand - kondensator krets vil strømmen først være stor og så avta mens spenningen langsomt bygger seg opp. Dette kommer av at kondensatoren i utgangspunktet er tom for elektroner. I det batteriet kobles til ser kretsen kondensatoren som en kortsluttning inntil den etter hvert fylles opp. Tilslutt stanser strømmen og vi har ikke lengre noe spenningsfall over motstanden. Derved blir Vut lik Vinn. For spolekretsen er det

omvendt. Spolen fungerer som et svinghjul som det tar tid å starte opp. I det batteriet kobles til vil det ikke gå strøm og vi har ikke spenningsfall over motstanden. Når magnetfelte er på plass vil en ideell spole ikke lengre ha noe motstand mot likestrøm og hele spenningsfallet blir nå liggende over motstanden. I nettverk som har en blanding av slike komponenter kan vi ikke snakke om ren ohmsk motstand. Motstaden i en kondensator (Xc) og i en spole X L kalles reaktanser. Har vi en blanding av ohmsk motstand og reaktanser, snakker vi om systemets impedans. Både Xc, X L og er vektorer som vist i Figur 6. X L R Xc Figur 6 Retningen til impedans vektorene R, X L og Xc Hvis vi har en serie kobling som består av spoler, motstander og kondensatorer kan disse legges sammen vektorielt. Gitt en seriekobling av X L = Ohm, R=5 Ohm, og Xc=2 Ohm så vil denne ha en total impedans på =j + 5 2j = 5-j, hvor j er den komplekse enhets vektoren. Legger vi sammen dette i et vektordiagram får vi følgende R X L Xc Figur 7 Vektor summen = X L +R+ Xc Vi kan også beregne impedansen for parallell koblinger. For rene motstander i parallell finner vi total motstanden ved å legge sammen ledeevnene eller admittansene A=/R of

så invertere svaret. Vi gjør det samme for reaktanser men må da huske at vi har med vektorer å gjøre. Vi har f.eks en parallell kobling mellom en 0 ohms motstand og en 5 ohms kondensator. tot R 0 Xc j5 j2 0 0 ( 2 j) 0 j2 j2 Hvor vi utvidet vi med j2 oppe og nede for å få j opp i teller og for å få felles nevner. Siden j blir j j mens j 5 j2 0. Vi invertere nå dette for å finne impedansen. tot tot tot tot 0 2 j 0 2 j 2 j 2 j 0 2 j 5 2 4 j Hvor vi igjen har utnyttet det at j j når vi utvidet med -2j. Overføringsfunksjoner Når vi skal regne på elektroniske systemer kan det være gunstig å skille mellom signalet vi sender inn, kretsens behandling av signalet og hva som kommer ut. Vi har tre ledd. E H R Figur 8. System med signal inn E (eksitasjon), overførings funksjon H og signal ut R (Respons)

I figuren over eksiterer vi kretsen med et signal, og får derved en respons ut. Beskriver vi signal og krets i tidsplanet vil vi måtte bruke mattematikk som foldingsintegraler og folde eksitasjonen med kretsens overføringsfunksjon for å finne responsen. Dette blir meget enklere når vi utrykker E, og H i frekvens planet. Vi kan da rett og slett multiplisere E med H for å finne R. Kjenner vi H og R kan ve dele dem på hverandre for å finne det opprinnelige signalet. Dette gir oss en god grunn til å bruke fourier og laplace transformasjoner. I noen sammenhenger ønsker vi å studere spennings signaler mens vi andre ganger vil se på strøm eller motstand. Det er vanlig å benytte H for en overføringsfunksjon som regner fra spenning til spenning. G for en funksjon som overfører fra spenning til strøm og for en funksjon som overfører fra strøm til spenning. Dette kommer vi tilbake til i kapittelet om laplace transformasjoner. Signaler Vi har mange ulike signaltyper og bruker ulike navn for å beskrive dem. Signaler kan også betegnes som funksjoner Kontinuerlig signal Begrepet kontinuerlig signal brukes om et signal som varer over meget lang tid uten å endre seg. En tonegenerator lager et kontinuerlig signal fra den blir slått på til den blir slått av eller til man endrer innstillingene. Signalet kan være glatt som en sinus tone eller ha knekkpunkter som en sagtann eller firkant funksjon. Ikke kontinuerlige signaler, burst, og puls For å beskrive det motsatte av et kontinuerlig signal snakker vi ofte om ikke kontinuerlig signaler burst eller pulser. Vi har ikke noe fullgodt ord for burst på norsk. En burst består ofte av en kort utsending av et signal eller en serie med pulser, som for eksempel utsending av fem sinus svingninger. En puls kan også være en burst, men som regel mener man et signal med kort varighet og som ikke er periodisk. Periodisk signal Begrepet periodisk signal brukes om et signal som gjentar seg. Sinus, cosinus, firkant og sagtann signaler er periodiske hvis de strekker seg over mer enn en periode. Diskrete signaler Digitale signaler er diskrete. En glatt funksjon eller analogt signal samples og blir diskret ved at man gjør en serie med diskrete målinger.

Harmonisk signal og aritmetiske rekker En aritmetisk rekke er definert som en rekke der avstanden eller differansen mellom nabo frekvenser er konstant. En gitarstreng kan vibrere med helt bestemte resonans eller egen frekvenser som følger en slik rekke. Ved grunntonen, (første harmoniske tone, første resonans eller på engels, fundamental or principal frequency) svinger streng med to noder eller 0 punkt, ett i hver ende hvor den er festet. Vi kan også sette den i svingninger slik at den svinger med tre eller flere 0 punkter. For hver ny node som innføres får vi en høyere overtone med økt frekvens og redusert bølgelengde. Bølgelengdene er gitt ved der n =,2,3... og L er strengens lengde. Første resonans vil altså ha bølgelengde. Den aritmetiske rekka som inneholder alle de svingemoder en streng teoretisk kan oppnå er gitt ved Mulige bølgelengder= n n 2 3 4 Frekvensene er gitt ved: f n v n nv n T p n T m/ L der v er bølgens fart gjennom strengen, T er spenningen, ρ er masse per enhetslengde, m er strengens masse. Høyere spenning og kortere strenglengde øker resonansfrekvensene. Dette gir rekken av alle teoretisk oppnåelige frekvenser for en svingende streng. Mulige frekvenser: nv v 2v 3v 4v L n 2 Merk imidlertid at vårt øre fungerer logaritmisk og vil oppfatte det som om høyere harmoniske svingninger ligger tettere en lavere. Aritmetiske rekker vokser langsom mot uendelig uten å konvergere mot en bestemt verdi.

Figur 9 Harmonisk serie eller svingemoder for en streng. Oktaver og geometriske rekker Geometriske rekker kjennetegnes generelt ved at forholdstallet mellom to og to naboledd er konstant. For at det skal høres ut som om høyere toner har samme toneavstand som lavere toner må bølgelengden avta i henhold til en geometrisk rekke av typen k 2 2 4 k 0 8 Mens bølgelengden mellom hver oktav avtar, øker antall svingninger i sekundet som (f, 2f, 4f, 8f, 6f, 32f ) = f 2 k hvor f er grunntonens frekvens. Tids og frekvens plan Hvis vi tar to sinusgeneratorer og stiller disse inn med for eksempel grunntone f =(0v,0Hz) og et annet signal f 3 =(3v, 30 Hz, hvor det første tallet er spenningen i volt. og blander disse sammen så får vi et signal som ser ut som i Figur 0. 5 0 5 0 0.00-5 2.00 4.00 6.00 0Hz,0V 30Hz, 3V Sum -0-5 Figur 0. Grunnfrekvens blandet med sin tredje harmoniske. Dette er en tidsplan beskrivelse hvor den horisontale aksen viser tiden. Når vi skal beskrive sum signalet, kan vi enten fortelle hvordan det svinger opp og ned, tegne det, eller oppgi formelen f(t)=0*sin(2πf )+3*sin(2πf 3 ). En alternativ og grei

beskrivelse får vi hvis vi seter opp en tabell over de første harmoniske svingningene og angir hvor mye vi har av hver av dem Fn=[0, 0, 3]. Vi kan også tegne et diagram som viser hva vi mener slik det er vist i Figur. Det er dette vi mener med å transformere et signal fra tidsplanet til frekvens planet. Vi bryter rett og slett signalet opp i sine enkelte frekvenskomponenter og angir hvor mye vi har av hver frekvenskomponent. Dette er noe forenklet da vi her ikke har sagt noe om fase, men vi kommer tilbake til dette i kapittelet om fourier analyse. Amplitude f f 2 f 3 Hz eller rad/sec Figur. Grunnfrekvens blandet med sin tredje harmoniske. Dette er en frekvens plan beskrivelse med frekvens langs den horisontale aksen. Det er en ting vi ikke har fått med i denne beskrivelsen og som vi lett kunne tegne i tid, og det er forandringer av signalets styrke og frekvens innhold. Vi tar forgitt at signalet er stabilt og ser likt ut over lang tid. Hvis vi har en elektronisk krets og kobler en signalgenerator til inngangen i tiden t=0 vil det ta litt tid før signalet stabiliserer seg på utgangen. Tiden fra signalet ble påtrykt til det har stabilisert seg kalles transient mens tiden etter kalles stasjonær. For å være sikker på at et signal er stasjonært sier vi at det har gått uendelig lang tid siden signalet ble påtrykt. For å kunne studere den transiente delen av et signal, innfører vi en ny akse som vi kaller sigma (σ ) og som er slik at 0 tilsvarer det stasjonære tilfellet, mens man uendelig langt ute finner the big bang eller frekvensspekteret i det tidspunkt hvor signalet ble påtrykt. Over planet som spennes ut av σ og ω aksen har vi et landskap eller en flate som beskriver frekvensspekteret til signalet fra det ble på trykt til det stabiliserte seg. Skjærer vi et snitt av dette planet langs w aksen med σ=0 får vi det stasjonære frekvensspekteret. Skjærer vi et annet snitt parallelt med ω aksen der σ= finner vi spekteret som var litt nærmere det øyeblikket hvor signalet ble påtrykt.

z-akse σ F(s) 2 90 s 4 jω Figur 2. s-planet eller det såkalt Laplaceplanet har en ekstra akse som gjør det mulig å beskrive endringer i amplitude- og fasespekteret som funksjon av både tid og frekvens. Her viser vi en funksjonsverdi for punktet s=(2,4), men merk at F(s) danner en kontinuerlig flate hvis vi tegner inn alle mulige verdier av σ,ω. Vi skal komme tilbake til dette aksesystemet under behandlingen av Laplace transformasjoner. Merk bare foreløpig at vi har økende frekvens langs jω aksen og at σ- aksen forteller om den transiente delen av frekvensspekteret. Oppgaver Oppgave. Impedansdiagrammer a) Tegn et vektordiagram med reell og imaginær akse og tegn inn vektoren j, -j og. b) Tegn inn z = j+j, z=j-j, z=j+. c) Forenkle / regn ut utrykkene j j, j j j, og j d) Skriv e j på trigonometrisk form. e) Utrykket mot 0. a e går mot 0 hvis a går mot minus uendelig. Vis hvorfor ja e ikke går

f) Tegn inn j e i et diagram for fire fritt valgte verdier av θ. Motstanden i elektroniske komponenter som spoler kondensatorer og motstander kan beskrives som impedans () hvor er en vektor med en real og en imaginær del. Vi har tre uttrykksformer. a jb, ( a, b), og j e For å belyse dette nærmere skal vi beregne for noen ulike passive kretser. Sett gjerne opp og beregn for andre kombinasjoner av parallell og serie koblinger i tillegg til forslagen under. Oppgave 2. Impedans i en RC seriekobling ω=2 rad/sec R=4 Ω C=0.25F La R være 0 ohm, C være 5nF og vinkel frekvensen ω =25rad/sec a) Finn grafisk ved å tegne vektor diagram over R og Xc b) Finn utrykt ved ω, R og C på de tre ulike formene. c) Sett inn verdier og beregn for de tre formene. (Start med å betrakte impedansen i C som Xc ) Oppgave 3. Impedans i en LRC seriekobling ω R C L La R være 4 Ω, C være /4F, L=2H og vinkel frekvensen ω være 2 rad/sec a) Finn grafisk ved å tegne et vektor diagram over R, XC og XL b) Finn utrykt ved R, XL og XC c) Finn imaginær og real delen til d) Finn normen (lengden ) til e) Finn vinkelen mellom real og imaginær delen f) Finn utrykt ved ω, R, L og C på de tre ulike formene. g) Sett inn verdier og beregn for de tre formene.

Start med utrykket R XC XL Oppgave 4. Impedans i sammensatt RC krets ω R C C L La R være 4 Ω, C være /4F, L=2H og vinkel frekvensen ω være 2 rad/sec. Merk at denne komponent kombinasjonen vil komme igjen i senere oppgaver om Wien filter under emnet operasjons forsterker. Nettverket over er et båndpass filter. a) Finn grafisk ved å tegne et vektor diagram over R, XC og XL b) Finn utrykt ved R, XL og XC c) Finn imaginær og real delen til d) Finn normen (lengden) til e) Finn vinkelen mellom real og imaginær delen f) Finn utrykt ved ω, R, L og C på de tre ulike formene. Start med utrykket R X L X C Oppgave 5. Impedans i sammensatt LRC krets ω R L La R være 4 Ω, C være /4F, L=2H og vinkel frekvensen ω være 2 rad/sec a) Finn grafisk ved å tegne et vektor diagram over R, XC og XL b) Finn utrykt ved R, XL og XC c) Finn imaginær og real delen til d) Finn normen (lengden) til e) Finn vinkelen mellom real og imaginær delen f) Finn utrykt ved ω, R, L og C på de tre ulike formene. C Start med utrykket R X L X C