MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis for et vektorrom V. Da er koordinatavbildningen x [x] B en isomorfi fra V på R n, dvs at denne avbildningen er lineær, 1-1 og på R n. Poenget med dette teoremet er at ethvert spørsmål om vektorrommet V som har med lineær algebra å gjøre, kan oversettes til et tilsvarende spørsmål om R n ved hjelp av koordinatavbildningen. Mange endeligdimensjonale vektorrom har en naturlig basis (som gjerne kalles standardbasisen), så denne fremgangsmåten kan ofte brukes. Følgende resultat, som ikke står nevnt eksplisitt i boka, er en konsekvens av teoremet ovenfor. Korollar til Teorem 8 [Avsn. 4.4] : Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis for et vektorrom V og la S være en endelig delmengde av V, bestående av p forskjellige vektorer, u 1,..., u p (ordnet i denne rekkefølgen). Betrakt da mengden S B = { [u 1 ] B,..., [u p ] B } av vektorer i R n, og n p matrisen [S B ] som har vektorene i S B som sine kolonnevektorer, dvs [ SB ] = [ [u 1 ] B [u p ] B ]. Da gjelder: S utspenner V S B utspenner R n. S er lineært uavhengig i V S B er lineært uavhengig i R n. S er en basis for V S B er en basis for R n p = n og matrisen [S B ] er invertibel. 1
Noen kommentarer. 1. Fra den siste påstanden i korollaret ser vi at dersom V har en basis B med n elementer, så er antall vektorer i en hvilken som helst annen basis for V også lik n; tallet n kalles dimensjonen til V (og er temaet for avsnitt 4.5). 2. Når S er en basis for V, kalles den invertible matrisen [S B ] for en koordinatskifte-matrise, eller for en basisskifte-matrise. Slike matriser skal vi studere nærmere i avsnitt 4.7. 3. Vi kan avgjøre om S B utspenner R n, eller om S B er lineært uavhengig, eller om S B er basis for R n, ved å beregne den reduserte trappeformen R = rref([s B ]) til [S B ] og se på pivotstrukturen til R. Vi vet nemlig at: S B utspenner R n R har pivoter i alle sine rader, S B er lineært uavhengig R har pivoter i alle sine kolonner, S B er basis for R n p = n og R = I n (identitetsmatrisen). Tar vi oss bryet med å beregne [S B ] og R, og bruker korollaret, vil vi derved kunne besvare om S utspenner V, eller om S er lineært uavhengig, eller om S er en basis for V. Nå er det slik at i en del situasjoner, så vil dette kunne avgjøres nokså direkte, uten å følge dette oppsettet (som ofte vil være regningskrevende). Det er derfor lurt å tenke seg litt om før man setter i gang... Eksempel 1. La B = {1, t, t 2 } være standardbasisen for P 2 og la Da er S = { 1 t 2, t t 2, 2 t t 2 }. } S B = {[1 t 2 ] B, [t t 2 ] B, [2 t t 2 ] B så [ S B ] = 0 1 1 0 2. = { 1 0, 0 1, 2 }, 2
Utregning gir at R = rref([s B ]) er gitt ved R = 1 0 2 0 1 0 0 0 Vi ser at R ikke har pivoter i alle rader og heller ikke pivoter i alle kolonner. Dermed kan vi konkludere fra korollaret (i kombinasjon med kommentar 3.) at S hverken utspenner P 2 eller er lineært uavhengig. En lineær avhengighetsrelasjon mellom vektorene i S kan vi forøvrig lett lese av R. Vi ser at. k 3 = 2 k 1 k 2 (der k j -ene betegner kolonnevektorene til R). Tilsvarende lineær avhengighetsrelasjon må da gjelde mellom vektorene i S. Dette betyr at 2 t t 2 = 2 (1 t 2 ) (t t 2 ) som vi jo ser er riktig. Hadde vi klart å se dette med en gang, hadde vi ikke trengt å gjøre utregningene ovenfor for å komme frem til at S er lineært avhengig. Betrakt nå mengden S = {1 t 2, t t 2, 2 t + t 2 } (som fremkommer ved å forandre et fortegn i siste elementet i S). Vi finner da at [S ] B = 1 0 2 0 1. 1 Utregning gir nå at R = rref([s B ]) = I 3. Dette gir at S B er en basis for R3, og vi kan konkludere fra korollaret at S er en basis for P 2. Eksempel 2. Vi betrakter V = Span {sin t, sin 2t, sin 3t} og S = { 2 sin t sin 2t + sin 3t, sin t + sin 2t 3 sin 3t }. Er S lineært uvahengig? 3
Skal vi bruke korollaret for å kunne besvare dette spørsmålet, må vi først finne en basis for V. Den opplagte kandidaten er B = {sin t, sin 2t, sin 3t}, som per definisjon utspenner V. Vi trenger da bare å sjekke at B er lineært uavhengig: Anta at c 1 sin t + c 2 sin 2t + c 3 sin 3t = 0 for alle t R. Ved å sette inn f.eks. t = π/6, t = π/4 og t = π/2 i tur og orden får vi følgende likningssett: 1 3 2 c 1 + 2 c 2 + c 3 = 0 2 2 2 c 1 + c 2 + 2 c 3 = 0 c 1 + 0 c 2 + c 3 = 0 Utregning gir dette homogene systemet bare har den trivielle løsningen c 1 = c 2 = c 3 = 0 (m.a.o. at koeffisientmatrisen til systemet er invertibel, jf. IMT). Dette viser at at B er lineært uavhengig. Dermed kan vi konkludere med at B er en basis for V. Det er nå opplagt at [S B ] = 2 1. 1 3 Utregning gir at R = rref([s B ]) = 1 0 0 1. 0 0 Siden R har pivoter i begge sine kolonner kan vi konkludere med at S B, og derfor også S, er lineært uavhengig. I dette eksemplet er det nok enklere å begrunne direkte at S er lineært uavhengig ved å observere at ingen av funksjonene i S er et multiplum av den andre. Dette kan vi innse ved å sette inn f.eks. t = π og t = π i begge funksjonene; alternativt kunne vi skissert 4 2 grafene til disse to funksjonene for å overbevise oss om det. Oppgaver som kan løses tilsvarende som disse to eksemplene finner du i boka (se bl.a. oppgavene 4.4.27-34 og 4.5.34). 4
Til slutt går vi gjennom hovedpunktene i beviset for korollaret. Vi er gitt en ordnet basis B = {b 1,..., b n } for V. Videre er S = {u 1,..., u p } V, S B = { [u 1 ] B,..., [u p ] B } R n og [S B ] = [ ] [u 1 ] B [u p ] B er den assosierte n p matrisen. Vi begynner med en enkel observasjon. La u V og c 1,, c p R. Da gjelder at u = c 1 u 1 + + c p u p (1) (siden koord. avb. er 1-1) (siden koord. avb. er lineær). [u] B = [ c 1 u 1 + + c p u p ]B [u] B = c 1 [u 1 ] B + + c p [u p ] B (2) Vi kan nå begrunne den første ekvivalensen i korollaret. Anta at S utspenner V. La x R n. Siden koordinatavbildningen er på R n, finnes det en u V slik at [u] B = x. Videre, fordi S utspenner V, finnes det c 1,, c p R slik at (1) holder. Men da får vi fra (2) at x = [u] B = c 1 [u 1 ] B + + c p [u p ] B, m.a.o. at x er en lineær kombinasjon av vektorene i S B. Dette viser at S B utspenner R n (siden x var en vilkårlig vektor i R n ). Omvendt, anta at S B utspenner R n. La u V. Da finnes c 1,, c p R slik at (2) holder. Men da holder også (1), så u er en lineær kombinasjon av vektorene i S. Dette viser at S utspenner V (siden u var en vilkårlig vektor i V ). Dermed har vi vist den første ekvivalensen. Den andre ekvivalensen vises tilsvarende (jf. oppgave 4.4.25 i boka). 5
Vi begrunner til slutt den siste påstanden i korollaret, som består av to ekvivalenser. Den første er grei: S er jo en basis for V hvis og bare hvis V er utspent av S og S er lineært uavhengig; med det vi nå vet, er dette ekvivalent med at S B utspenner R n og S B er lineært uavhengig, altså med at S B er en basis for R n. Den siste ekvivalensen følger nokså umiddelbart ved å bruke IMT på passende vis. Vi kan nemlig argumentere som følger: Anta at S B er en basis for R n, m.a.o. at S B utspenner R n og S B er lineært uavhengig. Sett R = rref([s B ]). Vi vet da at R vil ha pivoter i alle rader og i alle kolonner (jf. kommentar 3.). Dette betyr at p = n og R = I n. Men da sier IMT at [S B ] invertibel. Omvendt, anta at p = n og [S B ] er invertibel. Da er R = I n (igjen ved IMT), så S B utspenner R n (siden R = I n har pivoter i alle rader) og S B er lineært uavhengig (siden R = I n har pivoter i alle kolonner). Dermed er S B en basis for R n. Dette fullfører beviset for den aller siste ekvivalensen. 6