UNIVESITETET I AGDE Gimsad E S A M E N S O P P G A V E : AG: MA-9 Maemaikk LÆE: Pe Henik Hogsad lasse: Dao: 6.5. Eksamensid a-il: 9.. Eksamensoppgaven beså av ølgende Anall side: 5 inkl. oside vedlegg Anall oppgave: 5 Anall vedlegg: Tillae hjelpemidle e: alkulao Hogsad: omle MA-9 Haugan: omle og abelle Gldendal: omelsamling i maemaikk omann: Maemaisk omelsamling Ikke illa å skive i omelsamlingene ANDIDATEN MÅ SELV ONTOLLEE AT OPPGAVESETTET E ULLSTENDIG
Oppg n Poeng a b a b a b c a b 5 --------------------- Sum Poengene vise vek-odelingen o de enkele del-spøsmålene. Ved kaakeseing veklegges selvølgelig i illegg en oal-vudeing bl.a. en vudeing av i hvilken gad kandidaen ha kunnskape inneno de ulike omådene gi i oppgave-see. Besvaelsen skal inneholde mellomegninge. alkulao skal ikke benes i beegningene kun il evenuell konoll av egne sva. LYE TIL!
. En kuve i omme e gi ved: [ cos sin ] [ ] a Vis a kuven ligge på en slindelae med akse gjennom punke paallell med -aksen og med adius lik. b Besem lengden av kuven.. igu. vise en del av en kuve i plane gi ved: [ ] [ ] a Vis a kuven e smmeisk om ande-aksen -aksen. b Besem vha Geens aeal-eoem aeale av de lukkede omåde som kuven avgense. ig.. E omlegeme D e avgense av den paabolske slindeen og den ellipiske paaboloiden se igu.. a Vis a skjæingskuvens pojeksjon ned i -plane mellom disse o gie laene e en sikel med senum i oigo og adius lik. b Besem volume av omlegeme D. c Vi ha gi ølgende vekoel: [ ] Besem neo luks av de gie vekoele u av legemen D. ig.
. igu. vise plane S gi ved:. Plane skjæe koodinaaksene i punkene A B og C. Vi la væe den lukkede kuven som gå langs de ee linjeskke a A il B eeulg av de ee linjeskke a B il C og il slu eeulg av de ee linjeskke a C il A. Vi ha gi ølgende vekoel: [ ] Med kuveinegale av de gie vekoele langs den lukkede kuven mene vi: d a Besem kuveinegale av de gie vekoele langs den lukkede kuven ved dieke beegning dvs uen buk av Sokes eoem. b Besem kuveinegale av de gie vekoele langs den lukkede kuven ved hjelp av Sokes eoem. ig. 5. En vannhasighe e epesene ved ølgende vekoel. [ ] v Vi plassee e skovlhjul paddle wheel se ig 5. i punke P/. Beegn i hvilken ening aksen il dee skovlhjule må plassees o a vi skal å maksimal sikulasjon oasjon på dee skovlhjule og beegn i hvilken ening skovlhjule oee. Du kan gjene øs agumenee uen maemaikk o denne akseplasseingen ø du deee veiisee konollee din konklusjon maemaisk. ig 5.
Løsning:. [ cos sin ] [ ] a cos sin cos sin cos sin 9cos 9sin 9cos sin 9 9 De geomeiske sed o alle de punke som opplle: e en slinde med en akse paallell med -aksen gjennom punke og med adius. Heav se vi a kuven ligge på en slinde med en akse paallell med -aksen gjennom punke og med adius. b v v [ cos sin ] [ sin cos ] [ sin cos ] sin cos 9sin cos L ds v d d d C
. a uven e smmeisk om ande-aksen -aksen hvis -komponenen il -veko beholde absoluvedien og skie egn mens -komponenen e uende nå paameeen bes u med. Heav se vi a kuven e smmeisk om ande-aksen -aksen. b uvens skjæingspunke med ande-aksen -aksen: uvens skjæingspunke med ande-aksen -aksen e og Nå løpe a - il se vi a kuven løpe a punke - i ande kvadan gjennom punke u i øse kvadan gjennom punke u i ande kvadan gjennom punke u i øse kvadan og ende il slu opp i punke i øse kvadan. Vi bene Geens aeal-eoem sam smmeiegeneskapen a a. Mek a Geens aeal-eoem keve a vi gjennomløpe en lukke kuve i posiiv ening mo klokka. Vi kalle denne lukkede kuven o. Vi å deo beegne halvdelen av eespu aeal ved å gjennomløpe kuven a oigo gjennom øse kvadan em il punke denne delen av den lukkede kuven kalle vi o deee å ølge ande-aksen -aksen a denne delen av den lukkede kuven kalle vi : ilbake il oigo. I den øse del a gjennom øse kvadan em il av denne lukkede kuven. svae dee il a paameeen løpe a il -.
Aeal av avgense omåde kan vha Geens aeal-eoem skives: d A Eespu aeal vil nå væe gi ved: 5 56 5 5 d d d d d d d d d A
. a Skæingskuven mellom de o gie laene: Heav ølge a skjæingskuvens pojeksjon ned i -plane mellom de o gie laene e en sikel med senum i oigo og adius lik. b Volume av omlegeme D: d d d d dd d dv V D c Vi bene Gauss lov il å besemme neo luks u av omlege D: Φ V dv dv dv nds D D D S
. Vekoel: [ ] Plane : a Dieke beegning av kuveinegal: oodinae il A B og C: A B C eningsvekoe: AB : v BC : v CA : v [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Paameeiseing: AB : BC : CA : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] -veko og d-veko: [ ] AB : BC : CA : [ ] d [ ] d d [ ] d [ ] d d d 9 d [ ] d [ ] d d 6 6 d 6 6 d
uveinegal ved dieke beegning: 6 9 6 9 6 6 9 ca bc AB d d d d d d d b uveinegal vha Sokes eoem: S p nds Tds d k j i p k p 6 6 dd p nds Tds d S
5. [ ] v Sokes eoem: C v Tds S v nds Vi la he C væe en sikulæ kuve med skovle-aksen nomal på sikelplane gjennom sikelens senum. laen S e en lae som ha C som and. I vå oppgave la vi S væe den plane sikelskiven avgense av sikelen C. n-veko vil nå væe en konsan enhesnomalveko på laen S. Vi å p de maksimal sikulasjon av vekoele gi ved hasighesvekoen v-veko og demed i vå ilelle maksimal oasjons-hasighe på skovlen nå vi ha maksimal vedi av enkel-inegale il vense elle vha Sokes eoem maksimal vedi av dobbel-inegale l høe. La oss se li næmee på ineganden i dobbel-inegale il høe: i j k v [ ] Vi se a cul il v-veko ha ening paallell med -aksen. Deo å vi maksimal inegand og demed maksimal sikulasjon ved å la n-veko væe paallell med -aksen. o vil cul il v-veko væe lik null-veko dvs vi å ingen sikulasjon. Vanne vil nå sømme like me med skovlen i ande-kvadan som mo i øse kvadan. o ½ som e oppgi i oppgaven vil cul il v-veko væe lik [-]. Dee be a n-veko vil ha ening i negaiv -ening hvilke igjen svae il a sikulasjonen e i ening med klokka se ovena nedove langs -aksen. Dee henge sammen med a vanne se ovena nedove langs -aksen sømme me med på vense side enn mo på høe side. onklusjon: Vi å maksimal sikulasjon nå n-veko peke samme vei som cul il v-veko. Den maksimale sikulasjon oegå i e plan nomal på denne n-veko. Aksen på skovlhjule må alså plassees i ening paallell med -aksen. o ½ å vi: v [ ] Cul il v-veko peke alså i ening paallel med den negaive -aksen. Skovlhjule vil deo oee med klokka se ovena nedove paallel med -aksen.