Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består av 5 flervalgsoppgaver, hver med 5 svaralternativer. Du skal angi ett av alternativene, 1,, 3, 4 eller 5, på hver flervalgsoppgave. Rett svar gir 5 poeng, og galt svar gir 0 poeng. Gardering gir 0 poeng. Du kan velge å ikke besvare en flervalgsoppgave. Da får du 1 poeng på den oppgaven. Svarene skal ikke begrunnes. Høyeste mulige poengsum på oppgave 1 er 5 poeng. a) Et lineært ligningssystem har 7 ligninger og 8 ukjente. Koeffisientmatrisen har rang lik 7 og totalmatrisen har rang lik 7. Hvor mange løsninger har systemet? 1) Ingen løsning ) Én løsning 3) To løsninger 4) Uendelig mange løsninger 5) Det er for få opplysninger til å si noe om antall løsninger av systemet Svar: Alternativ 4). Siden rangen til koeffisientmatrisen og totalmatrisen er lik er systemet konsistent, det vil si at det har minst en løsning. I og med at det er flere ukjente enn ligninger vil systemet derfor ha uendelig mange løsninger. b) S = { [ 1 1 ] T, [ 1 ] T } er en basis for R. Hva er koordinatvektoren til x = [ 1 3 ] T med hensyn på basisen S? 1) [ 1 ] T ) [ 1 1 ] T 3) [ 0 1 ] T 4) [ 1 3 ] T 5) Det eksisterer ingen koordinatvektor med hensyn på den oppgitte basisen. Svar: Alternativ 1). Koordinatvektoren [x] S = [ a b ] T er slik at [ ] [ ] [ ] 1 1 1 a + b = 1 3 Setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1, 1 3 0 1 som gir b = og a = 1. Da blir koordinatvektoren [x] S = [ 1 ] T. 1
c) Gitt et vektorrom V utspent av vektorene {a 1,a,a 3,a 4 }. V er et underrom av R 5. Hvor mange vektorer er det i basisen til V? (Hvilken av følgende påstander er mest korrekt?) 1) Minst 4 vektorer ) Nøyaktig 4 vektorer 3) Maksimalt 4 vektorer 4) Nøyaktig 5 vektorer 5) Maksimalt 5 vektorer Svar: Alternativ 3). Siden V er utspent av 4 vektorer kan basisen maksimalt inneholde 4 vektorer, men siden noen av vektorene i basisen kan være lineært avhengige kan man ikke si noe mer nøyaktig om antallet. d) La A,B,C og X være inverterbare matriser av samme orden. Når ligningen (AX) T C 1 = B T løses med hensyn på X fåes 1) C T BA 1 ) C T A 1 B 3) A 1 BC T 4) A 1 C T B 5) BC T A 1 Svar: Alternativ 4). Bruker regnereglene for matriser: ganger med C fra høyre transponerer begge sider ganger med A 1 fra venstre (AX) T C 1 = B T (AX) T = B T C AX = (B T C) T AX = C T B X = A 1 C T B e) La S = {v 1,v,v 3,v 4 }, der v 1 = (1,0,1,0),v = ( 1, 1,1,1),v 3 = (1,1,0,0),v 4 = (0,0,1,1). Hvilken delmengde av S er en basis for vektorrommet V = span(s). 1) {v 1,v 4 } ) {v 1,v,v 4 }
3) {v,v 3,v 4 } 4) {v 1,v,v 3,v 4 } 5) Ingen av de ovenstående mengdene er en basis for V. Svar: Alternativ ). Lar v i være kolonnene i matrisen A, og gausseliminerer denne: 1 1 1 0 1 0 0 0 A = 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 = AG 0 1 0 1 0 0 0 0 Søyle 1, og 3 er pivotsøyler, så disse er lineært uavhengige. Fra A G ser en også at søyle 1, og 4 er lineært uavhengige, dermed må også søyle 1, og 4 i A være lineært uavhengige. Så {v 1,v,v 4 } danner en basis for V. Oppgave (15 %) - Lineære ligningssystem Gitt matrisen 0 α 1 A = 0 1 α, og vektoren b = 0 α 0 0 α a) Bestem rangen til A for alle reelle tall α. Svar: Når determinanten til matrisen er ulik null har matrisen rang lik 3: 0 α 1 det(a) = 0 1 α α 0 0 = α α 1 1 α = α(α + 1). Dette gir at det(a) = 0 α = 0. Ser nærmere på tilfellene der determinanten er lik null; Setter inn α = 0 i matrisen A og gausseliminerer: 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 Dette gir at rang(a) = 3 når α R\{0}, rang(a) = når α = 0. b) For hvilke verdier av α er A invertibel? Finn A 1 når α = 1. Svar: A er invertibel når det(a) 0, dvs. når α = R\{0}. Finner A 1 når α = 1 ved standardmetoden: 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1/ 1/ 0, 0 0 1 1/ 1/ 0 0 0 1 1/ 1/ 0 3
så 0 0 1 A 1 = 1/ 1/ 0. 1/ 1/ 0 c) For hvilke verdier av α har ligningssystemet Ax = b nøyaktig en løsning, mer enn en løsning, ingen løsning? Løs ligningsystemet når α = 1. Svar: Ligningssystemet har nøyaktig en løsning når det(a) 0. I oppgave a) viste vi at dette var ekvivalent med at α 0. Ved å sette inn α = 0 i systemet får vi 0 0 1 0 1 0 0, 0 0 0 0 og ser dermed at rang(a) = rang(ã) = < 3. Da er systemet ubestemt og har uendelig mange løsninger. Løsningsmengden i dette tilfellet er gitt som {(x 1,x,x 3 ) x 1 = t,x = 0,x 3 =,t R}. Det finnes ingen reelle verdier av α som gjør at systemet ikke er løsbart (selvmotsigende). Når α = 1 er A inverterbar, så vi kan løse matriseligningen ved å multiplisere med A 1 : Ax = b x = A 1 b 0 0 1 1 = 1/ 1/ 0 0 = 1. 1/ 1/ 0 1 1 Oppgave 3 (15 %) - Egenverdier og egenvektorer Gitt matrisen A = [ ] 8. 8 8 a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A. Svar: Egenverdiligningen det(a λi) = 8 λ 8 8 λ = ( λ 8) 16 = λ + 16λ + 48 = 0 gir egenverdiene λ 1 = 4 og λ = 1. Siden egenverdiene er forskjellige, så vil ethvert sett av tilhørende egenvektorer være lineært uavhengige. Finner egenvektorer ved standard metode: 4
Standardmetode for å bestemme egenvektorene, er å løse det homogene ligningssystemet (A λi)x = 0 ved Gausseliminasjon for hver av egenverdiene. λ 1 = 4: A λ 1 I = [ ] 4 8 4 [ ] 4, k 0 0 1 = t [ ] 1,t 0. λ = 1: A λ I = [ ] 4 8 4 [ ] [ ] 4 1, k 0 0 = t,t 0. 6 liter/min rent vann 8 liter/min 6 liter/min 1 liter/min Figur 1: Tanker med saltlake b) To tanker er forbundet med rør. I rørene strømmer saltlake. Ved start (t = 0) er det 100 liter saltlake med saltkonsentrasjon 0,0kg/liter i tank 1 og 100 liter rent vann i tank. Still opp et system av differensialligninger og bestem saltmengden (i kg) i hver tank som funksjon av tiden ut fra de oppgitte startbetingelsene og volumstrømmene som er påført Figur 1. (Hint: Resultatet fra oppgave a) kan brukes.) Svar: La x j (t) være saltmengden [kg] i tank j ved tiden t [min], der j {1,}. Startbetingelsene er da x 1 (0) = 100 liter 0,0 kg/liter = kg x (0) = 100 liter 0,00 kg/liter = 0 kg. Stiller opp differensialligningssystemet: x 1 = x 1 /100 8 + x /100 = 0,08x 1 + 0.0x x = x 1 /100 8 x /100 8 = 0,08x 0.08x, som på matriseform blir ẋ = Bx, (1) [ ] 0,08 0,0 der B =. Dette er et homogent system av lineære differensialligninger. Vi observerer at matrisen B = A/100, slik at egenverdiene til 0,08 0,08 B er lik egenverdiene til A delt på 100 og egenvektorene er de samme. Da gir formelsamlingen at den generelle løsningen av ligningssystemet gitt av (1) er x(t) = c 1 e λ1t k 1 + c e λt k [ ] [ ] = c 1 e 0,04t 1 + c e 0,1t 1. 5
Ved å sette inn startbetingelsene gitt i oppgaveteksten bestemmer vi konstantene c 1 og c : som gir ligningssystemet x 1 (0) = c 1 e 0,04 0 1 + c e 0,1 0 1 = x (0) = c 1 e 0,04 0 + c e 0,1 0 = 0, c 1 + c = c 1 c = 0, med løsning c 1 = 1 og c = 1. Da blir endelig løsning av systemet [ ] [ ] x(t) = e 0,04t 1 + e 0,1t 1. Oppgave 4 (10 %) - Transformasjoner En linje l går gjennom origo og danner en vinkel på 30 med x-aksen. En transformasjon T i R speiler punkter om linja l. a) Bestem transformasjonsmatrisen til T. Svar: Dette kan sees på som en sammensatt transformasjon, der vi først roterer 30 med klokka (θ = 30) om origo, deretter speiler om x-aksen (skifter fortegn på y-koordinaten), og tilslutt roterer 30 mot klokka (θ = 30) om origo. Stiller først opp matrisene for hver av disse transformasjonene, for så å multiplisere disse sammen. Rotasjon 30 med klokka (θ = 30) om origo [ ] cos( 30) sin( 30) R 30 = = sin( 30) cos( 30) Rotasjon 30 mot klokka (θ = 30) om origo [ ] 3/ 1/ 1/ 3/ [ ] [ ] cos(30) sin(30) 3/ R 30 = = 1/ sin(30) cos(30) 1/ 3/ Speiling om x-aksen S x = [ ] 1 0 0 1 Rekkefølgen på transformasjonene er R 30, S x og tilslutt R 30. Transformasjonen T blir da: [ ][ ][ ] [ ] 3/ 1/ T = R 30 S x R 30 = 1 0 3/ 1/ 1/ 3/ 0 1 1/ 1/ 3/ = 3/ 3/ 1/ 6
b) Utfør transformasjonen på trekanten ABC, der A(1, 3),B( 3,1),C(, 3). Tegn figur. Man kan finne egenrommene til transformasjonsmatrisen (du trenger ikke gjøre dette). Beskriv med ord hva egenrommet til egenverdien 1 representerer. (NB. Du trenger ikke regne ut egenverdiene og egenvektorene) Svar: Setter opp punktene som skal transformeres i matrisen P: [ ] 1 3 P =. 3 1 3 Transformasjonen utføres ved å multiplisere transformasjonsmatrisen T fra oppgave a) med punktmatrisen P: [ ][ ] [ ] 1/ 3/ TP = 1 3 3 4 =. 3/ 1/ 3 1 3 0 1 0 De transformerte punktene blir A (,0), B ( 3,1) og C (4,0). Vi observerer punktet B ligger i ro under transformasjonen siden B=B. Det er ikke så rart, siden B ligger på linja trekanten speiles om. Figur viser resultatet av transformasjonen. 4 l C 3 1 A B B 0-1 A C - -3-4 0 1 3 4 5 6 7 Figur : Transformasjoner på trekanten ABC. Egenrommet til egenverdien 1 til transformasjonsmatrisen T er alle de punkter som ikke endres av transformasjonen: Tx = x, det vil si alle punkter som ligger på linja det speiles om. Oppgave 5 (35 %) - Grafikk Betrakt trekanten ABC spesifisert i Oppgave 4b) (Hjørnepunkter A(1, 3), B( 3,1), C(, 3)). 7
a) Lag en java-metode med kall til OpenGL-metoder, som tegner opp denne trekanten. Kall metoden tegntrekant(). Hint: Bruk OpenGL-metoden gl.glbegin(gl.gl_triangle); til å tegne opp trekanten. Et hjørnepunkt angis ved: gl.glvertex??(?,? ); b) Lag en ny java-metode som kaller metoden i a) og utfører følgende transformasjoner av trekanten: 1) Trekanten roteres 30 grader med urviseren. ) Trekanten skaleres med følgende skaleringsfaktorer: s x = 1 skalering i x-retning s y = 1 skalering i y-retning 3) Trekanten roteres 30 grader mot urviseren. Metoden skal kalle metoden tegntrekant() og tegne opp trekanten i den nye roterte og skalerte posisjonen. Rotasjonen skal være om z-aksen, dvs. en akse normalt på x,y-planet. Sett opp matriselikningene med bruk av homogene koordinater og lag en skisse av trekanten etter hver transformasjon. c) Anta at det innføres et nytt punkt D(1, 3,1). De fire punktene A, B,C og D danner nå en pyramide med trekanten ABC som grunnflate. Definer en todimensjonal tabell i java som inneholder alle koordinatene til hjørnepunktene i pyramiden. Definer også en tabell som gir ulik farge til hver enkelt flate i pyramiden. Tegn opp pyramiden og sett nummer på hjørnene og flatene. d) Skriv om metoden i a) slik at den tar hjørnenummerne som parametre for å tegne trekanten. Angi en farge på trekanten. Hjørnepunktene og fargen på trekanten skal gis på vektorform. e) Lag en metode i java som tegner pyramiden ved å kalle metoden i d) en gang for hver flate. f) Lag en metode i java som animerer pyramiden slik at den roterer rundt y-aksen. Hint: Bruk en for-løkke. 8