Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen!
2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial- og logaritmefunksjoner Vektorregning - og en liten prøve
3 Multiplikasjon og potenser Skrivemåte Potenser: a p a q = a p+q 3a = 3 a ab = a b a p a q = ap q a 0 a 0 = 1 a p = 1 a p a 0 (a b) p = a p b p ( a b ) p = ap b p b 0 (a p ) q = a p q (a, b, p, q R)
4 Kvadratrot og n-terot Oppsplitting ab = a b 1 n a = a n n ab = n a n b a a b = b 0 b a n n a b = n b 0 b (a, b 0, n N = {0, 1, 2, 3,...}).
5 Kvadrat- og konjugatsetning Lær å bruke disse begge veier! (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2
6 Brøkregning Sette på en brøkstrek a c + b c = a + b c a c b c = a b c a c b d = a b c d a b : c d = a d b c c 0 c 0 c, d 0 c, b, d 0.
7 Flere regneregler Gange og forkorte i en brøk a b = a c b c b, c 0. Gange inn og trekke ut parenteser a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
8 Likningsregler Man kan Multiplisere hvert ledd i likningen med samme tall (ikke null). Addere hver side i likningen med samme tall.
9 Lineære likningssett Tegn figur! y = ax + b y = cx + d Mulige situasjoner: En løsning Ingen løsninger Uendelig mange løsninger
10 Ulikheter Hvis a ligger til venstre for b på tallinja a < b Legge til og multiplisere a + c < b + c a c < b c a c < b c Hvis c > 0 a c > b c Hvis c < 0
11 Absoluttverdi Definisjon Absoluttverdien av et tall sier hvor langt tallet står fra 0.
12 Avstand og sirkel Avstanden mellom to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Formelen for en sirkel med sentrum i (m, n) og radius r er (x m) 2 + (y n) 2 = r 2.
13 Regneeksempler Oppgave 1 Finn likning for en sirkel med radius 5 og sentrum i punktet ( 3, 4). Oppgave 2 Finn sentrum og radius til sirkelen beskrevet av likningen x 2 8x + y 2 + 6y + 21 = 0.
14 Trekanten C b a α A c Navn på sidene: b: Hypotenus a: Motstående katet til A c: Hosliggende katet til A B
15 Regneregel Sum og differanse av vinkler cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v sin(u v) = sin u cos v cos u sin v
16 Funksjon x f(x) f D f X V f Definisjonsmengde Alle verdier som x kan ha. Verdimengde Alle verdier som f(x) kan ha.
17 Funksjon x f(x) f D f X V f En-til-en Når en funksjon er gitt, vil det til hvert element i definisjonsmengden svare til ett og bare ett element i verdimengden.
18 Funksjonsdrøfting Nullpunkt Dersom f(x) er null for x = a, sier vi at (a, 0) er et nullpunkt.
19 Funksjonsdrøfting Grenseverdi f(x) = x3 2x 2 x 2 D f = R \ {2} f(1,9) = 3,6100 f(2,1) = 4,4100 f(1,99) = 3,9601 f(2,01) = 4,0401 f(1,999) = 3,9960 f(2,001) = 4,0040 f(1,9999) = 3,9996 f(2,0001) = 4,0004 lim f(x) = 4 x 2 + lim f(x) = 4 x 2 lim f(x) = 4 x 2
20 Funksjonsdrøfting Den deriverte f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x f (x) > 0 : Grafen stiger mot høyre. f (x) < 0 : Grafen synker mot høyre. f (x) = 0 : Mulig topp- eller bunnpunkt. f (x 0 ) : Hvor raskt funksjonen vokser i punktet x 0.
21 Noen deriverte f(x) f (x) x r r x r 1 r R c 0 (c = konstant) g(u) g (u)u (u er funksjon av x) u + v u + v (v er funksjon av x) u v u v + u v u v u v u v v 2 sin x cos x cos x tan x sin x 1 cos 2 x
22 Funksjonsdrøfting Sentrale punkter: Definisjonsmengde og verdimengde Nullpunkt Topp- og bunnpunkt Fortegnsskjemaer Vendepunkt Asymptoter Figur
23 Integralregning Noen spesielle ubestemte integraler k dx = kx + C x r dx = 1 r + 1 xr+1 + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 1 dx = tan x + C cos 2 x k = konstant r 1
24 Integralregning Setninger om integraler b a f(x)dx + b a b a a a c b f(x)dx = f(x)dx = 0 f(x)dx = (f(x) ± g(x))dx = b c a b k f(x)dx = k a b f(x)dx f(x)dx f(x)dx ± a b a a f(x)dx b a g(x)dx
25 Integralregning Arealer Dersom f(x) 0 i intervallet [a, b], så er arealet A mellom x-aksen og grafen fra a til b gitt ved A = b a f(x)dx.
26 Integralregning Arealer Dersom f(x) 0 i intervallet [a, b], så er arealet A mellom x-aksen og grafen fra a til b gitt ved A = b a f(x)dx = a b f(x)dx.
27 Regneeksempler Oppgave 1 Finn arealet mellom x-aksen og kurven f(x) = sin x i intervallet a) [0, π] b) [0, 2π] Oppgave 2 Finn arealet som er avgrenset av (ligger mellom) kurvene f(x) = x og g(x) = 1 2 x2.
28 Integralregning Integrasjon ved substitusjon Ubestemte integraler på formen f(g(x)) g (x)dx kan vi regne ut ved substitusjonen u = g(x). Da får vi du = g (x)dx. Integralet blir forenklet slik f((g(x)) g (x)dx = f(u)du.
29 Integralregning Delvis integrasjon uv dx = uv u vdx.
30 Potenser og logaritmer Definisjon log 10 a = a 10 log a = a, a > 0. Regneregler log(a b) = log a + log b, a, b > 0 ( a ) log = log a log b b log(a t ) = t log a
31 Potenser og logaritmer Likhet / ulikhet Hvis a = b (a, b > 0) så er Hvis a < b (a, b > 0) så er log a = log b 10 a = 10 b. log a < log b 10 a < 10 b.
32 Potenser og naturlige logaritmer Definisjon ln e a = a e ln a = a, a > 0. Regneregler ln(a b) = ln a + ln b, a, b > 0 ( a ) ln = ln a ln b b ln(a t ) = t ln a
33 Potenser og naturlige logaritmer Likhet / ulikhet Hvis a = b (a, b > 0) så er Hvis a < b (a, b > 0) så er ln a = ln b e a = e b. ln a < ln b e a < e b.
34 Logaritmeregning Derivasjonsregler f(x) = e x f(x) = ln x f(x) = log x f(x) = e u(x) f (x) = e x f (x) = 1 x f (x) = 1 x log e f (x) = e u(x) u (x).
35 Regneeksempel Oppgave: En lastebil kjører rett østover med farten 10 m/s. På lasteplanet triller en kule rett nordover i forhold til lasteplanet. Kulas fart i forhold til lasteplanet er 4 m/s. Hva er kulas fart i forhold til bakken?
36 Vektorer Definisjon: En vektor er et linjestykke med bestemt retning og lengde. Enhetsvektoren Vektor med lengde 1. Nullvektoren Vektor med lengde 0.
37 Vektor-regneregler Multiplisere med en konstant c R: Hvis c > 0: c v og v er ensrettet. Hvis c < 0: c v og v er motsatt rettet. Vektoren c v er c ganger så lang som v; c v = c v.
38 Vektor-regneregler Addisjon og subtraksjon a + b = b + a ( a + b) + c = a + ( b + c) = a + b + c s (t a) = (s t) a s a + s b = s( a + b) s a + t a = (s + t) a a b = a + ( b) a = s b a b
39 Vektor-regneregler Vektorlikninger Hvis a = b gjelder også i) a + c = b + c ii) k a = k b. Hvis a ikke er parallell med b: x a + y b = s a + t b x = s y = t.
40 Vektor-regneregler Vektorkoordinater [x, y] = x e x + y e y. Vektoren fra origo til et punkt (a, b) har vektorkoordinatene [a, b]. Gitt to punkter P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ). Vektoren fra P 1 til P 2 er gitt ved P 1 P 2 = [x 2 x 1, y 2 y 1 ].
41 Vektor-regneregler Vektorkoordinater v 1 = [x 1, y 1 ] v 2 = [x 2, y 2 ] v 1 + v 2 = [x 1 + x 2, y 1 + y 2 ] t v 1 = [t x 1, t y 1 ] [x 1, y 1 ] = [x 2, y 2 ] x 1 = x 2 y 1 = y 2.
42 Vektor-regneregler Skalarprodukt a b = a b cos θ ( a + b) ( c + d) = a c + a d + b c + b d.