Matemati S2 apittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 508 a Utfall: 1 og 2, 1 og 3, 1 og 4, 2 og 3, 2 og 4, 3 og 4. De ses utfallene er lie sannsynlige, så de har hver sannsynlighet 1 6. b X an få verdiene 2, 3 og 4. X = 2: utfallet 1 og 2 X = 3: utfallene 1 og 3, 2 og 3 X = 4: utfallene 1 og 4, 2 og 4, 3 og 4 c Vi finner sannsynligheten for hver verdi X an få ved å dele antall gunstige utfall med antall mulige utfall. Det gir sannsynlighetsfordelingen i tabellen. d Y an få verdiene 2, 3 og 4. Y = 2: utfallene 1 og 2, 1 og 3, 1 og 4 Y = 3: utfallene 2 og 3, 2 og 4 Y = 4: utfallet 3 og 4 Sannsynlighetsfordelingen til Y: 2 3 4 3 2 1 PY ( = ) 6 6 6 513 a EX ( ) = 0 019 + 1 019 + 2 0,1608 + 3 0,0322 + 4 0,0032 + 5 0,0001 0,833 Hvis du aster 5 terninger mange ganger, vil gjennomsnittlig antall sesere bli omtrent 0,833. 1 5 b EX ( ) = n p= 5 = 0,833 6 6 519 La X være nettogevinsten i én spilleomgang. Mer at: Hvis summen av antall øyne blir ni eller mindre, er nettogevinsten 15 r. Sannsynligheten for det er 30 (se tabellen på side 165). 36 Hvis summen av antall øyne blir ti, er nettogevinsten 10 10 15 = 85 r. Sannsynligheten for det er 3 36. Hvis summen av antall øyne blir elleve, er nettogevinsten 10 11 15 = 95 r. Sannsynligheten for det er 2 36. Hvis summen av antall øyne blir tolv, er nettogevinsten 10 12 15 = 105 r. Sannsynligheten for det er 1 36. Aschehoug Undervisning www.lous.no Side 1 av 5
Sannsynlighetsfordelingen til X er altså: 15 85 95 105 30 3 2 1 PX ( = ) 36 36 36 36 Forventet nettogevinst er 30 3 2 1 100 EX ( ) = 15 + 85 + 95 + 105 = = 2,78 36 36 36 36 36 Utvalgte løsninger oppgavesamlingen De store talls lov viser at du i gjennomsnitt vil vinne 2,78 r per spilleomgang hvis du spiller dette spillet mange ganger. Det lønner seg å ta del i spillet! 523 a b Var( X ) = (0 0,833) 019 + (1 0,833) 019 + (2 0,833) 0,1608 + (3 0,833) 0, 0322 + (4 0,833) 0, 0032 + (5 0,833) 0, 0001 = 0, 694 1 5 25 Var( X ) = 5 = = 0, 694 6 6 36 528 a Sannsynlighetsfordelingen til Y: 360 PY ( = 10) = og PY ( = 10) = b 360 0 + 10+ 360 10 10 EY ( ) = 10 + 10 = = = 0, 270 Den forventede nettogevinsten avhenger ie av. c 2 2 10 360 10 Var( Y ) = 10 10 + 2 2 360 360 ( ) = + 360 = 2 360 SD( Y ) = Var( Y ) = 360 6 d For = 6 er SD( Y ) = = 22,1. 6 360 12 For = 12 er SD( Y ) = = 14,0. 12 360 18 For = 18 er SD( Y ) = = 10,0. 18 Jo færre felt spilleren satser på, desto større er standardavviet. Aschehoug Undervisning www.lous.no Side 2 av 5
540 a La X stå for vitalapasiteten til en tilfeldig valg fris 12 år gammel gutt. Vi bruer et digitalt vertøy og finner at PX ( 4,0) = 0,006 = 0,6 % P(2,0 X 3,0) = 0,494 = 49,4 % b Vi vil bestemme x sli at PX ( > x) = 0,975. x 3 Vi har at PX ( > x) = P Z>, der X 3 Z = er standardnormalfordelt. Vi har også at PZ> ( 1,96) = 1 0,025 = 0,975. x 3, 0 Vi bestemmer derfor x av liningen = 1, 96. Det gir x = 1,96 + 3,0 = 2, 2 liter. 549 a 1 PX ( 1000) = 0,90 + 0, 05 = 0,95 = 95 % 2 PX ( 5000) = 0, 01+ 0, 01 = 0, 02 = 2 % b EX ( ) = 0 0,90 + 1000 0,05 + 2500 0,03 + 5000 0,01+ 10 000 0,01 = 275 r De store talls lov gir at undene i gjennomsnitt vil få 275 r i erstatning. Da forsiringen oster 325 r, vil selsapet i gjennomsnitt tjene 50 r per forsiring. c Var( X ) = (0 275) 0,90 + (1000 275) 0,05 + (2500 275) 0,03 + (5 000 275) 0, 01 + (10 000 275) 0, 01 = 1 411875 r SD( X ) = 1 411875 = 1188, 22 1188 r d Sentralgrensesetningen gir at T er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 2000 275 = 550 000 og standardavvi 1188,22 2000 53140. e Samlet forsiringspremie for 2000 personer er 2000 325 = 650 000 r. Selsapet vil tape penger på reiseforsiringen hvis T blir større enn 650 000 r. Vi bruer et digitalt vertøy og finner at PT ( > 650 000) 0,03 = 3 %. 554 Det ble gjort en meningsmåling i april 2008 der 910 personer ble spurt om hvilet parti de ville ha stemt på hvis det hadde vært stortingsvalg. La X være antall personer som ville ha stemt på Arbeiderpartiet. Da er X binomis fordelt med n = 910 og sannsynlighet p for at en tilfeldig valgt person ville ha stemt Arbeiderpartiet. (Her er p den virelige andelen av velgerne som støttet Arbeiderpartiet i april 2008.) a Vi vil teste nullhypotesen H : p = 0,327 mot den alternative hypotesen H : p < 0,327. I meningsmålingen til Synovate ville 264 ha stemt Arbeiderpartiet. P-verdien er da li PX ( 264), der X er binomis fordelt med n = 910 og p = 0,327. Vi bruer et digitalt vertøy og finner at PX ( 264) = 0,009 0,01. P-verdien er altså 1 %. Aschehoug Undervisning www.lous.no Side 3 av 5
Alternativt an vi brue at hvis nullhypotesen er ritig, så er X er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 910 0,327 = 297, 6 og standardavvi 910 0,327 0,673 = 14,2. Vi finner da 264 297,6 PX ( 264) P Z = ( 2,) = 0,009 0,01 14,2 PZ (Her er Z standardnormalfordelt.) b Siden P-verdien er mindre enn 5 %, an vi foraste nullhypotesen. Journalisten har god grunn til å påstå at oppslutningen om Arbeiderpartiet er lavere i april 2008 enn den var ved stortingsvalget i 2005. 555 I 2006 var det 57 500 svangersap i Norge. La X være antall av dem som gir tvillingfødsel. Da er X binomis fordelt med n = 57 500 og sannsynlighet p for at et tilfeldig valgt svangersap vil gi tvillingfødsel. For å avgjøre om sannsynligheten for tvillingfødsel er større enn 1,1 %, tester vi nullhypotesen H : p = 0,011 mot den alternative hypotesen H : p > 0,011. I 2006 var det 1013 tvillingfødsler i Norge. P-verdien er da li PX ( 1013), der X er binomis fordelt med n = 57 500 og p = 0, 011. For å bestemme P-verdien bruer vi at hvis nullhypotesen er ritig, så er X er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 57 500 0,011 = 632,5 og standardavvi 57 500 0,011 0,989 = 25,0. Vi finner at 1013 632,5 PX ( 1013) P Z = ( 15,2) 0 25,0 PZ Siden P-verdien er tilnærmet li null, foraster vi nullhypotesen. Det er veldig godt grunnlag for å si at sannsynligheten for tvillingfødsel er større enn tidligere, dvs. større enn 1,1 %. Det syldes unstig befrutning, der flere befrutede egg blir satt inn i vinnens livmor. 556 Vitalapasiteten til en tilfeldig valgt 12 år gammel gutt som driver ativt med idrett, er normalfordelt med forventning µ og standardavvi σ = liter. Vi vil teste nullhypotesen H : µ = 3,0 mot den alternative hypotesen H : µ > 3,0. La X være summen av vitalapasitetene til de 10 guttene som driver ativt med idrett. X er normalfordelt med forventningsverdi EX ( ) = 10µ og standardavvi SD( X ) = σ 10 = 0,4 10 = 1,26. Hvis nullhypotesen er sann, er EX ( ) = 10 3,0 = 30. For de ti guttene ble summen av vitalapasitetene 10 3,4 = 34. P-verdien er da li PX ( 34), der X er normalfordelt med forventningsverdi 30 og standardavvi 1,26. Vi bruer et digitalt vertøy og finner at PX ( 34) = 0,0008 0,1%. P-verdien er altså 0,1 %. Siden den er så liten, an vi foraste nullhypotesen. Det er godt grunnlag for å påstå at gutter som driver ativt med idrett, har større vitalapasitet enn 3,0 liter. Aschehoug Undervisning www.lous.no Side 4 av 5
558 La X være antall alvorlige medfødte misdannelser for 80 fødsler i Bømlo ommune. X er binomis fordelt med n = 80 og sannsynlighet p for at et tilfeldig valgt barn er født med alvorlige misdannelser. a På landsbasis er p = 0,0016. Hvis denne sannsynligheten også gjelder for Bømlo, finner vi ved å brue et digitalt vertøy at PX ( 3) = 1 PX ( 2) = 1 0,999 693 = 0,000 307 0,03 % Det er svært liten sannsynlighet for å få minst tre alvorlige misdannelser for 80 fødsler hvis sannsynligheten for misdannelse er 0,16 %. b Vi finner først sannsynligheten for at det er høyst to alvorlige misdannelser i alle de 500 halvårene: P 500 (høyst to misdannelser i alle halvårene) = 0,999 693 = 0,858 Dermed er P (minst tre misdannelser i ett eller flere halvår) = 1 0,858 = 0,142 Det er forholdsvis stor sannsynlighet (14,2 %) for å få tre eller flere misdannelser i minst ett av de 500 halvårene. Det som sjedde i Bømlo, an derfor syldes en tilfeldighet. Aschehoug Undervisning www.lous.no Side 5 av 5