Forelesning nr.8 INF 4 C og kretser 2.3. INF 4
Oversikt dagens temaer inearitet Opampkretser i C- og -kretser med kondensatorer Naturlig respons for - og C-kretser Eksponensiell respons 2.3. INF 4 2
Node og meshanalyse med og C Har KV vist at KV og KC også gjelder for kretser med spoler og kondensatorer Spoler i serie og parallell oppfører seg som ohmske motstander i serie og parallell Kondensatorer i serie oppfører seg som ohmske motstander i parallell, og kondensatorer i parallell oppfører seg som resistanser i serie og KC i kretser med kun ohmske motstander kan løses enkelt (n lineære tidsuavhengige ligninger med n ukjente) 2.3. INF 4 3
Node og meshanalyse med og C KV Integrodifferensial: Skal Senere og KV i kretser med spoler og/eller kondensatorer krever løsning av integrodifferensial-ligninger Inneholder både den integrerte og deriverte av variabelen som inngår først studere eksempler med nodeligninger uten å eksplisitt løse dem i kurset innføres en metode for å løse slike ligninger på en enkel måte vha S-transformasjon 2.3. INF 4 4
Eksempel Ønsker Summen Har For å finne nodeligningene for kretsen til høyre av alle strømmene som går ut av node er lik også en initialstrøm gjennom spolen node blir ligningen t t (v v s )' C 2 dv (v v 2 ) i (t ) 2.3. INF 4 5
Eksempel (forts) igningen Skriver for node 2 blir (v2 v) d(v2 vs ) is C om KC-ligningen slik at spenninger og strømmer fra kilder og initialverdier står på høyre side, og resten på venstre: t t v ' C 2 dv v v2 t t v s ' i (t ) v v2 dv2 C C dv s i s 2.3. INF 4 6
Eksempel (forts) Generelt Spenningskilden Initialstrømmen igningssystemene er ligningene som er utledet kompliserte å løse analytisk v s opptrer den både som derivert og integrert, men ikke direkte gjennom spolen opptrer som en konstant kan også løses numerisk, noe som ofte gir god nok presisjon 2.3. INF 4 7
Impedans og admittans Forholdet Impedans mellom spenning og strøm kalles for impedans kan tenkes som sammensatt av en tidsuavhengig og en tidsavhengig del esistivitet: tidsuavhengig eaktans: tidsavhengig eaktans Avhengig kan deles inn i to typer Induktiv Kapasitiv av hvilket element man refererer til, brukes ofte esistiv impedans Induktiv impedans Kapasitiv impedans 2.3. INF 4 8
Impedans og admittans (forts) Forholdet Admittans Admittans mellom strøm og spenning kalles for admittans kan tenkes på som den inverse til impedans kan tenkes som sammensatt av en tidsuavhengig og en tidsavhengig del Konduktans: tidsuavhengig Disse For Suseptans: tidsavhengig begrepene vil bli nærmere definert når komplekse frekvenser inntroduseres (imaginære + relle deler) ohmske motstander som bare er resistive kalles admittansen for konduktans 2.3. INF 4 9
Integrator med kondensator Man Ved Siden kan designe relativt avanserte kretser med basert på opamp er og motstander, spoler og kondensatorer å erstatte motstanden i tilbakekoblingen i en inverterende forsterker med en kondensator får man en integrator: v dv a vs va vs C f i C f v a =v b =, har reduseres dette til v dv s C f vs C f C f d( v out ) 2.3. INF 4
Integrator med kondensator For å finne v out som funksjon av v s må man integrere på begge sider Verdien O v v C f out v a v C out f t v v s (t' )' v () C er en integrasjonskonstant og kalles også for tidskonstant τ man ikke ønsker en skalert utverdi må og C f velges slik at C f = out C f 2.3. INF 4
Derivator med kondensator Ved å la motstand og kondensator bytte plass får man en derivator istedenfor integrator: v dv a vout va vout C i C f f Siden v a =v b =, har reduseres dette til v v out f C dv out C C f dvs C d( v s ) C dv s 2.3. INF 4 2
Integrator og derivator med spole Man Teoretisk Ved I Spoler kan også lage integratorer/derivatorer med spoler istedenfor kondensatorer gjøres dette ved å bytte ut kondensatoren i integratoren med en spole, og dette gir en derivator å bytte ut kondensatoren med en spole i derivatoren får man en integrator praksis vil man ikke bruke spoler fordi de er vanskeligere å lage enn kondensatorer på integrerte kretser (tar mer plass) vil kunne fungere som antenner på integrerte kretser og fange opp uønsket elektromagnetisk støy fra omgivelsene 2.3. INF 4 3
Kretser med ulik type startbetingelser For kretser med spoler og kondensatorer vil utsignalet være bestemt av to forhold: Kretsens Naturlig Den Hvilke strømmer/energi som er finnes i kretsen ved tidspunkt t Hva slags type signal som påtrykkes kretsen ved tidspunkt t oppførsel som følge av det historiske innsignalet gir et bestemt utsignal ved t og kalles naturlig respons respons kalles også source-free eller transient respons, fordi det ikke avhenger av hvordan innsignalet så ut, men de naturlige egenskapene til kretsen andre typen respons kalles for påtrykket eller tvungen, og utsignalet vil ha en komponent som er et resultat av dette 2.3. INF 4 4
Generelt For Begynner Transientrespons i -kretser sett er det vanskelig å løse integral/differensialligninger kretsanalyse vil løsningene være på et bestemt format, og man kan derfor gjenbruke uten å løse på nytt hver gang med formen til løsningen for den naturlige (transient)responsen for en krets med en motstand og en spole Antar I Vet at strømmen gjennom kretsen ved t = er I, dvs i()=i vil med tiden vil dø ut ikke hvordan I har oppstått i fortiden 2.3. INF 4 5
Transientrespons i -kretser (forts) KV Ønsker for strømmen i kretsen gir at i v di i di i å finne et uttrykk for i(t) som både tilfredsstiller det generelle tilfellet og initialbetingenlsen i(t )=I i(t ) I di di' i' i t ( di i )' ln(i ) i I t' t ln(i ) ln() (t ) 2.3. INF 4 6
Transientrespons i -kretser (forts) Ved å opphøye i e på begge sider får man ln(i(t )) ln(i ) e i(t) I e t e t i(t) I e t Måtte Ved Setter mao. sjekke at både det generelle tilfellet og initialbetingelsen er oppfylt av løsningen tidspunkt t= er i()=i, dvs ok. inn det gitte uttrykket for i(t) utledet over i den opprinnelige diffligningen: di i 2.3. INF 4 7
Generell form transientresponsen øsningen Antar Ved Både for i(t) for -kretsen kan generealiseres til en mer generell form som også gjelder for C-kretser en generell form på løsningen st i(t) Ae å sette denne inn i den opprinnelige ligningen får man As st st st e A e (s )Ae A= og s = vil være teoretisk løsninger på ligningen,men ikke i kretsen siden det tilsvarer at responsen er til alle tider 2.3. INF 4 8
Generell form transientresponsen (forts) For Dessuten igningen at løsningen skal være oppfylt må må s s kalles også for den karakteristiske ligningen til differensialligningen A I Kretsens naturlige respons er derfor bestemt av den (konstante) strømmen ved t=, og forholdet mellom og i(t) I e t 2.3. INF 4 9
Eksponensiell respons Den To / naturlige responsen til en (og C) krets er eksponensiell på formen gitt i figuren under parametre bestemmer generelt kurven: I og / bestemmer hvor fort strømmen I faller mot i(t) I e t 2.3. INF 4 2
Eksponensiell respons (forts) Jo Et Dette større / (dvs jo mindre /), desto lenger tid tar det for strømmen å falle mot null viktig mål på hvor fort strømmen faller er å beregne hvor fort strømmen vil bli null hvis den faller med samme rate som ved t= er det samme som den deriverte i t= d i I t e t t 2.3. INF 4 2
Eksponensiell respons (forts) En t τ kurve med stigningstall / vil krysse t-aksen i punktet τ=/ kalles også for tidskonstanten til kretsen kan også tolkes som forholdet mellom den initielle strømmen I og den aktuelle strømmen I(t) når t= τ : i( I ) I e I e. 3679 2.3. INF 4 22
Eksponensiell respons (forts) Etter Etter Man t=2τ har den normaliserte strømmen falt til 3,53% av utgangspunktet, og etter t=3τ til 4,97 % t=τ har den falt til ca,45 % regner at når strømmen er ca % av utgangsverdien er den tilnærmet null, dvs etter t=5τ 2.3. INF 4 23
Transientrespons i C-kretser Samme Vil Antar Vet utfordring her som for -kretser se at formen på løsningen for C-kretser blir lik den for kretser at spenning lagret på kondensatoren ved t = er V, dvs v()=v ikke hvordan V har oppstått i fortiden, er heller ikke relevant for hvordan responsen blir (så lenge kilden er frakoblet) 2.3. INF 4 24
Transientrespons i C-kretser (forts) KC Det for strømmen i kretsen gir at dv C dv tilsvarende uttrykket for -kretsen: di v i v C Kan derfor sette opp uttrykket for v() direkte: v(t) v()e t C V e t C 2.3. INF 4 25
Transientrespons i C-kretser (forts) Kan gjøre samme betraktninger om responsen til en C krets som en krets Ønsker Tidskonstanten også her å finne ut hvor fort spenningen over kondensatoren lades ut for C-kretsen er gitt av τ=c 2.3. INF 4 26
Eksempel Skal finne spenningen over kondensatoren ved tiden t=2µ etter at batteriet er koblet ut Må Siden derfor først finne spenningen v for kretsen i b) det ikke går noe strøm gjennom kondensatoren vil spenningen v være like batterispenningen, dvs v()=9 V 2.3. INF 4 27
Eksempel (forts) Etter at batteriet er koblet fra reduseres kretsen i b) til kretsen under For Ved kretsen i c) er spenningen v(t) gitt av v(t) v()e t C V e å sette inn kompnentverdiene får man at t C v(t) 9Ve ( 2 4 )( * 6 6 2* F ) s 32.mV 2.3. INF 4 28