Matematikk or IT, høsten 016 Oblig 4 Løsningsorslag 30. setember 016.4.11 a) ( 1, 3, 5, 7, ) Her vil relasjonsmengden være slik: {(1, 1), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (7, 1), (7, 3), (7, 5), (7, 7)} Hassediagrammet blir slik: 1 3 5 7 b) ( 1, 3, 6, 9,1, ) Relasjonsmengden: {(1, 1), (1, 3), (1, 6), (1, 9), (1, 1), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (3, 1), (6, 6), (6, 1), (9, 9), (1, 1)} Hassediagrammet: 1 6 9 3 1
.5.1 A = {1, 3, 5, 7} og B = {, 4, 6, 8} a) {(5, ), (1, 4), (7, 6), (3, 4)} Her ser vi at alle elementene i A har relasjon, og hvert element i A har relasjon til kun ett element i B. Relasjonen er ølgelig en unksjon. b) {(3, 6), (5, 4), (1, 8), (7, )} Her ser vi at alle elementene i A har relasjon, og hvert element i A har relasjon til kun ett element i B. Relasjonen er ølgelig en unksjon. c) {(7, 4), (1, ), (5, 6)} Her har ikke elementet 3 noen relasjon til noe element i B. Relasjonen er deror ikke noen unksjon..5.3 A = { a, b, c, d } : A A a) Denne unksjonen er ikke injektiv (ikke én-entydig) ordi både b og d har unksjonsverdien a (altså ( b) ( d) ). b) Denne unksjonen er injektiv ordi ulike verdier inn å unksjonen gir ulike verdier ut av unksjonen. c) Denne unksjonen er injektiv ordi ulike verdier inn å unksjonen gir ulike verdier ut av unksjonen..5.4 For at unksjonen skal ha en invers unksjon, må den være både injektiv og surjektiv, altså bijektiv. a) Vi så i.5.3 at denne unksjonen ikke er injektiv. Den har deror ingen invers unksjon. b) Vi så i.5.3 at denne unksjonen er injektiv. Vi ser at alle elementene i kodomenet er bilde av et element i deinisjonsmengden (altså at kodomenet er lik verdimengden). Funksjonen er deror også surjektiv. Funksjonen har en invers unksjon. Denne er slik: 1 ( a) b 1 1 1 ( b) c ( c) d ( d) a
c) Vi så i.5.3 at denne unksjonen er injektiv. Også her er alle elementer i kodomenet «i bruk», og unksjonen er ølgelig surjektiv. Funksjonen har en invers unksjon. Denne er slik: 1 ( a) a 1 1 1 ( b) b ( c) d ( d) c.5.5 a) ( x) x 1 : Z Z Denne unksjonen er injektiv (én-entydig), altså at to ulike x-verdier gir to ulike unksjonsverdier. Imidlertid er den ikke surjektiv, ordi ingen av artallene er bilde (unksjonsverdi) av noen x. Sagt å en annen måte: verdimengden til er kun en delmengde av Z. Fordi den ikke er surjektiv er den ikke inverterbar. At bokas asit sier denne unksjonen er inverterbar, skyldes at boka ikke diskuterer begreet surjektivitet. x x 0 b) ( x) : Z Z x x 0 Denne unksjonen er også injektiv. Igjen er imidlertid roblemet at den ikke er surjektiv. Her skyldes det at elementet 1 i kodomenet ikke er et bilde av noe element i deinisjonsmengden. Denne unksjonen er deror ikke inverterbar. 3
x 1 x 0 c) ( x) : Z Z x 1 x 0 Denne unksjonen er ikke injektiv. Dette kan vi se av at og at to ulike x-verdier gir samme bilde i kodomenet. Funksjonen er deror ikke inverterbar. ( 3) ( 1), altså.5.7 a) ( g )(1) 1 ( g )() 3 ( g )(3).5.8 a) Den sammensatte unksjonen inner vi ved å ta uttrykket or å den lassen hvor x står i uttrykket or g (x) : ( g )( x) (x 3) g (x 3) 4x 1x 9 x 3 4x (x) 10x 6 og sette inn.6..6.3 b) ( g)( x) ( x x) 3 x x 3 4 a) n ( n ) 1(1 ) ( ) 3(3 ) 4(4 ) 3 8 15 4 50 n1 3 a) 1 3 5 7 (n 1) (n 1) n0 4 n1 Her ser vi at vi kan skrive summen å to litt ulike måter avhengig av om vi lar n gå ra 0 til 3 eller ra 1 til 4. 3.1.1 a) Utsagn, sant. b) Ikke et utsagn. c) Utsagn, alskt. 3.1. a) Nina står ikke til eksamen. b) Det blåser ikke i dag. c) 3 4 7 d) Trond har ærre enn 100 CD-er. 3.1.4 b, c og e er sanne. 3.1.5 b, c og e tilsvarer. 4
3.1.6 a) b) ( ) r c) ( r ) 3.1.7 a) ( ) S S F S F S F S S S F S F S F F F S F F 3.1.11 a) For å inne ut om uttrykket er en tautologi, kan vi enten bruke sannhetstabell eller bruke lovene or logiske uttrykk og orenkle uttrykket. Her bruker jeg sannhetstabell. ( ) ( ) S S S S S S F F S S F S S F S F F S S S Vi ser av sannhetstabellen at uttrykket er sant uansett hva sannhetsverdiene til og er. Uttrykket er ølgelig en tautologi. b) ( ) ( ) S S F F S S S F S F S S F S F F F S F F S F F S Vi ser av sannhetstabellen at uttrykket er sant uansett hva sannhetsverdiene til og er. Uttrykket er ølgelig en tautologi. 5
Ogave 1 Bruk sannhetstabeller til å vise at De Morgans lover også gjelder or tre utsagn, dvs. at ( r) r Vi ser ørst å uttrykket til venstre: r r ( r) S S S S F S S F F S S F S F S S F F F S F S S F S F S F F S F F S F S F F F F S Deretter analyserer vi uttrykket å høyre side av ekvivalenstegnet: r r r S S S F F F F S S F F F S S S F S F S F S S F F F S S S F S S S F F S F S F S F S S F F S S S F S F F F S S S S Vi ser at sannhetsverdiene til de sammensatte utsagnene er like or samme kombinasjon av sannhetsverdier til, og r (altså at siste kolonne i de to sannhetstabellene er like). Uttrykkene er deror logisk ekvivalente. Ogave Gitt et utsagn. a) Angi det kontraositive utsagnet. Det kontraositiv utsagnet blir: b) Vis ved hjel av sannhetstabeller at utsagnet er logisk ekvivalent med det kontraositive utsagnet. 6
Sannhetstabellen or : S S S S F F F S S F F S Sannhetstabellen or : S S F F S S F F S F F S S F S F F S S S Vi ser at siste kolonne i de to tabellene er like, og uttrykkene er deror logisk ekvivalente. Ogave 3 Gitt ølgende sammensatte logiske uttrykk: ( ) ( r ) Bruk regnereglene i logikk til å inne ut hvilket av ølgende uttrykk dette er ekvivalent med: (i) (ii) (iii) ( ) Bruk kun en lov i hvert trinn og angi or hvert trinn nummeret å den loven du har brukt. ( ) ( r ) ( ) ( r) ( ) ( ) Kommutativ lov () å (r )-uttrykket Absorsjonsloven (6) å uttrykket i hakearentesen Imlikasjonsloven (11) Kommutativ lov () ( ) Distributiv lov (3) ( ) ( ) ( ) F Inversloven (8) å den bakerste arentesen Identitetsloven (9) 7
( ) ( ) De Morgans lov (4) Vi ser at uttrykket er ekvivalent med uttrykket i (iii). 8