Reg tek final exam formelsamling Andreas Klausen 6. september 202 Brukes som vanlig på eget ansvar :)
Innhold Bode plot stuff 3. Kryssfrekvens........................................... 3.2 Fasemargin............................................ 3.3 Gain Margin........................................... 3.4 Forskjell på type system..................................... 3.4. Type 0........................................... 3.4.2 Type........................................... 3.4.3 Type 2........................................... 3.5 Break frekvens.......................................... 3.6 Asymptotisk bode plot av Lag/Lead compensator....................... 3.7 Eksempel på å lage bode plot.................................. 4 2 Steady state error 5 2. K p K v K a............................................. 5 2.2 Type 0............................................... 5 2.3 Type............................................... 5 2.4 Type 2............................................... 5 3 Lag compensator 6 3. Key Equation........................................... 6 3.. K ess............................................ 6 3..2 ω p............................................. 6 3..3 K adj............................................ 6 4 Lead compensator 7 4. Key equation........................................... 7 4.2 Hvordan gå frem......................................... 7 4.3 Uten oppgitt %OS........................................ 7 5 Lead-Lag compensator 8 5. Key equation........................................... 8 5.2 Hvordan gå frem......................................... 8 6 Estimere transfer funksjon fra bode plot 9 7 Transfer function stuff 9 7. Ultimate gain, total forsterking................................. 9 7.2 Closed loop transfer function.................................. 9 8 Del-eksamen stuff 0 8.. grads.............................................. 0 8.2 2. Grads.............................................. 0 9 Flytskjemaer/formler 2
Bode plot stuff. Kryssfrekvens Kryssfrekvens, ω c, er frekvensen der amplituden krysser 0 db..2 Fasemargin Ved kryssfrekvensen kan man lese av φ m ved å ta fasen man finner, A, og: φ m = A ( 80 ) ().3 Gain Margin Gain margin, G m, finner man ved å se på amplituden ved frekvensen -80, B, og da er: G m = B (2).4 Forskjell på type system.4. Type 0 Regn ut startamplituden ved ω = 0 Start fasen ved 0 (s +...)(...) s 0 (s +...)(...) (3).4.2 Type (s +...)(...) s (s +...)(...) Regn ut startamplituden ved en frekvens mindre enn laveste break-frekvens (Eller veldig ofte 0.rad/s), og start den med 20dB/dec Start fasen ved 90.4.3 Type 2 (s +...)(...) s 2 (s +...)(...) Regn ut startamplituden ved en frekvens mindre enn laveste break frekvens (Eller veldig ofte 0.rad/s), og start den med 40dB/dec Start fasen ved 80.5 Break frekvens Break ω a a ω n ω n s + a s+a K( s2 ω + 2ζ s K n 2 ω n + ) s 2 ωn 2 +2ζ s ωn + Magnitude +20dB/dec -20dB/dec +40dB/dec -40dB/dec Phase +90 90 +80 80.6 Asymptotisk bode plot av Lag/Lead compensator Får man spørsmål om å lage denne ved 0dB startamplitude, vil si at K ess ikke skal være med. (4) (5) 3
.7 Eksempel på å lage bode plot G(s) = K(s + 3) s(s + )(s + 2 (6) Type system Laveste break frekvens ved ω n =, høyeste ved ω n = 3, derfor bode plot fra 0.rad/s til 00 rad/s Start rate er -20dB/dec og 90 Startamplituden finnes ved å ta G(s) ved startfrekvensen ω n = 0. G(j0.) = K(0.j + 3) 0.j(0.j + )(0.j + 2) = K(.7308 4.844j) G(j0.) = K ( 7308) 2 + ( 4.844) 2 = 4.95K 5K Setter så K = og får: Startamp = 20log(5)dB = 23.52dB (7) Til slutt kan man da lage bode plotten: Break ω 2 3 Magnitude -20dB/dec -20dB/dec +20dB/dec Fase 90 90 +90 4
2 Steady state error 2. K p K v K a K p = lim G(s) (8) s 0 K v = lim s 0 sg(s) (9) K a = lim s 0 s 2 G(s) (0) For å se dette ut ifra et bode plot trengs noen skarpe øyner: Her må man selvfølgelig vite hva slags type system man har. 2.2 Type 0 Input SS error formula Static error constant Error Step, u(t) +K p K p = C +K p Ramp, t*u(t) K v K v = 0 Parabola, 2 t2 u(t) K a K a = 0 2.3 Type Input SS error formula Static error constant Error Step, u(t) +K p K p = 0 Ramp, t*u(t) K v K v = C K v Parabola, 2 t2 u(t) K a K a = 0 2.4 Type 2 Input SS error formula Static error constant Error Step, u(t) +K p K p = 0 Ramp, t*u(t) K v K v = 0 Parabola, 2 t2 u(t) K a K a = C K a 5
3 Lag compensator 3. Key Equation K ess ( ) s + 0.ωp G clag = K ess K adj s + 0.K adj ω p Gain adjustment in order to meet the required steady state error. () ω p K adj Frequency at which the phase margin would be the desired one plus 5 to 2 extra. Gain adjustment in order to have 0dB at ω = ω p 3.. K ess K p K v K a = lim s 0 s typesystem K ess G(s) = K ess K 0 K p finner man i error formlene (en maks error må være oppgitt i oppgaven) Der K 0 er start gainen der bode ploten starter. Finnes enten på bode plotten eller vha. utregningen til eksempel på å lage bode plot. Til slutt bruker man da de respektive error formlene. 3..2 ω p Etter K ess er funnet kan man lage ny bode plot av K ess G(s) som ofte blir gjort ved å endre på skalaen til original bode plot med +20Log[K ess ]. Så har man forhåpentligvis oppgitt en måte å regne ut φ Md på (oppgitt %OS f.eks). Frekvensen kan finnes ved å se på fasen: ω P er da frekvensen ved denne fasen. φ Md + [5 0 ] 80 (2) 3..3 K adj Denne biten har til hensikt å senke amplituden til 0 der fasen er φ Md + [5 0 ] 80, og det gjøres slik: K adj = 0 amp 20 (3) Der amp er amplituden i db over 0. TIl slutt kan alt settes inn i Key Equation og man har sin lag compensator. 6
4 Lead compensator 4. Key equation G Lead (s) = β ( ) s + T s + βt (4) 4.2 Hvordan gå frem Har man oppgitt en steady state error, begynner man med å finne K ess på samme måte som i Lagkompensatoren. Etter det lager man en bode plot av K ess G(s) og finner φ M. Sammen med φ Md, som man finner ved hjelp av %OS (ζ φ Md ), finner man: φ max = φ Md φ M + 0 (5) Så kan man finne β: ( ) sinφmax β = + sinφ max Så for å finne ω max, bruker man følgende formel: (6) G c (jω max = β (7) Så kommer den tricky biten. For å finne ω max må man se i bode plot til K ess G(s) ved enten +20Log[ β ]db eller ved 20Log[ β ]db, avhengig av hvilken frekvens som blir størst. Til slutt finner man da T : Dette stappes inn slik: T = ω max β (8) G c = K ess G Lead (9) Der G c er Lead kompensatoren. Får man spørsmål om denne er grei, med tanke på ω BW og ω BW d, kan læreren suge seg selv, fordi å bode plotte G c G(s) er ikke noe gøy. 4.3 Uten oppgitt %OS Hvis man får oppgitt en ss-error og en ω c, kan man hoppe over noen steg og gjøre dette. Finn først K ess på vanlig måte, men i bode plot til K ess G(s) må man finne amplituden ved den gitte ω max. Denne amplituden skal motvirkes med β slik at amplituden her blir 0. G c (jω max ) = = Amp ωc = A β 20Log[ ] = A β Deretter er det bare å følge vanlig prosedyre. β = 0 A 20 2 7
5 Lead-Lag compensator 5. Key equation 5.2 Hvordan gå frem G Lead Lag (s) = ( s + T s + γ T ) ( ) s + T 2 s + γt 2 (20) Begynn med å regn ut så mye som mulig fra de oppgitte spesifikasjonene. Dvs: ζ, φ Md, ω BW d, K p K v K a Finn deretter K ess på samme måte som før. ω c regnes ut slik: ω c = 0.8ω BW d (2) Sammen med denne frekvensen finner man φ ωc (finnes i bode plot til enten G(s) eller K ess G(s)), og φ max : φ max = φ Md φ ωc + [5 0 ] (22) Deretter kan β og γ bli funnet, samt det siste som kreves i en Lead-Lag kompensator: ( ) sinφmax β = + sinφ max γ = β = ω c T 2 0 = ω c β T Dette settes inn i Key Equation, og du er good to go! 8
6 Estimere transfer funksjon fra bode plot Her går man ut ifra at læreren gir bruddpunkter ved frekvenser som 0.,, 0, 00 eller 000 etc. For ellers blir det vanskelig å estimere. Det man vanligvis gjør er å først vite hva slags type system man har, så bare tegne på streker der grafen er mest rett fram. Der streken avviker fra graf, kan man gå utifra at det er et bruddpunkt i nærmeste 0-gangen. Går grafen da nedover med -20dB/dec er det en pol. Hvis den øker er det et nullpunkt etc. Den estimerte transferfunksjonen for denne grafen blir: G(s) = K (s + 0.)(s + )(s + 00) (23) Der K finnes ved å ta: ( ) K lim (20Log[ G(jω ) = 20Log ω 0 0. 00 K = 0 20 20 0.l 00 = 00 = 20dB 7 Transfer function stuff 7. Ultimate gain, total forsterking Ultimate gain finner man ved å ta lim ω 0 G(jω) (evt lim ω 0. om det er type eller 2). Eller ved å se på bode ploten og finne gainen som skal til å starte der man gjør. 7.2 Closed loop transfer function Hvis M(s) er transferfunksjonen: Y (s) X(s) = M(s) = G(s) + G(s)H(s) (24) 9
8 Del-eksamen stuff 8.. grads Her har man en grads Transfer funksjon som må på formen: Noen ganger kommer den på formen: Så kan man finne T s og T r : G(s) = G(s) = T s = 4 a a s + a K s + a (25) (26) (27) Time constant, τ, finnes slik: T r = 2.2 a τ = a (28) (29) 8.2 2. Grads Eller: Så kan man finne T p, T s, %OS, og ζ. K G = s 2 ω + 2ζ n 2 ω n s + Kω 2 n G = s 2 + 2ζω n + ωn 2 π T p = ω n ζ 2 (30) (3) (32) T s = 4 ζω n (33) For en tilnærming til T r kan man bruke: %OS = e (ζπ/ ζ 2) 00 (34) ln(%os/00) ζ = π 2 + ln 2 (%OS/00) (35) T r = (Normalizedrisetime)/ω (36) 0
9 Flytskjemaer/formler Lead-Lag Compensator Structure Graph Second order approximation: ζ = ln(%os/00) () π 2 + ln 2 (%OS/00) 2ζ φ M = tan 2ζ 2 + + 4ζ 4 ω BW = 4 Tsζ π ω BW = Tp ζ 2 ( 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ 2 + 2 (3) ( 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ 2 + 2 (4) ω BW = ω OL GdB [ 6dB, 7.5dB] if φ OL [ 35, 225 ] (5) Lag compensation: Upper break one decade below ωc: = 0.ωc (6) Lead compensation: ( sin φ max β = + sin φmax Lead-Lag compensation: G Lead-Lag (s) = T2 φmax = φ Md φ Mω c + [5 0 ] (7) ) s + T s + γ T (8) ωmax = (9) T β s + T 2 s + γt γ > (0) 2 3 UiA Department of Engineering, University of Agder MAS07 - L0a 0.4.202
Lead Compensator Structure Graph Second order approximation: ζ = ln(%os/00) () π 2 + ln 2 (%OS/00) 2ζ φ M = tan 2ζ 2 + + 4ζ 4 ω BW = 4 Tsζ π ω BW = Tp ζ 2 ( 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ 2 + 2 (3) ( 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ 2 + 2 (4) ω BW = ω OL GdB [ 6dB, 7.5dB] if φ OL [ 35, 225 ] (5) Lead compensation: G Lead (s) = β s + T s + βt β < (6) Gc(jωmax) = (7) β ( ) sin φ max β = (8) + sin φmax ωmax = T β (9) φmax = φ Md φ M + 0 (0) 6 UiA Department of Engineering, University of Agder MAS07 - L9b 29.3.202 2