Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for wxmaxima
Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler...................... 5 3 Sannsynlighetsregning 6 3.1 Antall kombinasjoner............................. 6 3.2 Antall permutasjoner............................. 6 3.3 Sannsynlighetsfordelinger.......................... 6 3.3.1 Binomisk fordeling.......................... 6 3.3.2 Hypergeometrisk fordeling..................... 7 4 Vektorregning 8 4.1 Skalarprodukt................................. 9 4.2 Lengde av vektor............................... 9 4.3 Vinkel mellom vektorer............................ 10 4.4 Parameterframstilling............................. 11 4.5 Finne punkter på en parameterframstilling................ 12 4.6 Finne fart og akselerasjon.......................... 13 5 Algebra 14 5.1 Faktorisering.................................. 14 5.2 Forkorting og forenkling........................... 14 5.3 Polynomdivisjon................................ 15 5.4 Løse likninger................................. 16 6 Funksjoner 17 6.1 Tabellverdier.................................. 17 6.2 Derivasjon................................... 17 6.3 Toppunkter og bunnpunkter......................... 18 6.4 Vendepunkt................................... 19 7 Geometri 19 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet wxmaxima som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk R1», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk R1, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2012. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 12 Antall permutasjoner 3.2 14 Antall kombinasjoner 3.1 29 Summere sannsynligheter 3.3.1 98 Tegne parameterframstilling 4.4 98 Finne minimumsverdier 6.3 126 Regne ut tabellverdier 6.1 126 Løse tredjegradslikninger 5.4 136 Regne med tallet e 2.1 162 Derivere 6.2 3
1 Om wxmaxima wxmaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/) er et grafisk brukergrensesnitt til Maxima (http://maxima.sourceforge.net/). Dette heftet tar utgangspunkt i en binærdistribusjon av wxmaxima med norske menyer publisert for Windows på http://www.moglestu.vgs.no/maxima/. Det finnes også distribusjoner av wxmaxima for Linux og Mac OS X. Foreløpig må man da bruke engelsk. Brukere på Linux og Mac burde likevel ha nytte av heftet. 1 Maxima er i utgangspunktet basert på tekstkommandoer. wxmaxima gjør det unødvendig å huske alle kommandoer. Når du trykker på en knapp eller gjør valg fra menyene, blir riktig tekstkommando skrevet inn for deg. Det er imidlertid ingenting i veien for å lære seg en del kommandoer. Du vil arbeide mer effektivt om du husker de vanligste kommandoene. 1.1 Tilleggspakker Det finnes nokså mange utvidelser til Maxima. En del funkasjonalitet som av ulike grunner ikke er innebygd i Maxima kan lastes inn i programmet ved kommandoen «load». Mange pakker med slike tilleggsfunksjoner ligger klare sammen med programmet. For å regne med for eksempel binomisk og hypergeometrisk fordeling i sannsynlighetsregning skriver du «load (distrib)». I tillegg kan man laste ned pakker som utvider Maximas funkasjonalitet fra Internett. Gyldendal Undervisning har laget en samling kommandoer tilpasset norsk videregående skole. Den installeres slik: 1. Last ned filen «gyldendal.mac» fra http://www.gyldendal.no/sigma/ til en mappe på din datamaskin, for eksempel i «My Documents». 2. Velg «Åpne» fra Fil-menyen og bla fram til den mappen du lastet ned filen til. 3. Tast inn «gyldendal.mac» til høyre for «File name:» («Filnavn:») og klikk på «Open» («Åpne»). I noen Maximadistribusjoner kan du også velge «Load package» fra File-menyen. Fila gyldendal.mac inneholder følgende kommandoer. sind(u): Finner sin til vinkel u (i grader). 1 Den offisielle versjonen av wxmaxima finnes ikke på norsk. Det er fordeler og ulemper uansett om man velger den offisielle versjonen på engelsk eller dansk eller om man velger den norske versjonen. Her har vi valgt å beskrive den norske versjonen. 4
cosd(u): Finner cos til vinkel u (i grader). tand(u): Finner tan til vinkel u (i grader). asind(a): Finner hvilken vinkel i grader som har sinusverdi a. acosd(a): Finner hvilken vinkel i grader som har cosinusverdi a. atand(a): Finner hvilken vinkel i grader som har tangensverdi a. ntrt(n,a): Finner n-teroten av a. lg(a): Finner den logaritmen til a (logaritme med grunntall 10). grader2radianer(u): Konverterer en vinkel u fra grader til radianer. radianer2grader(u): Konverterer en vinkel u fra radianer til grader. Innholdet i fila finner du i vedlegget på side 20. 2 Regning Du taster inn regnestykker i inntastingsfeltet som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Programmet bruker sirkumfleks ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Det vises for øvrig til digitalt verktøy-heftet for Sigma 1T. 2.1 Noen forhåndsde nerte variabler Maxima bruker «%» som et tegn for variabler i programmet. Dette er noen av variablene: Symbol Betydning % Resultatet på forrige linje %e Tallet e, Eulers konstant, e 2,718 %pi Tallet π, forholdet mellom omkrets og diameter, π 3,142 %i16 Det som er tastet inn på linje 16, inntasting nummer 16 etter at programmet startet. %o16 Resultatet på linje 16, resultatet av inntasting nummer 16 etter at programmet startet. %i i = 1 (komplekst tall) Så for å bruke tallet e, taster du inn «%e» eller trykker på knappen merket med «e». 5
3 Sannsynlighetsregning 3.1 Antall kombinasjoner Tallet 5 3 taster vi inn som «binomial(5,3)». Vi ser at svaret er 10. Alternativt velger vi «Binomialkoeffisient» fra Sannsynlighet-menyen. 3.2 Antall permutasjoner For at dette skal virke må vi først laste inn fila «functs.mac», som vi gjør med kommandoen «load(functs)». Antall permutasjoner av r objekter fra n objekter taster vi nå inn som «permutation(n, r)». Eksempel: Antall permutasjoner av 2 objekter fra 5 objekter blir da «permutation(5,2)». 3.3 Sannsynlighetsfordelinger 3.3.1 Binomisk fordeling Vi velger «Binomisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Der legger vi inn verdier for n og p. I tillegg taster vi inn i feltet merket med «Antall treff». Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 29 i læreboka. Kenneth tipper fotball og krysser av ett kryss på hver av 12 kamper tilfeldig. Hvor stor er sannsynligheten for åtte rette? Hvor stor er sannsynligheten for minst ti rette? Vi velger «Binomisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Vi setter n til 12, p til 1/3 og «Antall treff» til 8. 6
Vi gjør om svaret til desimaltall og får at sannsynligheten for åtte rette er 880 594049 0,01489. For å finne sannsynligheten for minst ti rette velger vi igjen «Binomisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Vi legger inn verdier for n og p og lar feltene merket «eller» gi at r ligger mellom 10 og 12. Vi får at sannsynligheten for minst 10 rette er 0,00054. 3.3.2 Hypergeometrisk fordeling Vi velger «Hypergeometrisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Der legger vi inn verdier for n 1, n 2, r 1 + r 2 og r 1. Eksempel: Vi løser eksempel 17 på s. 27 i læreboka. En eske inneholder 100 datakomponenter der er 10 defekte. Vi velger ut sju komponenter. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én er defekt? Hva er sannsynligheten for at minst én er defekt? 7
Vi velger «Hypergeometrisk fordeling» fra Sannsynlighet-menyen. Der setter n 1 til 10, n 2 til 100 10 = 90, r 1 + r 2 til 7 og r 1 til 1. Vi får at sannsynligheten for en defekt er 0,389. For å få sannsynligheten for minst én defekt setter vi n 1 til 10, n 2 til 100 10 = 90, r 1 + r 2 til 7 og r 1 til mellom 1 og 100. Da får vi at sannsynligheten for minst en defekt er 0,533. 4 Vektorregning Vi lgger inn vektorer på vanlig måte med «[» og «]» som koordinatparenteser. Eksempel: Vi skal legge inn vektoren r = [2, 5]. Vi taster inn «r : [2, 5]». Da får vi: Når vi regner med punkter kan det være praktisk å legge inn koordinatene til vektoren fra origo til punktet. Eksempel: Vi har punktene A(5, 3) og B(2, 4) og skal finne AB. Vi taster «OA : [5, 3]», «OB = [2, 4]». Så finner vi AB med «OB OA»: 8
Vi ser at AB = [ 3, 1]. 4.1 Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer finner du ved å bruke et punktum mellom vektorene. Eksempel: Vi skal regne ut skalarproduktet av u = [2, 3] og v = [ 4, 1]. Vi legger inn de to vektorene og skriver inn «u.v». Vi får at svaret er u v = 5. Vi kan også bruke valget «Skalarprodukt» fra Algebra-menyen. 4.2 Lengde av vektor Lengden av en vektor finner vi ved å ta kvadratroten av skalarproduktet av vektoren med seg selv. Eksempel: Vi skal finne [ 3, 1]. Vi taster inn «u : [ 3, 1]» og «sqrt(u.u)»: 9
Vi ser at svaret er 10 3,1623. Vi kan også bruke menyvalget «Lengden til en vektor» på Algebra-menyen. 4.3 Vinkel mellom vektorer Vinkelen mellom to vektorer finner vi ved å velge «Vinkelen mellom to vektorer (i grader)» fra Algebra-menyen. Vi taster inn koordinatene til de to vektorene og får svaret. Eksempel: Vi har gitt punktene A(0, 2), B(2, 1) og C( 2, 2), som i eksempel 24 på side 93 i læreboka. Vi skal finne ABC. Først legger vi inn vektorene fra origo til de tre punktene og finner vektorene BA = [ 2, 3] og BC = [ 4, 1]. Så velger vi «Vinkelen mellom to vektorer (i grader)» fra Algebra-menyen. Der legger vi inn «2, 3 og 4, 1. Da får vi 10
Vi finner at vinkelen er på 70,3. 4.4 Parameterframstilling Vi kan tegne parametriserte kurver med menyvalget «Graf 2d» på Grafer-menyen. Vi klikker på «Varianter» og velger «Parametrisk plott». Imidlertid kan det være nyttig å taste inn tegnekommandoen selv for å kunne finjustere innstillingene og for å kunne tegne mer enn en kurve. Eksempel: Vi skal tegne de to banene A og B fra eksempel 27 på side 98 i læreboka, altså banene gitt ved A : x = 3t y = 4t 0,5t 2 B : 4t + 21 y = 3t 0,5t 2 Vi skal tegne de to banene for t [0, 5]. Vi skriver inn A : [3 t, 4 t 0.5 t 2 ] og B : [ 4 t + 21,3 t 0.5 t 2 ]. Vi legger merke til at A[1] nå gir x-koordinaten til kurven og A[2] gir y-koordinaten til kurven. Selve tegnekommandoen er «wxplot2d()». Første argument er en liste over funksjoner som skal tegnes. Deretter følger om ønskelig spesifikasjon av hvilke x-verdier og eventuelt y-verdier vi ønsker. Når vi taster inn «wxplot2d([['parametric,a[1], A[2], [t, 0, 5], [nticks, 300]], 11
['parametric, B[1],B[2],[t,0,5],[nticks, 300]]], [x,0,25],[y,0,25]);» får vi tegnet inn en parametrisert kurve bestående av A sin x-koordinat og A sin y- koordinat for t-verdier mellom 0 og 5, en parametrisert kurve med B sin x-koordinat og B sin y-koordinat for t-verdier mellom 0 og 5, hvor vi bruker x [0, 25] og y [0, 25]. 4.5 Finne punkter på en parameterframstilling Vi finner punkter på en parameterframstilling ved å sette inn t-verdier som i et vanlig funksjonsuttrykk. Dersom vi har lagt inn en parameterframstilling som A, finner vi punktet på kurven der t = 1 ved å taste «ev(a, t = 1)». Eksempel: Vi skal finne hvor t = 1 er på kurven gitt ved: x = 3t y = 4t 0,5t 2 Først legger vi inn kurven med A : [3 t, 4 t 0.5 t 2 ]. Deretter taster vi «ev(a, t = 1)». 12
Altså tilsvarer t = 1 punktet (3, 3.5) på kurven. 4.6 Finne fart og akselerasjon Vi finner fartsvektoren ved å derivere vektorfunksjonen. Vi bruker kommandoen «diff(r, t)». Dette gir fartsvektoren r. Tilsvarende finner vi akselerasjonsvektoren ved å derivere fartsvektoren. Eksempel: Et punkt beveger seg som i eksempel 26 i læreboka, nemlig etter parameterframstillingen x = t + 1 y = t 2 + 2t + 3 Vi skal finne fartsvektoren og akselerasjonsvektoren etter 2 sekunder. Vi legger inn r med funksjonsuttrykkene for x(t) og y(t). Deretter finner vi v og a med «diff()»: Når vi har funnet v og a kan vi regne ut verdien av dem for t = 2 med «ev()». Dette gir fartsvektoren og akselerasjonsvektoren for den bestemte t-verdien. For å finne farten og akselerasjonen finner vi lengden av fartsvektoren og lengden av akselerasjonsvekstoren som ovenfor i avsnitt 4.2, med «sqrt(%.$)». 13
Vi ser at svaret er at farten er 5 og akselerasjonen er 2. 5 Algebra 5.1 Faktorisering Faktorisering gjøres med «factor()». Eksempel: Vi skal faktorisere uttrykket 2x 2 + 3x 2 på side 120 i læreboka. Vi taster først inn uttrykket slik at vi er sikre på å ha tastet riktig. Deretter skriver vi inn «factor(%)». Så uttrykket kan faktoriseres som (x + 2)(2x 1). 5.2 Forkorting og forenkling Maxima har en rekke forskjellige kommandoer som kan brukes til å forenkle uttrykk. En av de mest anvendelige i R1 er «ratsimp()». Eksempel: Vi skal forenkle uttrykket Vi skriver inn uttrykket og taster «ratsimp(%)». 2x 1 fra side 120 i læreboka. 2x 2 +3x 2 14
Eksempel: Vi skal trekke sammen og skrive så enkelt som mulig uttrykket i eksempel 2 på side 121 i læreboka, nemlig x2 +2x 8 x 2 4x+3 2x+1 2x 6. Vi taster inn uttrykket og forenkler med «ratsimp(%)». 5.3 Polynomdivisjon Vi dividerer med kommandoen «divide()». Eksempel: Vi skal dividere 4x 3 28x 2 + 21x + 18 med x 6. For å kontrollere egen inntasting taster vi inn polynomene først og dividerer til slutt: Svaret viser at divisjonen ga polynomet 4x 2 4x 3 ti svar med 0 i rest. 15
5.4 Løse likninger Mange likninger kan løses med kommandoen «solve()». Eksempel: Vi skal løse tredjegradslikningen i eksempel 7 på side 126 i læreboka, nemlig x 3 6x 2 + 7x + 4 = 0 Vi taster inn likningen og gir kommandoen «solve(%)». Vi ser at løsningen på likningen er x = 1 ± 2 eller x = 4. Løsninger som inneholder konstanten %i ignorerer vi fordi de inneholder komplekse tall. Eksempel: Vi skal løse likningen i eksempel 8 på side 128. Vi får: x 6 6x 3 + 5 = 0 De eneste løsningene som ikke inneholder «%i» er x = 5 1 3 = 3 5 og x = 1. 16
6 Funksjoner Det er to måter å angi navn på funksjonsuttrykk i Maxima. Du kan tilordne en variabel et navn f slik: (%i1) f:2*x+5; (%o1) 2 x + 5 Men du kan også lage en maxima-funksjon med funksjonsnavnet slik: (%i1) f(x):=2*x+5; (%o1) f(x) := 2 x + 5 Begge metoder har sine fordeler. I dette heftet har vi brukt den første metoden. 6.1 Tabellverdier For å finne funksjonsverdien av et uttrykk i bestemte x-verdier bruker vi kommandoen «ev()». Eksempel: Vi har funksjonen f(x) fra side 126 i læreboka, nemlig funksjonen f(x) = x 3 6x 2 + 7x + 4 Vi skal regne ut verdien av funksjonen f for x-verdiene 1, 0, 3 og 5 som bakgrunn for et fortegnsskjema. Vi skriver inn funksjonsuttrykket. Deretter skriver vi inn «ev(f, x = [ 1, 0, 3, 5])». 6.2 Derivasjon Vi deriverer med kommandoen «diff(f, x)», der f er funksjonen vi skal derivere og x er variabelen vi skal derivere med hensyn på. Eksempel: Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 2 +2x +3 fra side 162 i læreboka. Vi skriver inn «f : x 2+2x+3» og deretter «diff(f, x)». Da får vi at f (x) = 2x+2. 17
For å regne ut f (2) skriver vi «diff(f, x, 2). 6.3 Toppunkter og bunnpunkter Eksempel: Vi skal finne minste verdi av funksjonen f fra side 98 gitt ved f(t) = 50t 2 294t + 441 Vi legger inn funksjonen som f, vi lar f1 være den deriverte av f og finner når f1 er null med «solve(f1)». Til slutt regner vi ut verdien av f i nullpunktet. Vi ser at minste verdi ble 21 5 2. Her skulle vi egentlig ha tegnet fortegnslinje for f (t) for å avgjøre om t = 147 gir 5 et toppunkt eller bunnpunkt. Siden x er en hele tiden voksende funksjon, forstår 18
vi at f(t) har minste verdi når polynomet under rottegnet har minste verdi. Og grafen til dette polynomet er en parabel med den hule siden oppover og har derfor et bunnpunkt. 6.4 Vendepunkt Vi regner ut den dobbeltderiverte og ser på nullpunktene til den. Eksempel: Vi skal finne vendepunktet til funksjonen f fra side 203 i læreboka gitt ved f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen med «f : %e (2x) 4%e x + 3». Deretter lar vi f1 være den deriverte og f2 være den dobbeltderiverte. Til slutt finner vi når f2 er null og regner ut funksjonsverdien der. Altså er vendepunktet (0, 0). 7 Geometri Maxima er ikke er dynamisk geometriprogram. Vi anbefaler at du i stedet bruker et slikt når du arbeider med geometri på en datamaskin. 19
Tilleggspakke Nedenfor følger innholdet i gyldendal.mac, som det henvises til i avsnitt 1.1. /* Gyldendal undervisning 2009 */ /* --------------------------- */ /* Noen definisjoner som tilpasser maxima videregaaende skole. */ grader2radianer(g):=%pi*g/180$ radianer2grader(r):=r*180/%pi$ sind(u):=float(sin(grader2radianer(u)))$ cosd(u):=float(cos(grader2radianer(u)))$ tand(u):=float(tan(grader2radianer(u)))$ asind(a):=float(radianer2grader(asin(a)))$ acosd(a):=float(radianer2grader(acos(a)))$ atand(a):=float(radianer2grader(atan(a)))$ ntrt(n,a):=float(a^(1/n))$ lg(a):=log(a)/log(10)$ ln(a):=log(a)$ 20