R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra og skriver inn likningen x + y = 9 og får b Dette er det geometriske stedet for punktene som har avstand 3 fra origo. Altså en sirkel med radius 3 og sentrum i origo. 5.3 Vi tegner koordinatsystemet, setter passerspissen i origo og slår en sirkel med radius 36 = 6. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 105
5.4 a b c x + y = 7 som gir x x + y = ( ) som gir + y = 49. x + y =. At sirkelen har diameter 8, betyr at radien er 4. Da får vi sirkellikningen x + y = 16. x + y = 4, eller 5.5 Vi avsetter linjestykket AB = 7 cm og konstruerer midtnormalen til AB. Aschehoug www.lokus.no Side av 105
5.6 a b Vi kan konstruere 75 ved å halvere 90 og 60. 5.7 a Vi avsatte linjestykket KL = 8cm og kopierte vinkelen v til K og L. Vi finner M i skjæringspunktet mellom vinkelbeina. b Vi konstruerer en vinkel som er dobbelt så stor ved å kopiere vinkel v to ganger. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 105
5.8 Linjene l og m har samme stigningstall, men har ulikt fortegn. Det betyr at m synker like mye som l stiger, og dermed at vinklene de danner med x- og y-aksen, må være like. Koordinataksene halverer vinklene mellom l og m, og er derfor det geometriske stedet for punktene som ligger like langt fra l som m. 5.9 Linjene yl = x og ym = x er det geometriske stedet for punktene som ligger like langt fra x-aksen som fra y-aksen. Dette må stemme fordi alle punktene på y l har samme x-koordinat som y-koordinat, og det følger da at lengden langs normalen på aksene også er lik. Tilsvarende argument gjelder linja y m. 5.10 c Vi ser at det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som tangerer to rette linjer som skjærer hverandre, er vinkelhalveringslinjene til de to linjene. Dette må stemme fordi en linje som tangerer en sirkel, står vinkelrett på linja som går gjennom tangeringspunktet og sentrum i sirkelen. Denne avstanden er lik til begge linjer fordi den er sirkelens radius. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 105
5.11 a b c Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 105
d 5.1 Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra linja, er de to parallellene med avstand 5 cm fra linja. 5.13 a Vi tegner et koordinatsystem og linja y = 3. b Det geometriske stedet for punktene som ligger 4 enheter fra l, er parallellene 4 enheter fra l. Det er linjene y = 7 og y = 1. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 105
5.14 a Vi tegner l gitt ved y = x+ 1 i et koordinatsystem og markerer A = (, 1). b Løsninger til oppgavene i boka Vi vet at det geometriske stedet for punktene som ligger like stor avstand fra to gitte punkter, er midtnormalen til de to punktene. Det betyr at vi må finne punkt B slik at l blir midtnormalen til AB. Vi ser at vi kan finne B ved å speile punkt A om l. 1 Vi feller normalen fra A ned på l og kaller skjæringspunktet normalen har med l, for C. Vi slår en sirkel med sentrum i C og radius CA. 3 Vi markerer B i skjæringspunktet sirkelen har med normalen i kulepunkt 1. 4 Vi leser av konstruksjonen at B = (0,3). 5.15 a Vi tegner inn linja l gitt ved y = 1, 5x+ 1. b Det geometriske stedet for punktene som ligger cm fra l, er de to parallellene til l som ligger cm fra l. Vi konstruerer de to parallellene som i eksempel 8. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 105
5.16 Vi følger eksempel 9 og konstruerer parallellen ved: Rombemetoden Vinkelkopieringsmetoden 5.17 a b ASB og BSC er supplementvinkler fordi vinkelsummen er 180. Da har vi at ASB = 180 BSC = 180 50 = 130 ABC er likebeint fordi SA = SB = r. Det betyr at A= B. Vi vet at vinkelsummen i en trekant er 180, så vi får at 180 = 130 + A+ B 180 = 130 + A+ A 180 130 = A A = 50 A = 5 og dermed at også B = 5. 5.18 Fordi l og m er parallelle, må u = w fordi de er samsvarende vinkler. Videre har vi at w= v fordi w og v er toppvinkler. Det betyr at u = w= v= 35. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 105
5.19 a Løsninger til oppgavene i boka ABS er likebeint fordi SA = SB = r. Det betyr at A= B= 40. Når vinkelsummen i en trekant er 180, har vi at BSA= 180 A B = 180 40 40 = 100. b Vi ser at BSA og CSD er toppvinkler og må derfor være like. Dette betyr at CSD = 100. SCD er likebeint fordi SD = SC = r, så C = D. Vi bruker igjen at vinkelsummen i en trekant er 180 og får at 180 = 100 + C+ D 180 = 100 + C+ C 180 100 = C C = 80 C = 40 og dermed at også D = 40. Vinklene i SCD er altså 100, 40 og 40. c ASD og CSD er supplementvinkler fordi de til sammen danner linjestykket AC. Det betyr at ASD = 180 CSD = 180 100 = 80. d Vi har regnet ut at A= C og B= D, som betyr at de er samsvarende vinkler for to parallelle linjer. AB er altså parallell med CD. 5.0 Vi ser på vinkelsummen i ABC og får at ACB = 180 90 u = 90 u Videre har vi at ACB = DCE fordi de er toppvinkler. Vi setter opp sammenhengen mellom vinklene i CDE og får at 180 = 90 + DCE + v 180 = 90 + (90 u) + v 180 = 90 + 90 u + v 180 = 180 + v u v u = 0 u = v Dette er et nyttig resultat vi kan benytte oss av seinere. 5.1 Likningen for en sirkel med radius 7 og sentrum i origo er x + y = 7 eller x + y = 49. 5. (De geometriske stedene er tegnet med blått i figurene.) a Det geometriske stedet for punkter i planet som har avstanden 8 cm fra en gitt linje, er de to parallellene som ligger 8 cm fra linja. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 105
b Det geometriske stedet for punkter i planet som har avstanden 6 cm fra et gitt punkt, er en sirkel med sentrum i det gitte punktet og radius 6 cm. c Det geometriske stedet for punkter i planet som har like stor avstand fra to gitte punkter, er midtnormalen til disse to gitte punktene. d Det geometriske stedet for punkter i planet som har like stor avstand fra to gitte ikkeparallelle rette linjer, er vinkelhalveringslinjene til de to gitte linjene. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 105
e Det geometriske stedet for punkter i planet som har like stor avstand fra to gitte parallelle rette linjer, er den parallelle rette linja som ligger mellom de to gitte linjene. Denne linja kan vi konstruere ved å velge oss et punkt A på den ene gitte linja, felle en normal til den andre linja, markere punkt B i skjæringen og deretter konstruere midtnormalen til AB. 5.3 Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som går gjennom et gitt punkt P når radien er 4 cm, er en sirkel med radius 4 cm og sentrum i P. 5.4 a Vi ser at ABS er likebeint fordi to av sidene har lengde. Da vet vi at to av vinklene er like store, dvs. at ASB = v = 15. Vi regner ut ABS ved å se på vinkelsummen i ABS : ABS = 180 ASB v = 180 v v = 180 v = 180 15 = 180 30 = 150 b Vi ser at også BSC er likebeint fordi SC er radius i sirkelen. Det betyr at SBC = SCB. Vi finner SCB ved å observere at supplementvinkelen er ABS. Dette gir at SCB = 180 ABS = 180 150 = 30 Vi finner BSC på samme måte som i oppgave a ved å se på vinkelsummen i BSC. Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 105
BSC = 180 SBC SCB = 180 30 30 = 180 60 = 10 5.5 a b Likningen for en sirkel om origo med radius 13 er Likningen for en sirkel om origo med radius er x + y = 13 eller x x + y =. + y = ( ) eller x 169 + y = 8. 5.6 Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som går gjennom to gitte punkter P og Q, er midtnormalen til P og Q. 5.7 (De geometriske stedene er tegnet med blått i figurene.) a Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som har radius 8 cm og tangerer en gitt rett linje, er de to parallellene 8 cm fra den gitte rette linja. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 105
b Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som tangerer to gitte parallelle linjer, er den parallelle linja midt mellom de to gitte rette linjene. c Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som tangerer en gitt rett linje i et gitt punkt, er normalen på den gitte linja gjennom det gitte punktet. Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 105
d Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som tangerer en annen sirkel med kjent sentrum i et gitt punkt på sirkelen, er den rette linja gjennom det gitte punktet og sentrum i den gitte sirkelen. e Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som har radius 3 cm og tangerer en annen sirkel med kjent sentrum og radius 10 cm, er to sirkler med radius 13 cm og 7 cm med samme sentrum som i den gitte sirkelen. 5.8 a Vi ser at ABS er likebeint fordi to av sidene har lengde. Da vet vi at to av vinklene er like store, dvs. at ASB = v. b Vi finner et uttrykk for ABS ved å se på vinkelsummen i ABS : ABS = 180 ASB v = 180 v v = 180 v Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 105
Vi ser at også BSC er likebeint fordi SC er radius i sirkelen. Det betyr at SBC = SCB. Vi finner SCB ved å observere at supplementvinkelen er ABS. Dette gir at SCB = 180 ABS = 180 (180 v) = 180 180 + v = v Vi finner BSC ved å se på vinkelsummen i BSC. BSC = 180 SBC SCB = 180 v v = 180 4v (Vi ser at resultatet stemmer med det vi regnet i oppgave 5.4 der v = 15 og BSC = 10.) 5.9 a Vinklene α og v er like store fordi de er samsvarende vinkler i to parallelle linjer AC og l. b Hvis vi forlenger linjestykket CB forbi linja l, vil den samsvarende vinkelen til γ være toppvinkelen til v. Det betyr at γ og v må være like fordi toppvinkler og samsvarende vinkler er like. c Vi ser av skissen i oppgaven at β, v og u til sammen er 180 fordi de spenner ut en rett linje. Fra oppgave a og b har vi at α = v og γ = v. Da får vi at β + v+ u = 180 β + α + γ = 180 Argumentene vi har gjort ovenfor, er uavhengig av hvordan trekanten ser ut, og kan gjøres for alle mulige trekanter. Vi kan dermed slutte at summen av vinklene i en trekant alltid er 180. 5.30 a Måler vi vinklene u og v, får vi u = 51, 4 og v = 10,8. Det gir forholdet v u 10,8 = = 51, 4 Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 105
b Vi lager en liknende figur og måler vinklene u = 50,5 og v = 101. Det gir forholdet v u 101 = = 50,5 Vi ser at forholdet mellom sentralvinkel og periferivinkel igjen ble. 5.31 a En periferivinkel som spenner over en bue på 100, er 50, halvparten av gradtallet. b c En periferivinkel som spenner over en bue på 180, er 90, halvparten av gradtallet. En periferivinkel som spenner over en bue på 70, er 135, halvparten av gradtallet. 5.3 a Sirkelbuen som blir avskåret av en periferivinkel på 45, er 90, dobbelt så stor som periferivinkelen. b Sirkelbuen som blir avskåret av en periferivinkel på 90, er 180, dobbelt så stor som periferivinkelen. c Sirkelbuen som blir avskåret av en periferivinkel på 135, er 70, dobbelt så stor som periferivinkelen. 5.33 a Vi ser at ABS er likebeint fordi SA = SB = r, der r er radius i sirkelen. Det betyr at BAS = ABS = 35 b Vinkelsummen i ABS gir 180 = ABS + BAS + BSA 180 = 35 + 35 + BSA 180 = 70 + BSA BSA = 110 c Vi observerer at ACB er periferivinkelen med BSA som sentralvinkel. Det betyr at ACB er halvparten av BSA, altså 1 1 110 ACB = BSA = = 55 Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 105
5.34 b Sirkelbuen AB blir avskåret av periferivinkelen C = 30 og må derfor være dobbelt så stor. Da får vi at AB = C = 30 = 60. c I oppgave b fant vi at AB = 60, noe som betyr at ASB = 60. Vi vet også at ABS er likebeint fordi to av sidene er radius i sirkelen. Vi ser på vinkelsummen i ABS og setter x = BAS = SBA. 180 = ASB+ x+ x 180 = 60 + x x = 10 x = 60 Når alle vinklene i en trekant er 60, betyr det at trekanten er likesidet. ABS er derfor likesidet, og korden AB må være like lang som SA og SB, altså 5 cm. 5.35 a b c d Fordi AB er diameter i sirkelen, spenner buen over halvparten av hele sirkelen. Derfor er buen AB = 180. Vi vet at omkretsen til en sirkel er gitt ved π r, der r er radius i sirkelen. Buen AB spenner over halve sirkelen, så buelengden er 1 π r = π 6, eller 6π cm. C er periferivinkel med buen AB som sentralvinkel og er derfor halvparten av 180, nemlig 90. Dette vet vi også fra thalessetningen. 1 Vi konstruerer en sirkel med radius 6 cm og sentrum i et punkt S. Vi markerer et punkt A på sirkelen, trekker linja AS og markerer punkt B i skjæringen linja har med sirkelperiferirien. 3 Vi konstruerer CBA = 60 og marker C i skjæringspunktet mellom høyre vinkelbein og sirkelen. 4 Vi trekker linjestykket AC. Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 105
5.36 1 Vi avsetter linjestykket AB = 3 cm. Vi konstruerer normalen i A og halverer vinkelen til 45. 3 Vi konstruerer midtnormal til AB og markerer skjæringspunktet S 1 mellom midtnormalen og 45 -vinkelen fra punkt. 4 Vi slår en bue om S 1 med radius SA 1 på oversiden av AB. 5 Vi setter passerspissen i midtpunktet M til AB og slår en bue med radius SM 1 på undersiden av AB og markerer S i skjæringen med midtnormalen. 6 Vi slår en bue om S med radius SA på undersiden av AB. 5.37 Vi vet at BAS = 90 30 = 60 og bruker det i konstruksjonen av det geometriske stedet. Aschehoug www.lokus.no Side 18 av 105
Løsninger til oppgavene i boka 1 Vi avsetter linjestykket AB = 8 cm. Vi konstruerer 60 i A. 3 Vi konstruerer midtnormal til AB og markerer skjæringspunktet S 1 mellom midtnormalen og vinkelen på 60 fra punkt. 4 Vi slår en bue om S 1 med radius SA 1 på oversiden av AB. 5 Vi setter passerspissen i midtpunktet M på AB og slår en bue med radius SM 1 på undersiden av AB og markerer S i skjæringen med midtnormalen. 6 Vi slår en bue om S med radius SA på undersiden av AB. 5.38 Vi ser at u og vinkelen på 70 spenner over samme sirkelbue. Det betyr at de er periferivinkler for samme sentralvinkel og må derfor være like. Altså u = 70. Vi vet at en sentralvinkel må være dobbelt så stor som periferivinkelen som spenner over samme sirkelbue. Det betyr at v = 70 = 140. 5.39 a Vi vet at tahlessetningen sier at en periferivinkel som spenner over en sirkelbue på 180, er 90. Det betyr at B = 90. C og P er periferivinkler som spenner over buen AB, og må derfor være like store. Dvs. at C = P= 60. Vi finner A ved å bruke at vinkelsummen i en trekant er 180. A = 180 60 90 = 30 Aschehoug www.lokus.no Side 19 av 105
b 1 Vi avsetter linjestykket AS = 4 cm og slår en sirkel med radius 4 cm og sentrum i S. Vi forlenger AS og markerer C på sirkelperiferien på diametralt motsatt side av A. 3 Vi konstruerer 60 i C og markerer B i skjæringen mellom venstre vinkelbein og sirkelperiferien. 4 Vi trekker AB. c Buen AB er dobbelt så stor som periferivinkelen på 60, så den er 10. d Buen AC er dobbelt så stor som periferivinkelen på 90, så den er 180. e Buen BC er dobbelt så stor som periferivinkelen på 30, så den er 60. Vi ser da at de tre buene til sammen som forventet er 360. f Vi vet at AC er diameter i en sirkel med radius 4 cm. Da må AC = 4 cm = 8 cm. Vi vet nå at ABC er en 30 60 90 -trekant og vi vet at i slike trekanter er hypotenusen dobbelt så 1 1 stor som korteste katet. Dermed må BC = AC = 8 cm = 4 cm. (Alternativt kan vi se at BSC er likesidet, fordi den er likebeint og en av vinklene er 60.) Siste side finner vi ved å bruke pytagorassetningen: AB + BC = AC AB + 4 = 8 AB + 16 = 64 AB = 48 AB = 48 = 16 3 = 4 3 = 4 3 5.40 Vi ser at A er periferivinkelen som spenner over samme bue som sentralvinkelen CSB. Det betyr at A er halvparten av CSB, nemlig 45. På samme måte ser vi at B er periferivinkelen som spenner over buen AC, og må derfor være halvparten av 110, nemlig 55. Til slutt finner vi C ved å se på vinkelsummen i en trekant C = 180 45 55 = 80. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 105
5.41 Vi observerer at A er periferivinkelen som spenner over BC, og må dermed være halvparten av 60, nemlig 30. På samme måte er B periferivinkelen til AC. Vi vet at det er 360 rundt hele sirkelen, noe som betyr at AC = 360 AB BC = 360 160 60 = 140. Da må 1 140 B 7 0 = = Vi finner siste vinkel i trekanten ved å se på vinkelsummen C = 180 A B= 180 30 70 = 80. 5.4 a En linje som tangerer en sirkel, vil stå vinkelrett på linja mellom sentrum i sirkelen og tangeringspunktet. Det betyr at SA står vinkelrett på t i dette tilfellet. Vi kan da slutte at b BAS + 50 = 90 BAS = 40 ABC er likebeint fordi sidene SA og SB er like lange som radien i sirkelen. Det betyr at A og B i ABC er like store. Vi finner ASB ved å se på vinkelsummen i ABS : 180 = ASB + 40 + 40 ASB = 180 80 ASB = 100 5.43 a Vi ser at DCE = ACB = 106 fordi de er toppvinkler. CED = BAC = 3 fordi de er periferivinkler som spenner over samme sirkelbue BD. Vi finner EDC ved å se på vinkelsummen i ECD 180 = EDC + 3 + 106 EDC = 180 138 = 4 Vi har også at CBA = EDC = 4 fordi de er periferivinkler som spenner over samme sirkelbue AE. (Fordi vinklene er parvis like store, er disse to trekantene formlike.) Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 105
b Sirkelbuen AE er dobbelt så stor som en periferivinkel som spenner over samme sirkelbue. Derfor er AE = 4 = 84 5.44 a En linje som tangerer en sirkel, vil stå vinkelrett på linja mellom sentrum i sirkelen og tangeringspunktet. Det betyr at SA står vinkelrett på t i dette tilfellet. Vi kan da slutte at BAS+ u = 90 BAS = 90 u Videre er ABC likebeint fordi sidene SA og SB er like lange som radien i sirkelen. Det betyr at A og B i ABC er like store. Vi finner ASB ved å se på vinkelsummen i en trekant: ASB + BAS + SBA = 180 ASB + (90 u) + (90 u) = 180 ASB = 180 180 + u ASB = u b Når u = 60, vil ASB = u = 60 = 10. Det er ikke oppgitt noen lengder i trekanten, så det holder å konstruere en formlik trekant. Det vil si at vi kan velge hvor punkt S er. 1 Vi trekker en linje t og markerer et punkt A på denne linja. Vi konstruerer normalen i A på linja t og en vinkel på 60. 3 Vi markerer et punkt S på normalen. 4 Vi konstruerer 10 i S og markerer B i skjæringen med 60 fra punkt. 5 Vi slår en sirkel om S med radius SA. 5.45 a Vi ser at ACB er en periferivinkel som spenner over buen AB. Dette betyr at buen AB må være dobbelt så stor som ACB, nemlig AB = 46 = 9. På samme måte er CAB en periferivinkel som spenner over buen BC. Vi finner CAB ved å se på vinkelsummen i trekanten ABC. Aschehoug www.lokus.no Side av 105
BAC + 100 + 46 = 180 BAC = 180 146 BAC = 34 og BC = 34 = 68. b Vinkel B er periferivinkelen til sentralvinkelen CSA som da er dobbelt så stor. CSA = 00. Fordi det er 360 rundt hele sirkelen, vil sentralvinkelen som har D som 1 periferivinkel, være 360 00 = 160, og det følger at 160 D = = 80. c I oppgave a fant vi at BAC = 34, og når A = 75, får vi at CAD = 75 34 = 41. Da må CD 41 8 = =. Vi har da alle buene som til sammen utgjør en sirkel og kan da regne ut 5.46 a AD. AD + AB + BC + CD = 360 AD + 9 + 68 + 8 = 360 AD = 360 4 AD = 118 Vi ser at ABD er en periferivinkel som spenner over AD. Dermed er ABD = 1 AD = 1 118 = 59 b Vi deler trapeset inn i fire trekanter: ASB, BSC, CSD og DSA. Alle disse trekantene er likebeinte fordi to av sidene i hver trekant har radien i sirkelen som lengde. Dette betyr at vinklene i trekantene som ikke har toppunkt i S, er parvis like (se figuren). Vi gir disse vinklene navnene u, v, w og z. Vi bruker at vinkelsummen i hver av trekantene er 180, regner ut vinklene u og v og setter opp et uttrykk for BSC og DSA uttrykt ved henholdsvis z og w. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 105
u = 180 50 u = 65 v= 180 150 v= 15 Løsninger til oppgavene i boka BSC = 180 z DSA = 180 w Vi vet at AB CD, så hvis vi forlenger linjestykkene AD og BC, vil vinklene på oversiden av CD være samsvarende med w+ v og v+ zsom figuren viser. c Da får vi to sammenhenger: u+ w+ ( v+ w) = 180 u+ z+ ( v+ z) = 180 65 + 15 + w= 180 65 + 15 + z = 180 w= 100 z = 100 w= 50 z = 50 Vi kan dermed sette inn for w og z i uttrykkene ovenfor og finne BSC = 180 50 = 80 DSA = 180 50 = 80 som var det vi skulle vise. BSC og DSA: Nå som vi har regnet ut u, v, w og z i oppgave b, finner vi vinklene i trapeset ved å sette disse sammen på følgende måte: A= w+ v= 50 + 15 = 65 B= v+ z = 15 + 50 = 65 C = u+ z = 65 + 50 = 115 D= w+ u = 50 + 65 = 115 5.47 a Vi ser at ASC og BSD er sentralvinkler som henholdsvis spenner over buen AC og BD. Det betyr at ASC = x og BSD = y. b Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 105
c Vinklene ADC og DAE er periferivinkler som henholdsvis spenner over buene x og y. x y Da får vi at ADC = og DAE =. d Vi observerer at ADC og EDA er supplementvinkler fordi de til sammen er 180. Det x betyr at EDA = 180. Vi ser på vinkelsummen i ADE. e 180 = v + EDA + DAE x y 180 = v + 180 + y x 180 180 = v + x y v = Vi bruker formelen vi utledet i oppgave d, og ser at x må være det største gradtallet og y det minste (ellers blir v negativ). Vi regner ut: x y 140 50 90 v = = = = 45 Vinkelen mellom sekantene må være 45. 5.48 Vi kaller skjæringspunktet mellom forlengelsen av AS og BC for D og ser at CDS + 100 = 180 CDS = 80 Vi ser på vinkelsummen i SDC og finner at C = 180 80 40 = 60. Vi observerer at SBC er likebeint fordi SB og SC er lik radien i sirkelen og derfor må være like. Dette betyr at B= C = 60, at SBC er likesidet og BSC = 60. Vi finner så BSD = 60 40 = 0 og får at ASB = 180 BSD = 180 0 = 160 5.49 a Vi kan se av skrivemåten ABC ~ EDF at AB tilsvarer ED, BC tilsvarer DF og AC tilsvarer EF. b Vi ser på forholdet mellom to tilsvarende sider hvor lengdene er oppgitt: BA 6 n = = = 3 DE c Vet at forholdet mellom sidene i trekantene er konstant, så vi kan sette opp følgende sammenheng: Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 105
AC BA = EF DE 9 = 3 EF 9 EF = = 3 3 Løsninger til oppgavene i boka 5.50 a For å vise at ABC ~ ACD, må vi vise at to av vinklene er parvis like store. Begge trekantene deler A, så denne vinkelen er lik. Vi ser også at C = CDA = 90, så denne vinkelen er også lik. Det betyr at også den siste vinkelen er lik, og at trekantene er formlike. Lengdeforholdet mellom tilsvarende sider er korteste katet i ABC AC 5 n = 1 korteste katet i ACD = AD = 3 b Vi ser at AB er hypotenus i ABC, så vi bruker at forholdet mellom tilsvarende sider er konstant og regner ut hypotenus i ABC AB 5 = = hypotenus i ACD AC 3 AB 5 = 5 3 5 AB = 3 c Vi gjør som i oppgave a og prøver å vise at to av vinklene er parvis like store. Begge trekantene deler B, så denne vinkelen er lik. Vi ser også at C = BDC = 90, så denne vinkelen er også lik. Det betyr at også den siste vinkelen er lik, og at trekantene er formlike. Lengdeforholdet mellom tilsvarende sider er korteste katet i ABC AC 5 n = korteste katet i CBD = CD = 4 Vi finner at CD = 4 ved bruk av pytagorassetningen på den rettvinklede trekanten ACD. d Vi har tidligere vist at ABC ~ ACD og ABC ~ CBD. Vi legger merke til at ABC er formlik med både ACD og CBD. Det betyr at ACD og CBD også må være formlike. Matematisk kan vi skrive dette slik: ABC ~ ACD ABC ~ CBD ACD ~ CBD Vi finner lengdeforholdet korteste katet i CBD DC 4 n = 3 korteste katet i ACD = AD = 3 e Begge trekantene er rettvinklede, så vi kan bruke katetene som grunnlinje og høyde når vi skal regne ut arealene. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 105
f 1 1 1 1 5 3 T CBD = Gh = BD CD = ( AB 3) 4 = 3 4 = 3 3 1 1 1 T ACD = Gh = AD CD = 34 = 6 Vi ser på forholdet mellom arealene arealforholdet er n 3 T T CBD ACD 3 3 3 16 = = = og legger merke til at 6 18 9 4 16 = 3 =, altså lengdeforholdet kvadrert. 9 5.51 a Første utgave: Vi viser at trekantene er formlike ved å se at forholdet mellom tilsvarende sider er konstant: AB,0 5 = = DE 4, 4 11 BC 3,5 5 = = EF 7,7 11 AC 8,0 5 = = DF 17,6 11 Andre utgave: Vi viser at trekantene er formlike ved å se at forholdet mellom tilsvarende sider er konstant: AB,0 5 = = DE 4, 4 11 BC 3,5 5 = = EF 7,7 11 AC 5,0 5 = = DF 11,0 11 b Trekantene må være formlike av formlikhetskrav. 5.5 a På grunn av at DE AB, ser vi at CED og CBA er samsvarende vinkler. Trekantene deler også C, så vi har da to parvis like store vinkler, altså DEC ~ ABC. b Vi brukte krav nr. 1. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 105
c Vi regner ut lengdeforholdet mellom ABC og DEC ved å se på de tilsvarende sidene AB og DE. AB 6,0 n = = = DE 3, 0 Dette betyr at ABC er dobbelt så stor som DEC. Vi finner AC, AD og CE AC = 4,5 = 9 AC AD = = 4,5,8 CE = =,8 5.53 1 Vi avsetter linjestykket AB = 10 cm og trekker en vilkårlig stråle l fra A som ikke er parallell med AB. Vi velger en tilfeldig lengde i passeråpningen og avsetter tre like lange linjestykker langs l fra A. 3 Vi trekker et linjestykke fra det siste markerte punktet til B. 4 Vi konstruerer parallellen til linjestykket i punkt 3 ved hjelp av rombe-metoden. 5 Vi markerer punkt P i skjæringen parallellen har med AB. 5.54 a Fra pytagorassetningen får vi at BC = 1 + = 1+ 4 = 5. 1 Vi avsetter linjestykket AB =. Vi konstruerer normalen i A på AB. 3 Vi markerer et punkt C på normalen, slik at AC = 1. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 105
b Fra pytagorassetningen får vi at BC = + 3 = 4 + 9 = 13. 1 Vi avsetter linjestykket AB =. Vi konstruerer normalen i A på AB. 3 Vi markerer et punkt C på normalen, slik at AC = 3. 5.55 a Hvis to av vinklene er like store, vet vi at også den tredje vinkelen må være like stor på grunn av at vinkelsummen i en trekant er 180. Da er en side og to av de hosliggende vinklene like, og trekantene er kongruente. b Vi brukte da kongruenssetning 4. 5.56 Vi ser at linjestykket CD er felles for begge trekantene, og vi har da at en av sidene i hver trekant er like. Punktene C og D ligger på midtnormalen til AB, og vi vet fra kapittel 5A at alle punkter på midtnormalen til AB er det geometriske stedet for alle punktene som ligger like langt fra A som fra B. Da vet vi at ABC og ABD er likebeinte, og at AD = BD og AC = BC. Vi har da vist at sidene i ACD og BCD er parvis like, og det følger da at ACD BCD av kongruenssetning 1. 5.57 a Matematisk skriver vi ABC A B C. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 105
b c d Vi ser at lengdene til de tilsvarende sidene AB og AB er oppgitt, så vi finner lengdeforholdet i de to formlike trekantene ved å finne forholdet mellom disse sidene. AB 8, 6 cm n = = = 1,65 AB 5m Lengdeforholdet er 1,65 Vi bruker lengdeforholdet til å finne AC med den tilsvarende siden AC. AC 9, 9 cm = = 1,65 AC A C 9, 9 cm AC = = 5, 6 3 cm 1, 65 Lengden AC er 5,6 cm. Vi vet at forholdet mellom arealene er lik lengdeforholdet kvadrert. Dvs. at arealforholdet er n = 1, 65 =, 791, eller,73. 5.58 a Trekantene deler A, så denne er lik. Når vi vet at BC er parallell med DE, er DEA = BCA fordi de er samsvarende vinkler. Det samme gjelder EDA = CBA, og trekantene er derfor formlike. b Vi finner lengdeforholdet mellom trekantene 10 5 n = = 4,0 og bruker dette til å finne AB, BD og AE AB AB 5 5 7 35 = = AB = = = 8,8 AD 3,5 4 35 7 1 BD = AB 3,5 BD = = = 5,3 4 4 AC AE + 7 5 7 5 14 = = 1+ = AE = 7 = = 4,7 AE AE AE 3 3 5.59 (Feil i fasit første opplag) Vi observerer at DE og BC er parallelle fordi den samsvarende vinkelen på 105 er lik. Da må også DEA = BCA være like fordi de er samsvarende vinkler, og vi har da at ADE ~ ABC. Vi finner lengdeforholdet mellom trekantene AB,7 + 6 9 n = = = AD, 7 9 og finner CE ved å observere at AC = AE + EC = 4,7 + EC. Forholdet mellom tilsvarende sider gir da Aschehoug www.lokus.no Side 30 av 105
AC 4,7 + EC 9 = = AE 4,7 9 EC 9 = 1 4,7 9 0 EC = 4,7 = 10, 4 9 5.60 a Vi ser umiddelbart at begge trekantene deler A, så denne vinkelen er lik. I tillegg ser vi også at vinklene AED = CBA = 90, så vinklene i trekantene er parvise like store, og de er derfor formlike. b Den tilsvarende siden til AE = 6,0 cm er AB=1 cm. Vi finner først lengdeforholdet mellom trekantene 1 cm n = AB A E = 6,0 cm = Vi ser at den tilsvarende siden til ED er BC = 10 cm. Vi regner ut og bruker at lengdeforholdet mellom tilsvarende sider er konstant BC 10 cm = = cm ED ED 10 cm ED = = 5 cm c Vi ser at arealet av firkant DBCE er differansen mellom arealet av trekant ABC og trekant ADE. Vi vet også at trekantene er rettvinklede, og vi kan derfor bruke de to katetene som høyde og grunnlinje. Da får vi at F DBCE = T ABC T ADE 1 1 = AB BC AE ED 1 1 = 1 cm 10 cm 6,0 cm 5 cm = 60 cm 15 cm = 45 cm 5.61 Vi vet at PQ og SR er parallelle, noe som gjør at TSR = TQP og SRT = QPT fordi de er toppvinkler til de samsvarende vinklene. Da har vi at STR ~ QTP. Når to trekanter er formlike, er forholdet mellom to tilsvarende sider konstant. Da får vi RT SR = PT PQ RT 1 = 3 5 36 RT = 5 Aschehoug www.lokus.no Side 31 av 105
Da finner vi diagonalen 36 51 PR = PT + RT = 3 + = = 10, cm 5 5 5.6 a Vi ser at AEB = CED fordi de er toppvinkler, og vi vet at i et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Da får vi at AB CD og AB = CD. Fordi AB og CD er parallelle, får vi at EDC = ABE og BAE = DCE fordi de er samsvarende toppvinkler til hverandre. Vi kan da konkludere med at ABE CDE etter kongruenssetning 4. b Når ABE CDE, betyr det at AE = EC og BE = ED, og E deler dermed diagonalene i forholdet BE : ED = AE : EC = 1:1. 5.63 a Fra pytagorassetningen får vi at BC = 3 + 1 = 9 + 1 = 10. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 1. Vi konstruerer normalen i A på AB. 3 Vi markerer et punkt C på normalen, slik at AC = 3. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 105
b Fra pytagorassetningen får vi at BC = + 1 = 4+ 1 = 5. Løsninger til oppgavene i boka 1 Vi avsetter linjestykket AB = cm. Vi konstruerer normalen i A på AB. 3 Vi markerer et punkt C på normalen, slik at AC = 1 cm. 4 Vi forlenger linjestykket CB og trekker en stråle med startpunkt i C. 5 Vi setter passerspissen i B, slår en sirkelbue med radius 1 og markerer punktet P på motsatt side av C. Da er ( 5 1) CP = + cm 5.64 Vi ser at arealet av firkant DBCE er differansen mellom arealet av trekant ABC og trekant ADE. Trekantene er rettvinklede, og vi kan derfor bruke de to katetene som høyde og grunnlinje i arealformelen. Vi ser umiddelbart at begge trekantene deler A, så denne vinkelen er lik. I tillegg ser vi også at vinklene AED = CBA = 90, så vinklene i trekantene er parvise like store, og de er derfor formlike. Den tilsvarende siden til AE = 6,0 cm er AB = 1 cm, og den tilsvarende siden til ED er BC = 10 cm. Vi regner ut og bruker at lengdeforholdet mellom tilsvarende sider er konstant: BC AB = ED AE 10 cm 1 cm = = ED 6,0 cm 10 cm ED = = 5 cm Da får vi at F DBCE = T ABC T ADE 1 1 = AB BC AE ED 1 1 = 1 cm 10 cm 6,0 cm 5 cm = 60 cm 15 cm = 45 cm Aschehoug www.lokus.no Side 33 av 105
5.65 a b For å vise at BDC ~ ABC, må vi vise at to av vinklene er parvis like store. Begge trekantene deler C, så denne vinkelen er lik. Vi ser også at B = BDC = 90, så denne vinkelen er også lik. Det betyr at også den siste vinkelen er lik, og at trekantene er formlike. 1189 c Vi bruker pytagorassetningen på ABC og finner at AC = 8,5 + 15 = 17, 4. 4 I formlike trekanter er forholdet mellom tilsvarende sider konstant. Da får vi AB AC = BD BC 8,5 17, 4 = BD 15 8,5 15 BD = 7, 4 17, 4 Høyden i ABC er BD = 7, 4 cm. 5.66 Alle fem trekanter er formlike. I oppgave 5.50 viste vi at høyden ned på hypotenusen en rettvinklet trekant deler trekanten inn i to formlike trekanter. I denne figuren er CD høyden i ABC, og DE er høyden i CDE, så figuren deles da inn i fem formlike trekanter. Aschehoug www.lokus.no Side 34 av 105
5.67 a Vi tegner en skisse av figuren, navnsetter viktige punkter og trekker en hjelpelinje GE: Vi kan anta at mastene står vinkelrett på bakken og dermed at AD EF BC. Da ser vi at AFE ~ ABC og DGE ~ DAB fordi trekantene deler en vinkel og er rettvinklede. Forholdet mellom tilsvarende sider i trekantene gir AF FE = AB BC y h = z 30 og GE GD = AB AD y 60 h = z 60 b Vi har i oppgave a funnet to uttrykk for y z. Vi setter uttrykkene lik hverandre og løser for h: h 60 h = 60 30 60 h= 60 h 3h = 60 h = 0 Dette betyr at bardunene krysser hverandre 0 meter over bakken. (Det er interessant å merke seg at bardunene skjærer hverandre 0 meter over bakken uansett avstand z mellom mastene.) Aschehoug www.lokus.no Side 35 av 105
5.68 a Vi ser at AE = EB = 8, og dermed at AED og EBD har like lange grunnlinjer. Samtidig må høyden til trekantene også være lik, fordi D har lik vertikal avstand h 1 til EB og forlengelsen av AE. Da får vi 1 1 T AED = Gh1 = 8 h1 = 4 h1 1 1 T EBD = Gh1 = 8 h1 = 4 h1 Uttrykkene og arealene må derfor være like store. b Vi skisserer trekanten og trekker hjelpelinjene CF og DG som begge står normalt på AB. Vi ser da at FBC ~ GBD fordi begge trekantene deler vinkel B og har en vinkel på 90. Vi bruker at forholdet mellom tilsvarende sider i to formlike trekanter er konstant og får at BC FC = BD GD 18 h = 1 h h h 1 1 3 = 3 h = h1 Vi finner et uttrykk for arealet av trekant ABC: 1 1 3 1 3 T ABC Gh AB = = h1 = 16 h1 = 1h1 Vi ser at arealet av hele trekanten er tre ganger så stort som arealet av hver av de to trekantene vi regnet på i oppgave a. Vi får da at T ADC = T ABC T EBD T AED = 1h1 4h1 4h1 = 4h1 som var det vi skulle vise. Aschehoug www.lokus.no Side 36 av 105
5.69 a Nei, vi kan ikke fastslå at trekantene er kongruente fordi kravene til trekant ABC ikke er entydige. Hvis vi prøver å konstruere trekanten, får vi to muligheter for hvor punkt C kan ligge. b Ja, disse trekantene er kongruente fordi to sider og den motstående vinkelen til den lengste av disse sidene er like. Trekantene oppfyller dermed kongruenssetning 3. 5.70 a I oppgave 5.50 viste vi at høyden ned på hypotenusen i en rettvinklet trekant deler trekanten inn i to formlike trekanter. Det betyr at ADC ~ CBD. Vi bruker at forholdet mellom tilsvarende sider i trekantene er konstant: CD AD = BD CD h a = b h h = ab h = ab Aschehoug www.lokus.no Side 37 av 105
b Vi bruker formelen vi regnet ut i oppgave a, og får at a = cm og b = 8 cm. Dette gir arealet 1 1 1 T ABC = Gh = ( a + b) ab = ( + 8) 8 = 5 16 = 0 Arealet av trekant ABC er 0 cm. 5.71 For at bordet ikke skal helle, må AC DB. Vi ser at AEC = BED fordi de er toppvinkler, og at AE = EB og CE = ED fordi vi fikk oppgitt at E deler bordbeina nøyaktig på midten. Fra kongruenssetning kan vi dermed slutte at ACE BED. Når trekantene er kongruente, må ACE = EDB og CAE = DBE fordi de er samsvarende toppvinkler, og vi kan dermed konkludere med at AC DB. Håvard bør bli overbevist av et slikt argument. 5.7 a Fra pytagorassetningen får vi at BC = 4 + = 16 + 4 = 0. 1 Vi avsetter linjestykket AB =. Vi konstruerer normalen i A på AB. 3 Vi markerer et punkt C på normalen, slik at AC = 4. b Fra pytagorassetningen får vi at BC = + 1 = 4+ 1 = 5. 1 Vi avsetter linjestykket AB = cm. Vi konstruerer normalen i A på AB. 3 Vi markerer et punkt C på normalen, slik at AC = 1 cm. 4 Vi forlenger linjestykket CB og trekker en stråle med startpunkt i C. 5 Vi setter passerspissen i B, slår en sirkelbue med radius 1 og markerer punktet P på motsatt side av C. 6 Vi halverer linjestykket CP og markerer midtpunktet Q. Aschehoug www.lokus.no Side 38 av 105
Da er CQ = 5+ 1 c Når forholdet mellom lengde og bredde er ϕ og bredden er lik 1, får vi l l 5+ 1 = ϕ = ϕ l = ϕ = b 1 d Vi bruker konstruksjonen i oppgave b hvor vi allerede har konstruert lengden CQ = ϕ og fortsetter konstruksjonen. 1 Vi markerer punkt D på midtnormalen til CP slik at QD = 1. Vi konstruerer parallellen til CQ som går gjennom D, og parallellen til QD som går gjennom C. 3 Vi markerer punkt E i skjæringen mellom de to parallellene. Da er CQDE et gyllent rektangel. (Vi kan døpe om punktene slik at vi får ABCD.) 5.73 Trekantkrav 1 viser at det er bare en trekant som passer til opplysningene. Punktet C må være i skjæringen mellom sirkelbuen om A med radius 7cm og sirkelbuen om B med radius 6 cm. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 8 cm. Vi slår en sirkelbue om A med radius 7 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 39 av 105
3 Vi slår en sirkelbue om B med radius 6 cm og får C. 5.74 Punktet C må ligge i skjæringen mellom parallellen 5 cm unna AB og venstre vinkelbein i 45 - vinkelen i A. Det fins bare et skjæringspunkt mellom to ikke-parallelle linjer, dermed er det bare ett punkt C som oppfyller kravene. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 6 cm. Vi konstruerer 45 i A og trekker en stråle langs venstre vinkelbein 3 Vi konstruerer parallellen til AB, 5 cm fra AB, og markerer C i skjæringen med 45 - vinkelen. 4 Vi trekker linjestykket BC. 5.75 Punktet C må ligge i skjæringen mellom sirkelbuene med radius 10 cm om A og B. Trekanten er entydig etter trekantkrav 1. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 8 cm. Vi slår en bue med sentrum i A og radius 10 cm, og en bue i B med radius 10 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 40 av 105
3 Vi markerer C i skjæringen mellom de to sirkelbuene. 4 Vi feller normalen fra C ned på AB. Normalen fra C ned på AB er høyden h i trekanten og skjærer AB i midtpunktet til AB. Dette må stemme fordi ABC er likebeint. Vi finner arealet av ABC ved først å regne ut h ved hjelp av pytagorassetningen: AC 10 h AB = h + = h + 4 h = 84 Da blir = 100 16= 84 1 1 T ABC = Gh = 8 cm 84 cm = 4 1 cm = 4 1 cm = 8 1 cm 36,7 cm 5.76 Trekantene er likebeinte, så vi kan regne ut alle vinklene i trekanten ( C = 75 og B = 30 ). Alle vinklene er dermed gitt, og vi vet lengden til to av sidene: Opplysningene er entydige. Punkt C vil ligge i skjæringen mellom venstre vinkelbein i A = 75 og en bue med radius 8 om B. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 8. Vi konstruerer A = 75 ved å halvere 90 og 60 3 Vi slår en sirkelbue om B med radius 8 og markerer skjæringspunkt C med venstre vinkelbein i A = 75. 4 Vi trekker BC. Aschehoug www.lokus.no Side 41 av 105
5.77 Punkt C må ligge i skjæringen mellom venstre vinkelbein i A = 45 og en bue med radius 4,5 cm om B. I dette tilfellet er radien på buen kortere enn AB, noe som gjør at vi får to skjæringspunkter med 45 - vinkelen. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 8 cm. Vi konstruerer A = 45 ved å halvere normalen gjennom A. 3 Vi slår en bue om B med radius 4,5 cm og markerer C 1 og C i skjæringen med 45 -vinkelen fra punkt. 4 Vi trekker BC 1 og BC. 5.78 a Trekanten vil være entydig bestemt etter trekantkrav 1, og C vil ligge skjæringen mellom sirkelbuen om A med radius 9,0 cm og sirkelbuen om B med radius 8,0 cm. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 6,0 cm. Vi slår en bue om A med radius 9,0 cm, og en bue om B med radius 8,0 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 105
3 Vi markerer skjæringspunktet C mellom de to buene. 4 Vi trekker AB og AC. b Trekanten vil være entydig bestemt etter trekantkrav. Vi finner C i skjæringen mellom venstre vinkelbein A og buen om A med radius 7,0 cm. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 4,5 cm. Vi konstruerer A = 60. 3 Vi slår en bue om A med radius 7,0 cm og markerer skjæringspunktet C mellom buen og det venstre vinkelbeinet til A. 4 Vi trekker BC. c Trekanten vil være entydig bestemt etter trekantkrav 3. Vi finner C i skjæringen mellom venstre vinkelbein A og buen om B med radius 5,5 cm. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 5,0 cm. Vi konstruerer A = 5,5 ved å halvere normalen gjennom A to ganger. 3 Vi slår en bue om B med radius 5,5 cm og markerer skjæringspunktet C mellom buen og det venstre vinkelbeinet til A. 4 Vi trekker BC. Aschehoug www.lokus.no Side 43 av 105
d Trekanten vil være entydig bestemt etter trekantkrav 4. Vi finner B i skjæringen mellom venstre vinkelbein C = 30 og høyre vinkelbein i A = 45. 1 Vi markerer et punkt A på en linje. Vi konstruerer A = 45 ved å halvere normalen gjennom A på linja. 3 Vi slår en bue om A med radius 4,5 cm og markerer skjæringspunktet C mellom buen og det venstre vinkelbeinet til A. 4 Vi konstruerer 30 i C ved å halvere 60. 5 Vi markerer B i skjæringen mellom venstre vinkelbein C og høyre vinkelbein i A. 5.79 Trekanten er entydig bestemt etter trekantkrav 4. To av vinklene er gitt, og vi kan derfor finne den siste vinkelen. Punktet C vil ligge i skjæringen mellom venstre vinkelbein til A = 60 og sirkelbuen med AB som diameter. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 6 cm. Vi konstruerer A = 60. 3 Vi konstruerer midtnormalen til AB og markerer midtpunktet M. Aschehoug www.lokus.no Side 44 av 105
4 Vi slår en halvsirkelbue om M med radius AM. 5 Vi markerer C i skjæringen mellom venstre vinkelbein i A = 60 og sirkelbuen. 6 Vi trekker BC. 5.80 a Vi ser at når avstanden fra C til AB er mindre enn radius til sirkelbuen med diameter AB, vil vi få to skjæringspunkter C 1 og C mellom sirkelbuen og parallellen 4 cm fra AB. De to skjæringspunktene vil gi trekantene ABC1 og ABC. Skal nå vise at ABC1 ABC. Vi vet at C1 = C = 90, og at AB=10 cm, så hvis vi kan vise at C1BA = BAC, vil trekantene være kongruente etter kongruenssetning 3. b Fordi linjestykkene AB og CC 1 er parallelle, må C1C A = BAC. Vi ser også at C1BA og CC 1 A spenner over samme sirkelbue CA 1 og må derfor være like. Altså C1CA = BAC C1BA = C1C A C BA = C C A = BAC 1 1 som var det vi skulle vise. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 10 cm. Vi konstruerer den øvre parallellen til AB med høyde 4 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 45 av 105
3 Vi konstruerer midtnormalen til AB og markerer midtpunktet M. 4 Vi slår en halvsirkelbue om M med radius AM. 5 Vi markerer C 1 og C i skjæringen mellom parallellen og sirkelbuen. 6 Vi trekker BC 1 og BC. 5.81 Vi bruker formlikhetsmetoden i eksempel 18. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 7 cm. Vi konstruerer A = 45. 3 Vi slår en sirkel om A med radius 4 cm og markerer B på høyre vinkelbein. 4 Vi slår en sirkel om A med radius 3 cm og markerer C på venstre vinkelbein. 5 Vi konstruerer parallellen til linja BC som går gjennom B. 6 Vi markerer C i skjæringen mellom parallellen og venstre vinkelbein til A. Aschehoug www.lokus.no Side 46 av 105
5.8 Vi bruker formlikhetsmetoden i eksempel 18. 1 Vi avsetter linjestykket AB = 10 cm. Vi konstruerer A = 75. 3 Vi slår en sirkel om A med radius 7 cm og markerer B på høyre vinkelbein. 4 Vi slår en sirkel om A med radius 4 cm og markerer C på venstre vinkelbein. 5 Vi konstruerer parallellen til linja BC som går gjennom B. 6 Vi markerer C i skjæringen mellom parallellen og venstre vinkelbein til A. Løsninger til oppgavene i boka 5.83 a 1 Vi avsetter linjestykket AB = 4 cm. Vi slår to sirkler om A med radius 6,5 cm og 7 cm. 3 Vi slår en sirkel om B med radius 4 cm og får punktet C i skjæringen med sirkelen med radius 6,5 cm. 4 Vi slår en sirkel om C med radius 6 cm og får punktet D i skjæringen med sirkelen om A med radius 7 cm. Aschehoug www.lokus.no Side 47 av 105
5 Vi trekker linjestykkene BC, CD og AD. b 1 Vi avsetter linjestykket EF = 4 cm. Vi slår en sirkel om E med radius 8 cm. 3 Vi slår en sirkel om F med radius 5 cm og får punktet G i skjæringen med sirkelen i punkt. 4 Vi slår en sirkel med radius 5 cm om G. 5 Vi trekker linjestykket EG og konstruerer midtpunktet M. 6 Vi slår halvsirkelen med radius EM og M som sentrum. 7 Vi markerer H i skjæringen mellom sirkelen i punkt 4 og halvsirkelen i punkt 6. Vi trekker linjestykkene FG, GH og EH. c 1 Vi avsetter linjestykket IJ = 6 cm. Vi konstruerer normalene på IJ gjennom I og J. 3 Vi slår en sirkel om I med radius 8 cm og markerer skjæringen med normalen gjennom J for K. 4 Vi konstruerer normalen i K på JK og markerer skjæringen med normalen gjennom I for L. Aschehoug www.lokus.no Side 48 av 105
d 1 Vi avsetter linjestykket MN = 8 cm. Vi konstruerer N = 75. 3 Vi slår en bue om N med radius 5 cm og markerer skjæringspunktet O med høyre vinkelbein i N. 4 Vi konstruerer parallellen til MN som går gjennom O. 5 Vi slår en sirkelbue med radius 6 cm om O og markerer punkt P i skjæringen mellom parallellen og sirkelen. 6 Vi trekker linjestykket MP. Aschehoug www.lokus.no Side 49 av 105
5.84 1 Vi avsatte linjestykket AD = 6 cm. Vi konstruerte D = 75 og A = 30. 3 Vi slo en sirkel med sentrum i A og radius 5 cm og markerte skjæringspunktet B med det høyre vinkelbeinet til A. 4 Vi slo en sirkel med sentrum i D og radius 1 cm og markerte skjæringspunktet C med det venstre vinkelbeinet til D. 5 Vi trakk hjelpelinjestykket BC og konstruerte midtpunktet M. 6 Vi slo en halvsirkel med sentrum i M med BM som radius. 5.85 a 1 Vi avsatte linjestykket AB = 6 cm. Vi konstruerte A = 60 og B = 45. 3 Vi markerte punkt C i skjæringen mellom A sitt venstre vinkelbein og B sitt høyre vinkelbein. Aschehoug www.lokus.no Side 50 av 105
b 1 Vi avsatte linjestykket AB = 8 cm. Vi konstruerte A = 75 og B =,5. 3 Vi markerte punkt C i skjæringen mellom A sitt venstre vinkelbein og B sitt høyre vinkelbein. c 1 Vi avsatte linjestykket AB = 10 cm. Vi konstruerte normalen i A på AB og fikk A = 90. 3 Vi slo en bue om B med radius 14 cm. 4 Vi markerte C i skjæringen mellom buen om B og A sitt venstre vinkelbein. d Ettersom C ligger like langt fra A som fra B, vet vi at C må ligge på det geometriske stedet midtnormalen til AB. 1 Vi avsatte linjestykket AB = 10 cm. Vi konstruerte A = 60. 3 Vi konstruerte midtnormalen til AB. 4 Vi markerte C i skjæringen mellom midtnormalen og A sitt venstre vinkelbein. Aschehoug www.lokus.no Side 51 av 105
5.86 1 Vi avsatte linjestykket AB = 6 cm. Vi konstruerte A = 60. 3 Vi konstruerte normalen i B og markerte D 5 cm opp langs normalen. 4 Vi konstruerte parallellen til AB gjennom D. 5 Vi markerte C i skjæringen mellom parallellen og A sitt venstre vinkelbein. 5.87 a 1 Vi avsatte linjestykket AB = x ved å la passeråpningen være x og slå to buer på en linje. Vi markerte midtpunktet D på AB slik at AD er x. 3 Vi slo en halvsirkel om D med AD som radius. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 105
4 Vi halverte linjestykket x og slo en bue om A med radius x. 5 Vi markerte C i skjæringen mellom sirkelbuen og om A og sirkelbuen om D. 6 Vi trakk AC og BC. b Vi ser at ABC er rettvinklet og bruker pytagorassetningen: AC + BC = AB + BC = x ( x) x + BC = 4x 4 x 16x x 15x BC = 4x = = 4 4 4 15 BC = x 5.88 1 Vi avsatte linjestykket AB = a = 14. Vi konstruerte A = 60 og B = 30. 3 Vi markerte punkt C i skjæringen mellom A sitt venstre vinkelbein og B sitt høyre vinkelbein. Aschehoug www.lokus.no Side 53 av 105
5.89 1 Vi avsatte linjestykket AB = x. Vi konstruerte midtpunktet til AB og slo en halvsirkel med AB som diameter. 3 Vi kopierte v til A og halverte v. v 4 Vi markerte C i skjæringen mellom halvsirkelen og venstre vinkelbein til A =. 5.90 1 Vi avsatte linjestykket AB = 8 cm. Vi konstruerte den øvre parallellen til AB med avstand 3 cm fra AB. 3 Vi slo en bue om A med radius 6 cm. 4 Vi markerte C i skjæringen mellom parallellen og buen om A. 5 Vi felte normalen fra C til AB og markerte skjæringspunktet D. 6 Vi trakk AC og BC. Aschehoug www.lokus.no Side 54 av 105
5.91 a 1 Vi avsatte AB = 6 cm. Vi konstruerte A = 60 og B = 180 30 = 10 5. 3 Vi slo en bue om A med radius 7 cm og markerte D i skjæringen med A sitt venstre vinkelbein. 4 Vi slo en bue om B med radius 6 cm og markerte C i skjæringen med B sitt høyre vinkelbein. 5 Vi trakk linjestykket CD. b 1 Vi avsatte AB = 7 cm. Vi konstruerte normalene i A og B på AB. 3 Vi slo en bue om A med radius 7 cm og en bue om B med 7 cm og markerte skjæringene med normalene C og D. 4 Vi trakk linjestykket CD. Aschehoug www.lokus.no Side 55 av 105
c 1 Vi avsatte AB = 7 cm. Vi konstruerte B = 180 60 = 10. 3 Vi slo en bue om B med radius 7 cm og markerte punkt C i skjæringen med B sitt høyre vinkelbein. 4 Vi slo en bue med radius 7 cm om A og en bue med radius 7 cm om C. 5 Vi markerte skjæringen D mellom disse buene. 6 Vi trakk linjestykkene AD og CD. d 1 Vi avsatte AB = 9 cm. Vi konstruerte A = 75. 3 Vi konstruerte den øvre parallellen til AB 6 cm fra AB. 4 Vi markerte punkt D i skjæringen mellom parallellen og venstre vinkelbein til A. 5 Vi slo en bue om D med radius 9 cm og markerte punkt C i skjæringen med parallellen. 6 Vi avsatte linjestykket BC. Aschehoug www.lokus.no Side 56 av 105
e 90 + 45 1 Vi konstruerte A = = 67,5. Vi slo en bue om A med radius 9, og markerte punkt D i skjæringen med A sitt venstre vinkelbein. 3 Vi felte normalen fra D ned på A sitt høyre vinkelbein og markerte B i skjæringen. 4 Vi konstruerte parallellen til AD gjennom B. 5 Vi konstruerte midtnormalen til BD og markerte punkt C i skjæringen med parallellen. 6 Vi trakk CD og BC. Aschehoug www.lokus.no Side 57 av 105
5.9 a 1 Vi avsatte linjestykke AB = 8. Vi konstruerte A = 60. 3 Vi konstruerte B = 5,5 ved å halvere 60 + 45 = 105. 4 Vi markerte punkt C i skjæringen mellom de vinkelbeina fra punkt og 3. 5 Vi trakk AC og BC. b 1 Vi avsatte linjestykke AB = 10. Vi konstruerte A = 45 og B = 60. 3 Vi markerte C i skjæringen mellom venstre vinkelbein til A og høyre vinkelbein til B. 4 Vi trakk AC og BC. c Det er to muligheter for punkt C i denne trekanten fordi avstanden til parallellen fra AB er kortere enn radien på sirkelen med AB som diameter. 1 Vi avsatte linjestykket AB = 10. Vi konstruerte den øvre parallellen til AB, 3 fra AB. 3 Vi konstruerte midtpunktet M til AB og slo den øvre halvsirkelen med M som sentrum og AM som radius. Aschehoug www.lokus.no Side 58 av 105
4 Vi markerte C 1 og C i skjæringene mellom parallellen til AB og halvsirkelen. 5 Vi trakk AC 1, BC 1, AC og BC. d Vi får vite at C ligger like langt fra A som B, og vi kan dermed slutte at C må ligge på midtnormalen til AB (geometrisk sted), og at trekant ABC er likebeint. Vi kan da regne ut at 180 10 A = = 30. 1 Vi avsatte linjestykke AB = 7. Vi konstruerte midtnormalen til AB. 3 Vi konstruerte A = 30. 4 Vi markerte punkt C i skjæringen mellom midtnormalen til AB og vinkel A sitt venstre vinkelbein. 5 Vi trakk BC. 5.93 1 Vi avsatte en linje, markerte punkt A og slo tre buelengder med lengde x. Vi konstruerte midtpunktet B mellom siste buestrek og A. 3 Vi tredelte lengden x og slo en bue om A med lengde 3 x. 4 Vi konstruerte midtpunktet M til AB og slo den øvre halvsirkelen med M som sentrum og radius AM. Aschehoug www.lokus.no Side 59 av 105
5 Vi markerte punkt C i skjæringen mellom halvsirkelen og buen fra punkt 3. 6 Vi trakk AC og BC. Løsninger til oppgavene i boka 5.94 Det er to muligheter for punkt C i denne trekanten fordi avstanden a til parallellen fra AB er kortere enn radien 3a/ på buen om B. 1 Vi avsatte linjestykket AB = a = 7. Vi forlenget AB to ganger og konstruerte midtpunktet D. 3 Vi slo en bue om B med radius AD. 4 Vi konstruerte den øvre parallellen til AB med avstand a = 7. 5 Vi markerte skjæringspunktene C 1 og C mellom buen om B og parallellen. 6 Vi trakk AC 1, BC 1, AC og BC. Aschehoug www.lokus.no Side 60 av 105
5.95 1 Vi avsatte en linje og slo tre sirkelbuer med lengde x fra et punkt A. Vi konstruerte midtpunktet B mellom tredje buestrek og A. 3 Vi kopierte vinkel v med AB som høyre vinkelbein, og halverte denne. 4 Vi konstruerte B = 60. 5 Vi markerte punkt C i skjæringen mellom venstre vinkelbein til A og høyre vinkelbein til B. 6 Vi trakk BC. Aschehoug www.lokus.no Side 61 av 105
5.96 a 1 Vi avsatte linjestykket AB = 6. Vi konstruerte B = 135. 3 Vi slo en bue med radius 8 om B og markerte C i skjæringen mellom det høyre vinkelbeinet til B og buen. 4 Vi trakk AC og konstruerte midtnormalen. 5 Vi slo en bue med radius 9 om C og markerte D i skjæringen midtnormalen og buen. 6 Vi trakk linjestykket AD. b 1 Vi trakk en linje og markerte et punkt B. Vi konstruerte B = 60. 3 Vi slo en bue om B med radius 7 cm og markerte C i skjæringen mellom buen og B sitt høyre vinkelbein. 4 Vi konstruerte 180 60 75 = 45 i C på BC og markerte A i skjæringen mellom vinkelens høyre vinkelbein og linja fra punkt 1. 5 Vi konstruerte midtpunktet M på AC og slo en halvsirkel med radius AM og med sentrum i M. 6 Vi slo en bue om A med radius 3 cm og markerte i punkt D i skjæringen mellom buen og halvsirkelen. 7 Vi trakk AD og CD. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 105