Likevekt STATISK LIKEVEKT Når et legeme er i ro, sier vi at det er i statisk likevekt. Et legeme beveger seg i den retningen resultanten virker. Vi kan sette opp den første betingelsen for at et legeme skal være i likevekt: For at et legeme skal være i likevekt, må resultanten til kreftene på legemet være lik null. Et kraftpar er to like store og motsatt rettete krefter som ligger på to parallelle angrepslinjer. Resultanten til et kraftpar er lik null, men kreftene gir likevel et statisk moment med eller mot urviseren. Det gjør at legemet som kraftparet virker på, også dreier med eller mot urviseren. Dette legemet er derfor ikke i likevekt. Vi ser at i de fleste tilfellene er det ikke nok at resultanten til kreftene er lik null. side 1
ANALYTISK LØSNING Kraftresultanten i x-retningen er lik summen av kreftene i x-retningen: F Rx = ΣF x Kraftresultanten i y-retningen er lik summen av kreftene i y-retningen: F Ry = ΣF y For at et legeme skal være i likevekt må resultanten av kreftene være lik null. ΣF x = 0 og ΣF y = 0 Det er ikke tilstrekkelig at resultanten er lik null. Ved likevekt mellom tre krefter må de tre kreftene også gi gjennom samme punkt. Ved likevekt mellom fire krefter må vi kunne sette sammen kreftene til to resultanter som er like store, motsatt rettet og ligger på samme angrepslinje. Dersom resultanten er lik null, mens ingen av de andre likevektskravene er oppfylt, blir legemet påvirket av et kraftpar som gir moment og dreining av legemet. Figuren viser et kraftpar med kraften F og avstand a mellom de to angrepslinjene. Kraftparet gir et moment M = F a rundt hvilket som helst punkt. Hvis statisk momentet om et hvilket som helst punkt er lik null, har vi ikke noe kraftpar. Den siste betingelsen for likevekt er da: ΣM = 0 side 2
Disse likningene kaller vi de tre algebraiske likevektslikningene. Regel: Dersom et legeme skal være i likevekt, må summen av kreftene som virker pi legemet, være lik null. I tillegg må det statiske momentet til kreftene som virker på legemet, være lik null om et hvilket som helst punkt. Siden vi kan sette opp tre uavhengige matematiske likninger, kan vi også løse tre ukjente med disse likningene. Vi kan også løse tre ukjente på denne måten: - en momentlikning og to kraftlikninger - to momentlikninger og en kraftlikning - tre momentlikninger og ingen kraftlikning Vi kan løse oppgaver med inntil tre ukjente størrelser og sier da at oppgaven er statisk bestemt. Hvis vi har mer enn tre ukjente opplagerbetingelser, har vi ikke mange nok ligninger å bruke. Vi sier da at konstruksjonen er statisk ubestemt. side 3
Eksempel 1 Legemet er påvirket av en horisontal kraft F = 10kN og er opplagret i de tre stanglagrene A, B og C. Vi skal finne kreftene F A, F B og F C som alle er ukjente. F A virker horisontalt, mens F B og F C virker vertikalt. Vi velger retningene på kreftene, hvis feil, får vi negativt svar ved utregning. Vi kan nå velge inntil to kraft- og to momentligninger. Vi prøver å velge ligninger som bare gir en ukjent. Negativt svar som betyr at F C virker motsatt, altså nedover. Ut fra de valgte retningene og fortegnene i svarene ser vi at det blir strekk i stengene A og C og trykk i stang B. side 4
Eksempel 2 En 5m lang bjelke er opplagret i et fastlager i A og et glidelager i B. På bjelken virker det en kraft F = 15kN som vist. Vi skal bestemme lagerkreftene i A og B. I fastlager A kjenner vi ikke kraftens retning, så vi dekomponerer i F Ax og F Ay. I glidelager B er retningen kjent, vertikal, F B. Vi setter på kreftene med antatte retninger i figuren. side 5
Eksempel 3 Opplager A er et stanglager, og opplagerkraften følger retningen på stanga. Opplager B er et fastlager, så vi må anta krefter i x- og y- retning. Vi antar retninger og setter på kreftene i figuren. Vi skal bestemme opplagerkreftene A og B. side 6
Punktlaster eller enkeltlaster er konsentrerte laster som virker i ett punkt. Vi kan også ha jevnt fordelte laster. Et eksempel i er egenlasten til en bjelke. En 5 m lang bjelke veier 200 N per meter. Det skriver vi slik: g = 200 N/m. Vi bruker: - liten bokstav for en jevnt fordelt last - stor bokstav for en enkeltlast (punktlast) Vi kan angi en jevnt fordelt last som en enkeltlast G midt på bjelken. G = g l = 200 N/m 5 m = 1000N For nyttelaster bruker vi ofte bokstaven q om jevnt fordelte laster og bokstaven F om enkeltlaster. Eksempler på jevnt fordelte laster er snølast, vindlast og nyttelast på golv. En jevnt fordelt last på en bjelke har en annen virkning på bjelken enn en tilsvarende last (kraft) plassert midt på bjelken. Lasten kan også endre seg jevnt fra 0 til q. På en 6 meter lang bjelke endrer lasten seg fra q = 0 ved A til q = 500N/m ved opplager B. For statiske beregninger kan denne belastningen erstattes av: F = 0,5 q l = 0,5 500 6 = 1500N Siden belastningen utgjør en trekant, skulle det være klart at resultantkraften F angriper i avstand 4 meter fra opplager A og 2 meter fra Opplager B. Det gir opplagerkreftene F A = 500N og F B = 1000N. side 7