Meningsfylt matematikk - Mening for hvem? Geir Botten Høgskolen i Sør-Trøndelag Novemberkonferansen 24.11.2015
To eksempler Hva koster ei ukes ferie på Hitra? Svaret er 8 hva er spørsmålet?
Ferie på Hitra En familie i Oslo (eller en annen plass) med to voksne og to barn planlegger ei ukes ferie på Hitra (eller der du bor). Hvor mye mindre penger har familien etter denne ferieuka, og hva er pengene brukt til?
Svaret er 8 - Hva er spørsmålet? I en sjuendeklasse arbeider hele trinnet over en fjorten dagers periode med aktiviteter, oppgaver og problemstillinger knyttet til et opplegg de har kalt Svaret er 8, hva er spørsmålet? Hver dag bruker elevene mellom 5 og 15 minutter på opplegget
Starten Forsiktig start Hvor mye er 4 + 4? Hvor mye er 5 + 3, 6 + 2, 7 + 1 og 8 + 0? Økende vanskegrad Hvor mye er 12 4? Hvor mye er 12008 12000? Store tall Hvor mye er 137567005 137566997? Hvor mye er 26553481 + 45621332 72174805?
To dager senere Addisjon og subtraksjon av brøker med forskjellige nevner slik at svaret blir lik 8 Jørgens foreslår oppgaven: 2 1 + 1 + 4 2 1 5 3 10
Oppgaver fra hjemmelekse Eva: Hvor mange bein hadde Sleipner? Kemal: Hvor mange sideflater er det i et oktaeder? Sebastian: «Hvilket tall sto på ryggen til Steven Gerrard da han spilte for Liverpool?» Lise: I går ertet katten vår to spurver, men den klarte ikke å fange dem. Hvor mange bein hadde disse tre dyra til sammen? Sasha: Mora mi har en bror og dobbelt så mange søstre. Faren min har like mange søstre som mora mi, og tre ganger så mange brødre som henne. Hvor mange tanter og onkler har jeg til sammen?
Oppgavetyper Oppgaver med benevning som kroner, meter eller liter. Oppgaver om prosent og med desimaltall Ligninger Aritmetikkoppgaver Geometrioppgaver Problemløsningsoppgaver
Utfordrende oppgaver Silje forteller en dag at hun hadde snakket med søstera si på ungdomsskolen, og fra henne har hun fått oppgaven: Hva er stigningstallet for funksjonen y = 8x 1 De aller fleste elevene forstår lite eller ingenting av denne oppgaven, men den blir med i klassens samling mest som en kuriositet eller en smakebit på en matematikk de sikkert kommer til å møte senere
Matematikk i lokalsamfunnet Matematiske diskusjoner på skolen og i fritida med søsken og foreldre under middagen og på ettermiddagene Oppgavene blir samlet og mange av dem slått opp på ei oppslagstavle i klasserommet På foreldremøte gjenkjenner flere av foreldrene oppgaver som var blitt til etter diskusjoner hjemme hos dem
Undersøkelseslandskap
Undersøkelseslandskap hva er det? Undersøkelseslandskap er ikke noe absolutt og statisk Elevene inviteres inn, de kan takke ja eller avslå Elevene må la seg fascinere og engasjere Ingen temaer eller aktiviteter kan i seg selv karakteriseres som et undersøkelseslandskap En aktivitet kan fungere som undersøkelseslandskap for en gruppe elever, men ikke for en annen Måten aktiviteten presenteres på, kan ha avgjørende betydning for om elevene blir med inn i undersøkelseslandskapet
Starten på et undersøkelseslandskap En tur inn i et undersøkelseslandskap vil ofte starte med at læreren har funnet et fenomen som kan fungere som et undersøkelseslandskap. Lærer: Hva tror dere vil skje hvis... Elevene ser nøyere på fenomenet og begynner å undersøke Elev: Men kan det være slik at... Elev: Ja, men hva skjer hvis... Elev: Og hvis... Lærer: Hvorfor det, tro? Elev: Ja, hvorfor det, kan det være slik at... Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det må være slik at... Elev: Kan det være riktig da, se på dette eksemplet... Elev: Se her, hvis jeg gjør slik, så blir resultatet...
Realistisk matematikkundervisning (RME) Hovedprinsipp Hans Freudenthals konsept for matematikk som en menneskelig aktivitet Elever i matematikklasserom skal ikke betraktes som passive mottakere av ferdig matematikk. Elevene må bli veiledet til å gjenoppfinne matematikken ved å gjøre det selv Ordet realistisk ikke i første rekke knyttet til praktisk nyttematematikk, men mer til undervisning som gir mening for elevene. Undervisningen må (bør) knyttes til situasjoner eller aktiviteter som elevene kjenner seg igjen i engasjere elevene være en integrert del av deres interessefelt støtte elevenes kreative matematikkytringer, undring og fascinasjon hjelpe elevene til å tolke og søke etter sammenheng og betydning knyttes til matematikk som kulturaktivitet
RME - hvordan Elevene starter med en matematisk aktivitet knyttet til en for dem kjent kontekst, for eksempel borddekking og servering på et foreldremøte spill og bytting av klinkekuler studie av tallmønster. Aktivitetene og oppgavene i tilknytning til dem skal søke å illustrere viktige matematiske prinsipper Elevene skal anvende noe de har lært samtidig som de skal lære noe nytt. Elevene skal gradvis skal utvikle matematiske verktøy og forståelse på et mer formelt nivå.
Matematisering Aktivitetene skal basere seg på matematiske prosesser og føre til høyere nivåer av matematisk tenkning Denne prosessen og slik matematisk tenking karakteriseres gjerne som matematisering. Matematisering handler om å anvende matematikk en har lært før å utfordre elevene til å oppdage og se nye sammenhenger å studere fenomen på en ny måte å utvikle nye strategier
Hva gir mening for elevene? Åpne for å bygge undervisningen på elevene egne tanker og innspill Kreative matematikkytringer Undring og fascinasjon Multimodalitet Matematikk som kulturaktivitet Tolking, søking etter sammenheng og betydning Situert kunnskap og situert læring
Regnefortellinger laget av 6-åringer Det kom en bjørn og en hest. Bjørnen åt opp hesten. Hvor mange dyr ble det igjen? Det kom to kyr og to griser. Så kom det en kujeger og skaut to kyr. Hvor mange dyr ble det igjen? På en parkeringsplass var det 3 biler. Så kom det ei kråke og tok med seg en bil. Hvor mange var det igjen? En bonde har ei høne som er dårlig, og hun dør. Så kjøper bonden seg 12 nye. Hvor mange har han da? Ole har 9 kyr. Alle unntatt 2 dør i en fjøsbrann. Hvor mange kyr har han igjen?
Regnefortelling av Aron Det var en gang 94 maurtuer. I hver maurtue var det 26 636 maur. Hver maur hadde 6 bein. Etter et år hadde 25 % dødd, men det var blitt født 34 nye maur i hver maurtue. Så kom den store maurkrigen. Da døde 23 %, 42 % forsvant og 13 % av de som var igjen hadde mistet et bein. Hvor mange bein var det da i de 94 maurtuene? (Om det blir desimaler, så dør den mauren av maurpest.) Rockström 1992, s. 52, min oversettelse
Fra en elevlogg Det kan være vanskelig å lage matematikkoppgaver selv, men jeg synes det er morsomt. Og jeg tror jeg lærer mye av det. Jeg må på en måte snu hjernen min.
Hvorfor elevene skal skrive matematikktekster Å lage matematikktekster henger nært sammen med den grunnleggende ferdigheten å kunne skrive i matematikk. I Kunnskapsløftet (LK06) er denne ferdigheten beskrevet slik: Å kunne uttrykke seg skriftlig i matematikk innebærer å løse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare en tankegang og sette ord på oppdagelser og ideer. En lager tegninger, skisser, figurer, tabeller og diagram. I tillegg benytter en matematiske symbol og det formelle språket i faget.
Mestring og utfordring Mestring er helt sentralt når en skal motivere Å bare gjøre det en mestrer, fører ikke til motivasjon Det blir ingen ekte mestringsfølelse uten utfordring Utfordringen må være en faglig utfordring, ikke bare en utfordring om å gjøre mange oppgaver
Kilder Andersson, Annica (2013): Meningsfullt även för den som hatar matte Nämnaren nr 1, 2013 Botten, Geir (2003): Meningsfylt matematikk nærhet og engasjement i læringen. Caspar forlag Under arbeid: Botten, Geir (2016): Matematikk med mening mening for alle. Caspar forlag