Oppgaver Innhold Innhold... 1 1.1 Tallregning... Tall og tallmengder... Regningsarter... 5 Å regne med negative tall... 6 Addisjon og subtraksjon av brøker... 6 Multiplikasjon og divisjon med brøker... 8 Brudden brøk... 10 Regnerekkefølge... 11 1. Potenser... 1 Regneregler for potenser... 1 Tierpotenser og tall på standardform... 16 Tall på standardform i GeoGebra... 18 Kvadratrøtter... 0 n te-røtter... 1. Algebraiske uttrykk... 5 Bokstavregning... 5 Kvadratsetningene... 6 1.4 Likninger... 8 Metode for å løse likninger... 8 Formelregning... 1 Likningssett... 5 1.5 Faktorisering... 8 Uttrykk som består av bare ett ledd... 8 Uttrykk som inneholder flere ledd... 8 Faktorisering av andregradsuttrykk ved å bruke kvadratsetningene... 9 Fullstendige kvadrater... 40 Forenkling av rasjonale uttrykk... 41 1.6 Andregradslikninger... 44 1
Når konstantleddet mangler... 44 Når førstegradsleddet mangler... 44 Fullstendige kvadrater... 45 Å løse andregradslikninger med abc - formelen... 46 Likningssett av første og andre grad... 50 1.7 Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden... 51 Mer om forenkling av rasjonale uttrykk... 5 Likninger med rasjonale uttrykk... 54 1.8 Ulikheter... 55 Ulikheter av. grad... 57 1.9 Eksponential- og logaritmelikninger... 58 Vekstfaktor... 58 Briggske logaritmer... 6 Eksponentiallikninger uten bruk av digitale verktøy... 6 Enkle logaritmelikninger... 64 Bildeliste... 66
1.1 Tallregning Tall og tallmengder 1.1.1 Avgjør om påstandene nedenfor er riktige 1 og 5 er naturlige tall. 4 er et naturlig tall. 4 er et heltall. Heltall betegnes med bokstaven. e) 1 og 5 er reelle tall. f) 1 er et rasjonalt tall. g) 1 og 5 er rasjonale tall. h) 0, er et rasjonalt tall. i) Tallet er et irrasjonalt tall. j) Alle naturlige tall er heltall. k) Alle heltall er naturlige tall. l) Alle heltall er rasjonale tall. m) Alle rasjonale tall er heltall.
1.1. Utrykk disse intervallene/mengdene med ord, 0, 5,, 4, 1.1. Skriv med intervalltegn/mengdetegn Heltallene, 0, og 10 Alle reelle tall større enn eller lik og mindre enn eller lik 10 Alle reelle tall større enn og mindre enn 0 Alle reelle tall større enn 4 1.1.4 Skriv med intervalltegn/mengdetegn Alle heltall mellom og Tre rasjonale tall mellom 1 og 4 Tre irrasjonale tall mellom 1 og Alle naturlige tall mellom og 5 e) Tre reelle tall mellom 4 og 5 4
1.1.5 Hvilke av disse tallene er irrasjonale? 1 1,, 16, 4, 4, 1.4, 5 Regningsarter 1.1.6 Sett inn riktig betegnelse Når vi adderer to tall, får vi en. Når vi subtraherer et tall fra et annet tall, får vi en. Når vi multipliserer to tall, får vi et. Når vi dividerer to tall, får vi en. 1.1.7 Vis hvor du finner ledd - faktor - teller - nevner i følgende uttrykk 5 4 1 1 5
Å regne med negative tall 1.1.8 Regn ut 4 6 8 1 4 5 Addisjon og subtraksjon av brøker Løs først alle oppgavene uten hjelpemidler. Bruk så et digitalt verktøy til å kontrollere svarene. Å utvide og forkorte brøker 1.1.9 Utvid brøkene slik at de får like nevnere 5 7 11 8 1 15 1 18 9 6 4 6
1.1.10 Forkort brøkene 6 1 0 6 84 7 84 1 18 9 6 40 56 1.1.11 Sett inn > eller < eller = i hver av rutene nedenfor. Begrunn svarene dine. 4 4 5 1 18 7 18 4 1 0 6 Å trekke sammen brøker med forskjellige nevnere 1.1.1 Trekk sammen 1 1 4 4 1 7 1 4 7 1 9 4 18 7
1.1.1 Trekk sammen 1 5 4 6 4 1 6 1 4 e) 1 7 1 4 9 f) g) 1 5 1 1 1 5 4 Multiplikasjon og divisjon med brøker 1.1.14 Regn ut 5 4 18 15 7 6 : 16 4 18 : 5 8
1.1.15 Regn ut 4 16 9 : 16 4 :6 16 1 1 5 4 1.1.16 Per har 18 kroner. Ole får av pengene. Hvor mange kroner får Ole? 1.1.17 Hvor mye er halvparten av 1 9? Hvor mye er 1 av 5? Vi har 1 1 liter maling. Malingen skal fylles i små glass. I hvert glass er det plass til 5 0 liter. Hvor mange glass trenger vi? 1.1.18 av elevene i en klasse kjører moped til skolen. Resten av elevene tar bussen. Hvor mange elever er det i klassen dersom seks elever tar bussen? 9
Brudden brøk 1.1.19 Regn ut 7 5 4 5 7 1 1 18 6 1 7 1 9 4 1.1.0 Regn ut 1 1 0 15 7 6 5 1 1 4 7 6 7 10
Regnerekkefølge 1.1.1 Regn ut 54 5 4 10 8: 4 4 9 6 1 e) f) 1 4 4 4 16 g) Kontroller svarene dine ved CAS i GeoGebra. «Alt+R» gir kvadratrottegnet. 1.1. Regn ut 100 11 5 4 4 4 e) Kontroller svarene dine ved CAS i GeoGebra. 11
1.1. Regn ut 1 4: 4 5 1.1.4 Regn ut 9 6 8 1 1 4 4 4 4 4 4 1.1.5 Regn ut 1 1 1 9 5 8 7 5 1 56 6 5 1
1. Potenser Regneregler for potenser 1..1 Bruk potensreglene og regn ut 5 4 4 4 6 e) 4 f) g) 4 h) 4 1
1.. Bruk potensreglene og regn ut 4 b b b 4 y y y y e) ab a f) y 4 y g) ab 5 8 ab h) y y 1.. Bruk potensreglene og regn ut a ab 8 y y 14
1..4 Bruk potensreglene og regn ut 4 ab ab a b a a ab e) Kontroller svarene dine med CAS i GeoGebra. 1..5 Regn ut og skriv svaret med positiv eksponent 4 5 y y 5 15
1..6 Bruk potensreglene og regn ut a y ( y ) y 4 0 ( b ) a b( b ) y z y z Tierpotenser og tall på standardform 1..7 Skriv disse tallene som tierpotenser 1 000 000 0,1 0,000000001 1000 1..8 Skriv disse tallene på standardform 000 000 1 00 000 4000 1 400 000 16
1..9 Skriv disse tallene på standardform 0,00 0,000 0 0,046 0,000 000 678 1..10 Regn ut og skriv svaret på standardform og vanlig form 5,510 6,0 10 5 9,10 000 5 7,510,0 10 5 510 0,510 1..11 Regn ut og skriv svaret på standardform og vanlig form 5,510 6,010 7 0,5 10 5 510 1,10 6 10 5000 0,0006 50000 5 510 0,0007 710 5000 17
Tall på standardform i GeoGebra I GeoGebra bruker vi kommandoen «Standardform[ <Tall> ]» eller «Standardform[ <Tall>, <Gjeldende siffer> ]» for å skrive et tall eller regneuttrykk på standardform. I GeoGebra benyttes også bokstaven «E» for tierpotens 1..1 Når vi snakker om avstander i universet, bruker vi ofte betegnelsen lysår. Et lysår er den avstanden lyset tilbakelegger i løpet av ett år. Lyset har en fart på 00 000 km/s. Hvor mange kilometer er et lysår? Lyset bruker 4 timer og 5 minutter mellom jorda og dvergplaneten Pluto. Hva er avstanden mellom jorda og Pluto? Her kan du finne mer om avstanden til Pluto. Solsystemet. Nærmest sola finner vi først Merkur og så Venus, Jorda og Mars. Lenger ute har vi Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun og Pluto. Mellom Mars og Jupiter ser du et belte av små planeter (asteroider). 18
1..1 I oktober 008 produserte Norge, millioner fat råolje daglig. Vi regner med en pris på råolje på 400 kroner/fat. Hvor mange milliarder kroner var verdien av oljeproduksjonen på denne måneden? I internasjonal oljeomsetning svarer et fat til 4 US Gallons eller 158,987 L. Oseberg, Nordsjøen Hvor mange liter råolje produserte Norge denne måneden? Gi svaret på standardform. Det blir hevdet at råoljereservene på norsk sokkel i 008 var på 919 millioner kubikkmeter råolje. Hvor mange fat olje svarer dette til? Regn med samme oljeproduksjon som i oktober 008. Hvor lenge vil oljereservene vare? 19
Kvadratrøtter 1..14 Bruk regneregler for kvadratrøtter til å vise at 8 18 18a a 8 4 1..15 Regn ut 8 1 1..16 Skriv uten kvadratrot i nevner 9 6 a a 0
1..17 Skriv enklest mulig 18 1 98 7 75 5 1..18 Regn ut 54 6 8 18 1
n te-røtter 1..19 Regn ut 8 7 4 81 1..0 Regn ut 5 15,5 8 100 9,5 1..1 Regn ut 1 9 1 7 5 1 4 56
1.. Regn ut 15 9 54 1.. Vis at 8 4 6 6 1..4 Vis at e) 4 8 9 7 4 5 5 5 5 7 4
1..5 Regn ut 1 7 1 5 4 4 5 4 e) 1 4 4 f) g) 4 1 1 4 1 4 1..6 Overflaten til en kule er gitt ved formelen O 4 r. Regn ut radien i en kule med en overflate lik 17 cm. 4 r Volumet til en kule er gitt ved formelen V. Regn ut radien i en kule med et volum på 9,5 cm. 4
1. Algebraiske uttrykk Bokstavregning 1..1 Regn ut a b 5a a 7b a 4y 6 14a 4 ab 1d 5ba 4d 4 8 7 e) a 4a a f) 5ab bc ab cb 4 1.. Regn ut bb4 74 5a a 6 5a 1 ba b 4aa 1b a e) 5 ( 1) 5 f) a ba b 5
1.. Regn ut verdiene av følgende uttrykk når og y y y y y y Kvadratsetningene 1..4 Bruk kvadratsetningene og regn ut ( ) (a 5) ()( ) ( 4) e) 1 1..5 Regn ut 4 a4 aa a 5 4 4 4 5 1 6
1..6 Regn ut a a a 1 9 a 1 a 1 a 1 a 4 a 1 1 1 4 1 a a 1 a 1a 1 1 1 e) 5 5 1..7 Regn ut ved hjelp av konjugatsetningen 9 1 18 5 15 10 97 7
1.4 Likninger Metode for å løse likninger 1.4.1 Løs likningene. Sjekk om du har regnet riktig ved å se om venstre side er lik høyre side når du setter løsningen din inn i den opprinnelige likningen. 15 5 5 5 11 4 4 e) 4 f) 4 8 1.4. Løs likningene,5 1,5 0,1,4 1,18 1,58 0,5( ) 0,1 0,1 t t e) s s 1 1 s 8
1.4. Løs likningene 1 1 1 6 1 6 1 e) 1 1 1.4.4 Løs likningene 4 4 6 s 1 1 s 4 10 5 1 1 t 0 4 t 1 1 1 6 9 y y 1 y 1 9
1.4.5 Stian, Erik og Øyvind delte en pizza. Stian spiste en tredel, Erik spiste to femtedeler, og Øyvind spiste resten. Sett opp en likning og finn ut hvor stor del av pizzaen Øyvind spiste. Et pizzastykke fra Braz Pizzeria i Sao Paulo. I Brasils største by selger over 6000 pizzarestauranter til sammen nesten én million pizzastykker hver dag! 1.4.6 Kristin, Anette og Ellen har til sammen 1100 kroner. Ellen har dobbelt så mange penger som Anette, og Kristin har 100 kroner mindre enn Ellen. Sett opp en likning og finn ut hvor mange penger hver av de tre jentene har. 1.4.7 På en aktivitetsdag ved skolen valgte 60 % av elevene fotball. En tredel valgte volleyball. De siste 1 elevene hadde fått fritak. Sett opp en likning og finn ut hvor mange elever det er ved skolen. 1.4.8 Per, Pål og Espen er til sammen 66 år. Per er dobbelt så gammel som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de tre guttene er. Aktivitetsdag ved Natur videregående skole i Oslo. NM i støvelkasting! 0
1.4.9 Ari, Anette og far er til sammen 54 år. Anette er dobbelt så gammel som Ari og far er tre ganger så gammel som Anette. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Ari, Anette og far er. 1.4.10 Far er tre ganger så gammel som Per og bestefar er dobbelt så gammel som far. Til sammen er de 10 år. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Per, far og bestefar er. 1.4.11 Mormor var år da mor ble født. I dag er hun dobbelt så gammel som mor. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle mor og mormor er. 1.4.1 Far er tre ganger så gammel som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til sammen er de tre 9 år. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Camilla, far og onkel Kåre er. 1.4.1 Mor er 1 år eldre enn Maja. Bestefar er tre ganger så gammel som mor. Om to år er de til sammen 100 år. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Maja, mor og bestefar er. Hvor gamle er Maja og bestefar? 1
Formelregning 1.4.14 Gitt formelen s v t der s står for strekning, v for fart og t for tid. Løs formelen med hensyn på farten, v tiden, t 1.4.15 Arealet av en sirkel er gitt ved formelen Løs formelen med hensyn på r. A r. Volumet av en terning er gitt ved formelen V s. Løs formelen med hensyn på s. Volumet av en sylinder er gitt ved V r h. 1) Løs formelen med hensyn på h. ) Løs formelen med hensyn på r. Volumet av en kjegle er gitt ved V rh. 1) Løs formelen med hensyn på h. ) Løs formelen med hensyn på r. 4 r e) Volumet av en kule er gitt ved V. Løs formelen med hensyn på r.
1.4.16 Fra fysikken har vi disse formlene. Løs formlene med hensyn på t. 1 s at v v0 at s 0 v v t På vei sørover med farten v. 1.4.17 For å si noe om en person er undervektig, har normal vekt eller er overvektig, kan vi regne ut personens Body Mass Inde, BMI. (Merk at BMI ikke forteller noe om fordelingen mellom fett og muskler. En veltrent muskuløs person vil derfor ha en høy BMI. ) BMI kategorier, 18,5 18,5, 5 Undervektig Normal kroppsvekt v BMI-verdien er gitt ved formelen b der v kilogram h er vekten til personen og h meter er høyden. 5, 0 0, Overvektig Fedme Løs formelen med hensyn på vekten v. Bruk formelen til å finne vekten til en person som er 180 cm høy og har en BMI-verdi på 4. Løs formelen med hensyn på h og bruk formelen til å finne høyden til en person som har en BMIverdi på 0 og veier 60,0 kg.
1.4.18 Sammenhengen mellom fahrenheitgrader og celsiusgrader er gitt ved formelen 9 F C 5 Her står C for temperaturen målt i celsiusgrader og F for temperaturen målt i fahrenheitgrader. Gradestokken viser en dag 0 C. Hvor mange grader fahrenheit tilsvarer dette? Løs formelen med hensyn på C. Gradestokken viser 65 F. Hvor mange grader celsius tilsvarer dette? Hvor mange grader Fahrenheit? 1.4.19 Et telefonabonnement koster 49 kroner i fast månedspris og 0,85 kroner per minutt for samtaler. Et annet abonnement koster 99 kroner i fast månedspris og 0,59 kroner per minutt for samtaler. Ved hvor mange minutter ringetid er de to abonnementene likeverdige i pris? 1.4.0 Utfordring! Vinkelsummen i en trekant er 180, i en firkant 60, og i en femkant 540. Lag en formel som viser vinkelsummen i en mangekant med n sider. I en regulær mangekant er vinklene like store, for eksempel er vinklene i en regulær trekant 60, i en regulær firkant 90 og i en regulær femkant 108. Finn en formel som viser vinkelen i en regulær n - kant. 4
Likningssett 1.4.1 Løs likningssettene e) y y6 6y8 y6 5y 4 y6 4 y y48 y 6 4y 4 1.4. Løs likningssettene y1 y 5 y 1 y 60 80y 40 y y 6 5 y440 5
e) y 11 1 4y 11 5 1.4. kg torskefilet og 1,5 kg ulkefilet koster til sammen 85 kroner. kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet koster 15 kroner. Hva er kiloprisen for torske- og ulkefileten? Stekt torsk med olivenpotetpurre og sopp. 1.4.4 kroner per stk. 4 kroner per stk. Lærer Hansen kjøpte en dag til sammen 115 epler og pærer. Han betalte 415 kroner. Hvor mange epler og hvor mange pærer kjøpte han? 6
1.4.5 Løs likningssettene ved hjelp av et digitalt verktøy. 1 1 1 y 6 1 1 y 4 0,1s t,4 0,4t1,6s,8 1.4.6 Utfordring! Per har kjøpt ny påhengsmotor. Oljeblandingen til motoren skal være 1 dl olje til 10 L bensin. Per har stående 10 L oljeblanding til sin gamle påhengsmotor. Der er blandingsforholdet dl olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med 10 L ren bensin. Hvordan kan han blande for å få 5 L riktig blanding på den nye motoren sin? 1.4.7 Utfordring! Karis moped har gått tom for bensin. Mopeden skal ha en oljeblanding med dl olje til 10 L bensin. Far til Kari har stående 10 L oljeblanding med dl olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med olje. Hvordan kan Kari blande for å få 8 L riktig blanding på mopeden? 7
1.5 Faktorisering Uttrykk som består av bare ett ledd 1.5.1 Faktoriser uttrykkene 6 18a b 4 49ab Uttrykk som inneholder flere ledd 1.5. Faktoriser uttrykkene 18 9 4a a a 6a b 6b 18 8
Faktorisering av andregradsuttrykk ved å bruke kvadratsetningene 1.5. Faktoriser uttrykkene e) f) g) h) i) j) k) l) 1 4 9 16 5 6 49 64 81 100 11 144 1.5.4 Faktoriser uttrykkene e) f) 4 5 18 48 18 5 7 1 9
1.5.5 Faktoriser uttrykkene 1 1449 6 9 6 4b4b e) 6 Fullstendige kvadrater 1.5.6 Faktoriser uttrykkene 6 5 1448 89 40
Forenkling av rasjonale uttrykk 1.5.7 Forkort brøkene 5 5 81 7 16 64 4 8 100 1 10 1 e) f) a 50 18a 90 8 41
1.5.8 Forkort brøkene 1 4 1 44 187 6 1 4 1 e) 9 6 1.5.9 Forkort brøkene 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 4
1.5.10 Trekk sammen 1 1 1 4 8 1 4 1 1.5.11 Trekk sammen 4 10 4 15 4 10 5 1.5.1 Løs 1.5.11 digitalt Trekk sammen 4 10 4 15 4 10 5 4
1.6 Andregradslikninger Når konstantleddet mangler 1.6.1 Løs likningene 0 1 5 5 Når førstegradsleddet mangler 1.6. Løs likningene ved regning 4 0 8 0 44
Fullstendige kvadrater 1.6. Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater 5 16 67 0 4 416 0 1.6.4 Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater 0, 0,40,6 0,1 0, 0,8 45
Å løse andregradslikninger med abc - formelen 1.6.5 Løs likningene ved å bruke abc - formelen. 7 6 5 6 4 1.6.6 Løs likningene ved å bruke abc - formelen. 70 0 540 40 60 60 90 Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du setter inn i abc- formelen. 1.6.7 Løs likningene ved å bruke abc - formelen. 6 0 4 0 5 6 46
1.6.8 Løs likningene ved å bruke abc - formelen. 8 6 1 1 1.6.9 Løs likningene ved å bruke abc - formelen. 0, 0, 0, 0,00 0,00 0,00 1.6.10 Løs likningene 4 10 10 4 4 4 4 1 4 11 1 47
1.6.11 Grunnflaten til et hus er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er. 1.6.1 Grunnflaten til et hus er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er. 1.6.1 Grunnflaten til en garasje er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor lang og hvor bred garasjen er. 48
1.6.14 En tomt er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Finn arealet av tomta. 1.6.15 Gitt andregradslikningen a 4 4 0. Bruk abc - formelen og finn ut hvilke verdier av a som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning. Gitt andregradslikningen b 4 0 Bruk abc - formelen og finn ut hvilke verdier av b som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning. 1.6.16 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsuttrykket h 14,5t 4,9t 1,8. Når er ballen 10 m over bakken? Når treffer ballen bakken? Når er ballen 15 m over bakken? Hva betyr svaret du får? 1.6.17 Overflaten til en brusboks med topp og bunn er gitt ved O r rh. Hva er radius til en brusboks med overflate50 cm og høyde 5 cm? Kamp om markedet. 49
Likningssett av første og andre grad 1.6.18 Løs likningssettene y4 y16 y y1 y 4 y 1.6.19 To kvadrater har en omkrets på til sammen 56 cm. Samlet areal av kvadratene er 100 cm. Sett opp to likninger og finn sidene i kvadratene. To tall er til sammen 169. Kvadrerer du tallene og legger de sammen er summen 14 89 Sett opp to likninger og finn hvilke to tall er dette? 1.6.0 Løs likningssettene Differensen mellom to tall er. Differensen mellom kvadratene til tallene er 57. Hvilke to tall er dette? Kvotienten mellom to tall er. Produktet av de to tallene er 7. Hvilke to tall er dette? 50
1.7 Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden 1.7.1 Faktoriser utrykkene ved hjelp av nullpunktmetoden e) 4 4 9 6 4a 6a 4 1.7. Faktoriser uttrykkene 6 9 16 18 4 8 e) 1.7. Faktoriser uttrykkene ved hjelp av et digitalt verktøy. e) 0,6,16 1,5 10,5 17,64 t 6 9 6t 7 51
Mer om forenkling av rasjonale uttrykk 1.7.4 Forkort brøkene. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra. e) 1 6 4 8 168 8 8 1 5 4 1.7.5 Finn fellesnevner og trekk sammen 1 1 1 1 1 5
1.7.6 Finn fellesnevner og trekk sammen 1 4 4 6 4 1 4 4 1.7.7 Bestem a slik at brøken kan forkortes a 68 Bestem t slik at brøken kan forkortes t 1 5
Likninger med rasjonale uttrykk 1.7.8 Løs likningene Gitt likningen 4 0 1) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? ) Løs likningen 1 Gitt likningen 1) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? ) Løs likningen Gitt likningen 1 1 1) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? ) Løs likningen 1 Gitt likningen 1) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? ) Løs likningen 1 e) Gitt likningen 1) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? ) Løs likningen. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra. 54
1.8 Ulikheter 1.8.1 Løs ulikhetene 5 1 4 4 1.8. Løs ulikhetene 5 5 5 6 6 5 61 6 1.8. Løs ulikhetene 5 5 5 6 1 1 6 9 55
1.8.4 Løs ulikhetene 1 6 5 7 4 6 1 9 1.8.5 Per skal ha sommerjobb som jordbærplukker. Han har valget mellom to ulike lønnsavtaler. 1) Han kan få en fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg kroner for hver kurv han plukker. ) Han kan få 5 kroner for hver kurv han plukker, men da får han ikke noen fast timelønn. Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kurver Per må plukke i timen for at avtale ) skal lønne seg. 1.8.6 Kari og familien skal på tur. De vil leie bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leiebiltilbud og funnet fram til to aktuelle. 1) 700 kroner per døgn, fri kjørelengde opp til 500 km. Over det betales det 5 kroner per kilometer. ) 1500 kroner per døgn. Fri kjørelengde. Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kilometer de må kjøre for at avtale ) skal lønne seg. Avis bilutleie, Kreta 56
Ulikheter av. grad 1.8.7 Løs ulikhetene e) 41 0 4 0 5 0 6 0 7 0 1.8.8 Løs ulikhetene. Sjekk løsningene med CAS i GeoGebra. e) 815 0 1 6 1 5 1.8.9 Løs ulikhetene i oppgaven ovenfor ved hjelp av et digitalt verktøy. 1.8.10 Forklar hvorfor ulikhetene ikke har noen løsning 1 1 (1 ) (1 ) 0 57
1.9 Eksponential- og logaritmelikninger Vekstfaktor 1.9.1 Bestem vekstfaktoren når Prisen på en vare øker med 15 %. Rentefoten i banken er,5 %. Folketallet i en kommune øker med 0,5 % per år. Antall lemen fordobles hver måned. 1.9. Bestem vekstfaktoren når Prisen på en vare reduseres med 15 %. Verdien på en bil synker med 0 %. Folketallet i en kommune går ned med 0,5 % per år. 58
1.9. Martin kjøpte en scooter for 10 000 kroner i begynnelsen av 011. Vi regner med at verdien synker med 15 % per år. Hva vil scooterens verdi være når den er tre år gammel? Finn ved regning når scooterens verdi er 000 kroner. 1.9.4 Temperaturen T C i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved T 1,15. Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 C i kjøleskapet? Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. Hva er temperaturen i kjøleskapet? 59
1.9.5 Vi antar at hummerbestanden øker med,5 % i året. Hvor mange år tar det før bestanden er doblet? For å bygge opp bestanden av hummer langs norskekysten har fiskerimyndighetene vedtatt regler for fisket etter hummer. På kyststrekningen fra svenskegrensen til og med Sogn og Fjordane fylke er det tillatt å fange hummer i perioden fra 1. oktober klokken 08:00 til og med 0. november klokken 08:00, mens fisketiden for resten av landet er 1. oktober 08:00 til og med 1. desember. Det er bare tillatt å fiske med hummerteiner 60
1.9.6 I 175 var Norges befolkning på 616 109 personer. I 005 var befolkningen på 4 606 6 personer. Hvor stor var økningen i prosent i denne perioden? Hvor stor var den prosentvise økningen per år fra 175 til 005? 1.9.7 Verdien av en bolig var 950 000 kroner i begynnelsen av 00. I begynnelsen 010 var verdien 1 500 000 kroner. Hvor stor var den prosentvise veksten per år fra 00 til 010? Hva vil verdien av boligen være i begynnelsen av 014 dersom verdistigningen er den samme de neste årene? Hvor lang tid tar det før verdien av boligen har økt til 000 000 kroner. (Bruk samme vekstfaktor som ovenfor.) 61
Briggske logaritmer 1.9.8 Bestem lg1000 lg1000000 lg1 lg0,01 1.9.9 Bestem a når lga lga 1 lga 1 lga 0 6
Eksponentiallikninger uten bruk av digitale verktøy 1.9.10 Løs likningene 4 16 9 1 4 1.9.11 Løs likningene 1 11 70 1 1.9.1 Løs likningene når du får oppgitt at 4 4 8 lg 0,6 lg 1.9.1 Løs likningene når du får oppgitt at 5 4 11 ( ) 79 9 lg 1,6 lg 6
Enkle logaritmelikninger 1.9.14 Løs likningene lg 5 lg lg 11 lg 4 1.9.15 Løs likningene lg lg lg lg 1 1 lg8 lg7 64
1.9.16 Lydintensitet måles i watt per kvadratmeter ( W m ). Lydstyrke måles i desibel, db Laveste lydintensitet som øret kan oppfatte er 1 min 0 10 I I W m. Høyeste lydintensitet som øret kan oppfatte er Ima 1,1 W m (smertegrense). Det er altså et stort sprang mellom I min og I ma, og tallene er ubehagelige å regne med. Vi ønsker oss en mer hensiktsmessig skala. Dette får vi til med et såkalt intensitetsnivå eller desibelskala. En lydstyrke i nærheten av smertegrensen? For en gitt intensitet I W m defineres lydstyrken L db ved L10lg I10 1 For vårt høreområde (fra10 W m til 1,1 W m ) får vi da en skala som går fra 0 db til 10 db. Sett I min og I ma inn i formelen ovenfor og vis at vi får en skala som går fra 0 db til 10 db. 4 Et rop kan ha en lydintensitet på 10 W/ m. Hvor mange desibel svarer det til? Undersøkelser i barnehager viser at det gjennomsnittlige lydnivået ligger på over 85 db. Hvor stor er lydintensiteten ved en lydstyrke på 85 db? Hvor stor er lydintensiteten ved en lydstyrke på 88 db? e) Sammenlign svarene i oppgave og. Hva oppdager du? 65
Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen Bildeliste Solsystemet Bilde: Science Photo Library/Scanpi Oseberg Foto: Marit Hommedal/Scanpi Pizza Foto: Paulo Whitaker/Reuters Creative/Scanpi Aktivitetsdag Foto: Ingar Storfjell/Aftenposten/Scanpi Fart Foto: Morten Holm/Scanpi Torsk Foto: Magnar Kirknes/VG/Scanpi Eple Foto: Svein Erik Furulund/Aftenposten/Scanpi Pære Foto: Svein Erik Furulund/Aftenposten/Scanpi Bruksboks Foto: Stein J. Bjørge/Aftenposten/Scanpi Jordbær Foto: Sara Johannessen/VG/Scanpi Jordbær Foto: Sara Johannessen/VG/Scanpi 66
Avis bilutleie Foto: Halvard Alvik/Scanpi Kjøleskap Foto: Henning Carr Ekroll/VG/Scanpi Hummer Foto: Morten Rasmussen/Scanpi Denmark Melk Foto: Aftenposten/Scanpi 67