Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Regelhefte. Bokmål

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor Regelhefte Bokmål

Bruken av heftet Bruken av heftet Faktor Regelhefte inneholder en oppsummering av lærestoffet fra 8. til 10. trinn. Regelheftet omfatter ni emner: Tall og algebra, Likninger og ulikheter, Økonomi, Geometri, Måling og enheter, Romgeometri og massetetthet, Statistikk, Sannsynlighet og Funksjoner. I heftet er det satt av plass for egne notater og utregninger. Lykke til med arbeidet! Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen 2

Innhold Bruken av heftet... 2 Innhold Oppsummering Faktor 8-10 Tall og algebra... 4 Likninger og ulikheter... 15 Økonomi... 20 Geometri... 23 Måling og enheter... 33 Romgeometri og massetetthet... 36 Statistikk... 38 Sannsynlighet... 42 Funksjoner... 44 Tabeller SI-prefikser... 49 Grunnleggende matematiske symboler... 50 Geometriske symboler... 51 Andre symboler... 52 3

Oppsummering Faktor 8 10 Oppsummering Faktor 8 10 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1 2 3 4 5 6... Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form. 1234 = 1 1000 + 2 100 + 3 10 + 4 1 Partall og oddetall Partall er hele tall som er delelige med 2. 2 4 6 8 10... Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2. 1 3 5 7 9 11... Primtall og sammensatte tall Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv. 2 3 5 7 11 13 17... Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er større enn 1. 42 = 2 3 7 Faktorisering Når vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer. 24 = 3 20 24 = 4 6 24 = 2 12 Primtallsfaktorisering: 24 = 2 2 2 3 Alle faktorene er primtall 4

Desimaltall Et desimaltall består av et helt tall og desimaler. 64,325 Tallet 64,325 har tre desimaler. Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for hvilken verdi sifferet får. TIERE ENERE TIDELER HUNDRE- TUSEN- DELER DELER DELER Oppsummering Faktor 8 10 De fire regneartene Addisjon Ledd + ledd = sum Subtraksjon Ledd ledd = differanse Multiplikasjon Faktor. faktor = produkt Divisjon Dividend : divisor = kvotient Potenser Når vi multipliserer tall eller variabler som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5=5 6 x x x = x 3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 2 3 2 4 =2 3 + 4 =2 7 x 3 x 2 = x 3 + 2 = x 5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 5 6 : 5 2 = 56 5 2 =56 -- 2 =5 4 x 6 : x 2 = x6 x 2 = x6 -- 2 = x 4 5

Oppsummering Faktor 8 10 Tall på standardform og på utvidet form Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på standardform. 250 000 = 2,5 10 5 Vanlig form Standardform 0,0025 = 2,5 10 3 Vanlig form Standardform Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form. 24 537 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 3 10 + 7 1 =210 4 +410 3 +510 2 +310 1 +710 0 385,39 = 3 100 + 8 10 + 5 1+30,1 + 9 0,01 =310 2 +810 1 +510 0 +310 1 +910 2 Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5=5 2 =25 25 er et kvadrattall. De ti første kvadrattallene er 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 og 100. Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. p ffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5=25 Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1 + 2 = 3 3 er et trekanttall 1 + 2 + 3 = 6 6 er et trekanttall 6

Negative tall Negative tall er alle tall som er mindre enn 0. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Regning med fortegnstall Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7þ =10--7=3 Negative tall Positive tall Oppsummering Faktor 8 10 Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. 10 -- ð--7þ =10+7=17 Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5þ = --125 25 : ð--5þ¼--5 Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5þ = 125 --25 : ð--5þ =5 Flere regnearter på én gang Når det er flere regnearter i et uttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1) multiplikasjon og divisjon 2) addisjon og subtraksjon 7--86+24: 3 42 : 6--37+3 3 = 7 -- 48 + 8 = 7 -- 21 + 27 =--33 =13 7

Oppsummering Faktor 8 10 Totallssystemet I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.). 11011 16 (2 4 ) 8 (2 3 ) 4 (2 2 ) 2 (2 1 ) 1 (2 0 ) Tallet 11011 i totallssystemet er 11011 = 1 2 4 +12 3 +02 2 +12 1 +12 0 =16+8+0+2+1 =27 i titallssystemet. Brøk En brøk består av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn. 3 4 Teller Brøkstrek Nevner Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. 5 5 =1 Uekte brøk og blandet tall 3 2 = 1 1 2 Uekte brøk Blandet tall 8

Utviding og forkorting av brøk Når vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 1 5 = 1 3 5 3 = 3 15 Når vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 4 16 = 4 : 4 16 : 4 = 1 4 Oppsummering Faktor 8 10 Addisjon og subtraksjon av brøker Når vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. 7 9 -- 5 9 = 7--5 = 2 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, må vi først finne fellesnevner. 2 3 + 1 4 = 2 4 3 4 + 1 3 4 3 = 8 12 + 3 12 = 8+3 12 = 11 12 Brøk og desimaltall En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren. 3 =3: 5 = 0,6 5 Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv. 0,12 = 12 100 Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler. 2 = 0,6666... 0,67 3 9

Oppsummering Faktor 8 10 Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved å multiplisere det hele tallet med telleren. 4 2 3 = 4 2 3 = 8 3 =22 3 Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. 1 3 2 3 = 1 2 3 3 = 2 9 Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved å multiplisere med den omvendte brøken. 4 9 : 1 2 = 4 9 2 1 = 8 9 4 : 2 3 = 4 3 1 2 = 12 2 =6 Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 = 1 5 =1: 5 Prosent Prosent betyr hundredeler. 5%= 5 100 Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall 5% = 5 100 = 0,05 Prosent Brøk Desimaltall 10

Prosenten av et tall Når vi skal regne ut prosenten av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltall og multipliserer med tallet. 5 % av 500 kr er 0,05 500 kr = 25 kr Å finne prosenten Vi finner ut hvor mange prosent 40 kr er av 250 kr slik: Oppsummering Faktor 8 10 40 kr 250 kr = 0,16 0,16 = 16 100 Det betyr at 0,16 = 16 % 40 kr er 16 % av 250 kr. Promille Promille betyr tusendeler. Vi regner med promille på samme måte som vi regner med prosent. 5 = 5 1000 = 0,005 5 av 12 000 kr er 0,005 12 000 kr = 60 kr Utregning av talluttrykk Når det er flere regnearter i et talluttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 parenteser 2 multiplikasjon og divisjon 3 addisjon og subtraksjon 5+3ð4+2Þ 6--3ð8--3Þ +2 3 =5+36 = 6 -- 3 5+8 =5+18=23 =6--15+8=--1 Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O =2a +2b 11

Oppsummering Faktor 8 10 Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a =4ogb = 6 inn i bokstavuttrykket 2a +2b får vi: 2a +2b =2 4+2 6 = 8 + 12 = 20 Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a +3b +2a -- 2b =7a + b 3x 5y =15xy 3a 2 2a 3 =6a 5 4x 7 : 2x 3 =2x 4 Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. 4x + ð2x +3Þ =4x +2x +3=6x +3 Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre fortegnene på alle leddene inne i parentesen. 6x -- ð3x -- yþ =6x -- 3x + y =3x + y Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 +7Þ --2xð5 --7Þ =2x5+2x7 = --2x 5--2xð--7Þ =10x +14x = --10x +14x =24x =4x 12

Multiplikasjon av to parentesuttrykk Når vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða +2Þð2a -- 3Þ = a 2a + a ð-- 3Þ +22a +2ð-- 3Þ =2a 2 -- 3a +4a -- 6 =2a 2 + a -- 6 Kvadratsetningene Første kvadratsetning: ða + bþ 2 = a 2 +2ab + b 2 Andre kvadratsetning: ða -- bþ 2 = a 2 -- 2ab + b 2 Tredje kvadratsetning: ða + bþða -- bþ = a 2 -- b 2 Oppsummering Faktor 8 10 Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer. 15x 2 y =3 5 x x y Vi faktoriserer før vi forkorter en brøk. 4x 2 y 6xy = 2 2 x x y = 2x 2 3 x y 3 Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a 2 -- b 2 = ða + bþða -- bþ Sammentrekking av brøkuttrykk med ett ledd i nevner Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk. 3 4x + 5 6x -- 2 3x = 3 3 4x 3 + 5 2 6x 2 -- 2 4 3x 4 = 9 12x + 10 12x -- 8 12x = 11 12x Fellesnevner er 12x. 13

Oppsummering Faktor 8 10 Sammentrekking av brøkuttrykk med flere ledd i nevner a +1 2a +2 + 2a +2 3a +3 = a +1 2a +2 + 2ða +1Þ 3ða +1Þ ða +1Þ3 ð2a +2Þ2 = + 2ða +1Þ3 3ða +1Þ2 3a +3+4a +4 = 6ða +1Þ 7a +7 = 6ða +1Þ 7ða +1Þ = 6ða +1Þ Fellesnevner er 6ða +1Þ. = 7 6 Egne notater: 14

Likninger og ulikheter Løsing av likninger I en likning er det to uttrykk som har samme verdi, ett på hver sin side av likhetstegnet. Å løse en likning vil si å bestemme den ukjente, slik at begge sider av likhetstegnet får samme verdi. x + 5 = 11 har løsningen x = 6, fordi 6 + 5 = 11 Regneregler for likninger Vi kan addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med samme tall på begge sider av likhetstegnet i en likning. Oppsummering Faktor 8 10 Addisjon x -- 3 = 11 x -- 3 + 3 = 11 + 3 x =14 Subtraksjon x +6=13 x + 6 -- 6 = 13 -- 6 x =7 Divisjon 4x =20 4x 4 = 20 4 x =5 Multiplikasjon x 7 =4 x 7 7 =4 7 x =28 Å sette prøve på likninger Vi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi. 3x +4=8+2x 3x -- 2x =8--4 x =4 Prøve: Venstre side: 3x +4 3 4+4 12 + 4 16 Høyre side: 8+2x 8+2 4 8+8 16 Setter inn 4 i stedet for x. Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning. 15

Oppsummering Faktor 8 10 Kvadratiske likninger Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 =25 p x = ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 25 eller x = -- 25 x = 5 eller x = --5 Likninger med brøk Når vi skal løse en likning med brøk, multipliserer vi hvert ledd i likningen med fellesnevneren. 2x 12 3 2x 3 -- x 4 = x 6 + 1 4 -- x 12 = x 12 4 6 8x -- 3x =2x +3 8x -- 3x -- 2x =3 3x =3 3x 3 = 3 3 x =1 + 1 12 4 Her er fellesnevneren 12. Grafisk løsing av likninger Vi løser likningen x +2=2x -- 3 grafisk ved å tegne linjene y = x +2 og y =2x -- 3 i det samme koordinatsystemet. Førstekoordinaten til skjæringspunktet gir løsningen. 7 6 5 y y = x + 2 4 y = 2x 3 3 2 1 Løsningen er x =5. 1 2 3 4 5 x 16

Likninger med to ukjente Å løse to likninger med to ukjente vil si å finne verdier for de ukjente som passer i begge likningene. Løsning av likningssett ved regning: I 2x + y =7 II y -- x =1 II y = x +1 I 2x + x +1=7 3x =6 x =2 Vi finner et uttrykk for en av de ukjente fra en av likningene. Vi setter dette uttrykket inn i den andre likningen og løser denne. Oppsummering Faktor 8 10 II y = x +1 y =2+1 y =3 Vi finner verdien av den andre ukjente ved å sette inn verdien til x. x =2ogy =3 Grafisk løsning av likningssett: I 2x + y =7 II y -- x =1 I y =--2x +7 II y = x +1 Vi uttrykker y ved hjelp av x i begge likningene. Vi tegner til slutt de to linjene i det samme koordinatsystemet og leser av koordinatene til skjæringspunktet. 7 6 5 y y = x + 1 4 3 2 y = 2x + 7 Løsningen er: x =2ogy =3 1 x 1 2 3 4 17

Oppsummering Faktor 8 10 Ulikheter I en ulikhet kan vi flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. 2x -- 3 < 7 2x < 7+3 2x < 10 x < 5 Vi kan dividere med positive tall på begge sider av ulikhetstegnet. 3x > 12 3x 3 > 12 3 x > 4 Vi kan dividere med negative tall på begge sider av ulikhetstegnet hvis vi samtidig snur ulikhetstegnet. --3x > 12 --3x --3 < 12 --3 x < --4 Egne notater: 18

Omforming av formler Vi kan bruke en formel til å lage en ny formel. Formelen for omkretsen O av et kvadrat er O =4s, der s er siden i kvadratet. Vi kan lage en formel for s: O =4s O 4 = 4s 4 O 4 = s Oppsummering Faktor 8 10 s = O 4 Egne notater: 19

Oppsummering Faktor 8 10 Økonomi Merverdiavgift På de fleste varer og tjenester må vi betale merverdiavgift (mva.). Merverdiavgift blir ofte kalt moms. I 2016 var avgiften 25 % på de fleste varene. På matvarer var avgiften 15 %. Ekskl. mva. betyr at prisen er oppgitt uten merverdiavgift. Inkl. mva. betyr at prisen er oppgitt med merverdiavgift. Rabatt Rabatt er avslag i pris. Det betyr at en vare blir solgt for en lavere pris enn den opprinnelige. Rabatten blir ofte gitt i prosent. Rente Banken betaler oss renter når vi har penger i banken. På samme måte betaler vi renter til banken når vi låner penger av banken. Vi finner rentene for ett år ved å multiplisere renten i prosent med kapitalen. Kapitalen er 5000 kr. Renten er 3 % p.a. Rentene for ett år er 0,03 5000 kr = 150 kr Rentedager regner vi ut ved å telle dager på kalenderen. Rentene for én dag er Rente for ett år 365 Rente for 120 dager er: Rente for én dag 120 Kredittkort Kredittkort er et bankkort der kortutsteder låner deg de pengene du bruker. Dette kalles å gi kreditt. Kredittselskapet gir ofte én måneds rentefritak på lånebeløpet, men etter dette beregner de seg høye gebyrer og høy rente. Noen ganger er renten oppgitt per måned, andre ganger per år. Lønn Fast lønn er avtalt lønn for den tiden vi arbeider. Det kan være fast timelønn eller fast månedslønn. 20

Skatt Skatt blir regnet ut etter et tabellkort eller etter en bestemt prosent av trekkgrunnlaget. Trekkgrunnlaget blir ofte regnet ut slik: Lønn Pensjonstrekk -- Fagforeningskontingent = Trekkgrunnlag Oppsummering Faktor 8 10 Serielån Ved et serielån er avdragsdelen like store ved hver termininnbetaling. lånesum Avdrag = antall terminer Terminbeløpet er summen av renter og avdrag. Terminbeløp = avdrag + renter av restgjelda Annuitetslån Ved et annuitetslån er terminbeløpene like store i hver termin helt til lånet er nedbetalt. Avdragene er minst i begynnelsen og blir større etter hvert. Avdrag = Terminbeløp renter av restgjelda Forsikringer Forsikring er en ordning som sikrer oss økonomisk mot uventede forhold som brann, tyveri, trafikkuhell osv. Vi betaler en årlig sum, forsikringspremie, for de forskjellige forsikringsordningene. 21

Oppsummering Faktor 8 10 Budsjett og regnskap Et budsjett er en plan for hvordan vi skal bruke pengene. Vi setter det opp før vi skal bruke pengene. Et regnskap er en oversikt over hva vi faktisk har brukt pengene til. Regnskapet fører vi etter at vi har brukt pengene. Valuta Enhetskursen angir verdien av én myntenhet i utenlandsk valuta. Noen ganger er kursen oppgitt for 100 enheter. Da må vi dividere kursen med 100 for å finne enhetskursen. Denne sammenhengen gjelder ved regning med valuta: Norske kroner = Utenlandsk valuta enhetskurs Utenlandsk valuta = Norske kroner : enhetskurs Enhetskurs = Norske kroner : utenlandsk valuta Egne notater: 22

0 Geometri Linjer og punkter Et linjestykke har et startpunkt og et endepunkt. A B A En linje fortsetter uendelig i begge retninger. En stråle har et startpunkt, men ikke noe endepunkt. Et punkt tegnes ofte med et kryss eller en prikk. Oppsummering Faktor 8 10 l P P P Skjæringspunktet mellom to linjer merkes med en stor bokstav. l To linjer er parallelle når avstanden mellom dem hele tiden er den samme. l Vi skriver: l m m P m Vinkler Venstre vinkelbein Toppunkt Høyre vinkelbein En spiss vinkel er En rett vinkel mindre enn 90 : er lik 90. Slik måler vi en vinkel med gradskive: 10 0 30 20 40 50 60 70 80 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 40 30 20 10 En stump vinkel er større enn 90 : 23

Oppsummering Faktor 8 10 Nabovinkler har samme toppunkt og ett vinkelbein felles. u + v = 180 Toppvinkler har samme toppunkt og felles vinkelbein i motsatt retning. u = w = v x u u w x v v Vise formlikhet Formlike trekanter har like store vinkler. Vi kan vise formlikhet med matematiske argumenter eller oppgitte mål. To vinkler i to ulike trekanter er like store hvis vi kan vise dette ved hjelp av regning de er oppgitt med samme vinkelmål de er sammenfallende (felles vinkel) de er toppvinkler vinklene er samsvarende vinkler ved parallelle linjer vinklene har vinkelbein som står parvis vinkelrett på hverandre Egne notater: 24

Konstruksjon Når vi skal konstruere mangekanter, kan vi få bruk for disse konstruksjonene: Konstruksjon av 90 Konstruksjon av 60 Oppsummering Faktor 8 10 Halvering av en vinkel Nedfelling av en normal fra et punkt til en linje Midtnormal P Egne notater: 25

Oppsummering Faktor 8 10 Trekanter I en rettvinklet trekant er én av vinklene 90. I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60. I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180. 60 30 30 + 60 + 90 = 180 Firkanter I et kvadrat er alle sidene like lange og alle vinklene 90. Ietrektangel er to og to sider like lange og alle vinklene 90. I en rombe er alle sidene like lange og motstående vinkler like store. Iettrapes er to av sidene parallelle. I et parallellogram er to og to sider like lange og parallelle. Motstående vinkler er like store. 26

Sirkelen Vi kaller linjestykket fra sentrum til sirkellinjen radius. Linjestykket fra et punkt på sirkellinjen til et annet, kaller vi en korde. Diameteren er den lengste korden vi kan trekke. Ei linje som rører ved (tangerer) sirkellinjen i et punkt, kaller vi en tangent. Tangenten står alltid vinkelrett på radien fra tangeringspunktet. sirkellinje korde sentrum radius diameter tangent Oppsummering Faktor 8 10 Vinkelsummen i mangekanter Vi kan finne vinkelsummen i mangekanter ved å dele disse inn i trekanter. Vinkelsummen i femkanten er: 3 180 = 540 Regulær mangekant I en regulær mangekant er alle vinklene like store og alle sidene like lange. Figurer og mønstre Et regulært mønster består av like regulære mangekanter. Et semiregulært mønster består av to eller flere slag regulære mangekanter. 27

Oppsummering Faktor 8 10 Det gylne snitt og det gylne rektangel Det gylne snitt deler en lengde i forholdet 1,618. I et gyllent rektangel er forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden 1,618. 3,18 cm 5,15 cm 5,15 cm : 3,18 cm 1,62 Pytagoras-setningen Vi bruker Pytagoras-setningen til å finne en ukjent side i en rettvinklet trekant. katet 2 + katet 2 = hypotenus 2 C katet katet A hypotenus B 28

Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen Trekanter med vinkler på 45, 45 og 90 I en slik trekant er katetene like lange. Dersom vi kjenner lengden til bare én av sidene, kan vi finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen. Vi finner katetene på denne måten: x 2 + x 2 = BC 2 2x 2 =8 2 2x 2 =64 x 2 = 64 2 =32 p ffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x 2 = 32 x 5,7 x C A x 8 cm B Oppsummering Faktor 8 10 Trekanter med vinkler på 30, 60 og 90 I en rettvinklet trekant der vinklene er 30, 60 og 90, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. Vi finner den minste kateten (x) og hypotenusen (2x) på denne måten når vi kjenner bare den lengste kateten (AC): x 2 + AC 2 = ð2xþ 2 C x 2 +5 2 =4x 2 25 = 4x 2 --x 2 25 = 3x 2 25 3 = x2 x 2 8,33 pffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 8,33 x 2,9 30 5 cm 90 A x 2x 60 B 29

Oppsummering Faktor 8 10 Formlikhet Når to figurer er formlike, er vinklene parvis like store. Forholdet mellom ensliggende sider er likt. C A 60 30 B F D 60 30 E 4ABC 4DEF Trekant ABC er formlik med trekant DEF. Kongruens To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig kan dekke den andre. Det vil si at figurene er formlike og like store. C F A B D E 4ABC ffi4def Trekant ABC er kongruent med trekant DEF. Kongruensavbildninger Speilingssymmetri En figur er symmetrisk hvis den kan deles i to kongruente figurer som dekker hverandre når vi bretter dem om symmetriaksen. En og samme figur kan ha flere symmetriakser. Symmetriakse 30

Speiling ved hjelp av et koordinatsystem Når vi speiler en figur ved Andreaksen hjelp av et koordinatsystem, speiler vi figuren om førsteaksen eller andreaksen. y x Førsteaksen Oppsummering Faktor 8 10 Speiling ved hjelp av passer og linjal Når vi speiler en figur om en linje, bruker vi passer og linjal. Vi nedfeller normaler fra punkter på figuren til linja. Vi avsetter så avstanden fra punktet til motsatt side av normalen slik at vi får et nytt punkt. l Rotasjon Hvis det ikke er gitt beskjed om noe annet, utfører vi rotasjonen mot venstre. Rotasjon om punktet P. Rotasjon om hjørnet A. B C C B A C B A B P C A 31

Oppsummering Faktor 8 10 Parallellforskyving C C B A A B Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter Egne notater: 32

Måling og enheter Omkretsen og arealet til mangekanter Vi finner omkretsen til en mangekant ved å summere alle sidene. Vi finner arealet til en mangekant ved å bruke formlene som er vist nedenfor: Rektangel A = l b l b Oppsummering Faktor 8 10 Parallellogram h A = g h g Trapes b A = Trekant A = g h 2 ða + bþh 2 h h g a Omkretsen og arealet til en sirkel Vi regner ut omkretsen til en sirkel ved hjelp av denne formelen: O =. d der = 3,14 Arealet regner vi ut ved hjelp av denne formelen: A = r 2 radius (r) diameter (d) 33

Oppsummering Faktor 8 10 Omkretsen og arealet til en sirkelsektor O sirkelsektor = d v 360 +2r A sirkelsektor = r2 v 360 der v er vinkelen til sektoren. Enheter for lengde De vanligste lengdeenhetene er meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm), millimeter (mm), kilometer (km) og mil. v r 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 mil = 10 km = 10 000 m m 10 10 10 dm cm mm : 10 : 10 : 10 Målestokk Målestokken er et mål for hvor stor en forstørring eller forminskning er. M =20: 1 betyr at 1 cm i virkeligheten svarer til 20 cm på tegningen. Det vil si at tegningen er en forstørring av virkeligheten. M =1: 10 betyr at 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten. Det vil si at tegningen er en forminskning av virkeligheten. Vi finner målestokken til en forstørring ved å dividere forstørringen med den virkelige lengden. Vi finner målestokken til en forminskning ved å dividere den virkelige lengden med den målte lengden. 34

Enheter for areal De vanligste arealenhetene er kvadratmeter (m 2 ), kvadratdesimeter (dm 2 ), kvadratcentimeter (cm 2 ), kvadratmillimeter (mm 2 ), kvadratkilometer (km 2 ) og mål/dekar (daa). 1m 2 = 100 dm 2 100 m 2 = 1 a (ar) 1dm 2 = 100 cm 2 100 a = 10 000 m 2 1cm 2 = 100 mm 2 10 000 m 2 = 1 ha (hektar) 1 mål 1 daa = 1000 m 2 m 2 100 100 100 dm 2 cm 2 mm 2 : 100 : 100 : 100 Oppsummering Faktor 8 10 Enheter for volum De vanligste volumenhetene er kubikkmeter (m 3 ), kubikkdesimeter (dm 3 ), kubikkcentimeter (cm 3 ) og kubikkmillimeter (mm 3 ). 1m 3 = 1000 dm 3 = 1000 liter 1cm 3 = 1000 mm 3 1000 1000 1 dm 3 = 1000 cm 3 = 1 liter 1 liter = 10 dl = 100 cl = 1000 ml 1000 m 3 L dm 3 cm 3 mm 3 : 1000 : 1000 : 1000 10 10 10 dl cl ml : 10 : 10 : 10 Vei, fart og tid Vi bruker forskjellige enheter for tid, for eksempel timer (h), minutter (min), sekunder (s), dager, uker og år. 1 h = 60 min 1 h = 60 min = 60 60 s = 3600 s 1 min = 60 s 3,6 km/h = 1 m/s Fart kan også måles i knop (kn): 1 kn ¼ 1,852 km=h Sammenhengen mellom vei, fart og tid kan vi skrive slik: veilengde = fart tid fart = veilengde : tid tid = veilengde : fart 35

Oppsummering Faktor 8 10 Romgeometri og massetetthet Volumet og arealet av overflaten til et prisme Vi finner volumet V til et prisme ved å multiplisere arealet av grunnflaten G med høyden h. V = G h Overflaten til et rett firkantet prisme består av seks rektangler. Vi finner arealet til overflaten ved å summere arealene til rektanglene. G h Volumet og arealet av overflaten til en sylinder Vi finner volumet V til en sylinder ved å multiplisere arealet av grunnflaten G med høyden h. V = G h eller V = r 2 h G r h Overflaten til en sylinder er satt sammen av to like store sirkelflater og et rektangel. Arealet er: h A =2r 2 +2r h r Volumet til en pyramide Volumet V til en pyramide er: V = G h 3 G h Volumet til en kjegle Volumet V til en kjegle er: V = G h 3 = r2 h 3 G h 36

Volumet og arealet av overflaten til en kule Volumet V til en kule er: V = 4r3 3 Arealet A av overflaten til en kule er: A =4r 2 Masse De vanligste enhetene for masse er kilogram (kg), hektogram (hg), gram (g), milligram (mg) og tonn. r Oppsummering Faktor 8 10 1 kg = 10 hg = 1000 g 1 g = 1000 mg 1 hg = 100 g 1 tonn = 1000 kg Massetetthet Massetettheten til et stoff oppgis ofte i gram per kubikkcentimeter (g/cm 3 ) eller i kilogram per kubikkdesimeter (kg/dm 3 ). Massetettheten = massen (vekten) volumet Vi skriver det også slik: T = M V Gull har for eksempel massetettheten 19,3 g/cm 3. 1 tonn/m 3 = 1 kg/dm 3 = 1 g/cm 3 Egne notater: 37

Oppsummering Faktor 8 10 Statistikk Frekvens og relativ frekvens Frekvens er hvor mange ganger en bestemt observasjon eller hendelse forekommer. Relativ frekvens er frekvensen dividert på antall observasjoner. Vi kan skrive den relative frekvensen som: 1 4 = 0,25 = 25 % Brøk Desimaltall Prosent Vi presenterer frekvensene i en frekvenstabell: Kjønn Frekvens Relativ frekvens Jenter 12 Gutter 13 Sum 25 12 = 0,48 = 48 % 25 13 = 0,52 = 52 % 25 25 = 1,00 = 100 % 25 Gjennomsnitt Vi regner ut gjennomsnittet ved å summere alle observasjonene og dividere på antall observasjoner. Gjennomsnittet av tallene 4, 6 og 8 er 4+6+8 =6 3 38

Median Medianen er den midterste observasjonen når observasjonene er ordnet i stigende rekkefølge. 12 14 17 21 30 Medianen er 17. Hvis antall observasjoner er partall, er medianen gjennomsnittet av de to midterste observasjonene. Oppsummering Faktor 8 10 Typetall Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen. Rød Blå Blå Gul Rød Grønn Blå Typetallet er blå. Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den høyeste og den laveste verdien til observasjonene i en undersøkelse. 6km 2km 8km 3km 9km 9km 2km=7km Variasjonsbredden er 7 km. Variasjonsbredden for de to negative tallene 5 og 9 blir: 5 ð 9Þ = 5 +9=4 Egne notater: 39

Oppsummering Faktor 8 10 Stolpediagram Begrepene stolpediagram, søylediagram og kolonnediagram blir brukt om samme type diagram. Felles for disse diagrammene er at de viser observasjonene på førsteaksen og frekvensene på andreaksen. Legg merke til at observasjonene også kan være tall, slik som på aksen «Antall flyreiser» i diagram nummer to Antall svar 250 200 150 100 50 0 Nei Ja Antall personer 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 Antall flyreiser Linjediagram Vi bruker linjediagram når vi vil vise forandring eller utvikling over tid. Kilometer 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 Timer 40

Sektordiagram Vi finner gradtallet til hver sektor ved å multiplisere prosenten eller den relative frekvensen med 360. Svar (Alternativ) Frekvens Relativ frekvens Prosent Gradtall til sirkelsektorene Ja 3 3 5 = 0,6 0,6 100 = 60 % 0,6 360 = 216 Nei 2 2 5 = 0,4 0,4 100 = 40 % 0,4 360 = 144 Sum 5 1 100 % 360 Oppsummering Faktor 8 10 Nei Ja Egne notater: 41

Oppsummering Faktor 8 10 Sannsynlighet Kombinatorikk Vi bruker kombinatorikk for å finne antallet kombinasjoner eller antallet mulige måter å kombinere ting på. Vi kan kombinere bokstavene A, B og C på seks ulike måter: ABC BAC CAB ACB BCA CBA Valgtreet viser antallet mulige utfall på tre spørsmål der svaralternativene er JA eller NEI: 1. spørsmål JA NEI 2. spørsmål JA NEI JA NEI 3. spørsmål JA NEI JA NEI JA NEI JA NEI Vi teller de nederste greinene for å finne antallet kombinasjoner. Her er det åtte mulige kombinasjoner eller utfall. Sannsynlighet Hvis alle utfallene for en hendelse er like sannsynlige, finner vi sannsynligheten for et utfall slik: Sannsynligheten = antallet gunstige utfall antallet mulige utfall Sannsynligheten for en hendelse er alltid et tall mellom 0 og 1 og oppgis som brøk, desimaltall eller prosent. 42

Sannsynlighet ved flere utfall Når sannsynligheten bestemmes av flere utfall, kan vi bruke et valgtre for å finne alle mulighetene. 1. kast krone 2. kast krone mynt Antall mulige utfall er fire. krone mynt mynt Sannsynligheten for å få krone i første kast og mynt i andre kast er 1 4 : Oppsummering Faktor 8 10 Vi kan også bestemme sannsynligheten ved hjelp av multiplikasjon. P ðkrone, myntþ = 1 2 1 2 = 1 = 0,25 = 25 % 4 Sannsynlighet bestemt ved forsøk Vi kan bestemme sannsynligheten for et utfall ved forsøk. Den relative frekvensen er omtrent lik sannsynligheten for utfallet. Vi finner den relative frekvensen slik: Den relative frekvensen = antall ganger vi får utfallet antall forsøk Jo flere forsøk vi gjør, jo bedre verdier vil vi finne for sannsynligheten. Egne notater: 43

Oppsummering Faktor 8 10 Funksjoner Koordinatsystem Et koordinatsystem består av to akser, førsteaksen og andreaksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. Aksene skjærer hverandre i origo. Andreaksen 5 4 3 A 2 1 Origo -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5-1 Førsteaksen -2-3 -4-5 Koordinater Alle punktene i et koordinatsystem er bestemt av et tallpar som vi kaller koordinatene til punktet. Vi finner førstekoordinaten på førsteaksen, og andrekoordinaten på andreaksen. Koordinatene til punktet A ovenfor er (2, 3). Funksjon En størrelse y er en funksjon av en annen størrelse x hvis det til hver verdi av x svarer én verdi av y. Vi kan bruke fðxþ i stedet for y. y er for eksempel en funksjon av x gitt ved formelen y =70 x: 44

Grafen til en funksjon En graf viser sammenhengen mellom to variabler x og y. Når vi lager grafen, velger vi verdier for x og regner ut verdier for y. De tallene vi velger, skal stå langs førsteaksen. De tallene vi regner ut, skal stå langs andreaksen. Vi kan tegne en graf på grunnlag av en likning eller funksjonsuttrykk: y =2x eller f ðxþ =2x Grafen til funksjonen y =2x er en rett linje. Vi velger verdier for førstekoordinaten og setter opp en tabell. Så regner vi ut verdiene for andrekoordinatene og tegner grafen til likningen. Oppsummering Faktor 8 10 x 2 3 4 y 4 6 8 8 7 6 5 4 3 2 1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4-1 -2 45

Oppsummering Faktor 8 10 Lineære funksjoner En lineær funksjon er av typen y = ax + b. Tallet b i uttrykket kaller vi konstantleddet. Dette forteller hvor linja skjærer andreaksen. Tallet a i uttrykket kaller vi stigningstallet for linja. Stigningstallet forteller hvor mye y øker eller minker når x øker med 1. Hvis tallet b er 0, går linja gjennom origo. Funksjonen y =2x + 3 er et eksempel på en lineær funksjon. Her er konstantleddet 3, og linja skjærer andreaksen gjennom tallet 3. Stigningstallet er 2. Når x øker med 1, øker y med 2. y 7 6 5 4 2 3 1 2 1 origo 2 1 1 2 3 x 1 Kvadratiske funksjoner y = x 2 -- 2 er et eksempel på en kvadratisk funksjon. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. x 2 1 0,5 0 0,5 1 2 y 2 1 1,75 2 1,75 1 2 5 y 4 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4 x -1-2 46

Proporsjonale størrelser Sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser x og y kan vi alltid uttrykke på formen y = k x, der k er et hvilket som helst tall bortsett fra 0. Grafen til proporsjonale størrelser er alltid en rett linje gjennom origo. Til høyre ser du grafen til funksjonen y = 2x. x 0 1 2 y 0 2 4 4 3 2 y y = 2x Oppsummering Faktor 8 10 1 2 1 1 2 x 1 Egne notater: 47

Oppsummering Faktor 8 10 Omvendt proporsjonale størrelser Sammenhengen mellom to størrelser x og y som er omvendt proporsjonale, kan vi uttrykke på formen y = k, der k kan være et hvilket som helst tall x bortsett fra 0. Grafen til omvendt proporsjonale størrelser er en hyperbel. Nedenfor ser du grafen til funksjonen fðxþ = 10 x : x 1 2 4 5 10 f ðxþ 10 5 2,5 2 1 10 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 48

Tabeller Noen utvalgte desimale multipler av SI-enheter (prefikser) Faktorer Prefiks Navn Symbol 10 12 tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 1000 kilo k 100 hekto h 10 deka da 0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m 10 6 mikro μ 10 9 nano n Tabeller Navn og symbol for multipler av grunnenheten for masse lages ved å føye prefiksene til betegnelsen gram (g), for eksempel milligram (mg), hektogram (hg), etc. Andre enheter Størrelse Enhet Navn Elektrisk strøm ampere A Symbol, verdi Termodynamisk temperatur kelvin K (K = C + 273,15) Celsiustemperatur grad celsius C Effekt watt W Elektrisk spenning volt V Resistans ohm Ω Lengde nautisk mil 1 nautisk mil = 1852 m Hastighet knop 1 knop = 1 nautisk mil per time 49

Tabeller Grunnleggende matematiske symboler Symbol Navn Mening /definisjon Eksempel + Plusstegn Addisjon 2 + 3 Minustegn Subtraksjon 2 3 Minustegn Fortegn 2 Gangetegn Multiplikasjon 2 3 : Deletegn Divisjon 2 : 3 / Deletegn Divisjon 2 / 3 Brøkstrek Divisjon 2 3 = Likhetstegn Likhet 2 + 3 = 5 6¼ Ikke lik Ulikhet 2 6¼ 3 Omtrent lik 3,14 > Ulikhet større enn 3 > 2 < Ulikhet mindre enn 3 < 4 Ulikhet større enn eller lik x 0 Ulikhet mindre enn eller lik x 0 ð Þ Parentes ½ Š Klammeparentes Regn ut uttrykket i parentesen først. Regn ut uttrykket i parentesen først. 2 ð3+5þ = 2 8=16 ½ð1 +2Þð1+5ÞŠ = ½3 6Š =18 a b Potens Eksponent 2 3 =222=8 pffiffiffi pffiffiffi p ffiffiffi p ffiffiffi a Kvadratrot a a = a 9 =3 3p ffiffiffi ffiffiffi a Kubikkrot 3p ffiffiffi a 3p ffiffiffi a 3p ffiffiffi a = a 3p 8 =2 % Prosent per hundre, 1/100 150 10 % = 15 Promille per tusen, 1/1000 1500 10 = 15 50

Andre symboler i digitale verktøy Symbol Navn Mening /definisjon Eksempel ^ Hatt Eksponent 2^3 = 8 * Stjerne Multiplikasjon 2*3 = 6 / Deletegn Divisjon 2/3 Tabeller Geometriske symboler Symbol Navn Mening /definisjon Eksempel Vinkel dannet av to vinkelbein ABC = 45 Grader Ett omløp er 360. ABC = 45? Vinkelrett vinkelrette lengder AB? DE k Parallell parallelle lengder AB k DE =k Ikke parallell 4 Trekant & ffi Firkant Formlikhet Kongruens markerer at to lengder ikke er parallelle trekantet geometrisk figur firkantet geometrisk figur samme form, ikke samme størrelse samme form og samme størrelse AB =k DE 4ABC &ABCD 4ABC 4DEF 4ABC ffi4def Pi-konstant geometrisk forhold mellom omkrets og = O diameter i en sirkel d φ Gylne snittkonstant Gylne snitt pffiffiffi 1+ 5 φ = 1,618 2 51

Tabeller Andre symboler Symbol Navn Mening /definisjon Eksempel x x-variabel ukjent verdi y y-variabel ukjent verdi f ðxþ Funksjon av x y Funksjon av x ðx, yþ Punkt i koordinatsystemet a x b Intervall for x x Gjennomsnitt overfører verdier av x til fðxþ overfører verdier av x til y x-koordinat y-koordinat x-verdier varierer fra og med a til og med b. gjennomsnitt av et antall observasjonsverdier Hvis 2x =4,daer x =2. Hvis --2x + y =1og x =1,daery =3. f ðxþ =2x +1 y =2x + 1 (2, 3) C Grad Celsius celsius-grader 15 C F Grad Fahrenheit! Utropstegn fakultet fahrenheit-grader 15 F 0 x 10 For verdiene 2, 3, 5 og 4, er x = 2+3+5+4 = 3,5. 4 4 elementer kan bytte rekkefølge 4! =4 3 2 1=24 ganger. 52

Egne notater: 53

54 Egne notater:

Egne notater: 55