Matematikklæreres kunnskaper for en meningsfull matematikkundervisning Kirsti Rø (UiA) Miguel Ribeiro (tidligere NTNU)
Bakgrunn Miguel (tidligere IMF v/ntnu) Bakgrunn fra VGS i Portugal Doktorgrad i matematikkdidaktikk Forskningsinteresser: Spesialisert matematikkunnskaper i matematikkundervisningen, elevers forståelse i matematikk og deres argumentasjon Kirsti (UiA, NTNU) Femårig lektorutdanning i realfag, NTNU Doktorgradsstipendiat ved UiA matematikklærere i overgangen mellom matematikk- og lærerutdanning på universitetet og yrkesdebut i skolen Underviser bl.a. matematikklærere i videreutdanning ved NTNU
Innhold Innledning: Matematikklæreres kunnskaper Aktivitet: En enkel (?) oppgave om rasjonale tall/brøk Løs oppgaven selv Hvordan ville elever på ulike trinn ha løst oppgaven? Studere ulike elevløsninger Diskusjon Aktivitet: Å dele et rektangel i fire like store deler Løs oppgaven selv Hvordan ville elever på ulike trinn ha løst oppgaven? Studere elevløsning og undervisningsdialog Diskusjon Oppsummering
Matematikklæreres kunnskaper Hvilke kunnskaper må en matematikklærer ha for å kunne utøve meningsfull undervisning i matematikk? Hva skiller en matematikklærers kunnskaper i matematikk fra en ingeniørs kunnskaper? Hva skiller lærerens matematikkunnskaper fra elevenes matematikkunnskaper?
Matematikklæreres kunnskaper «Hvorfor kan du multiplisere ved multiplikasjon av to brøker, men ikke addere ved addisjon av to brøker?» (Hodgen, 2011) Ikke bare et matematisk spørsmål (hvordan vise at utsagnet er sant), men også et pedagogisk spørsmål (hvordan veilede andre til å se at utsagnet er sant).
Matematikklæreres bevissthet Elevers bevissthet i matematikk «Hvorfor er det riktig/galt?» Matematikklæreres bevissthet om elevers bevissthet om egen matematikkundervisning i møtet med kolleger «( ) teachers need more than just knowledge in its traditional sense. They need an awareness of being educated (p. 251).» Lærerutdanneres bevissthet Mason, J. (1998). Enabling teachers to be real teachers: Necessary levels of awareness and structure of attention
Oppgave 1: Deling av sjokolade Sammen med elevene sine ønsker matematikklæreren Maria å utforske begrepet brøk. Hun har forberedt noen oppgaver om deling av sjokoladeplater. Her er en av dem: Hvor mye sjokolade får 6 barn dersom de deler 5 sjokoladeplater likt?
Oppgave 1 Er løsningen rett? Kan dere godta løsningen? (Hvorfor/hvorfor ikke?) Hvordan kan eleven ha resonnert her? Hva støtter opp under løsningen?
Oppgave 1 Selv om løsningen er rett, gis det ingen numerisk representasjon av delingen som illustreres: 1 2 + 1 4 + 1 12 = 5 6
Oppgave 1 Er løsningen overførbar? Hvorfor/hvorfor ikke? Hva skjer dersom vi deler 5 sjokoladeplater på 7 personer? Ethvert rasjonalt tall har en endelig kjedebrøkutvikling, mens irrasjonale tall har uendelige kjedebrøker
Oppgave 1 Er løsningen rett? Kan dere godta løsningen? (Hvorfor/hvorfor ikke?)
Oppgave 1 «Kan du gi meg 0,3(3) av sjokoladen?» Det komplekse forholdet mellom brøk og desimaltall gir muligheter til å diskutere den uendelige rekka av desimaltall i 0,3(3). 1 2 + 1 3 = 0,5 + 0,3(3) Historisk kontekst: Eksistens av irrasjonale tall, som 2
Oppgave 1 Er løsningen rett? Kan dere godta løsningen? (Hvorfor/hvorfor ikke?) Hvert barn får 5/6 av hver sjokoladeplate.
Oppgave 1 «Hvert barn får 5/6 av hver sjokoladeplate» - problemer med overgang mellom de ulike representasjonene. Gjenkjennelse av «et hele» Ekvivalens mellom brøker: Hvert barn får 5/6 av hver sjokoladeplate. 5 6 = 1 6 + 4 6 = 2 6 + 3 6 Kommutativ lov
Oppgave 1 2/4 av en sjokoladeplate og 1/3 av en annen sjokoladeplate Er løsningen rett? Kan dere godta løsningen? (Hvorfor/hvorfor ikke?) Uansett hvordan sjokoladeplatene deles, så får hvert barn 5/6 av totalen, eller 5/6 av hver sjokoladeplate
Oppgave 1 2/4 av en sjokoladeplate og 1/3 av en annen sjokoladeplate Ikke sammenheng mellom hva som representeres av tegningen, hva som representeres numerisk, og forklaring i tekst Gjenkjennelse av «et hele» Uansett hvordan sjokoladeplatene deles, så får hvert barn 5/6 av totalen, eller 5/6 av hver sjokoladeplate Tegningen gir et godt utgangspunkt for å diskutere fellesnevner: 1 4 + 1 4 + 1 3 = 2 4 + 1 3 = 6 12 + 4 12 = 10 12 = 5 6
Oppsummering oppgave 1 Å utforske ulike representasjoner og framstillinger av samme mengde (sjokolade): grafisk/tegning numerisk i form av desimaltall og brøk ved ulike typer av addisjon med brøk Elevers utfordringer med gjenkjennelse av «et hele»: Med heltall: Én enhet betyr ett objekt Med brøk: Enheten er hele størrelsen som deles opp i deler. Rasjonale tall og kjedebrøk
Oppgave 2: Å dele inn et rektangel i fire like store deler Tegn et rektangel og del det inn i fire like store deler. Dersom det er mulig, finn alle løsninger av et rektangel delt inn i fire like store deler.
Oppgave 2
Oppgave 2 Hvordan vise at de fire trekantene har samme areal?
Oppgave 2 Å bruke et presist språk: Like deler (lik form), like store deler (likt areal) Bruk av ulike representasjoner ved bevis hva egner seg for ulike elevgrupper?
Oppgave 2 Maria gir oppgaven til elever på 3. trinn. To elever tegner slik:
Oppgave 2 Maria spør etter andre mulige løsninger. Mats viser fram løsningen sin: Mats: Sivert: Mats: Vera: Jeg vet at delene ikke ser like store ut, men de skal liksom være det. Du kan bare dytte på linjene så bitene blir like store. Men de to bitene i midten er for store og hjørnebitene er for små. Det er derfor du skal dytte på linjene, jeg tegnet det ikke helt rett. Men de vil uansett ikke bli helt like!
Oppgave 2 Hvilken tilbakemelding ville dere ha gitt på Mats sin løsning og dialogen som utspiller seg i klasserommet? Anvendelse av mellomverditeoremet (intermediate value theorem) Intuitiv forståelse av kontinuitet (å «dytte» på linjene i rektangelet) Å rette elevenes oppmerksomhet mot viktige matematiske ideer
Oppsummering oppgave 2 Ved første øyekast et elementært problem, men som viser seg å inkludere mer avansert matematikk som bl.a. hører inn under Kalkulus-kurs på universitetet. Men evner vi å se det?
Matematikklæreres kunnskaper «Hvorfor kan du multiplisere ved multiplikasjon av to brøker, men ikke addere ved addisjon av to brøker?» (Hodgen, 2011) Ikke bare et matematisk spørsmål (hvordan vise at utsagnet er sant), men også et pedagogisk spørsmål (hvordan veilede andre til å se at utsagnet er sant).
Oppsummering: Matematikklæreres kunnskaper (MKT) Ball, Thames & Phelps (2008)
Matematikklæreres kunnskaper (MKT) Hvilke kunnskaper trengs for å kunne gi mening til løsningene? Hvilke løsninger er riktige? Hvilke løsningsstrategier er generaliserbare? Gir 307 og 168 et godt eksempel for å kunne vise subtraksjonsalgoritmen?
Matematikklæreres kunnskaper (MKT) Mathematics teachers interpretative knowledge (Jakobsen, Ribeiro & Mellone, 2014) Horisontkunnskap
Matematikklæreres kunnskaper Fortolkningskunnskap: Å tolke og gi mening til elevenes matematiske fremstillinger og løsninger (Ribeiro et al., 2013) Å kunne vurdere om en elevløsning er matematisk gyldig og/eller overførbar til andre situasjoner Å kunne ta utgangspunkt i en elevløsning (også de som ikke er riktige) og utforske dem på en matematisk gyldig måte Å kunne gi meningsfull tilbakemelding til elevene
Oppsummering oppgave 2 Horisontkunnskap: (Ball, Thames & Phelps, 2008) Bevissthet om hvordan matematiske emner/tema/begrep hører sammen og relaterer til hverandre, på tvers av matematikken som inngår i skolens pensum Å kunne se sammenhenger med større matematiske ideer Relevant i lærerutdanningen og i etterutdanning av matematikklærere.
Referanser Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407. Hodgen, J. (2011). Knowing and identity: A situated theory of mathematics knowledge in teaching. In T. Rowland & K. Ruthven (Eds.), Mathematical knowledge in teaching (pp. 27 42). Dordrecht: Springer. Jakobsen, A., Ribeiro, C. M. & Mellone, M. (2014). Norwegian prospective teachers MKT when interpreting pupils productions on a fraction task. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(3-4), 135-150. Mason, J. (1998). Enabling teachers to be real teachers: Necessary levels of awareness and structure of attention. Journal of Mathematics Teacher Education, 1(3), 243-267. Ribeiro C. M., Mellone, M. & Jakobsen, A. (2013). Give sense to students productions: A particular task in teacher education. In J. Novotná & H. Morová (Eds.), Proceedings of SEMT 12, the International Symposium Elementary Maths Teaching task and tools in elementary mathematics (pp. 273-281). Prague: Charles University.