Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012

Stigningstallet i et punkt

Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x 0.

Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x 0. 1. Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q:

Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x 0. 1. Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q: 2. La Q nærme seg P langs kurven og se hva som skjer med stigningstallet til sekanten.

Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x 0. 1. Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q: 2. La Q nærme seg P langs kurven og se hva som skjer med stigningstallet til sekanten. 3. Hvis stigningstallet ser ut til å nærme seg en verdi, la denne verdien være stigningstallet til kurven.

Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x 0. 1. Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q: 2. La Q nærme seg P langs kurven og se hva som skjer med stigningstallet til sekanten. 3. Hvis stigningstallet ser ut til å nærme seg en verdi, la denne verdien være stigningstallet til kurven. 4. Definer tangenten til kurven i P som linjen gjennom P med dette stigningstallet.

Stigningstallet i et punkt

Stigningstallet i et punkt Definisjon: Stigningstall og tangent til kurve i et punkt Stigningstallet til en kurve y = f (x) i punktet x 0 er tallet: m = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h (gitt at grensen eksisterer). Tangenten til kurven i punktet P(x 0, f (x 0 )) er den rette linjen gjennom P med stigningstall m: y = f (x 0 ) + m(x x 0 )

Den deriverte i et punkt

Den deriverte i et punkt Dersom f (x 0 + h) f (x 0 ) h har en grenseverdi når h går mot 0 gir vi denne et spesielt navn og notasjon.

Den deriverte i et punkt Dersom f (x 0 + h) f (x 0 ) h har en grenseverdi når h går mot 0 gir vi denne et spesielt navn og notasjon. Definisjon: Den deriverte i et punkt Den deriverte til f i x 0 skrives f (x 0 ) og har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h

Kjært barn har mange navn

Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse:

Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0

Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0

Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0

Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0 4. Den deriverte f (x 0 )

Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0 4. Den deriverte f (x 0 ) 5. Grenseverdien lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h

Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0 4. Den deriverte f (x 0 ) 5. Grenseverdien lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h Den deriverte er en av de to mest sentrale konseptene i kalkulus, sammen med integralet.

Den deriverte av en funksjon

Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden.

Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h

Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer.

Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer. Hvis grensen eksisterer for en x, sier vi at f er deriverbar (har en derivert) i x.

Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer. Hvis grensen eksisterer for en x, sier vi at f er deriverbar (har en derivert) i x. Hvis f og f har samme definisjonsområde sier vi bare at f er deriverbar.

Alternativ formel for den deriverte

Alternativ formel for den deriverte Ved å la z = x + h har vi h = z x og dermed følgende alternative formel for den deriverte:

Alternativ formel for den deriverte Ved å la z = x + h har vi h = z x og dermed følgende alternative formel for den deriverte: Definisjon: Alternativ formel for den deriverte f (x) = lim z x f (z) f (x) z x

Notasjon

Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen.

Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x).

Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x). d/dx og D uttrykker at derivasjon er en operasjon på funksjonen y = f (x).

Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x). d/dx og D uttrykker at derivasjon er en operasjon på funksjonen y = f (x). dy/dx bør betraktes som et symbol og ikke som en brøk.

Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x). d/dx og D uttrykker at derivasjon er en operasjon på funksjonen y = f (x). dy/dx bør betraktes som et symbol og ikke som en brøk. For å uttrykke den deriverte i et punkt x = a brukes notasjonen: f (a) = dy dx = df x=a dx = d x=a dx x=a f (x).

Deriverbar på et interval - ensidige deriverte

Deriverbar på et interval - ensidige deriverte y = f (x) er deriverbar på et åpent intervall (endelig eller uendelig) hvis den har en derivert i alle punkt i intervallet.

Deriverbar på et interval - ensidige deriverte y = f (x) er deriverbar på et åpent intervall (endelig eller uendelig) hvis den har en derivert i alle punkt i intervallet. Hvis intervallet er lukket, [a,b], er den deriverbar på det lukkede intervallet hvis den er deriverbar på det åpne intervallet (a, b) og grensene: og f (a + h) f (a) lim h 0 + h f (b + h) f (b) lim h 0 h den høyresidige deriverte i a den venstresidige deriverte i b eksisterer.

Deriverbar på et interval - ensidige deriverte y = f (x) er deriverbar på et åpent intervall (endelig eller uendelig) hvis den har en derivert i alle punkt i intervallet. Hvis intervallet er lukket, [a,b], er den deriverbar på det lukkede intervallet hvis den er deriverbar på det åpne intervallet (a, b) og grensene: og f (a + h) f (a) lim h 0 + h f (b + h) f (b) lim h 0 h den høyresidige deriverte i a den venstresidige deriverte i b eksisterer. Den vanlige relasjonen mellom ensidige og tosidige grenser gir at funksjonen har en derivert i et indre punkt hvis og bare hvis de venstresidige og høyresidige deriverte eksisterer og er like.

Tegne graf til deriverte For å se sammenhengen mellom en funksjon f og den deriverte f kan det være en god øvelse å tegne grafen til f ut fra f : 6 4 2 4 2 2 4 x 2

Tegne graf til deriverte Velger oss passende punkter og estimerer stigningstallet til funksjonen i punktene ut fra tegnede tangenter.

Tegne graf til deriverte Plotter våre estimerte stigningstall og knytter dem sammen med en glatt kurve.

Tegne graf til deriverte Plotter den faktiske deriverte (rød) sammen med vår estimerte funksjon (blå) og ser hvordan de samsvarer. 6 4 2 4 2 0 2 4 x

Deriverbarhet Følgende krav må holde for at en funksjon skal være deriverbar i x = c: 1. f (x) må være kontinuerlig i f (c)

Deriverbarhet Følgende krav må holde for at en funksjon skal være deriverbar i x = c: 1. f (x) må være kontinuerlig i f (c) 2. Tangenten til f (x) i x = c kan ikke være vertikal.

Deriverbarhet Følgende krav må holde for at en funksjon skal være deriverbar i x = c: 1. f (x) må være kontinuerlig i f (c) 2. Tangenten til f (x) i x = c kan ikke være vertikal. 3. Grafen til f (x) må være glatt uten hjørner.

Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes

Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Et hjørne der de ensidige deriverte går mot forskjellige verdier.

Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes En "cusp" der stigningstallet til PQ går mot fra en side og fra den andre.

Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Stigningstallet til PQ går mot eller fra begge sider slik at tangenten blir vertikal (her ).

Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Funksjonen er diskontinuerlig (hopp i verdi).

Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Funksjonen er diskontinuerlig ( reparerbar type).

Deriverbare funksjoner er kontinuerlige

Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Teorem: Deriverbarhet impliserer kontinuitet Hvis f har en derivert i punktet c er f kontinuerlig i punktet c.

Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Teorem: Deriverbarhet impliserer kontinuitet Hvis f har en derivert i punktet c er f kontinuerlig i punktet c. Merknad: Dette teoremet holder ikke andre veien. En funksjon kan være kontinuerlig i et punkt uten å ha en derivert der.

Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem)

Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b).

Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b). Teoremet sier med andre ord at en funksjon ikke kan være den deriverte av en annen funksjon på et intervall hvis den ikke oppfyller skjæringssetningen på dette intervallet.

Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b). Teoremet sier med andre ord at en funksjon ikke kan være den deriverte av en annen funksjon på et intervall hvis den ikke oppfyller skjæringssetningen på dette intervallet. Eksempel:

Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b). Teoremet sier med andre ord at en funksjon ikke kan være den deriverte av en annen funksjon på et intervall hvis den ikke oppfyller skjæringssetningen på dette intervallet. Eksempel: Funksjonen under kan ikke være den deriverte av en funksjon på et intervall som inneholder x = 0 som et indre punkt.

Derivasjonsregler: Konstant funksjon

Derivasjonsregler: Konstant funksjon Teorem: Den deriverte av en konstant funksjon Hvis f har en konstant verdi f (x) = c så er: df dx = d (c) = 0. dx

Derivasjonsregler: Konstant funksjon Teorem: Den deriverte av en konstant funksjon Hvis f har en konstant verdi f (x) = c så er: Eksempel df dx = d (c) = 0. dx

Derivasjonsregler: Konstant funksjon Teorem: Den deriverte av en konstant funksjon Hvis f har en konstant verdi f (x) = c så er: df dx = d (c) = 0. dx Eksempel f (x) = 3 gir: df dx = d (3) = 0. dx

Derivasjonsregler: Potensfunksjon

Derivasjonsregler: Potensfunksjon Teorem: Den deriverte av en generell potensfunksjon Hvis n er et reelt tall er: d dx (x n ) = nx n 1, for alle x der potensene x n og x n 1 er definert.

Derivasjonsregler: Potensfunksjon Teorem: Den deriverte av en generell potensfunksjon Hvis n er et reelt tall er: d dx (x n ) = nx n 1, for alle x der potensene x n og x n 1 er definert. Eksempel

Derivasjonsregler: Potensfunksjon Teorem: Den deriverte av en generell potensfunksjon Hvis n er et reelt tall er: d dx (x n ) = nx n 1, for alle x der potensene x n og x n 1 er definert. Eksempel f (x) = 3 x gir: for alle x 0 df dx = d dx 3 x = d dx x 1 3 = 1 3 x 2 3,

Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant

Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant Teorem: Regel for multiplikasjon med konstant Hvis u er en deriverbar funksjon og c en konstant er: d dx (cu) = c d dx (u).

Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant Teorem: Regel for multiplikasjon med konstant Hvis u er en deriverbar funksjon og c en konstant er: Eksempel d dx (cu) = c d dx (u).

Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant Teorem: Regel for multiplikasjon med konstant Hvis u er en deriverbar funksjon og c en konstant er: Eksempel f (x) = 5x 3 gir: d dx (cu) = c d dx (u). df dx = d dx (5x 3 ) = 5 d dx x 3 = 5 3x 2 = 15x 2.

Derivasjonsregler: Sum av funksjoner

Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx.

Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx. Regelen for multiplikasjon med konstant c = 1 gir tilsvarende regel for differansen mellom to deriverbare funksjoner: d du (u v) = dx dx dv dx

Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx. Regelen for multiplikasjon med konstant c = 1 gir tilsvarende regel for differansen mellom to deriverbare funksjoner: Eksempel d du (u v) = dx dx dv dx

Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx. Regelen for multiplikasjon med konstant c = 1 gir tilsvarende regel for differansen mellom to deriverbare funksjoner: Eksempel d du (u v) = dx dx dv dx u(x) = 5x, v(x) = x 5 og y = u + v gir: dy dx = du dx + dv dx = 5 + 5x 4.

Derivasjonsregler: Den naturlige eksponentialfunksjonen

Derivasjonsregler: Den naturlige eksponentialfunksjonen Teorem: Den deriverte av den naturlige eksponentialfunksjonen d dx (ex ) = e x

Derivasjonsregler: Den naturlige eksponentialfunksjonen Teorem: Den deriverte av den naturlige eksponentialfunksjonen d dx (ex ) = e x ce x, hvor c er en vilkårlig konstant, er de eneste funksjonene som er sin egen deriverte.

Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner

Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte.

Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte. Teorem: Produktregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres produkt uv deriverbart i x, og: d dv (uv) = u dx dx + v du dx.

Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte. Teorem: Produktregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres produkt uv deriverbart i x, og: d dv (uv) = u dx dx + v du dx. Eksempel

Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte. Teorem: Produktregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres produkt uv deriverbart i x, og: d dv (uv) = u dx dx + v du dx. Eksempel u(x) = x 2, v(x) = e x og y = uv gir: dy dx = u dv dx + v du dx = x 2 e x + e x 2x = (2x + x 2 )e x.

Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner

Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner Teorem: Kvotientregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x og v(x) 0 er deres kvotient u/v deriverbar i x, og: d ( u ) = v du dx u dv dx dx v v 2.

Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner Teorem: Kvotientregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x og v(x) 0 er deres kvotient u/v deriverbar i x, og: Eksempel d ( u ) = v du dx u dv dx dx v v 2.

Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner Teorem: Kvotientregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x og v(x) 0 er deres kvotient u/v deriverbar i x, og: Eksempel d ( u ) = v du dx u dv dx dx v v 2. u(x) = x 3 + 4, v(x) = 4x og y = u/v gir: dy dx = v du dx u dv dx v 2 = (4x) ( 3x 2 ) (( x 3 + 4) 4) (4x) 2 = x 3 + 2 2x 2

Den n-te deriverte

Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte.

Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte.

Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte.

Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte.

Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte. etc. etc.

Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte. etc. etc. Notasjon: f (x), f (x) = f (3) (x), y, y = y (3),

Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte. etc. etc. Notasjon: og generelt for n f (x), f (x) = f (3) (x), y, y = y (3), f (n) (x) = d n y dx n = d n f dx n = d n dx n f (x) = Dn (f )(x) = D n x f (x) = D n y = y (n).