FYS40 Kvantefysikk, Oblig 3 Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4. februar 05
Obliger i FYS40 merkes med navn og gruppenummer! Dette oppgavesettet sveiper innom siste rest av Del I av pensum, med tre oppgaver om materiebølger de Broglie bølgelengden, og gruppe- og fasehastighet). To av disse nnes som Oppgave 4. og 4.5 i Kompendiet. Oppgave En partikkel med ladning e og masse m 0 akselereres av et elektrisk potensial V til en relativistisk hastighet. a) Vis at de Broglie bølgelengden for partikkelen er gitt ved h λ + ev ) / m0 ev m 0 c Svar: Tar utganspunkt i de Broglie sin omskriving λ h p E pc) + m 0 c ) for å nne et uttrykk for p. og bruker pc) E m 0 c ) p E m 0 c ) c p c E m 0 c ) Setter inn E ev + m 0 c p c ev ) + m 0 c ev + m 0 c ) m 0 c ) p m 0 c ev ev ) c + c m 0 ev + ev ) m 0 c Setter så dette inn i de Broglie sin formel: λ h m0 ev + ev m 0 c ) / b) Vis at dette gir λ h/m 0 v i den ikkerelativiske grensen. Svar: Vet at p m 0 v når en regner ikke-relativistisk. Setter dette inn i λ h p og får λ h/m 0 v. c) Vis at for en relativistisk partikkel med hvileenergi E 0 er de Broglie bølgelengden gitt ved.4 0 β λ ) Å, E 0 MeV) β hvor β v/c, og hvor E 0 MeV) er hvileenergien målt i MeV.
Svar: Fra a) har vi p E E0 c og setter inn E og E γe 0 E 0 β β v c. hvor p E 0 β ) E 0 c E 0 E 0 β ) c β ) E 0 β c β ) E 0 β p c β Setter inn i λ h/p λ hc β E 0 β 40eV nm β E 0 β.4 0 3 nm β E 0 MeV ) β.4 0 E 0 MeV ) β Å β
Oppgave Et fysisk system beskrevet ved hjelp av bølgeligninger som tillater yx, t) A cos kx ωt) som løsninger, der sirkelfrekvensen ω er en reell funksjon av bølgetallet k, kalles for et lineært, dispersivt system. Funksjonen ωk) kalles for dispersjonsrelasjonen til systemet. a) Vis at dispersjonsrelasjonen for frie, relativistiske elektronbølger er gitt ved mc ), ωk) c k + der m er elektronets hvilemasse. Svar: Bruker: p k ω πν E hν E p c + mc ) ω πν π E h p π c + m c 4 h k c + m c 4 k c + m c 4 mc ) c k + b) Finn et uttrykk for fasehastigheten v f k) og gruppehastigheten v g k) til disse bølgene, og vis at produktet v f k) v g k) er en konstant uavhengig av k). Svar: Fasehastigheten v f k) kan uttrykkes v f k) ωk) k v f k) c c k + mc k + mc k ) ) og vi får:
Gruppehastigheten v g k) kan uttrykkes v g k) ω k Ser at v f k)v g k) c. v g k) c k k + c k + mc ck k + mc c + mc k ) ) ) mc ) ) k c) Fra uttrykket for v f ser vi at v f > c! Kommenter dette fenomenet og hva det har å si for tolkningene av v f og v g ut fra den spesielle relativitetsteorien. Svar: Da v f ikke beskriver partikkelens hastighet men snarere sannsynlighen for å nne partikkelen i x ved t så vil det ikke være et problem at v f overskrider lyshastigheten. Derimot må v g som relateres til partikkelens hastighet følge den spesielle relativitetsteorien, noe den også gjør i følge uttrykket fra b).
Oppgave 3 a) Legg sammen to sinusbølger y x, t) A sin [k x ωk )t] og y x, t) A sin [k x ωk )t], med dispersjonsrelasjon som i Oppgave og med bølgetall som ligger nær hverandre, k k 0 + k, k k 0 k, k k 0. Hvordan ser den resulterende funksjonen ut, og hvordan tolker man de to delene av denne funksjonen? For å forenkle regningen kan du innføre c. Hint: Du kan få bruk for identiteten se Rottmann): sin x + sin y sin x + y cos x y. ) Du kan også få bruk for at k k 0 for å skrive sirkelfrekvensen på en omtrentlig form. Svar: y x, t) A sink ωk )t) k k 0 + k Legger y og y sammen og får y x, t) A sink x ωk )t) k k 0 k yx, t) A sin[k x ωk )t] + A sin[k x ωk )t] A sin[k x ωk )t] + sin[k x ωk )t) [ ] [ ]) k x ωk )t + k x ωk )t k x ωk )t k x + ωk )t A sin cos [ k + k A sin x ωk ] [ ) + ωk ) k k t cos x ωk ]) ) ωk ) t [ A sin k 0 x ωk ] [ ) + ωk ) t cos kx ωk ]) ) ωk ) t Videre forenkler vi ωk ) og ωk ). ωk ) k + m k0 + k 0 k + k + m k k 0 k0 + k 0 k + m k 0 + m + k 0 k k0 + m ) / Dette betegnes i fysikk som såkalte naturlige enheter!) i kontrast til metriske enheter.
Nå har vi et uttrykk + x) p, om x kan uttrykket forenkles til + p x. Ser også k 0 + m ωk 0 ). ωk ) ωk 0 ) + k ) 0 k ωk 0 ) Tilsvarende gjøres for ωk ). ωk ) ωk 0 ) k ) 0 k ωk 0 ) Tilbake i uttrykket for yx, t) har vi nå yx, t) A sin [k 0 x ωk 0 )t] cos [ kx ) ]) k0 k t ωk 0 ) b) Lag et plott av superposisjonen hvor du velger A m, k 0.6 og k 0.7. Hva blir fase- og gruppehastigheten? Merk at du kan gjøre denne oppgaven før du har fått til den forrige ved å gjøre den rent numerisk. Svar: Vi nner fasehastighet v f ω 0 k 0.834c. På samme måte nner vi gruppehastigheten v g dωk 0) dk 0 v g ) k 0 k + k 0 0 k0 + ) 0.545c + k0 Figur : Plot av y x, t) + y x, t)
c) Hva skjer dersom du numerisk) superponerer ti eller enda ere) bølger med bølgetall jevnt fordelt i intervallet [k, k ]? Beskriv hva som skjer sammenlignet med oppgave b), og legg gjerne ved et plott men ikke kode). Svar: Man ser at ere bølgefunksjoner intefererer konstruktivt nærere ett punkt og gir en bedre indikasjon på possisjonen. Figur : Plot av ti bølgefunskjoner med forskjellige verdier av k mellom k 0.6 og k 0.7. Ser at en stor k og ere sinusfunksjoner gir en bedre indikator på possisjonen. Noe som stemmer godt med teorien rundt summering av bølgefunksjoner og sannsynlighetsfordeling.