OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Avsn. 5.1: 41 Avsn. 5.3: 3, 7 Avsn. 5.4: 13, 31, 37 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 28/10 Oppgaver til gruppene uke 44 Merknad: Oppgavene under skal kunne løses uten bruk av Fundamentalteoremet 5.5.5; dvs. integralene skal kunne løses ved arealbetraktninger. Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 5.1: 9, 17 33, 37 Avsn. 5.3: 1, 9 6, 10 17 ( ), 18 Avsn. 5.4: 1, 7, 24 9, 29 På settet: G.1, G.2, G.3 G.4, G.5, G.6, G.7 ( ) Løsningen på Oppgave 17 i 5.3 bruker ikke at funksjonen f er kontinuerlig, slik at oppgaven viser egentlig at enhver ikkeavtagende funksjon på et lukket intervall er integrérbar. (Samme resultat holder selvfølgelig også for ikkevoksende funksjoner.) Oppgavene under Mer dybde behandles i 2. time av det raske seminaret 4/11. Obligatoriske oppgaver Oppgavene 1 og 2 i Obligatorisk innlevering 3 (innleveringsfrist mandag 21/11). Merk at noen av oppgavene vil involvere pensum fra tidligere uker. 1
2 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 OPPGAVE S.1 Finn en funksjon f, et intervall og en partisjon slik at de to summene i oppgavene 11 og 12 i Avsnitt 5.3 er henholdsvis øvre og nedre Riemannsum. OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V02-Oppg. 3) OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 2)
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 3 OPPGAVE G.3 (Deleksamen UiB-H03-Oppg. 9) Avgjer om påstandane under er sanne eller usanne. Gi ei kort grunngjeving for svaret ditt. a) Kontinuerlege funksjonar på [a, b] er alltid deriverbare på (a, b). b) Funksjonar definert på [a, b] har alltid eit absolutt (globalt) maksimum og minimum på intervallet. c) Gitt at x 6 x 5 x 2 +1. Vi kan bruke middelverditeoremet/sekantsetninga på f til å vise at likninga 6c 5 5c 4 2c + 1 = 0 har ei løysing (rot) i intervallet (0, 1). OPPGAVE G.4 Definisjonen av øvre og nedre Riemannsum i Avsnitt 5.3 i læreboken fungerer for alle funksjoner som har en maksimal- og minimalverdi i hvert av delintervallene [x i, x i 1 ] i partisjonen. (Og dere vil se i MAT112 at definisjonen lett kan utvides til alle funksjoner som er begrenset på det lukkede intervallet [a, b] i definisjonen.) La oss betrakte Dirichlets funksjon (fra Oppgave G.6 i oppgavesett Uke 36) 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal. Beregn øvre Riemannsum U(f, P ) og nedre Riemannsum L(f, P ) for en vilkårlig partisjon P på et vilkårlig intervall [a, b]. Du vil få de samme svarene uansett partisjon. Bruk dette til å forklare at f ikke er integrérbar på noe intervall [a, b]. Hvordan passer dette inn med Teorem 2 i 5.3? (Hint: Bruk det faktum at det i ethvert intervall, uansett hvor lite det er, vil finnes både rasjonale og irrasjonale tall.) OPPGAVE G.5 Bevis følgende sats, som gir en nyttig regel for å avgjøre om en funksjon er derivérbar eller ikke. Sats La f være kontinuerlig i a og derivérbar for alle x i et intervall rundt a, men ikke nødvendigvis i a. (i) Dersom lim x a f (x) = L (med L et endelig tall), da er f derivérbar i a med f (a) = L. (ii) Dersom de to ensidige grensene lim x a f (x) og lim x a + f (x) eksisterer (og altså er endelige) men er ulike, eller en av dem er eller, da er f ikke derivérbar i a.
4 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Merknader (a) Husk at dersom f ikke er kontinuerlig i a, kan den heller ikke være derivérbar i a, ved Teorem 1 i 2.3, så da trenger vi ikke gjøre noe mer. (b) Merk også at satsen ikke sier noe i det tilfellet der én eller to av de ensidige grensene ikke eksisterer og ingen av dem er ±. (c) Merk at del (i) av satsen også gir at den deriverte er kontinuerlig i punktet a, siden den nettopp sier at lim x a f (x) = f (a) (se Definisjon 4 i 1.4). OPPGAVE G.6 (a) Hvor brukte du at f er kontinuerlig i a i svaret på Oppgave G.5? Vis at denne betingelsen er nødvendig ved å studere funksjonen x, når x 0 x + 1, når x > 0. i x = 0. (b) Vis at det finnes en funksjon f slik at lim x a f (x) ikke eksisterer, men f likevel er derivérbar i a. Hvorfor strider dette ikke mot resultatet i satsen? Hint: prøv funksjonen x 2 sin 1, når x 0 x 0, når x = 0. (fra Oppgave G.2 i oppgavesett Uke 37, eller Oppgave 2.8.28 i læreboken (2.8.18 i utg. 7 og 2.6.18 i utg. 6)). OPPGAVE G.7 Bruk satsen fra Oppgave G.5 til å avgjøre om følgende funksjoner er derivérbare i 0: e x 1, når x 0 sin x, når x < 0. tan x, når x 0 g(x) = ln(x 2 + 1), når x < 0. Fasit/hint på neste side
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 5 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://math.uib.no/adm/eksamen/content/mat111/index.html Oppgave G.4. L(f, P ) = 0 og U(f, P ) = b a. Oppgave G.7. f er derivérbar, g ikke. LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen