Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x 15 8x15 0 x 1 8 4 x 8 x x 5 eller x 3 8 8 4 1 15 c) 4 3 3 4 3 3 4 3 1 5 (43) 5 1 5 5 3
d) 1 1 3 1 1 1 3 1 3 6 6 6 6 1 4a a 4 a a a a 1 6 a e) Først deriverer vi funksjonen. f x x x 3 ( ) 8 4 f x x ( ) 6 8 Stigningstallet til tangenten er a f (1) 6 1 8 Tangenten har likningen y ax b x b. Når x = 1, er y f 3 (1) 1 8 1 4 10 Det gir 10 1b b 8 Likningen er y x 8 f) Vi faktoriserer telleren med tredje kvadratsetning og nevneren med første kvadratsetning. x 9 x3x3 x3 x3 6 9 3 x3 x3 x x x x 3 x 3 g) h) lg(x 4) 3lg lg(x 4) lg 3 lg(x 4) lg 8 x 4 8 x 4 x 1) Vi regner med at det blå feltet er 135 og det grønne 90. Da er P 135 3 90 1 360 8 360 4 blå Pgrønn
3 1 3 5 Pblå eller grønn PblåPgrønn 8 4 8 8 8 ) Vi antar at det gule feltet er 45. Da er 45 1 P gul 360 8 Det gir P P gul og så grønn Pgrønn og så gul gul grønn grønn gul gul og så grønn eller grønn og så gul P P P P 1 1 1 1 1 1 1 8 4 4 8 3 3 3 16 i) Først lager vi en skisse: C A 4 cm B Den tredje betingelsen gir sin B cos B AC AB BC BC AC AB BC AC og AB er dermed like lange. Begge er 4 cm. Figuren ser slik ut: C 4 cm A 4 cm B Trekanten er likebeint og rettvinklet. Da er B = C = 45.
Oppgave a) Fortegnslinje for gx. ( ) g(x) er positiv der grafen er over x-aksen og negativ der grafen er under x-aksen. Fortegnslinje for g ( x). g( x) er positiv der grafen vokser og negativ der grafen avtar. b) Andregradsfunksjonen har nullpunktene x = og x =. Det gir gx ( ) a x x a x x a x 4 Fra grafen ser vi at g(0) = 4. Da må a 0 4 4 4a 4 a 1 gx x x ( ) 1 4 4 Oppgave 3 D C 1 10 100 A B a) DAC er rettvinklet, og vi kan derfor bruke pytagorassetningen.
AC DC DA (5,0m) 3,0m 5m 9m 34m AC 34 m 5,8 m b) I BCD må vi bruke cosinussetningen. BD CD CB CD CB C cos (5,0 m) (5,0 m) 5,0 m 5,0 m cos10 = 5 m 5 m 50 m ( 0,5) 75 m BD 75 m = 8,7 m c) 1) Ettersom DAC er rettvinklet, er 5,0 tan CAD 3, 0 CAD 59,0 ACD 1809059, 031, 0 BAC A CAD 10059, 0 41, 0 BCA C ACD 1031, 089, 0 Sinussetningen gir AB BC sin BCA sin BAC AB 5,0 m sin89,0 sin 41,0 5,0 m AB sin89,0 7,6 m sin 41,0 Arealet av ABD er 1 1 AB AD sin A 7,6 m3,0 msin100 11,6 m Arealet av BCD er 1 1 CD CB sin C 5,0 m5,0 msin10 10,83 m Samlet areal er 11,6 m + 10,83 m =,1 m
) Arealet av ACD er 1 1 3,0m5,0m 7,5m DADC Arealet av ABC er 1 1 AC BC sinbca 5,8m5,0 msin89,0 14,58m Samlet areal er 7,5 m + 14,58 m =,1 m Oppgave 4 a) Han sykler 1 time med farten 1 km/t og deretter 15 min = 1 4 t med farten 18 km/t. Strekningen blir 1 km/t 1 t + 18 km/t 1 4 t = 6 km + 4,5 km = 10,5 km b) km 15 y 1 9 6 3 x 10 0 30 40 50 60 min c) I de første 30 minuttene er farten 1 km/t. Det er 1 km 1 km 1 km/min = 0, km/min 1t 60min 60 På x minutter tilbakelegger han strekningen y målt i kilometer der y 0, x Dette uttrykket gjelder når 0 x 30.
I de neste 30 minuttene er farten 18 km/t. Det er 18 km 18 km 1 km/min = 0,3 km/min 1t 60min 60 Strekningen må da være gitt ved y = 0,3x + b der b er en ukjent konstant. Men vi vet at han hadde syklet 6 km etter 30 minutter. Når x = 30, er da y = 6. Det gir 6 = 0,3 30 + b 6 = 9 + b b = 3 Strekningen er y 0,3x 3 Dette uttrykket gjelder når 30 x 60. Oppgave 5 a) Vi kan lage et Venn-diagram. briller kontaktlilnser 14,3 % 9,7 % 7, % Vi kan også lage en tabell. Vi utnytter at det er 14,3 % + 9,7 % + 7, % = 31, % som bruker briller eller kontaktlinser. Det er da 100 % 31, % = 68,8 % som verken bruker briller eller kontaktlinser.
Kontaktlinser Ikke kontaktlinser Sum Briller 9,7 % 14,3 % 4,0 % Ikke briller 7, % 68,8 % 76,0 % Sum 16,9 % 83,1 % 100 % b) Det er 9,7 % + 14,3 % = 4,0 % som bruker briller. Det er dermed 100 % 4,0 % = 76,0 % Sannsynligheten er 0,760 (76,0 %). c) Sannsynligheten er P(linser briller) 9,7 % P(linser briller) = 0,404 P(briller) 4, 0 % Sannsynligheten er 0,404 (40,4 %). Oppgave 6 a) 10 8 6 4 y -4-4 6 8 - x -4 b) Nullpunkter: f ( x) 0 0,5x x 0 x 4x 0 x( x4) 0 x = 0 eller x 4 = 0 x = 0 eller x = 4
Vi deriverer funksjonen og lager fortegnslinje for den deriverte. f ( x) 0,5x x Funksjonen har et bunnpunkt for x =. Da er y f () 0,5 4 Funksjonen har bunnpunktet (, ). c) Stigningstallet til tangenten i punktet (1, f(1)) er f (1) 1 1 d) Tangenten må ha likningen y 1xb x b. Når stigningstallet til en tangent er 1, er f ( x) 1 x 1 x 3 y-koordinaten er da y 0,5 1 1 1,5 Tangeringspunktet er (3, 1,5). Det må passe i likningen for tangenten. 1,5 = 3 + b b = 4,5 Likningen er y = x 4,5 Oppgave 7 Alternativ I a) Når a = 6 er likningssettet yx x 6 yx 3 1) Den andre likningen gir y x 3
Innsatt i den første gir det x3 x x 6 x x x 4 6 6 xx 6 0 x(6 x) 0 x 0 eller 6 x 0 x 0 eller x 6 Når x = 0, er y = 0 + 3 = 3 Når x = 6, er y = 6 + 3 = 15 Løsningen er x = 0 og y = 3 eller x = 6 og y = 15. ) Vi omformer den første likningen. y x x6 1 3 y x x Vi tegner så denne kurven sammen med linja y x 3 i ett koordinatsystem. 15 y 10 5-4 6 8 x -5 Vi har skjæringspunktene (0, 3) og (6, 15). Løsningen er x = 0 og y = 3 eller x = 6 og y = 15.
b) Hvis x = 1 og y = 5 skal være en løsning, må tallene passe i den første liknngen. y x x a 5 1 1 a 10 1 a a 11 c) Vi kan løse oppgaven ved regning. Den andre likningen gir y x 3. Innsatt i den første likningen gir det 3 x x x a 4 6 x x x a x 6x6a 0 6 6 4 ( 1) 6 a x 1 6 364 6a x 6 3644a x 6 604a x Vi har én løsning hvis 60 4a 0 4a 60 a 15 Vi har to løsninger hvis 60 4a 0 4a 60 a 15 Vi har ingen løsninger hvis 60 4a 0 4a 60 a 15
Vi kan også løse oppgaven grafisk ved for eksempel GeoGebra. Da legger vi inn parameteren a = 10, samt uttrykkene en glider for a som går fra 0 til 0. 1 og x 3. Vi lager så x x a Vi ser at det er to skjæringspunkter, og dermed to løsninger, når a = 10. Vi får to løsninger alle verdier for a helt opp til denne situasjonen oppstår: Når a = 15, blir den rette linja en tangent til andregradskurven. Vi har bare én løsning. Når a > 15, skjer dette: Vi har ingen skjæringspunkter og dermed ingen løsninger. Vi har én løsning når a = 15, to løsninger nå a < 15 og ingen løsning når a > 15.
Oppgave 7 Alternativ II a a a a 10 10 a a + a =3a a) Grunnflaten av huset består av et kvadrat med sider a og et rektangel med grunnlinje 3a og høyde 10 a. Arealet blir f ( a) a 3a 10a a 30a3a 30a a Når a = 5, er arealet f (5) 30 5 5 150 5 100 Arealet er 100 m. b) Arealet er 11 m når 30aa 11 a 30a11 0 Vi bruker lommeregner eller annet digitalt hjelpemiddel og får løsningen a = 7 eller a = 8 c) Vi deriverer arealfunksjonen og lager fortegnslinje for den deriverte. f ( a) 30 4a Arealet er størst når a = 7,5. Da er arealet f (7,5) 307,57,5 11,5 Det største arealet er 11,5 m.
d) Arealet er større enn 7 m når 30aa 7 a 30a 7 0 Et digitalt hjelpemiddel gir nullpunktene a = 3 og a = 1. Dermed er ulikheten ( a3)( a1) 0 Vi lager nå fortegnslinje der vi husker på at a må være et tall mellom 0 og 10. Arealet er større enn 7 m når 3 a 10.