Løsningsfoslag FY-ME00 eksamen 5. juni 00 Ved sensueing vil alle delspøsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt, men vi fobeholde oss etten til justeinge. Feil i løsningsfoslaget kan foekomme!!! (ikke ko.lest) Oppgave Kvalitative spøsmål. Sva kotfattet, men få fam de viktige agumentene. a) To (sikulæe) klosse ligge i o på et hoisontalt undelag, uten fiksjon. Den ene klossen ha massen m, den ande massen 4m. Begge klossene bli påviket av en konstant kaft F i en liten tid dt. Ette at kaften ha sluttet å vike, ha da klossene lik enegi, elle foskjellig enegi? Begunn svaet. Klossene e føst i o, men motta identisk impuls (kaft gange tid). Det bety at de ette kaften F ha viket tiden dt, vil kloss og ha samme bevegelsesmengde. Det bety: desom indeks vise til den tyngste klossen (den ha fie gange så sto masse som kloss ). Kinetisk enegi fo de to e da: Kloss : m v m v mv 4mv v 4v --m v --mv --m ( 4v ) 8mv Kloss : --m v -- ( 4m)v mv Vi se altså at den letteste klossen ette å ha mottatt impulsen, ha en fakto fie støe kinetisk enegi enn den tyngste klossen. [Det e ikke opplyst noe om potensiell enegi, så vi må anta at oppgavetekstens enegi he e ensbetydende med kinetisk enegi.] b) Tenkdegatduståpåenlettvognsomlettkanulle langs en vei. Vogna e oppinnelig i o. Du kaste så en tung kule mot en fast vetikal vegg på vogna, og kula spette tilbake og folate vogna (se figu). Hva vil skje med vogna ettepå? Vil den fotsatt væe i o, elle vil denbevegesegietningendukastetkulai,elleimotsatt etning? Begunn svaet. Desom vi anse vogn med vegg og kule og mann som ett system, vil keftene til stede ved kastet såvel som spett av kula fa veggen alt epesentee
Side inde kefte. I så fall vil bevegelsesmengden til systemet som helhet ikke endes av kast elle tilbakespett fa veggen. Siden vogn og innhold oppinnelig va i o og altså ikke hadde noe bevegelsesmengde, vil systemet ette kastet også ha null bevegelsesmengde (ingen netto yte kaft vike på systemet). Siden kula ette at den sette tilbake fa veggen, bevege seg mot høye, ha kula et bevegelsesmengde mot høye. Da må vogn + vegg + mann + esten av kulene bevege seg (langt saktee enn kula) mot venste fo at vogn++ skal ha en bevegelsesmengde motsatt lik bevegelsesmengden til kula som fly mot høye. c) Tenk deg at du ta med en ballong fylt med helium (lettee enn luft) inn på et fly. Nå flyet e i o, elle bevege seg med konstant hastighet, henge ballongen ett opp. Hva skje med ballongen (fo en obsevatø som sitte i flyet) nå flyet akseleee (f.eks. ved stat)? Vil ballongen fotsatt henge ett opp, bevege seg foove, elle bakove elativt til flyet? Begunn svaet. Lufta i atmosfæen e kompessibel, og i de nede dele av atmosfæen e massetettheten støe enn lenge opp. Men selv om lufta hadde væt inkompessibel (som f.eks. vann langt på vei e), vil likevel tykket avta med høyde ove bakken. Dette tilsvae at tykket i et volum med vann også avta med høyden (elle øke med dybden). I en stillestående bøtte med vann vil tykket væe identisk ovealt i et hvilket som helst valgt hoisontalt plan (isoba). At oveflaten av vannet e hoisontal e et eksempel på dette (tykket i vannet i oveflaten e lik lufttykket). Det e tyngden til lufta elle vannet som føe til at tykket øke nå en bevege seg mot jodas sentum. I vektløshet (gå og se filmen Space Station på Imax Theathe fø kinoen nedlegges 0. juni ette konkusen!) danne ikke vann vannette flate. Vannet bae klumpe seg i kule som flyte i ommet (holdt sammen av oveflatespenningen). Men desom det e tyngden som dive tykket, og det e tykkfoskjelle som gi oppdift, bety det at oppdiften alltid vil vike i en etning motsatt av tyngden. Ietakseleet system vil det tilsynelatende vike en fiktiv kaft i en etning motsatt av akseleasjonsetningen. I tillegg komme tyngden. Effektiv kaft/tynge som vike på et volumelement vann elle luft i et akseleet system vil defo væe summen av tyngden mg og den fiktive kaften, og vil peke litt bak en vetikal linje gjennom punktet vi betakte. Vi vil da se at vannoveflaten vil bli liggende på skå i fohold til hvodan det ville væt i et efeansesystem uten akseleasjon. Oppdiften vike motsatt etning av effektiv kaft/tyngde. Fo en tebit i en vannbøtte som akseleees hoisontalt, vil oppdiften vike vinkelett på den skå oveflaten. I luft bli det akkuat likt. Vi se ingen lik-tykk-flate i luft, men de e de like fullt. Fo en heliumballong i et fly unde oppstat (hoisontal akseleasjon famove), vil lik-tykkflatene i lufta ligge litt på skå i fohold til hoisontalen utenfo flyet, med høyeste del bakove. Ballongen vil få en oppdift vinkelett på lik-tykk-flatene, og vil bevege seg foove elativt til flyet ved oppstat. (PS: Håpe studentene få sagt dette med fæe od enn jeg fikk til akkuat nå...) FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side Oppgave Oppgitte vedie: Gavitasjonskonstanten G 6.67. 0 - m kg - s -. Jodadien 6.7. 0 6 m. Jodens masse M 5.98. 0 4 kg. Vi betakte to kulefomede legeme med masse M og m, de m ha posisjonsvekto elativt til M. a) Skiv ned et uttykk fo gavitasjonskaften F som vike på m (betegn gavitasjonskonstanten med G). E F en konsevativ kaft? Begunn svaet (utledninge e ikke nødvendig). Gavitasjonskaften e gitt ved følgende uttykk: F G-------- Mm u hvo u e enhetsvekto i en etning mellom sentene i de to kulesymmetiske massefodelingene. Minustegnet indikee at gavitasjonskaften e en tiltekningskaft (kaft på M vike i etning m og omvendt). Gavitasjonskaften e konsevativ. Med det menes at desom en flytte massen m fa en posisjon til en annen i gavitasjonsfeltet fa M, vil abeidet gavitasjonskaften utføe på legemet bae avhenge av statposisjon og sluttposisjon, og ikke av valg av vei mellom disse punktene. En annen måte å si dette på e at flytte en massen m undt en hvilken som helst vei, men ende opp med sluttpunktet fo veien identisk med statpunktet, ha gavitasjonskaften ikke utføt noe abeid (netto) på massen unde foflytningen. Fo konsevative kaftfelt e det mulig å lage en potensialfunksjon som angi potensiell enegi i feltet. Fo gavitasjon e den potensielle enegien gitt ved: E p G Mm -------- Ethvet (kulesymmetisk) sentalt kaftfelt e konsevativt. Det skyldes at abeidet som gjøes nå vi foflytte en masse m i det sentale kaftfeltet bae vil avhenge av ending i(skala) avstand fa sentum fa statpunkt til sluttpunkt. En satelitt med masse m skytes opp fa jodens oveflate og plassees i en sikulæ bane i høyde h ove jodens oveflate. Jodadien e og Jodens masse M. b) Hva e satelittens potensielle, kinetiske og totale mekaniske enegi i denne banen? (Behøve ikke utledes.) En satelitt med masse m som gå i en sikulæ bane i en høyde h ove jodoveflaten (Joden ha en adius ),vilhaenpotensiellenegigittved: E p G Mm Mm -------- G------------ + h FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 4 Fo en sikulæ bane vil alltid kinetisk enegi væe lik halvpaten av den potensielle enegien i samme avstand, men med motsatt fotegn, altså: E k --G Mm -------- --G ------------ Mm + h Dette kan også vises ved å ta utgangspunkt i at sentipetalkaften komme av gavitasjonskaften, men dette e så velkjent at jeg doppe utledningen. Total enegi e da summen av potensiell og kinetisk enegi, altså: E tot --G Mm -------- --G ------------ Mm + h Vi ønske at satelitten skal gå i en såkalt geostasjonæ bane ( tilsynelatende stillestående i fohold til jodoveflaten ) c) Hvilken høyde h ove jodoveflaten må satelitten da gå i? E det ande kav til banen som må oppfylles? E det en god elle dålig idé å buke utelukkende geostasjonæe satelitte fo navigasjonssystemet GPS (Global Position System) som skal vike ovealt på kloden? Begunn svaet. En geostasjonæ satelitt må bevege seg med samme omdeiningshastighet som Joda selv. Vi kan ta utgangspunkt i at det e gavitasjonskaften som e kilden til sentipetalkaften, og vi gå ut fa at vi ha en sikulæ bane. Da følge fo en satelitt med masse m ietgavitasjonsfelt fa en planet med masse M og adius (se bot fa fotegn): F G------------------- Mm ( + h) mω m π ----- T ( + h) ( + h) ------------------- T GM -------- 4π Dette e egentlig Keples tedje lov. Innsatt fo de oppgitte vediene få vi: ( + h) GM -------- 4π T h GM -------- 4π T h 6.67 0 5.98 0 4 ( 4 60 60 ) ------------------------------------------------------------------------------------------------ 6.7 0 6 ( ) m m 4.459.59 0 7 FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 5 Den geostasjonæe satelitten må altså ha en høyde ove jodoveflaten på 6 000 km. Men det e ikke nok å bae spesifisee høyden til den geostasjonæe banen. Satelitten må jo faktisk ha nøyaktig samme omdeiningshastighet som Joda. Men desom omdeingingen f.eks. skje i en sikulæ bane hvo polene inngå, vil satelitten selvfølgelig ikke stå stille i fohold til bakken unde. Den eneste måten en kan få en sann geostasjonæ sattelitt, e å la den gå i en bane i ekvatoplanet (planet hvo Jodens ekvato ligge i). Siden Joda ha en kum oveflate, og en geostasjonæ satelitt ha en begenset høyde ove jodoveflata, vil det væe et omåde næ hvet av polene hvo adiosignale fa en geostasjonæ satelitt ikke nå. Satelittantenne i Finnmak stå omtent vetikalt (peke omtent hoisontalt). Satelittantenne i Oslo-distiktet peke litt høyee på himmelen. Ved ekvato kan de peke loddett (desom en sattelitt stå ett ove de du e). Men hadde du bodd på Nodpolen elle Sydpolen, ville det ikke væt mottakefohold fo satelitt-tv fa geostasjonæe satelitte. Desom GPS va baset på geostasjonæe satelitte, ville en på samme måte ikke ha dekning næ polene. Det e gunn nok til at en ha valgt å ikke basee seg utelukkende på geostasjonæe sattelitte fo GPS systemet. Men hadde en valgt en løsning med geostasjonæe sattelitte, ville utegningen av hvo du va på joda kunne gjøes enklee, siden en da kunne tatt utgangspunkt i at posisjonen til satelittene alltid va ufoandet. En akettmoto settes på en svæt kot tid, men gi satelitten en liten adiell hastighet. d) E den mekaniske enegien støe, lik elle minde enn den va fø akettmotoen ble statet? Spille det noen olle fo enegien om akettmotoen gi en adiell hastighet innove elle utove? Hvilken fom ( kjeglesnitt ) få banen fo de to tilfellene (akett gi adiell hastighet utove og hastighet innove, henholdsvis). Begunn svaene, men egning e unødvendig. En eksta adiell hastighet i tillegg til den tangentielle vil gi satelitten en støe total hastighet enn den hadde mens den gikk i en en sikulæ bane. Litt økt hastighet i ufoandet avstand fa Joden, bety støe kinetisk enegi og ufoandet potensiell enegi (i utgangspunktet, like ette at akettmotoen va skudd av ette den kote pulsen). Totalenegien vil da øke. Vi vet at en totalenegi mellom enegien som svae til en sikelbane og null enegi, tilsvae en ellipsebane. Desom akettmotoen gi en kotvaig kaft innove, vil satelitten state på den delen av ellipsen som e næmest Joda like ette motoen ble bukt. Desom akettmotoen gi den kotvaige kaften adielt utove, vil satelitten state på den delen av ellipsen som e fjenest fa Joda like ette at motoen e skudd av. Men ellipsens fom og støelse vil væe uavhengig av om akettmotoen fyes av utove elle innove. Tilleggsspøsmål: e) Satun ha en avstand til Sola omtent ti gange avstanden mellom Sola og Joda. Hvo langt e et Satunå? FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 6 Satunået kan vi finne ut fa Keples tedje lov, også utledet ovenfo. Vi kan buke Joden som en efeanse i beegningene slik: j ------ T j GM sol -------------- 4π S ------- T S S T S ------- T S j ----- T j j j T S 0 ---------- j j å T s.6å Satunået e altså.6 jodå langt. Oppgave En snelle (jojo uten sno) bestå av to homogene sylindefomede sikulæe skive, hve med masse m og adius. De e fobundet med et mellomstykke; en tynn sikulæ skive (sylinde) medadius(<).visebotfamassenavdentynneskiven. a) Vi anta at snella ulle på et hoisontalt undelag uten å gli. Vinkelhastigheten e ω. Skiv opp et uttykk fo den kinetiske enegien til snella nå ullingen betaktes som en otasjon om en akse gjennom massesenteet. Buk symbolene som e oppgitt (ω, mog). Kinetisk enegi e summen av en tanslatoisk kinetisk enegi og en otasjonsenegi. Om massesenteet vil disse bidagene væe: E k --Mv cm + --I cm ω Men total masse e lik m (m e massen til ene halvpaten av jojoen). Videe e de to stoe delene av jojoen sylindefomet, og desom vi se fo oss otasjonen skje om massesenteet, e teghetsmomentet fo hve av sidene av jojoen I cm, enside --m. Det totale teghetsmomentet bli to gange dette. Da følge: E k -- ( m)v cm -- --m + ω mv cm + --m( ω) Men ved en ulling vil massesenteets hastighet væe knyttet til otasjonshastigheten gjennom: v cm ω Følgelig få vi: FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 7 E k --m( ω) Viantanåatenmasseløssnoeviklet undt mellomstykket (som en jojo). Vi vil analysee bevegelsen av denne nå vi tekke i snoa, men det kan væe vanskelig å agumentee fysisk fo hvilken etning fiksjonskaften f ha. La oss defo anta at den ha en etning som vist på figuen. Vi kan da egne oss fam til et analytisk uttykk fo f. Desom svaet e positivt, vise det at etningen vi tegnet inn e iktig, men desom f e negativ, vise det at inntegnet etning fo fiksjonskaften e motsatt av den vi tegnet inn. b) Sett opp te likninge som tilsammen beskive den angitte bevegelsen til jojoen nå vi da i snoa som angitt i figuen (snoa gå ut hoisontalt, i ovekant av mellomstykket). Anta at vi ha en ulling. Det e te velkjente lovmessighete fo ullende bevegelse:. Massesenteloven (Newtons. lov fo stive legeme) som sie at akseleasjonen til massesenteet til et stivt legeme e lik total yte kaft som vike på legemet dividet på legemets masse. Vi kan dekomponee og buke loven på hvilken som helst etning. I våt tilfelle føe dette til (fo kefte og bevegelse i hoisontal x-etning ) nå bevegelse til høye egnes som positiv: F f ( m)a cm () He e det foutsatt at fiksjonskaften f (desom f senee vise seg å væe positiv) vike mot venste.. Spinnsatsen, som sie at den tidsdeivete av spinnet til et stivt legeme (spinn i fohold til et visst punkt) e lik kaftmomentet som vike på legemet. Vi betakte spinn Iω og kaftmoment τ om massesenteet (en tenkt akse gjennom jojoen vinkelett på sideflatene), og få da: τ cm I cm α hvo α e vinkelakseleasjonen. Innsatt fo støelsene vi ha, og nå otasjon mot med uviseen egnes som positiv (som på figuen), få vi: F + f --m α (). ullebetingelsen: Massesenteet foflytte seg med en tanslatoisk hastighet lik vinkelhastigheten multipliset med adien. Kan gjene state med å se på hvo langt jojoen vil flytte seg hoisontalt nå vi ulle den en vinkel θ. Lengden av den delen av peifeien av jojoen som da ha væt i kontakt med undelaget unde otasjonen, e lik hoisontal foflytning x til jojoen. FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 8 Heav: x θ (nå vinkelen e gitt i adiane). Dividee vi denne likningen med en tid t som e gått med på deiningen, og gå til gensevedien fo liten delta t, få vi: v cm ω Deivee vi denne elasjonen enda en gang, få vi: a cm α () c) Beegn fiksjonskaften f uttykt ved F, m, og. Hvilken vei vike egentlig fiksjonen? Sette vi inn likning () inn i likning (), og ydde litt opp, få vi: Fa likning () ha vi at: F + f m α m a cm ------- ma cm F + f ma cm ----------------- f + -- F ma cm --F --f Buke vi de to siste uttykkene fo å eliminee akseleasjonen, få vi: f + -- F --F --f --f -- -- F f -- -- -- F Vi ha da funnet et uttykk fo fiksjonskaften elativt til den kaften vi tekke i snoa med. Vi se av uttykket at desom -- -- > hvilket e identisk med > --, vil fiksjonskaften f bli negativ. Det bety at nå det lille mellomstykket (stanga som holde jojoen sammen) få en adius støe enn halvpaten av adien til skivene som elles danne jojoen, vil fiksjonskaften peke motsatt etning av hva som e tegnet inn i figuen. Fo < -- ette hvet som avta. Fo vil fiksjonskaften ha den etningen som e angitt i figuen, og fiksjonskaften øke bli fiksjonskaften lik null. FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 9 d) Gjennomfø de samme abeidsoppgavene beskevet i punkt b) og c) også fo det tilfellet at snoa løpe ut hoisontalt fa undesiden av mellomstykket (se figu til høye). Av likningene () - () ovenfo, e det bae () som ende seg nå snoa løpe ut hoisontalt på undesiden (el. til ovesiden). Den endede likningen bli (siden F nå vil bida til et deiemoment i motsatt etning enn i stad): F + f --m α ( ) Vi se at støelsen bae inngå i likning ( ) (og tidligee ()), og at det ene stedet den foekomme inngå den i et uttykk F i likning () og -F i likning ( ). Vi kan da ett og slett buke tidligee utegning fo å finne fiksjonskaften (fo snoa i ovekant av mellomstykket), og estatte med - i dette uttykket fo å finne fiksjonskaften nå snoa gå ut i undekant. Heav få vi fiksjonskaften nå snoa gå ut i undekant av mellomstykket: f -- -- + -- F Vi se at dette uttykket vise at fiksjonskaften nå alltid vil ha den etningen som vist på figuen. e) (Dette punktet kan besvaes på flee måte. En kan ta utgangspunkt i sva på punkt b, c og d ovenfo, men det e mulig å komme fam enda askee uten å buke tidligee sva. Hopp ove oppgaven desom du ikke askt se hvodan du skal løse den, elles kan du lett kaste bot vedifull tid!) Anta at vi state med jojoen i o, med snoa ut hoisontalt i undekant av mellomstykket, og at vi tekke i snoa med en konstant kaft F i en kot tid t. Anta at vi gjø nøyaktig tilsvaende nå snoa folate jojoen hoisontalt i ovekant av mellomstykket. Fo hvilket av disse to tilfellene vil jojoen bli tilføt støst kinetisk enegi? (Utegninge e ikke nødvendig.) Den askeste måten å komme til konklusjonen he e kanskje å betakte deiemomentet snokaften ha om beøingspunktet mellom jojo og undelag. Fiksjonskaften ha ikke noe deiemoment om dette punktet. Da se vi at med snoa i ovekant av mellomstykket, vil deiemomentet bli støe enn desom snoa gå ut i undekant. Det bety at jojoen få en støe vinkelakseleasjon hele tiden kaften vike nå snoa gå ut ove enn unde. Siden vinkelakseleasjon e poposjonal med lineæ akseleasjon ved en ulling, og kinetisk enegi både bestå av tanslatoisk kinetisk enegi og otasjonsenegi, følge det da at kaften vil gi støe kinetisk enegi nå snoa gå ut i ovekant av mellomstykket enn nå den gå ut i undekant. FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 0 Det gå an å egne seg fam til svaet også. En imelig ask måte e å buke uttykkene ovenfo fo å egne ut akseleasjonen til systemet. Da finne vi at akseleasjonen e støe nå snoa gå ut i ovekant enn i undekant fo en gitt F. SidenF vike samme tid i begge tilfellene, få vi igjen støst kinetisk enegi nå snoa gå ut i ovekant. f) (elativt vanskelig oppgave. Løs gjene enklee oppgave føst.) etningen på snoa danne nå en vinkel φ med loddlinjen (se figu). Vi tekke i snoa med en kaft F (F < mg). Bestem vinkelakseleasjonen α nå vi som fø anta at snella ulle uten å gli. Døft esultatet fo ulike vedie av φ. Denne oppgaven likne svæt på den vi hadde fo hoisontal sno i undekant av mellomstykket. Foskjellen mellom det likningsettet som ble bukt da, og det som gjelde fo vå nye system, e bae at den hoisontale komponenten av F nå bli F sin Φ. Likningsystemet bli nå: Fsinφ f ( m)a cm ( ) F + f --m α ( ) a cm α ( ) Disse kan løses ette samme lest som foige gang, men siden vi nå skal fam til et uttykk fo vinkelakseleasjonen, kan det væe lut å eliminse fiksjonskaften denne gang: f Fsinφ ma cm Fsinφ mα (fa ( ) og ( )) f mα + F -- (fa ( )) Heav: Fsinφ mα mα + F -- α ---------- sinφ m -- F FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side Vi se at vinkelakseleasjonen kan bli støe elle minde enn null alt ette hvilken vinkel vi da i snoa med. Desom φ > acsin--, vil vinkelakseleasjonen bli positiv. Slik vi ha definet omdeiningshastighete, bety det at fo stoe vinkle (snoa temmelig hoisontalt) vil jojoen bevege seg mot høye. Men fo φ < acsin -- vil vinkelakseleasjonen væe negativ, hvilket bety at jojoen vil bevege seg mot venste! Desom φ acsin-- vil vinkelakseleasjonen væe lik null, det vil si at jojoen ikke vil bevege seg i det hele tatt. Dette kan du pøve ut selv! Vinkelen φ acsin-- tilsvae at en linje i folengelsen av snoa vil gå gjennom beøingspunktet mellom jojo og undelaget. Oppgave 4 Inetialsystemene S og S e knyttet sammen med Loentz-tansfomasjonene: x' -------------------------- x vt, y' y, z' z, t' v c t vx c -------------------------- v c a) Hvodan bevege de to systemene seg [i fohold] til hveande? Lag e skisse. Systemene S og S ha felles x-akse, og y og z-aksene i de to systemene e alltid paallelle med hveande (pavis). De to systemene ha en hastighet i fohold til hveande lik v (S bevege seg mot positiv x-vedi i S med hastigheten v). I fomlene ovenfo e det foutsatt at oigo til de to systemene passete hveande ved tiden t t 0. [Skisse komme i en senee utgave av dette løsningsfoslaget.] b) Einsteins tid og om e noe foskjellig fa Newtons tid og om. Ta utgangspunkt i systemenesogs ogfotellkot noen kaakteistiske tekk mhp tid og om som skille modellene til Einstein og Newton. (Det e den spesielle elativitetsteoien vi snakke om, den som ble omtalt i pensum.) Newton (og Galileis) oppfattet tid og om som om disse va helt uavhengig av hveande. ommet ble beskevet ved et tedimensjonalt koodinatsystem, og lengdefoskjelle ble oppfattet som entydige, uansett hvilket koodinatsystem vi høte til. Tiden fløt i egen tyngde helt uavhengig av ommet, og foskjelle i tid va igjen entydig og uavhengig av efeansesystem. En følge av denne måten å betakte tid og om på, va at f.eks. lyshastigheten ville avhenge av FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side hvilket teghetssystem vi betaktet lyset i. Elle sagt på en annen måte, ville lyshastigheten avhenge av lyskildens hastighet i fohold til obsevatøen. Einstein state ut med at lyshastigheten i vakuum skal væe den samme i alle systeme, og uavhengig av lyskildens hastighet i fohold til obsevatøen. Fo å få det til, måtte han koble tid og om. Innenfo ett og samme teghetssystem, e foskjelle i lengde og foskjelle i tid akkuat som vi e vant med fa Newtons bilde, men nå vi sammenlikne lengde og tidsfoskjelle fa et teghetssystem til et annet, vil vi se at lengde målt i ett system ikke nødvendigvis bli de samme som lengde målt i et annet system. To hendelse som e samtidige i ett system, vil ofte ikke væe samtidige i et annet system. Fo enhve hendelse i Einsteins veden må vi samtidig angi omlige koodinate og tid målt på dette stedet. Ved en fievektobeskivelse kan en tansfomee fa ett system til et annet. En patikkel bevege seg langs x-aksen i S med hastigheten u. c) Vis med utgangspunkt i Loentz-tansfomasjonene at patikkelen elativt til S bevege seg langs x -aksen med hastigheten u' u v ----------------------- uv c Vi state med Loentz-tansfomasjonene. System S og S beveges seg med hveande med en hastighet v. Hastigheten til patikkelen i S va u x u., det vil si at patikkelen kan antas å væe i felles oigo ved tiden tt 0, men e så ved posisjon dx ved tiden dt ettepå i S, og ved posisjon dx og tiden dt is. Hastigheten i S e definet ved: u x ' -------------------------- dx vdt ------ dx' v c ---------------------------- dt' dt vdx c ---------------------------- v c dx vdt ---------------------------- dt vdx c Vi dividee nå med dt i både telle og nevne, og få: dx ----- v dt u x ' -------------------- v ---- dx ----- dt c u v -------------- uv ----- c Hvilket va det vi skulle vise. To patikle (, ) bevege seg mot hveande langs x-aksen i S med hastighete u -u c/. d) Bestem hastigheten u til patikkel i det inetialsystemet S de patikkel e i o. FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side He vil S følge patikkel, og S vil defo bevege seg med c/mothøye(mothøyeex-vedie). I fomelen ovenfo tilsvae dette at vc/. Patikkel ha hastigheten u x -c/ i fohold til S. Sette vi inn i uttykket ovenfo, finne vi da: -- c c -- u v u' ----------------------- ---------------------------- c uv c c + -- ----------- c + -- 4 4 --c 5 (Siste del av denne oppgaven vil antakelig mange oppfatte som vanskelig:) Vi betakte to patikle i et inetialsystem S og angi noen hendelse i dette systemet: Patikkel hadde ved tiden t t koodinatene (f,0,0) og patikkel hadde ved samme tid koodinatene (g,0,0). En litt senee tid t t kollidee patiklene med hveande i et punkt (h,0,0). f, g og h e eelle tall, og f og g e foskjellige. Hendelsene kan også betaktes i et system S hvo patikkel e i o (i det minste mellom føste tid-posisjon-angivelse og fam til kollisjonen mellom patiklene). e) Hendelsene som e angitt kan danne gunnlaget fo å vise hva vi mene med lengdekontaksjon og tidsdilatasjon. Fokla hvodan dette kan gjøes (kvalitative angivelse e tilstekkelige). Fo alle fysiske elasjone i tid og om e det diffeanse i tid og/elle diffeanse iomsome av inteesse. Vi kan defo skyve på oigo som vi vil, og state tidtaking på ny som vi vil, f.eks. slik at tiden state nå oigoene fo S og S falle sammen. I så fall kan de te hendelsene ovenfo angis som følge: Hendelse A: Patikkel ha koodinatene (0,0,0,0) (siste e tiden) i S, (0,0,0,0) i S. Hendelse B: Patikkel ha koodinatene (x,0,0,0) i S, (x,0,0,t ) i S. Hendelse C: Patikkel og kollidee i (0,0,0,t 4 )is og (0,0,0,t 5 ) i S. He e xg-f,ogt 4 t -t. S bevege seg med en hastighet v (h-f)/(t -t ). Oppgaven sie ikke eksplisitt at patikkel bevege seg med konstant hastighet i S, mendetmåviantafoat S skal væe en inetialsystem. Lengdekontaksjon Hvodan komme så lengdekontaksjon inn i denne sammenheng? Det kan tenkes flee måte å angipe dette på, f.eks. som følge: Hendelse A og B epesentee måling av en lengde (avstand mellom to patikle ved samme tid). Vi kan tenke oss at det faktisk ligge en stav langs x-aksen i S som ha denne lengden. Hvo sto e denne avstanden målt i S? Poblemet e at hendelse A og B skje ved ulik tid i S. Skal vi i S måle lengden av den tenkte staven som ligge i o i S, må vi til med en fjede hendelse: FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag
Side 4 Hendelse D: Et flash i enden på tenkt stav, samtidig i S med at stavens ande ende e i oigo. Koodinate: (x,0,0,t 6 )is og (x,0,0,0) i S. Lengdekontaksjonen e da gitt ved x /x. Fa de invese Loentz-tansfomasjonene finne vi fo hendelse 4: x -------------------------- x' vt' x ' ( v 0) -------------------------- v c v c x ' -------------------------- v c Vi se altså at stavens lengde, slik den måles i S e v c gangelengdenmåltis. Den tenkte staven som ligge i o i S ha egenlengden lg-f, men vil alstå synes å væe kotee i S. Det kan bemekes at hendelse 4 tansfomet ove i S gi oss iktig x-vedi, men at tiden e foskjellig fa det tidspunktet at ande enden av staven ble målt. Men siden staven ligge i o i S, vil vi kunne måle endepunktet også ved en annen tid og få samme esultat. Tidsdilatasjon Hvilke hendelse skal vi så velge ut fo å illustee tidsdilatasjon? Det kan væe natulig å velge tiden mellom føste posisjonsmåling av patikkel og kollisjonen. I S vil begge disse hendelsene skje på samme sted, men i S vil hendelsene skje på foskjellig sted. Tidsfoskjellen målt i S kalles da egentiden. Vi ta igjen utgangpunkt i en av de invese Loentz-tansfomasjonene, og buke symbolene gitt fo hendelse C ovenfo, og få: ( v 0) t' vx' c t 5 ' -------------- t 4 -------------------------- c -------------------------- v c v c t 5 ' -------------------------- v c He se vi at tiden mellom de to hendelsene målt i S de hendelsene ikke skje på samme sted, e lik egentiden t 5 dividet å enn i S. v c. Med ande od gå tiden tilsynelatende fotee i S Men e det egentlig iktig å tekke ut en tidsfoskjell mellom hendelse A og C i S nå hendelsene ikke skje samme sted? Slik Einstein valgte å bygge opp teoien, e det meningsfylt å ta den aktuelle tidsfoskjellen, siden alle klokke i ett og samme inetialsystem e synkone. Det bety at klokka som va på det stedet hvo kollisjonen mellom patikkel og fant sted, vise det samme som klokka som e plasset de hvo patikkel va ved hendelse A. Dette foslaget til løsningsfoslag e et eksempel på hvodan punkt e kan løses, men det finnes opplagt mange ande måte å løse oppgaven på, - og det e unødvendig å ha med de konkete uttykkene. Poengene: Endepunktene fo en lengde i o kan måles ved to ulike tidspunkt må væe med nå lengdekontaksjon diskutees, og Tid målt ved ulike posisjone kan væe meningsfylt pga synkone klokke bø væe med nå tidsdilatasjon diskutees. FY-ME00 eksamen våen 00: Løsningsfoslag