Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler 8 Læreplanmål for P-Y og P lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendinger og gjøre rede for begrepet sannsynlighet beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger Læreplanmål for T formulere, eksperimentere med og drøfte uniforme og ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen

. Forsøk og simuleringer Oppgave.0 I perioden fra 950 til 0 ble det født 3 8 330 barn i Norge. Det ble født 79 358 jenter og 894 97 gutter. a) Hva er etter dette sannsynligheten for at et barn som blir født er ei jente? Antall jenter født Antall barn født P(jenter) 0,48 = 79 358 3 8 330 0,48 b) Hva er sannsynligheten for at det er en gutt? Antall gutter født Antall barn født P(gutter) 0,54 = 894 97 3 8 330 0,54 Oppgave. a) Simuler 000 terningkast digitalt. Åpne CAS i GeoGebra, skriv inn uttrykket og trykk enter: Sum[Dersom[TilfeldigMellom[,]=,,0],x,,000] = - antall -er 000 - antall kast b) Hvor mange seksere fikk du? Jeg utførte forsøket 0 ganger og fikk: 03, 985, 053, 05, 0, 04, 95, 000, 04, 03. I gjennomsnitt blir det: 0 Hvis alt var perfekt skulle vi fått 000 hver gang da: 000 c) Hvor stor andel av kastene gav sekser? = 000 0 000 0,9 P(seksere) 0,9 Geir Granberg SEP0

Oppgave.3 a) Finn ut hvordan du kan simulere myntkast digitalt. Her er en ferdiglaget simulering av myntkast i GeoGebra: http://tube.geogebra.org/m/qkqigu Legg merke til at når simuleringen utføres mange ganger nærmer vi oss like mange krone som mynt. I virkeligheten er nok dette ikke riktig da mynten har ulike volum på de to sidene (myntpreget er kraftigere på den ene siden). Sum[Dersom[TilfeldigMellom[,]=,,0],x,,000] = i ønsker svaret i antall -er (La oss her si at "" er krone) 000 - antall myntkast som utføreres b) Simuler 000 myntkast og finn ut hvor mange av kastene som gav krone. Åpne CAS i GeoGebra, skriv inn uttrykket fra oppgave a) og trykk enter: Jeg utførte forsøket 0 ganger og fikk: 043, 973, 98, 00, 988, 987, 987, 04, 994, 97 I gjennomsnitt blir det: 99 Hvis alt var perfekt skulle vi fått 000 hver gang da: 000 = 000 c) Hvor stor andel av kastene gav krone? 99 000 0,498 P(krone) 0,498 Geir Granberg SEP0

. Sannsynlighet Oppgave.0 i kaster en terning. a) Hvor mange mulige utfall er det? Seks mulige utfall : ener, toer, treer, firer, femer eller sekser. b) Finn sannsynligheten for å få en treer. P(et utfall) = antallet mulige utfall P(treer) = Oppgave. I klassen til Mia er det i alt 5 elever. Læreren trekker tilfeldig ut en elev som hun vil høre i leksa. a) Hvor mange mulige utfall er det? Det er 5 elever og bare en blir trukket ut. 5 mulige utfall. b) Hvor stor sannsynlighet er det for at Mia blir hørt? P(Mia blir hørt) = Antall Mia r Antall elever = 5 Oppgave. I en kartong med egg er det ett egg som er råttent. i velger tilfeldig ett av eggene. a) Hvor mange mulige utfall har vi? egg gir mulige utfall. b) Finn sannsynligheten for at vi trekker det råtne egget. P(råtent egg) = Antall råtne egg Antall egg = 3 Geir Granberg SEP0

Oppgave.3 I et lotteri er det igjen 50 lodd og 7 gevinster. a) Finn sannsynligheten for å vinne når du kjøper ett lodd. Gunstige utfall som gir gevinst : 7 P(gevinst) = Antall gunstige utfall Antall mulige utfall = 7 50 b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne. Gunstige utfall som ikke gir gevinst : 50 7 = 43 P(ikke gevinst) = Antall gunstige utfall Antall mulige utfall = 43 eller (ikke gevinst) = P(gevint) = 7 = 43 50 50 50 Oppgave.4 I klassen til Mia er det 5 elever. Av dem er det 0 jenter. Læreren trekker tilfeldig en elev som hun vil høre i lekse. Finn sannsynligheten for at det blir ei jente. P(jente) = Antall gunstige utfall Antall mulige utfall = 0 5 = 3 Oppgave.5 i trekker et kort fra en vanlig kortstokk med 5 kort som er godt blandet. a) Hvor mange ruter er det stokken? Det er 3 ruter () i kortstokken. b) Finn sannsynligheten for at vi trekker en ruter. P(ruter) = Antall gunstige utfall Antall mulige utfall = 3 5 = 4 c) Hvor mange honnørkort er det i stokken? (Et honnørkort er ess, konge, dame eller knekt.) i har fire ulike farger () og fire ulike typer honnørkort : 4 4 = honnørkort d) Finn sannsynligheten for at vi trekker et honnørkort. 4 Geir Granberg SEP0

P(honnørkort) = Antall gunstige utfall Antall mulige utfall = 5 = 4 3.3 Sum av sannsynligheter Oppgave.30 I et lotteri med 0 000 lodd er det to typer gevinster. av loddene gir gevinst A, og av loddene gir gevinst B. 40 00 A B Gevinst A Gevinst B inne en gevinst Ikke vinne en gevinst "union" (DEN ELLER DEN) a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd. P() = P(A B) = P(A) + P(B) = 40 + 00 = 5 00 + 00 = 7 00 b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne. P( ) = P() = P() = 7 00 = 93 00 ALLE LODD = 5 Geir Granberg SEP0

Oppgave.3 I et lotteri med 000 lodd er det tre typer gevinster. av loddene gir gevinst A, gir gevinst B, og av loddene gir gevinst C. 0 50 00 A B C Gevinst A Gevinst B Gevinst C inne en gevinst Ikke vinne en gevinst "union" (DEN ELLER DEN) a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd. P() = P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0 + 50 + 00 = 5 00 + 00 + 00 = 8 00 = 5 b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne. P( ) = P() = P() = 5 = 3 5 Oppgave.3 Sannsynligheten for at ei tilfeldig valgt jente har hatt kyssesyke, er 0,0. Sannsynligheten for at hun har hatt sykdommen mykoplasma, er 0,5. Sannsynligheten for at hun har hatt begge sykdommene, er 0,08. a) Finn sannsynligheten for at hun har hatt minst én av sykdommene. K M KM P(K M) Kyssesyke (infeksjon som forårsakes av Epstein-Barr viruset) Mykoplasma (bakterier uten stiv cellevegg som forårsaker lungebetennelse) Både kyssesyke og mykoplasma Har hatt begge sykdommene "snitt" (DEN OG DEN) "union" (DEN ELLER DEN) 0,0 0,08 0,5 P(K M) = P(K) + P(M) P(K M) = 0,0 + 0,5 0,08 = 0,7 b) Finn sannsynligheten for at hun ikke har hatt noen av dem. P(K M) = P(K M) = 0,7 = 0,73 K M K M 0,73 0,7 Geir Granberg SEP0

Oppgave.33 På skolen til Nina er det 450 elever. Det er 50 elever som er skiløpere, og 80 elever som er fotballspillere. Det er 30 elever som både går på ski og spiller fotball. a) Lag en krysstabell som viser situasjonen. Skiløpere IKKE skiløper Sum Fotballspillere 30 50 80 IKKE fotballspiller 0 350 370 Sum 50 400 450 De grønne fete tallene er hentet fra oppgaveteksten. Legg merke til at alle rader er summert til høyre og alle kolonner er summert nede. b) Hvor mange elever er det som går på ski eller spiller fotball? A A B B Ski 30 Fotball 50 30 80 : "snitt" (DEN OG DEN) enndiagrammet til høyre viser at det er 50 som spiller fotball minus 30 som også går på ski og at det er 80 som går på ski minus 30 som også spiller fotball. 0 + 30 + 50 = 00. Det er 0 + 30 + 50 = 00 elever som går på ski eller spiller fotball (eller begge deler). c) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går på ski eller spiller fotball. P(tilfeldig valgt elev går på ski eller spiller fotball) = 00 450 = 9 Oppgave.34 I en klasse er det 30 elever. En dag fikk de tilbake prøver i norsk og matematikk. elever fikk karakteren 5 i matematikk, og 7 fikk karakteren 5 i norsk. Av disse fikk 3 elever 5 i begge fagene. a) Lag et venndiagram som viser fordelingen av karakteren 5 på de to fagene. : "snitt" (DEN OG DEN) A A B B 3 Matematikk Norsk 3 7 7 Geir Granberg SEP0

b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fikk 5 i minst ett av fagene. Det er 3 + 3 + 4 = 0 elever som karakteren 5 i matematikk eller norsk (eller begge deler). P(for at en elev fikk 5 i minst ett av fagene) = 0 39 = 3 c) Finn sannsynligheten for at eleven ikke fikk 5 i noen av fagene. P(karakteren 5) = P(karakteren 5) = 3 = 3 Oppgave.35 På slappfisken videregående skole er det innført leksehøring i alle fag. Hver dag blir noen elever trukket ut for høring. Anne har funnet ut at sannsynligheten for å bli hørt i engelsk en tilfeldig valgt dag er 0,3. Sannsynligheten for å bli hørt i naturfag er 0,. Sannsynligheten for å bli hørt i begge fagene er 0,05. Anne innfører disse hendingene: A : Jeg blir hørt i engelsk B : Jeg blir hørt i naturfag : "snitt" (DEN OG DEN) : "union" (DEN ELLER DEN) a) Hva er P(A), P(B) og P(A B)? P(A) = 0,3 P(B) = 0, P(A B) = 0,05 A A B B 0,05 Engelsk Naturfag 0,3 0,05 0, b) Finn P(A B). Forklar med ord hva du nå har funnet. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0,3 + 0, 0,05 = 0,45 Sannsynligheten for å blir hørt i enten engelsk eller naturfag er 0,45. 8 Geir Granberg SEP0

.4 Multiplikasjonsprinsippet Oppgave.40 På et spørreskjema er det to spørsmål. Til det første spørsmålet er det satt opp tre svaralternativer, og til det andre spørsmålet er det satt opp fem svaralternativer. Hvor mange svaralternativer fins det? 3 5 = 5 svaralternativer Oppgave.4 Menyen på Ronnys kafé forteller at vi kan velge mellom fire forretter, seks hovedretter og fem desserter. Kari skal spise en forrett, en hovedrett og en dessert. Hvor mange forskjellige kombinasjoner har hun å velge mellom? 4 5 = 0 ulike kombinasjoner Oppgave.4 I denne oppgaven regner vi at jente og gutt er like sannsynlig utfall ved en fødsel. a) Hvor mange kombinasjoner av gutt og jente er det når vi får to barn? Husk at det her er spørsmål om rekkefølgen. = 4 ulike kombinasjoner "gutt gutt" "gutt jente" "jente gutt" "jente jente" b) Finn sannsynligheten for å få to jenter. "jente jente" antall kombinasjoner = 4 = Det er kun én mulighet til å få to jenter c) Hvor mange kombinasjoner av gutt og jente er det når vi får tre barn? 3 = 8 ulike kombinasjoner = gutt eller jente 3 = antall barn d) Finn sannsynligheten for å få tre jenter. jente jente jente antall kombinasjoner = 8 = Det er kun én mulighet til å få tre jenter 9 Geir Granberg SEP0

Oppgave.43 i kaster en terning fire ganger. a) Hvor mange mulige utfall er det? 4 = 9 Én terning har seks sider () og denne blir kastet (4) ganger b) Finn sannsynligheten for å få sekser alle de fire gangene. Antall seksere Antall mulige utfall = 9 Oppgave.44 i kaster en mynt fem ganger. Finn sannsynligheten for at vi får krone alle fem gangene. Antall mulige utfall 5 = 3 Sannsynligheten for å få krone alle fem gangene 3.5 Uavhengige hendinger Oppgave.50 i kaster en tikrone to ganger og vil finne sannsynligheten for kombinasjoner av mynt og krone. a) Lag et valgtre som viser kombinasjonene. K M K M K M b) Finn sannsynligheten for å få krone begge gangene. P(krone begge gangene) = P(K K) = = 4 i følger den ubrutte blå linjen og multipliserer verdiene langs denne linja. 0 Geir Granberg SEP0

c) Finn sannsynligheten for å få mynt begge gangene. P(mynt begge gangene) = P(M M) = = 4 i følger den hele rød linjen og multipliserer verdiene langs denne linja. d) Finn sannsynligheten for å få én krone og én mynt. P(K M) (K M) = ( ) + ( ) = 4 + 4 = 4 = 0 0 i legger sammen de to multiplikasjonene langs linjene for krone og mynt. 0 0 Oppgave.5 i kaster en terning to ganger og vil finne sannsynligheten for seksere. a) Lag et valgtre med mulighetene. 5 5 5 b) Finn sannsynligheten for å få to seksere. P( to seksere) = = 3 i følger den ubrutte oransje linjen og multipliserer verdiene langs denne linja. c) Finn sannsynligheten for å ikke få noen seksere. P( ingen seksere) = 5 5 = 5 3 i følger den ubrutte lyse blå linjen og multipliserer verdiene langs linja. d) Finn sannsynligheten for én sekser. P( én seksere) = ( 5 ) + ( 5 ) = 5 3 + 5 3 = 0 3 = 5 8 Geir Granberg SEP0

Oppgave.5 I et lotteri er sannsynligheten 0 for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. i kjøper to lodd. 0 9 0 0 9 0 0 9 0 a) Finn sannsynligheten for å vinne på begge loddene. P(vinne på begge lodd) = P( ) = 0 0 = 400 i følger den ubrutte grønne linjen og multipliserer verdiene langs linja. b) Finn sannsynligheten for å ikke vinne på noen av loddene. P(ikke vinne) = P( ) = 9 9 = 3 0 0 400 i følger den ubrutte røde linjen og multipliserer verdiene langs linja. c) Finn sannsynligheten for å få én gevinst. Én gevinst og bare én gevinst! P()(én gevinst) = (( ) ( )) = ( 0 9 0 ) + ( 0 9 0 ) = 9 400 + 9 400 = 38 400 = 9 00 Oppgave.53 i kaster tre terninger. i går ut ifra at terningene har seks sider. a) Finn sannsynligheten for at alle terningene viser partall. P(partall) = 3 3 3 = 7 = 8 b) Finn sannsynligheten for at det blir ingen seksere. P(ingen seksere) = 5 5 5 = 5 Geir Granberg SEP0

c) Finn sannsynligheten for å få minst én sekser. P(minst én sekser) = P(ingen seksere) = 5 = 9 Oppgave.54 Et ektepar har tre barn. I denne oppgaven er sannsynligheten 0,54 for å få en gutt. a) Lag et valgtre som viser alternativene. 0,54 0,48 G J. Barn 0,54 0,48 0,54 0,48 G J G J. Barn 0,54 0,48 0,54 0,48 0,54 0,48 0,54 0,48 G J G J G J G J 3. Barn b) Finn sannsynligheten for at alle tre er gutter. P(tre gutter) = (G G G) = 0,54 0,54 0,54 = 0,54 3 0,358 0,3 c) Finn sannsynligheten for at de har to gutter og ei jente. P(tre gutter) = (G G J) (G J G) (J G G) = (0,54 0,54 0,48) + (0,54 0,48 0,54) + (0,48 0,54 0,54) 0,84 3 0,385 0,385 d) Finn sannsynligheten for at de har minst ei jente. P((G G J) (G J G) (G J J) (J G G) (J G J) (J J G) (J J J)) = (0,54 0,54 0,48) + (0,54 0,48 0,54) + (0,54 0,48 0,48) + (0,48 0,54 0,54) + (0,48 0,54 0,48) + (0,48 0,48 0,54) + (0,48 0,48 0,48) 0,84 0,84 eller... P(minst ei jente) = P(tre gutter) = 0,3 = 0,84 3 Geir Granberg SEP0

Oppgave.55 I et lotteri er sannsynligheten for å vinne på et tilfeldig valgt lodd lik 0,. i kjøper tre tilfeldige valgte lodd. a) Lag et valgtre. 0, 0,8. Lodd 0, 0,8 0, 0,8. Lodd 0, 0,8 0, 0,8 0, 0,8 0, 0,8 3. Lodd b) Finn sannsynligheten for at vi vinner på alle loddene. P( ) = 0, 0, 0, = 0, 3 = 0,008 c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig ett lodd. P (( ) ( ) ( )) = (0, 0,8 0,8) + (0,8 0, 0,8) + (0,8 0,8 0,) = 0,8 3 = = 0,384 d) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner. P( ) = 0,8 0,8 0,8 = 0,8 3 = 0,5 e) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd. P (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) = (0, 0,8 0,8) + (0,8 0, 0,8) + (0,8 0,8 0,) + (0,8 0, 0,) + (0, 0,8 0,) + (0, 0, 0,8) + (0, 0, 0,) = 0,488 eller... P(vinner på minst ett lodd) = P(ikke vinner) = 0,5 = 0,488 4 Geir Granberg SEP0

. Avhengige hendinger Oppgave.0 I et lotteri er det tjue lodd igjen. Det er gevinst på fire av disse loddene. i kjøper to lodd. a) Finn sannsynligheten for at vi vinner på begge loddene. 4 3 = = 3 0 9 380 95 Først er det 4 vinnerlodd og 0 lodd totalt. Så er det igjen 9 lodd der 3 er vinnerlodd. i multipliserer disse sannsynlighetene og forkorter svaret. b) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner på noen lodd. 5 = 40 = 0 9 380 9 Først er det lodd uten gevinst av 0 lodd totalt. Så er det igjen 9 lodd hvorav 5 uten gevinst. i multipliserer disse sannsynlighetene og forkorter svaret. c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd. P(vinner på minst ett lodd) = (Ikke vinner) = 9 = 7 9 Oppgave. I en klasse er det tolv jenter og atten gutter. i trekker tilfeldig to elever. a) Finn sannsynligheten for at vi trekker to jenter. = 3 = 30 9 870 45 Det er totalt 30 elever, jenter og 8 gutter. Når vi har trukket jente er det igjen og elevtallet synker med en til 9. b) Finn sannsynligheten for at vi trekker to gutter. 8 7 = 30 = 5 30 9 870 45 Det er totalt 30 elever, 8 gutter og jenter. Når vi har trukket gutt er det 7 igjen og elevtallet synker med en til 9. c) Finn sannsynligheten for at vi trekker minst ei jente. 5 45 = 94 45 d) Finn sannsynligheten for at vi trekker ei jente og en gutt. Sannsynligheten(P) for (Gutt og Jente) eller (Jente og Gutt) P((G J) (J G)) = ( 8 ) + 30 9 ( 8 ) = + = 43 = 7 30 9 870 870 870 45 Gutt først og så jente eller jente først så gutt 5 Geir Granberg SEP0

Oppgave. I ei skål ligger det 0 sjokolader som er pakket inn i nøytralt papir. Det er fire sjokolader som Anne og Per liker, og seks som ingen av dem liker. De trekker tilfeldig hver sin sjokolade. Anne trekker først. a) Lag et valgtre der du skriver på alle de aktuelle sannsynlighetene. 4 0 0 ANNE L L 3 9 9 4 9 5 9 PER L L L L b) Finn sannsynligheten for at begge trekker en sjokolade som de liker. P(trekker en sjokolade som begge liker) = 4 0 3 9 = 90 = 5 i følger den heltrukne blå linjen c) Finn sannsynligheten for at ingen av dem trekker en sjokolade som de liker. P(ingen trekker en sjokolade som de liker) = 0 5 9 = 30 90 = 3 i følger den heltrukne rød linjen d) Finn sannsynligheten for at Per trekker en sjokolade som han liker. P ((L L) (L L)) = ( 4 0 3 9 ) + ( 0 4 9 ) = 90 + 4 90 = 3 90 = 5 i begynner nede og følger L opp mot toppen av valgtreet. Oppgave.3 i tar for oss en farlig sykdom som er vanskelig å oppdage i tide. Sannsynligheten for å oppdage den i tide er 0,0. Hvis sykdommen blir oppdaget i tide, får pasienten medisin. Sannsynligheten for å overleve er da 0,80. Hvis sykdommen ikke blir oppdaget i tide, er sannsynligheten for å overleve 0,0. a) Lag et valgtre som gir oversikt over situasjonen. 0,0 0,40 O = Oppdage O = Ikke oppdage O O L = Overleve L= Ikke overleve 0,80 0,0 0,0 0,80 L L L L Geir Granberg SEP0

b) Finn sannsynligheten for at en person som har fått denne sykdommen, overlever. P(overlever) = (P(O) P(L O)) (P(O) P(L O)) P(overlever) = (0,0 0,80) + (0,40 0,0) = 0,48 + 0,08 = 0,5 Oppgave.4 I en familie med tre barn er det ingen tvillinger. i ser bort fra skuddår og regner med at alle de 35 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager. a) Finn sannsynligheten for at de tre barna har fødselsdag på hver sin dag. 35 34 33 0,998 Først er det ingen fødselsdager som er opptatt, dermed er 35 av 35 35 35 35 dager ledige. Så er den ene dagen opptatt og det er bare 34 igjen av de 35 dagene i året osv... b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag. P(minst to av dem har fødselsdag på samme dag) = P(hver sin dag) = 0,99 = 0,008 Oppgave.5 I en klasse er det 30 elever, og ingen er tvillinger. i ser bort fra skuddår og regner videre med at alle de 35 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager. a) Finn sannsynligheten for at alle elevene har fødselsdag på hver sin dag. P(alle elever har fødselsdag på hver sin dag) = 35 35 34 35 33 35 3 35 3 35 30 35 359 35 358 35 357 35 35 35 355 35 354 35 353 35 35 35 35 35 350 35 349 35 348 35 347 35 34 35 345 35 344 35 343 35 34 35 34 35 340 35 339 35 338 35 337 35 33 35 = (35 33) 35 30 0,9383 0,94 b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag. P(minst to elever har fødselsdag på samme dag) = P(hver sin dag) = 0,94 = 0,70 7 Geir Granberg SEP0

Symboler, formler og eksempler i sannsynlighet P Sannsynlighet (eng: probability) P( ) Union «Den eller den» + (A B) Snitt «Den og den» (A B) Gitt En forutsetning (A B) Ikke Det omvendte P(A) = P(A) Den tomme mengde! Fakultet Eksempel: 5! = 5 4 3 = 0 Sannsynlighet kan presenteres som: Brøk ( ) Desimalbrøk (0,43) Prosent (4,3%) 7 Utfall / Utfallsrom: På en terning med seks sider har vi seks utfall og utfallsrommet er = {,, 3, 4, 5, } Formler: Uniform sannsynlighet: P(A) = Antall gunstige hendelser Alle mulige hendelser Addisjonssetningen: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Produktsetningen: FOR UAHENGIGE STØRRELSER P(A B) = P(A) P(B) Produktsetningen: FOR AHENGIGE STØRRELSER P(A B) = P(A) P(B A) Betinget sannsynlighet: Hendingen A : P(B A) = P(A B) P(A) P(A) = P(A) 8 Geir Granberg SEP0

Binomialkoeffisienten: ( n ) Uttales «n over k». k Brukes når rekkefølgen vi velger i ikke har betydning, ett uordnet utvalg. n er antall gjenstander og k er det antall som skal velges. Eksempel: Finn hvor mange måter det er å velge epler på når vi har 7 epler og skal velge 3 av dem. ( 7 3 ) = 7 5 3 = 0 = 35 ( n k ) = n! k!(n k)! ( 7 3 ) = 7! = 5040 = 35! uttales «fakultet» 3!(7 3)! 4 Bionomisk modell: ( n k ) pk ( p) n k p = P(A) Eksempel: i kaster en mynt der den ene siden er MYNT og den andre siden er KRON. i kaster mynten fem ganger på rad og skal finne sannsynligheten for KRON nøyaktig to ganger. De fem kastene er da uavhengige. ( n k ) = (5 ) = 5 4 = 0 = 0 Det er 0 muligheter for å få KRON nøyaktig to ganger. ( n k ) pk ( p) n k = ( 5 ) p ( p) 5 = 0 p ( p) 5 La oss si at vi gjennom uendelig mange forsøk har funnet ut at sannsynligheten for å få KRON når vi kaster mynten er er 0,50. Da blir: p = 0,50 ( n k ) pk ( p) n k = ( 5 ) 0,50 ( 0,50) 5 = 0 0,50 ( 0,50) 5 = 0,35 Sannsynligheten for å få KRON nøyaktig to ganger når vi kaster mynten fem ganger er 0,35. 9 Geir Granberg SEP0

Krysstabell: Ski IKKE ski Sum Fotball 30 50 80 IKKE fotball 0 350 370 Sum 50 400 450 enndiagram av krysstabellen over: A A B B Ski 30 Fotball 50 30 80 algtre: Dette valgtreet viser muligheten for å få krone eller mynt. BLÅ er krone og RØD er mynt. K M For å få krone to ganger etter hverandre følger vi den BLÅ ubrutte linjen og multipliserer sannsynlighetene: = 4... for å få krone to ganger på rad. K M K M algtre med verdier: I en klasse på 30 elever er det 0 som spiser fisk. 5 spiser kjøtt hvorav spiser både fisk og kjøtt. 30 Elever i klassen NEI 0,7 JA 0,33 0 0 Spiser fisk (F) NEI 0,85 JA 0,5 NEI 0,80 JA 0,0 7 3 8 Spiser kjøtt (K) FK FK FK FK 0 Geir Granberg SEP0

i kan da sette opp ett valgtre som vist i figuren over. Legg merke til at tallene horisontalt bli 30 når de summeres og at summen av sannsynlighetene på hver av grenene er. F K Leses som "ikke F og ikke K" F K Leses som "ikke F og K" F K Leses som "F og ikke K" F K Leses som "F og K" Sannsynligheten (P) for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk (F): P(F) = 0 30 = 0, Sannsynligheten (P) for at en tilfeldig elev spiser fisk (F): P(F) = 0 0 = 0,33 eller slik P(F) = P(F) = = 0,33 30 30 NEI 0,7 30 JA 0,33 0 0 Elever i klassen Spiser fisk (F) NEI 0,85 JA 0,5 NEI 0,80 JA 0,0 7 3 8 Spiser kjøtt (K) FK FK FK FK Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk og ikke spiser kjøtt: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,7 0,85 = 0,57 K F betyr at K er gitt av at F gjelder. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk men spiser kjøtt: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,7 0,5 = 0,0 K F betyr at K er gitt av at F gjelder. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser fisk men ikke spiser kjøtt: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,33 0,80 = 0,7 K betyr at K er gitt av at F gjelder. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser både kjøtt og fisk: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,33 0,0 = 0,07 K betyr at K er gitt av at F gjelder. Geir Granberg SEP0