Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at materialet ikke under noen omstendigheter benyttes til videresalg eller gis bort til andre brukere uten samtykke fra Studiekvartalet.
Kapittel 1 Derivasjon Nr. Formel Derivert/løsning (1) Konstant f (x) = K f (x) = 0 f (x) = 3 f (x) = 0 (2) Potenser f (x) = x n f (x) = n x n-1 f (x) = nx n-1 Tall eksempler: f (x) = x 3 f (x) = 3 x 3 1 f (x) = 3x 2 f (x) = -2x -3 f (x) = -3 (-2)x -3-1 f (x) = 6x -4 (3) Kjerneregel f (x) = g(x) n f (x) = n g(x) n-1 g (x) f (x) = (3x 2 3x) 2 f (x) = 2 (3x 2 3x) 2-1 (6x 3) f (x) = 2(3x 2 3x)(6x 3) (4) Produkt f (x) = g(x) h(x) f (x) = g (x) h(x) + g(x) h (x) f (x) = (3x 2 6)(2x 4) f (x) = 2 3x 2-1 (2x-4) + (3x 2 6)2 f (x) = 6x(2x-4) + (3x 2-6)2 f (x) = 12x 2 24x + 6x 2 12 f (x) = 18x 2 24x 12 (5) Kvotient f (x) = () () () f (x) = () f (x) = f (x) = () f (x) = () " f (x) = () 2
(6) Logaritme f (x) = ln x f (x) = (7) Logaritme f (x) = ln3x f (x) = ln g(x) f (x) = 3 f (x) = () g (x) f (x) = ln(2x 2 + 1) f (x) = ( ) 4x => f (x) = ( ) (8) Eksponential f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x (9) Eksponential f (x) = e g(x) f (x) = e g(x) g (x) f (x) = e 2x f (x) = e 2x 2 f (x) = 2e 2x (10) Kvadratrot f (x) = x f (x) = f (x) = 2x + x f (x) = f (x) = () => f (x) = 3
Kapittel 2 2. Grads ligninger Funksjoner ved 1. Gradslikninger Flytte tallene på ene siden av likhetstegnet og x-verdiene på andre siden. Når vi flytter ett ledd fra ene siden til andre siden av likhetstegnet så skifter vi fortegnet. Dersom vi har brøk i likningen => Multipliserer vi nevneren til brøken med alle ledd for å fjerne nevneren. Flere brøk med ulike nevner => Finne fellesnevner, og deretter multiplisere det med alle ledd og fjerner nevnerne. Tillate funksjoner: Vi kan multiplisere og dividere likningene. Finnes tre typer 2. Grads likninger 1. Likninger som inneholder x 2 og konstantledd: Eksempel: x 2-25 = 0 Samme funksjoner som 1. Gradslikninger. (x-verdiene på ene siden og tallene på andre siden av likhetstegnet) Løser likningen ved hjelp av kvadratrots regler 2. Likninger som inneholder x 2 og x: Eksempel: x 2 + x = 0 Sørge for å sette leddene lik 0. Løser likningen ved hjelp av faktoriseringsregler 3. Likninger som inneholder x 2, x og konstantledd: Eksempel: x 2 + x + 10 = 0 Sørge for å sette leddene lik 0. Løser likningen ved hjelp av ABC - Formel 4
ABC Formel x = b ± b2 4ac 2a 5
Kapittel 3 Eksponential- og logaritmelikninger Nr. Formel Løse Formel Oppgave eksempel Regel 1 lna x x lna 10 x = 6 ln ln10 x = ln6 x ln10 = ln 6 : ln10 ln10 x xln10 x = " "" x = 0,778 Regel 2 ln(a b) lna + lnb ln(5 2 x ) ln(10 10) ln10 + ln10 ln5 + ln2 x ln5 + xln2 Regel 3 ln( ) lna lnb 5 3 x = 7 :5 = ln( " " ) ln10 ln10 3 x = ln3 x = ln( 7 5 ) ln3 x ln3 = ln7 ln5 "# " = "# "# " :ln3 x = 0,31 Regel 4 e ln(a) a lnx 3 = 9 3lnx = 9 :3 lnx = 3 =>e e ln10 10 e lnx = e 3 x = e 3 Huskeregler: e 0 = 1, e 1 = e, e 2 = e 2, osv. 6
Kapittel 4 Integraler Nr. Formel Løse formel Formel 1 ax dx a xn+1 + C 3x = 3 x + C = x 3 + C Formel 2 ( 1 x )dx ln x + C 1 x + 6 dx 1 ( x + a )dx ln (x + a) + C = ln [x + 6] + C = ln(x + 6) + C Formel 3 (e ) dx e x + C e dx (e " )dx 1 a e" + C = e + C = + C Formel 4 (lnx) dx xln x x + C Formel 5 (Bestemte integraler) f x dx f (b) f (a) 7
Kapittel 5 Ulikheter Finnes to typer ulikheter 1. Førstegrads ulikheter Eksempel: 2x > 4 Delvis pensum. NB Burde kunne reglene. 2. Andregrads ulikheter Eksempel: 2x 2 + 10x = 25 Rekkefølge for å løse en 2. Gradsulikhet: 1. Flytte leddene til venstre 2. Faktorisere (Bruk ABC-formel for å finne x-verdiene) 3. Sette x verdiene i fortegnskjema 4. Skrive notasjon Hovedregler i ulikheter som er forskjellig fra likninger 1. Bruker ulikheter for å finne når uttrykket er større eller mindre enn 0. Eksempel: x(x a) > 0 => (Når er uttrykket større enn null altså når er den positiv) x(x a) < 0 => (Når er uttrykket mindre enn null altså når er den negativ) 2. Når vi ganger eller deler uttrykket med ett negativ/minus tall snur vi ulikheten Eksempel: 2x + 3 < 4x + 9 -x > -3 (Ganger med (-1) for å fjerne minus) -2x < 6 (Deler på -2) x < 3 (Snur ulikheten) > x > -3 (Snur ulikheten) 8
3. Beholder nevneren. (Vi fjerner ikke nevner i ulikheter som vi gjør i ligninger). Dersom vi har flere ulike nevnere => Finner fellesnevner => Faktoriser. Eksempel: Se kurs video for gjennomgang av eksemplet. 4. Forstå notasjon x > 1 (x er større enn 1) x < 1 (x er mindre enn 1) x > -1 (x er større enn -1, altså x kan være alle tall større enn -1 => -0,9, -0,8, x < -1 (x er mindre enn -1, altså x kan være alle tall mindre enn -1 => -1,1, 1,2, 5. Fortegnsskjema (Eksempel) <-> -2 0 2 2 4 <+> x-linje ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -2 ---------------------------------------------------------------------------------------------0----------------------------- (x 2) ------------------------------0-------------------------------------------------------------------------------------------- (x + 2) -------------------------------------------------------------0------------------------------------------------------------- x -------------------------------------------------------------0------------------------------------------------------------- 2x -----------------------------------------------------------------------------------------------------------0--------------- ( x - 2) -----------------------------------------------------------------------------0--------------------------------------------- (x - 2) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- e x 9
Kapittel 6 Ligningssystemer Likningssett Likningssett er samling av to eller flere likninger med to eller flere ukjente. Løsningsmetoder Multiplikasjonsmetode/Addisjonsmetode: Denne metoden går ut på å summere likningene slik vi kan få ett av ukjentene til å forsvinne. Når nødvendig så multipliserer vi likningene med ett tall, slik det blir enklere å fjerne ett av ukjente. Innsettingsmetoden: Denne metoden går ut på å erstatte ett av ukjentene med utrykket som inneholder ett av ukjente fra den andre likningen. 10
Kapittel 7 Funksjoner Lineærfunksjon y = ax + b Formel for å finne ligningen til lineær funksjon: Når stigningstallet a og ett punkt (x 1, y 1 ) er kjent: y y 1 = a(x x 1 ) Når to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er kjent: y y 1 (x x 1 ) Annengradsfunksjon: f(x) = ax 2 + bx + c Formel for å finne nullpunktene til annengradsfunksjon: x = b ± b 4ac 2a Tredjegradsfunksjon: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Formel for å finne nullpunktene til tredjegradsfunksjon: - Minst ett nullpunkt må være kjent. Dersom x = x 1 er kjent nullpunkt, så finner vi resterende nullpunktene ved å dele f (x) med x x 1. (Bruk reglene til polynomdivisjon). 11
Rasjonelle funksjoner: f (x) = " " Horisontale (vannrett) asymptoten: y = Vertikale asymptoten: x = Avtagende og voksende Når er funksjonen avtagende og når voksende: 1. Deriverer funksjonen av 1. Orden. 2. Faktoriser, deretter finn nullpunktene. 3. Tegn fortegnsskjema. 4. Avtagende = Negativ linjen i fortegnslinjen Voksende = Positiv linjen i fortegnslinjen. Konkav og konveks 1. Derivere funksjonen av 2. Orden. 2. Faktoriser, deretter finn nullpunktene. 3. Tegn fortegnsskjema. 4. Konkav = Negativ linjen i fortegnsskjema Konveks = Positiv linjen i fortegnsskjema Vendepunkter 1. Derivere funksjonen av 2. Orden. 2. Faktoriser, deretter finn nullpunktene. 3. Tegn fortegnsskjema. 4. Vendepunkt = Der funksjonen vender. 12
Kapittel 8 Rekker K Fast innskudd eller uttak (fast beløp du setter inn i sparekonto hvert år, eller fast tilbakebetalings, nedbetalings, utbetalings beløp) r Renter i desimalform n Dager, måneder og år (Antall perioder) An Sluttverdi av annuitet K0 Nåverdi t Tid Nr. Annuitet Formel Senarioer 1 Sluttverdi av annuitet rett etter siste innbetaling: A n = K 1 + r n 1 r - Hvor mye er oppspart beløp rett etter - Hvor mye skal årlig sparebeløpet være rett etter 2 Sluttverdi av annuitet ett år etter siste innbetaling: A n = K(1 + r) 1 + r n 1 r - Hvor mye er oppspart beløp rett før 3 Nåverdi av annuitet når første tilbakebetaling skjer ett år etter K 0 = K 1 + r n 1 1 + r n r - Hva er restgjeld rett etter - Hvilken alternativ bør velges låneopptak: (Første betaling / utbetaling om 1 år) 4 K 0 = K + K 1 + r n 1 1 + r n r - Hva er restgjeld rett før - Hvilken alternativ bør velges (Mottar / Betaler ett beløp i forskudd først) 13
5 1 K 0 = K 1 + r 1 + r n 1 1 + r n r Hvilken alternativ bør velges (Første betaling / utbetaling om 2 år) 6 Faste årlig tilbakebetaling når første tilbakebetaling skjer ett år K = K 0 1 + r n r 1 + r n 1 Hvor mye er årlige faste tilbakebetalinger / innbetalinger / etter låneopptak: nedbetalinger / utbetalinger 7 Renter på den første K 0 r Hvor mye er renter ved første tilbakebetalingen: tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 8 Renter på den siste tilbakebetalingen: K 1 + r r Hvor mye er renter ved siste tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 9 Avdrag i den første tilbakebetaling: K K 0 r Hvor mye er avdrag ved første tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 10 Avdrag i den siste tilbakebetalingen: K K 1 + r r Hvor mye er avdrag ved siste tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 11 Investeringen forrentes med årlig diskret forretning: K t = K 0 ( 1 + r) t Forrentes med årlig diskret forretning 12 Investeringen forrentes med kontinuerlige forretning: K t = K 0 e rt Forrentes med kontinuerlig forretning 14
Kapittel 9 Funksjoner med flere variabler Stasjonærpunktene (1) Partiell deriverer funksjonen med hensyn på x, deretter med hensyn på y. (2) Setter opp likningssett. (3) Løser likningssettet med hensyn på x og y. Maksimums- minimums- og sadelpunkt Formel for maksimums- minimums- og sadelpunkt: AC B 2 Formel for beregning av verdiene som tilhører formelen (AC B 2 ): A = f xx (x 0, y 0 ) B = f xy (x 0, y 0 ) C = f yy (x 0, y 0 ) Avgjøre om punktene vi har funnet er maksimums- minimums- eller sadelpunkt: ð AC B 2 < 0 (Altså mindre enn 0) => Punktene er sadelpunkt. ð AC B 2 > 0 (Altså større enn 0) => Punktene er enten minimums- eller maksimumspunkt: => A < 0 (Punktene er lokalt maksimumspunkt) => A > 0 (Punktene er lokalt minimumspunkt) 15
Kapittel 10 Lineær funksjoner Formel for beregning av x, y og z ved bruk av Cramers regel: x =, y =, z = Ligningssystemet med 2 ukjente: a1x + a2y = b1 Determinant A = a a a a Determinant B = a3x + a4y = b2 Formel for beregning determinant A når vi har ligningssett med 2 ukjente: b b Determinant A = a a a a = a1 a4 a2 a3 Formel for beregning determinant B1 når vi har ligningssett med 2 ukjente: B1 = b a b a = b1 a4 a2 b2 Formel for beregning determinant B2 når vi har ligningssett med 2 ukjente: B2 = a b a b = a1 b2 b1 a3 Ligningssystemet med 3 ukjente: a1x + a2y + a3z = b1 a4x + a5y + a6z = b2 Determinant A = a a a a a a Determinant B = a a a b b b a7x + a8y + a9z = b3 16
Formel for beregning av determinant A når vi har ligningssett med 3 ukjente 𝑎 Determinant A = ð a1 𝑎 a 2 + a 3 ð a1(a5 a9 a6 a8) a2(a4 a9 a6 a7) + a3(a4 a8 a5 a7) Formel for beregning av determinant B1 når vi har ligningssett med 3 ukjente: B1 = ð b1 𝑎 a2 𝑏 + a3 ð b1(a5 a9 a6 a8) a2(b2 a9 a6 b3) + a3(b2 a8 a5 b3) Formel for beregning av determinant B2 når vi har ligningssett med 3 ukjente: B 2 = ð a1 b1 𝑎 + a 3 ð a1(b2 a9 a6 b3) b1(a4 a9 a6 a7) + a3(a4 b3 b2 a7) Formel for beregning av determinant B3 når vi har ligningssett med 3 ukjente: B 3 = ð a1 𝑎 a2 𝑎 + b1 ð a1(a5 b3 b2 a8) a2(a4 b3 b2 a7) + b1(52 b3 b2 a8) 17