6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene gjøre rede for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utlede en derivasjonsregel for polynomfunksjoner og anvende denne regelen til funksjonsdrøfting lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner STIFINNEREN 6 Gjennomsnittlig vekstfart Sti Sti Sti 3 600, 60, 60, 603, 604, 605, 607, 609, 60 600, 60, 60, 605, 606, 608, 609, 60, 60, 605, 608, 609, 60, 6, 6 6 6 Momentan vekstfart 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69 64, 65, 66, 67, 68, 69, 60, 6 64, 65, 66, 68, 60, 6, 6 63 Den deriverte 63, 64, 65, 66, 67 63, 64, 65, 66, 67, 68 64, 65, 66, 67, 68, 69 64 Å bruke definisjonen til å utlede den deriverte 630, 63, 63 630, 63, 63, 633, 634, 635 630, 63, 63, 634, 635, 636 65 Derivasjonsregler 637, 638, 639, 640, 64 637, 638, 639, 640, 64, 64, 643 637, 638, 639, 640, 64, 64, 644 66 Fortegnslinje for den deriverte 67 Drøfting av funksjoner 645, 646, 647, 649, 650, 65, 65, 653, 654, 655, 656, 657, 658, 659, 66 645, 646, 649, 65, 65, 653, 654, 655, 657, 658, 659, 660, 66, 663, 664, 665, 666, 667 645, 646, 649, 65, 653, 655, 657, 658, 659, 66, 663, 664, 666, 667 5 rette eller gale: s 55 Blandede oppgaver (668 X67): s 55 Utvalgte løsninger: s 8 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 60, 60, 603, 604, 605, 607, 608, 609, 6, 68, 69, 60, 6, 635, 650, 655, 659, 669, 686, 689 Skriftlige ferdigheter: 60, 60, 603, 605, 608, 6, 68, 69, 60, 650, 655, 659, 669, 686, 689 Leseferdigheter: 60, 69, 64, 646, 655, 660, 664, 666, 674, 688 Digitale ferdigheter: 66, 67, 68, 69, 67, 68, 66, 66, 663, 67, 678, 68, 68, 683, 684, 688, 689 Interaktive oppgaver: Lokusno
40 Kapittel 6: Derivasjon 6 Gjennomsnittlig vekstfart 600 En rett linje går gjennom punktene A og B Hva er stigningstallet for linja? Hva forteller stigningstallet? a A=(, ) og B=(4, 4) b A=(, ) og B=(4, ) 60 V 00 liter 50 sekunder 0 40 60 80 00 0 t Vi tapper vann i en beholder Figuren viser hvordan vannmengden V (målt i liter) endrer seg med tiden t (målt i sekunder) a Hvor stor er vannmengden etter 80 s? b Finn stigningstallet for den rette linja fra t = 0 til t = 80 Hva er vekstfarten for vannmengden fra t = 0 til t = 80? Hvilken enhet har vekstfarten? Hva forteller vekstfarten? c Hvor mye øker vannmengden når t øker fra 4 til 43 60 til 6 3 60 til 63 d Hva er stigningstallet for linja til høyre for t = 80? Hva forteller det? e Hvor mye øker vannmengden når t øker fra 90 til 9? f Beskriv i ord hvordan vannmengden endrer seg fra t = 0 til t = 0 60 Figuren viser sammenhengen mellom fart og tid for et T-banetog mellom to stasjoner Fart 5 m/s () () (3) 5 sekunder 00 300 Tid a Finn stigningstallet for linjestykkene (), () og (3) b Gi en tolkning av stigningstallene i oppgave a c Hvor mye endrer farten seg per sekund? fra t = 50 til t =80 fra t = 50 til t = 50 3 fra t = 50 til t = 80
Kapittel 6: Derivasjon 4 603 På figuren har vi tegnet grafen til y = 05, + Vi har også tegnet en rett linje l gjennom punktene A og B a Hva er stigningstallet til l? y 5 l B (3, 5,5) Δy A (0, ) Δ 3 b Finn gjennomsnittlig vekstfart for y i intervallet [0, 3] Hva forteller svaret? 604 50 % 45 % 40 % 35 % 30 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 900 90 940 960 980 000 Figuren viser hvor mange prosent av jordas befolkning som bodde i byer på 900-tallet Hvor mye økte prosenttallet i gjennomsnitt per år i periodene [905, 95], [945, 960], [960, 980] og [980, 995]? Kommenter * 605 En kokende væske settes til avkjøling i et kjølerom Vi måler temperaturen i væska ved noen tidspunkter etter at væska ble satt til avkjøling Tabellen viser måleresultatene Tid (min) t 0 0 30 50 60 Temperaturen ( C) 00 85 60 44 38 a Finn gjennomsnittlig vekstfart fra t = 0 til t = 0 Hva forteller svaret? b Finn gjennomsnittlig vekstfart i disse tidsintervallene: [0, 30], [30, 50] og [50, 60] Hva viser svarene? c Kan du anslå hva temperaturen blir etter 65 minutter?
4 Kapittel 6: Derivasjon 606 Bensinforbruket for en bil avhenger av bilens fart Tabellen viser bensinforbruk for en bestemt biltype Fart (km/h) 70 90 0 Bensinforbruk 0,59 0,74 0,9 (liter/mil) a b Bruk tallene i tabellen til å anslå hvor mye bensinforbruket per mil øker for hver km/h farten øker, når farten øker fra 70 til 90 fra 90 til 0 Anslå hva bensinforbruket vil være når farten er 75 km/h * 607 Vi har funksjonen f ( )= 0,5 a Regn ut f(0), f() og f(4) Bestem gjennomsnittlig vekstfart for f i intervallet [0, ] og i intervallet [, 4] b Regn ut f( 4) og f( ) Bestem gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, ] og i intervallet [, 0] c Regn ut gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, ] Kommenter 608 Tabellen viser hvordan aktiviteten til et radioaktivt stoff endrer seg med tiden t er antall timer etter at aktiviteten var 440 becquerel t 0 0 40 60 70 Aktivitet (becquerel) 440 70 740 090 880 Finn gjennomsnittlig vekstfart i periodene [0, 0], [0, 40], [40, 60] og [60, 70] Hva forteller svarene? 609 En funksjon f er gitt ved f ( )= 3 4 a Bestem gjennomsnittlig vekstfart for f ( ) i intervallene [, ] og [,,5] b Tegn grafen til f fra = 3 til =3 Bruk grafen til å kontrollere svarene i oppgave a c Bestem gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, ] Kommenter
Kapittel 6: Derivasjon 43 60 Bruk figuren til å avgjøre hvilke av utsagnene som er riktige A Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 4] er 3 B Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, ] er 3 C Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 0, ] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 4] D Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 5] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 4] E Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [, 0] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, ] F Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 5, ] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet 4, [ ] f() 3 0 9 8 7 6 5 4 3 5 4 3 3 4 5 6 6 Bruk figuren i forrige oppgave til å avgjøre hvilke av disse utsagnene som er riktige: A Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, 0] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, 4] B Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 0, 4] er større enn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [ 4, 4] C Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet 4, 4 er 0 [ ] Det er foretatt undersøkelser som tyder på at funksjonen g() nedenfor gir en god modell for energibehovet for gutter fra fødselen til de er 0 år g() = 3 + 43 + 840 g() er energibehovet per døgn målt i kilojoule for gutter i alderen år Tilsvarende funksjon for jenter er j() = 4 + 67 + 500 a Regn ut gjennomsnittlig vekstfart for g() i [5, 0], [0, 5] og [5, 0] Hva forteller svarene? b Regn ut gjennomsnittlig vekstfart for j() i [5, 0], [0, 5] og [5, 0] Hva forteller svarene?
44 Kapittel 6: Derivasjon 6 Momentan vekstfart * 63 På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f og en tangent i punktet (50, 500) f () f 000 500 50 00 50 a Finn stigningstallet til tangenten på figuren b Hvor stor er den momentane vekstfarten når = 50? 64 f() 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f og tangenter i punktene (, f()) og (5,5, f(5,5)) a Finn stigningstallet for tangenten i punktet (, f()) Hvor stor er den momentane vekstfarten når =? b Hvor stor er den momentane vekstfarten når = 5,5? c Finn den momentane vekstfarten av figuren når = 3
Kapittel 6: Derivasjon 45 65 A f () D C B E På figuren er det merket av fem punkter på grafen til en funksjon f I hvilke av disse punktene er den momentane vekstfarten a positiv b negativ c null 66 En funksjon er gitt ved f ( )= + a Tegn grafen fra = 3 til = 3 på lommeregneren b Bruk lommeregneren til å bestemme den momentane vekstfarten når = = 3 = 4 = 67 a Tegn grafen til f ( )= 3 på papir fra = til = b Bruk lommeregneren til å bestemme den momentane vekstfarten når = =0 3 = c Tegn tangentene til grafen i punktene (, ), (0, 0) og (, ) 68 Ved dypfrysing av en matrett avkjøles maten fra 90 C til 0 C Når avkjølingen har pågått i t minutter, er temperaturen (målt i celsiusgrader) gitt ved f(t) = 0 0,98 t 30 Bruk lommeregneren til å finne momentan vekstfart når a t =5 b t =0 c t =5 Hva forteller svarene? 69 Bakterietallet i en bakteriekultur er gitt ved f ( )= 400,39, der er antall timer etter at antallet var 400 Bruk lommeregneren til å finne momentan vekstfart når = 0 Hva forteller svaret? 60 En kommuneplanlegger antar at folketallet i kommunen t år etter januar 007 vil være 6000t ft () = 500 +, t [ 0, 5 ] 0 + t Bruk lommeregneren til å bestemme den momentane vekstfarten når a t =5 b t =0 Hva forteller svarene?
46 Kapittel 6: Derivasjon 6 På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f f () A a Hva kan du si om den momentane vekstfarten i A? b Hva kan du si om den momentane vekstfarten til venstre for A til høyre for A sammenliknet med den momentane vekstfarten i A? 6 Grafen til K viser hvordan kostnaden ved produksjonen av en vare varierer med antall produserte enheter Tangenten til grafen i punktet A(300, 0 000) er tegnet inn K () 000 K 0 000 A 00 00 300 400 500 a Bruk figuren til å finne momentan vekstfart for = 300 b Bruk svaret i oppgave a til å finne hvor mye kostnaden øker når produksjonen øker fra 300 enheter til 30 enheter Hva koster det å produsere 30 enheter? c Bruk svaret i oppgave a til å anslå hvor mye det koster å øke produksjonen fra 300 til 350 enheter Hva skulle det etter dette koste å produsere 350 enheter? d Les av K(350) på figuren Sammenlikn med det siste svaret i oppgave c Kommenter 63 Den deriverte 63 Ta for deg oppgave 63 a Hva er f ( 50)? b Hvor raskt vokser f ( ) i forhold til for -verdier rundt 50? 64 Ta for deg figuren i oppgave 64 a Hva er f () f (, 55) b Skriv opp koordinatene til bunnpunktet på grafen Hva er f () 3? c Hvilket fortegn har f ( ) f () 3 f () 4 4 f () 7
Kapittel 6: Derivasjon 47 65 For hvilke punkter på grafen i oppgave 65 er a positiv b negativ c null f ( ) 66 Tegn grafen til f ( ) Finn f ( ) og f () 5 når a f ( )= +3 b f ( )=,7 + c f ( )= 5 d f ( )= 8+3 67 a Tegn grafen til funksjonen f ( )= 4 på lommeregneren Velg -verdier mellom og og y-verdier mellom og 4 b For hvilke -verdier er f ( ) positiv, og for hvilke verdier er f ( ) negativ? c Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen Hvor stor er f ( ) i disse punktene? 4 68 a Tegn grafen til funksjonen f ( )= på lommeregneren + b For hvilke -verdier er f ( ) positiv, og for hvilke verdier er f ( ) negativ? c Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen d Hvilken -verdi gjør at f ( ) = 0? 69 Hvis K() kr er totalkostnaden når det produseres enheter av en vare, vil K(00) være totalkostnaden når det produseres 00 enheter K ( 00) viser med god tilnærming hvor mye K() vokser når produksjonen øker med én enhet, dvs fra 00 til 0 enheter K'() kalles grensekostnaden når det produseres enheter a Hvor mye vil det koste å produsere enhet nr 0 når produksjonen på forhånd er 00 enheter, og K ( 00) = 8? b Om en kostnadsfunksjon K() får vi opplyst at K(00) = 330, og at K ( 00) = 8 Hvor mye vil det koste å produsere 0 enheter 0 enheter 64 Å bruke definisjonen til å utlede den deriverte Δy 630 Hva nærmer seg når h nærmer seg null? Δ Δy a b c Δ = + Δy 4 3h Δ = + Δy 3 5h Δ = 3 + + 8h * 63 a Du skal regne ut f () for funksjonen f ( )= 3 + ved å bruke definisjonen på den deriverte Δy Δy Regn ut Δ y = f( + h) f( ) Regn ut Δ h Δy 3 Hva nærmer seg når h nærmer seg null? Δ Hva er f ()? b Finn f ( ) ved å bruke «tretrinnsmetoden» fra oppgave a Bruk svaret til å finne f ()
48 Kapittel 6: Derivasjon * 63 Gitt funksjonen f ( )= a Regn ut Δ y = f( +h) f() Δy Δy Δ h Δy 3 når h nærmer seg null Hva er f ()? Δ b Bruk definisjonen til å finne f ( ) Bruk svaret til å finne f () 633 a Bruk definisjonen til å finne f ( ) når f ( )= + f ( )= +3 3 f ( )= + b Finn f ( ) og f () 0 for de tre funksjonene i oppgave a 634 Bruk definisjonen til å finne f ( ) når a f ( )= + 5 b f ( )= + 3 635 Grafen i oppgave 64 er grafen til funksjonen f ( ) = 05, 3+ 65, a Bruk definisjonen til å finne f ( ) b Bruk uttrykket du fant i oppgave a til å finne f (), f () 3 og f (, 55) Stemmer svarene med grafen? 636 Bruk definisjonen til å finne g ( ) når g ( )= 3 + + 5 65 Derivasjonsregler 637 Bruk derivasjonsreglene til å finne f ( ) a f ( )= b f ( )= 3 c f ( )= +7 d f ( )= +8 e f ( )= 5+8 f f ( )= 500 50 g f ( )= 3 + h f ( )= 3 4 5 i f ( )= 0,53 4,5 638 Regn ut f ( ) Bruk svaret til å regne ut f ( ), f () 0 og f () når * a f ( )= +3 b f ( )= +3 + c f ( )= 3 + 3 d f ( )= 3 + +5 639 Finn K ( ), K ( 0) og K ( 50) når * a K() = +85 + 6400 b K() = 0,3 +60 + 8000 640 Deriver funksjonene a f ( )= 5 b f ( )= 4 c 3 f ( )= 7 d f ( )= 3 +8 e f ( )= 3 f f ( )= 7 +7 g f ( )= 4 3 h f ( )= 8 3 3 i f ( )= 5 3 8 + 3 3 3
Kapittel 6: Derivasjon 49 64 64 Volumet V(t) cm 3 av en ballong er gitt ved V(t) = 7000 5t + 0,0t der t er antall minutter etter at ballongen ble sendt opp a b Regn ut V () t Hvor mye øker eller minker volumet per minutt når t = 00 t = 300 De totale kostnadene K() kr ved produksjon av enheter av en vare er gitt ved K() = 0,3 +60 + 8500, [50, 300] a Regn ut K(00) og K(0) Hvor mye øker kostnadene når produksjonen øker fra 00 enheter til 0 enheter? b Regn ut K ( ) c Finn K ( 00) Bruk dette til å finne tilnærmet hvor mye kostnadene øker når produksjonen øker fra 00 enheter til 0 enheter Sammenlikn med den kostnadsøkningen du fant i oppgave a 643 a Hva er stigningstallet til en linje som er parallell med -aksen? b Undersøk om grafen til f har noen tangent som er parallell med -aksen når f ( )= + f ( )= 3 3 * 644 Vi går ut fra at antall bakterier i en bakteriekultur er gitt ved formelen Nt ()= 500 + 0t + 5t, der N(t) er antall bakterier etter t døgn For hvilken verdi av t er tilveksten 30 bakterier per time? 66 Fortegnslinje for den deriverte 67 Drøfting av funksjoner 645 Finn f ( ) og sett opp fortegnsskjema for f ( ) når a f ( )= 4 +8 b f ( )= + 3+ 4 c f ( )= 3 3 d f ( )= 3 +3 5 646 Den deriverte av en funksjon f ( ) er positiv for < og for > 5, negativ for -verdier mellom og 5, og null for = og =5 a Sett opp fortegnslinje for f ( ) b Hva kan du si om grafen til f ( )?
50 Kapittel 6: Derivasjon 647 f () 8 4 g () 3 4 3 5 7 a Finn koordinatene til topp- og bunnpunkter på de to grafene b Tegn fortegnslinje for f ( ) og g ( ) 648 Tegn fortegnslinje for f ( ) Hvilke av funksjonene vokser i intervallet 0,? a f ( )= 4 + b f ( )= 4 c f ( )= 4 d f ( )= 4+ e f ( )= 4+ 4 f f ( )= 3 + * 649 Funksjonen f er gitt ved f ( )= 6 +5 a Bestem nullpunktene for f ( ) ved regning b Finn f ( ) Tegn fortegnslinje for f ( ) c Finn koordinatene til eventuelle bunn- og toppunkter på grafen til f ved regning d Finn stigningstallet for tangenten i punktet (4, f(4)) ved regning e Finn likningen for tangenten ved regning 650 f() g() Figuren viser grafen til to funksjoner Hvilken av de to funksjonene har denne fortegnslinja for den deriverte? -linje 0 f'() Begrunn svaret 65 Bruk figuren til å a finne nullpunktene til f ( ) b tegne fortegnslinje for f ( ) c bestemme topp- og bunnpunkt på grafen til f ( ) d tegne fortegnslinje for f ( ) e bestemme de intervallene der f ( ) vokser eller minker f ( ) 3
Kapittel 6: Derivasjon 5 3 65 Figuren viser grafen til f ( )= + 6 4 f() 0 5 5 a b 0 Bruk figuren til å finne nullpunktene til f ( ) tegne fortegnslinje for f ( ) 3 bestemme topp- og bunnpunkt på grafen til f ( ) 4 tegne fortegnslinje for f ( ) 5 bestemme de intervallene der f ( ) vokser eller minker Finn svarene på oppgavene a3 a5 ved regning * 653 En funksjon er gitt ved 3 f ( ) = 05, 6+ a Bruk f ( ) til å avgjøre hvor grafen til f synker, og hvor den stiger b Regn ut koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f c Finn stigningstallet for tangenten i punktet (, f()) 3 654 Funksjonen f ( ) er gitt ved f ( )= + 3 Finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen ved regning 655 Vi skal fylle vann i en beholder Den tiden det tar, er en funksjon av hvor høyt vi vil at vannet skal stå i beholderen Tiden, T sekunder, er gitt ved Th () = 08, h + 0h, D T =[ 0, 5] der h dm er vannhøyden a Tegn grafen på lommeregneren og på papir b Hvor lang tid tar det å fylle beholderen til vannhøyden 5 dm? c Hva er vannhøyden etter 0 minutter? d Bestem T () h e Regn utt () 5 og T ( 0) Gi en tolkning av svarene
5 Kapittel 6: Derivasjon 656 En funksjon er gitt ved f ( )= 3 + 3 3 a Finn f ( ) Bestem ved regning de intervallene der f vokser eller minker b Bestem eventuelle maksimal- og minimalverdier for f ved regning c Tegn grafen til f på lommeregneren 657 En funksjon f er gitt ved f ( )= 3 3 a Finn ut så mye som mulig om denne funksjonen ved regning Tegn grafen b Finn stigningstallet for tangenten i (, f()) ved regning c Finn likningen for tangenten i oppgave b ved regning 658 3 Figuren viser grafen til f ( )= + 4 3 f() 5 4 3 3 4 a Bruk figuren til å finne eventuelle nullpunkter for f tegne en fortegnslinje for f ( ) 3 tegne en fortegnslinje for f ( ) b Punktet (, f ( ) )= (, 8 kalles et terrassepunkt Hva er det som 3) kjennetegner et terrassepunkt? c Svar på spørsmålene i oppgave a ved regning 659 Firmaet NORFRYS har en kostnadsfunksjon K() for ett av sine frysevareprodukter K() er kostnaden i kroner når det produseres enheter per uke K() = 0,0 +4 + 7500 a Regn ut K(500) og K(500) Hva forteller svarene? b Regn ut K ( 500 ) og K ( 500) Hva forteller svarene?
Kapittel 6: Derivasjon 53 * 660 66 66 663 En bedrift produserer en vare der totalkostnaden per dag viser seg å være K() = 0, +30 + 800, [0, 0] når det produseres enheter per dag a Finn et uttrykk for K ( ) b Regn ut K ( 0) Hvor mye vil det koste ekstra å øke produksjonen fra 0 til enheter per dag? c Regn ut K ( 00) Hvor mye vil det koste ekstra å øke produksjonen fra 00 til 0 enheter per dag? d Vi antar at produksjonen er 80 enheter per dag Bedriften selger varen for 50 kr per enhet Vil det lønne seg for bedriften å øke produksjonen? Kostnaden ved å produsere enheter av en vare er gitt ved K() = 0,08 +40 + 3000, [0, 500] Inntekten er gitt ved I() = 0,0 +80 a Finn et uttrykk for overskuddet O() b Finn ved regning hvilken produksjon som gir størst overskudd Hvor stort er overskuddet da? c Tegn grafen til O() på lommeregneren og bruk den til å svare på spørsmålet ib En fabrikk lager skistaver Når fabrikken produserer og selger par skistaver per dag, får den et overskudd gitt ved O() = 0,04 +40 500 a Finn ved regning hvilken produksjon som gir størst overskudd b Tegn grafen til O() på lommeregneren og bruk den til å svare på spørsmålet i oppgave a 00 Figuren viser et rektangel med sider cm og (00 ) cm Vi lar A() cm være arealet av rektanglet * a Forklar at D = 0, 00 * b Finn et uttrykk for A() * c Finn maksimalverdien for A() ved regning Hva kalles firkanten når A() har denne verdien? d Tegn grafen til funksjonen A() La cm på førsteaksen svare til 0 enheter og la cm på andreaksen svare til 50 enheter
54 Kapittel 6: Derivasjon 664 Av en rektangulær glassplate med sider,0 m og,0 m skal det lages et akvarium Bunnen og sidene lages ved å skjære langs de stiplede linjene på figuren De fire kvadratene med side m fjernes Ved beregningene nedenfor ser vi bort fra tykkelsen av glasset,0 m,0 m a Forklar hvorfor må tilhøre intervallet 0, 0, 5 b Vis at volumet V ( ) m 3 er gitt ved 3 V ( )= 4 6 + c Løs likningen V ( ) = 0 d Bruk resultatet i oppgave c til å finne den verdien av som gir størst volum Hvor stort er dette volumet? 665 I en reklame for et slankeplaster blir det påstått at en vil gå ned i vekt ved å bruke slike plastre Det går fram av reklamen at en mann på 9 kg vil oppnå en vekt på tilnærmet f ( )kg, der f ( )= 0,008 0,3 +9, [0, 60] Her er antall døgn etter at kuren startet a Bruk lommeregneren til å bestemme f () 0 f ( 0 ) 3 f ( 50) Hva forteller svarene ifølge reklamen? b Bruk derivasjonsreglene til å bestemme f (), 0 f ( 0) og f ( 50) 666 h Vi skal lage en kasse med en form som et rett prisme "Skjelettet" settes sammen av metallstenger Stengene er satt sammen slik figuren viser Grunnflaten er et kvadrat med side cm Høyden i kassen er h cm Den totale lengden av stengene som går med, er 480 cm Vi ser bort fra tykkelsen av stengene a Vis at h = 0 b Finn et uttrykk for volumet av kassen c Finn ved regning hvor stort volumet kan bli
667 Kapittel 6: Derivasjon 55 Vi kaster en ball loddrett oppover t sekunder etter at den ble kastet, er høyden over bakken h(t) meter, der h(t) = 4,9t + 9,8t +,5 a Farten v(t) m/s er gitt ved v(t) = h () t Finn farten ved noen tidspunkter b Finn ved regning hvor høyt ballen kommer 5 rette eller gale Momentan vekstfart i punktet P på en kurve er det samme som stigningstallet til tangenten gjennom dette punktet Gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter på en kurve er det samme som stigningstallet til en rett linje gjennom de to punktene 3 Hvis den momentane vekstfarten i P er lik 0, er P et bunnpunkt på grafen 4 Hvis den deriverte av en funksjon er negativ for alle -verdier i et intervall, så går grafen oppover mot høyre i dette intervallet 5 Den deriverte av en tredjegradsfunksjon er en førstegradsfunksjon 6 Funksjonene f ( )= 3 +ogg() =3 har samme deriverte 7 5 5 8 Den deriverte av en konstant funksjon er 0 9 Hvis et punkt er et topp- eller bunnpunkt på en graf, så er den deriverte 0 i dette punktet 0 Hvis den deriverte er 0 i et punkt på en graf, så er dette punktet et topp- eller et bunnpunkt Funksjonen f ( )= 3 har ingen derivert Andrekoordinaten til et bunnpunkt kalles minimalverdi 3 En ekstremalverdi er enten en maksimalverdi eller en minimalverdi 4 Den deriverte i et punkt på en graf er det samme som stigningstallet til tangenten i dette punktet 5 = ( ) = 4 0 3 3 Blandede oppgaver 668 Bruk derivasjonsreglene til å finne f ( ) når f ( ) er lik a 3 +4 b + c 3 d +3 e 3+3 f 3 + + g 3 3 h 3 3 + i 3 3 5 6 8 + j,5 4,5 k 7 3 +5 + 3 l +4 3
56 Kapittel 6: Derivasjon 669 f () ) -linje f ' () 0 ) -linje f ' () 0 3) -linje 0 Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon f Dessuten er det tegnet tre forslag til fortegnsskjema for f ( ) a Er noen av forslagene riktig? Begrunn svaret b Bestem eventuelle maksimal- og minimalverdier for f ( ) Skriv opp koordinatene for eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen c For hvilke verdier av er f ( ) lik null (nullpunktene)? 670 g() 3 3 4 5 3 4 5 Figuren viser grafen til en funksjon g, med inntegnet tangent i punktet ( 3, 3) a Bruk figuren til å finne nullpunktene for g tegne fortegnslinje for g() 3 tegne fortegnslinje for g ( ) 4 finne koordinatene til bunnpunktet 5 finne stigningstallet til tangenten i punktet ( 3, 3) Funksjonsuttrykket for grafen er g ( )= 4 b Finn g ( ) ved å bruke definisjonen på den deriverte c Finn svarene på oppgavene i a ved regning d Finn likningen for den inntegnede tangenten ved regning
Kapittel 6: Derivasjon 57 67 Funksjonen f er gitt ved f ( )= 4 a Finn f ( ) ved å bruke definisjonen på den deriverte b Tegn fortegnslinje for den deriverte og finn koordinatene for eventuelle toppeller bunnpunkter på grafen c Tegn grafen til f ( ) både på lommeregneren og på papir d Finn likningen for tangenten til grafen i punktet, f ( ) ved regning ( ) 67 Om en funksjon g vet vi at g () 3 = 0 Hvilke av disse utsagnene kan være sanne? Grunngi svaret, for eksempel grafisk A Grafen har et toppunkt for =3 B Grafen er en rett linje med stigningstall 3 C Grafen har et terrassepunkt for = 3 (Se oppgave 658) D Grafen har et bunnpunkt for =3 673 Figuren viser temperaturkurven for en matvare som blir lagt til frysing i en fryseboks Matvarens temperatur minutter etter at den ble lagt i boksen, er y C y ºC 0 0 minutter 0 0 50 80 0 Bruk figuren til å finne a den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallene [0, 0] [0, 50] b hvor mye matvaren avkjøles i gjennomsnitt per minutt i intervallet [50, 80] c hvor mye temperaturen avtar per minutt etter 0 minutter 60 minutter 674 Du har fått disse opplysningene om en funksjon f () 5 = 3 f ( ) = for alle a Finn f () 7 b Finn funksjonsuttrykket f ( ) f :
58 Kapittel 6: Derivasjon 675 Figuren viser grafen til en funksjon f a Tegn fortegnslinje for f ( ) og f ( ) b Er f (,) 5>? Begrunn svaret c For hvilken verdi av har f ( ) sin minste verdi? Begrunn svaret f() 676 f() 5 4 3 3 3 4 4 5 Figuren viser grafen til en funksjon f ( ) Bruk figuren til å svare på spørsmålene a Sett opp en fortegnslinje for f ( ) b I hvilket intervall har tangenten til grafen negativt stigningstall? c Tangenten i toppunktet på grafen skjærer grafen i et annet punkt Hva er koordinatene til dette punktet? Begrunn svaret d For hvilken -verdi har f ( ) sin minste verdi? Begrunn svaret 677 For en funksjon f kjenner vi fortegnet for f ( ) og f ( ) : -linje 0 3 5 7 f () f '() Skissér en graf som passer til dette 4 3 678 En funksjon er gitt ved f ( )= 3 5 + 3+ 4 Bestem f ( ) Bruk lommeregneren til å løse likningen f ( ) = 0 Bestem hvor funksjonen vokser, og hvor den minker Bestem eventuelle ekstremalverdier for funksjonen Tegn grafen og finn verdimengden for funksjonen (Dansk eksamensoppgave)
Kapittel 6: Derivasjon 59 679 Du skal lage en lufteplass for en hund Innhegningen skal ha form som et rektangel og skal stå inntil en husvegg Du har 0 m gjerde Hvordan vil du forme rektanglet for at hunden skal få størst mulig areal å boltre seg på? (Eksempeloppgave MX 00) 680 Figuren viser et drivhus Drivhuset er uten gulv Tak og vegger er laget av plast l Drivhuset har form som en halvsylinder med radius meter og lengde l meter Vi forutsetter at overflaten er bestemt slik at sammenhengen mellom l og er gitt ved 38 l = Vis at volumet for slike drivhus er gitt ved π 3 V ( )= 9π der V() er målt i m 3 Bestem V ( ) Bestem slik at volumet av drivhuset blir størst mulig Bestem det største volumet (Dansk eksamensoppgave) 68 Agnete undersøkte hvordan temperaturen i hytta sank i løpet av en vinternatt Hun foretok målinger og fant at temperaturen t timer etter at hun startet målingene, kunne uttrykkes ved T(t) = 5,0 + 7,0 0,86 t a Regn ut T(0), T(3) og T(8) Hva forteller svarene? b Finn T (), 0 T () 3 og T () 8 ved å bruke lommeregneren Hva forteller svarene?
60 Kapittel 6: Derivasjon 68 Antall bakterier i en bakteriekultur er gitt ved f ( )= 600,8, der er antall timer regnet fra det tidspunktet da antallet var 600 a Finn f () 5 og f ( 0) Hva forteller svarene? b Finn f () 5 og f ( 0) på lommeregneren Hva forteller svarene? c Løs likningen f ( )= 0 000 Hva forteller svaret? 683 En beholder fylles med gass gjennom et rør Etter t timer er det m(t) kg gass i beholderen m(t) = 500( 0,88 t ) Skisser grafen til m(t) Bruk lommeregneren til å finne hvor mange kilogram gass som strømmer inn i beholderen per sekund når t =5 684 En dyreart blir satt ut i et avgrenset område Området gir gode levevilkår for arten Vi regner med at antall dyr etter år er tilnærmet lik f ( ), der 000 ( + ) f ( )= + 30 a Finn f (), f () 7 og f ( 4) ved å bruke lommeregneren Hva forteller svarene? b Hva forteller svarene i oppgave a om grafen til f? Tegn grafen fra =0 til = 5 på lommeregneren Kommenter c Når ser den deriverte ut til å være størst? Hva betyr det? 685 I et kvadrat med side 6 er det innskrevet et rektangel slik figuren viser Bestem slik at arealet av rektanglet blir størst mulig Hvor stort blir arealet da? 6 686 I en prøve med det radioaktive stoffet polonium-8 var poloniummengden 00 mg fra starten av Etter t minutter var mengden t mt () = 00 0, 794 a Regn ut m(3) og m(0) Hva forteller svarene? b Finn m () 3 og m ( 0) på lommeregneren Hva forteller svarene? a c m(t) kan skrives på formen mt () = 00 0, 5 Bestem a t
Kapittel 6: Derivasjon 6 687 f (t) 30 000 Figuren viser folketallet i en kommune i en 0-årsperiode a Tegn fortegnslinje for f () t b I hvilket tidsintervall var vekstfarten positiv, og i hvilket tidsintervall var den negativ? (Når f ( ) er negativ, sier vi at veksten er negativ) c Ved hvilket tidspunkt var vekstfarten størst? 688 På en veistrekning blir det krevd inn bompenger for alle biler som passerer Bomveiselskapet ønsker å øke prisen for å få større inntekt Ifølge en modell fra kommunen vil antall biler y som passerer per døgn, avhenge av prisen kr slik at y = 9800 k der k er en konstant Med en pris på 0 kr for hver passering har det vist seg at det gjennomsnittlig passerer 7000 biler per døgn a b 5 0 t Bruk dette til å bestemme k i modellen Vis at inntekten I() kr på bomveien er gitt ved I() = 80 + 9800 ifølge modellen ovenfor Bestem hvilken pris som vil gi størst inntekt for selskapet c Tegn grafen til I() når 5, 30 Bomveiselskapet velger å øke prisen til 0 kr for hver passering d Hvor mange prosent mindre blir da inntekten enn det selskapet kunne ha fått ifølge kommunens modell? [ ] 689 En bil må stoppe for en elg i veibanen Elgen er 70 meter foran bilen idet bilføreren begynner å bremse De t første sekundene etter at oppbremsingen startet, tilbakela bilen s(t) meter, der s(t) er gitt ved s(t) = 0,04t 3,45t +7t Farten t sekunder etter at oppbremsingen startet, er gitt ved vt () = s () t a Regn ut s () 0 og s () 5 Hva sier svarene? b Klarte bilen å stoppe tidsnok?
6 Kapittel 6: Derivasjon 690 Figuren viser et rektangel og en halvsirkel Figuren har omkretsen 0 Finn lengden av sidene i rektanglet når figurens areal skal være størst mulig 69 Bruk definisjonen til å finne g ( ) når g ( )= X6 Om funksjonene f og g vet vi følgende: f () 0 = g() 0 = f () 0 = g () 0 = f ( ) = 0 g ( ) = a Finn ut hvilke av de fem grafene som passer til opplysningene om funksjonen f og om funksjonen g b Bestem funksjonsuttrykket til parabelen i graf (Eksamen MA høsten 997)
X6 En fabrikk lager kasser uten lokk av kvadratiske papplater med side 60 cm En maskin skjærer vekk hjørnene av papplatene En annen maskin bretter opp sideflatene og fester dem Vi regner med at sideflatene ikke overlapper hverandre Kapittel 6: Derivasjon 63 a Forklar at volumet til pappkassen, målt i cm 3, er gitt ved V ( ) = ( 60 ) b Tegn grafen til V c Hvor mye må maskinen skjære bort av hjørnene for at volumet av pappkassene skal bli størst mulig? Hvor stort er volumet da? (Eksamen MZ våren 00) X63 Kostnaden K og inntekten I kroner ved produksjon av enheter av en vare er gitt ved K ( ) 0, 3 500 30 000 0, 000 = + + [ ] = 0 3 + 000 [ 0 000] I ( ),, a Finn kostnaden og inntekten når bedriften produserer 500 enheter Hvor stort blir overskuddet? b Vis at opplysningene ovenfor gir følgende uttrykk for overskuddet O: O ( ) = 0, 6 + 500 30 000 c Tegn grafen til O, og bruk grafen til å avgjøre hvilke produksjonsmengder som gir overskudd d Bruk derivasjon til å finne hvilken produksjon som gir størst overskudd X64 Høyden på en solsikke er h() centimeter dager etter at den ble plantet En modell for høyden er gitt ved funksjonen: h ( ) = 0, 003 3 + 0, 4 [ 0, 50] a Hvor høy er planten etter 50 dager? b Bestem den gjennomsnittlige veksthastigheten de 0 første dagene Hva er benevningen til svaret? c Finn et uttrykk for den momentane veksthastigheten til planten, og bruk dette til å vise at den momentane veksthastigheten etter 0 dager er 3,84 cm/dag (dvs ca 4 cm per dag) d Finn når den momentane veksthastigheten er størst Hvor raskt vokser planten da? (Eksamen MZ høsten 003)