SUBTRAKSJON FRA A TIL Å

SUBTRAKSJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til subtraksjon S - 2 2 Grunnleggende om subtraksjon S - 2 3 Ulike fremgangsmåter S - 2 3.1 Tallene under hverandre S - 3 3.2 Fast differanse S - 11 3.3 Regne bakfra S - 15 3.4 Dele opp tallene S - 20

Grunnleggende om subtraksjon Innledning til subtraksjon 1 INNLEDNING TIL SUBTRAKSJON Kapitlet om subtraksjon er ikke helt ferdig. Avsnittene 1 INNLEDNING og 2 GRUNNLEGGENDE vil bli fullført og lagt til så fort som mulig antagelig i løpet av uke 46 (14.11 20.11). Jeg legger likevel det som er ferdig ut, slik at det kan være til litt nytte for foreldre i min 5-klasse denne uka, da vi nå begynner å lære ulike subtraksjonsstrategier. 2 GRUNNLEGGENDE OM SUBTRAKSJON Minuend subtrahend = Differanse Eller Ledd ledd = differanse Ulike fremgang småter 3 ULIKE FREMGANGSMÅTER De fleste er vel vant til å sette tallene under hverandre når de skal regne oppgaver med minus. Det er en grei og oversiktelig fremgangsmåte. Men så er det en god del som i grunnen aldri helt får taket på dette med låning, og mange velger feil lånestrategi. I mange tilfeller dreier det seg om å forstå hva som faktisk skjer hva man faktisk gjør når man låner. For å hjelpe til med å forstå er det oftere og oftere vanlig å støte på ordet veksling i stedet. Operasjonen er lettere å forstå når man sier at man veksler i stedet for at man låner. Men fortsatt virker dette med låning (veksling) vanskelig for mange. Det kan for eksempel skyldes at man oftest lærer teknikken rent operasjonelt altså at man lærer hvordan man skal gjøre det, men ikke hvorfor. S - 2

Hadde det ikke da vært flott om man helt kunne slippe denne låningen? Kan det tenkes at det finnes andre fremgangsmåter der låning ikke er nødvendig? Det gjør det faktisk. Her skal jeg vise 4 forskjellige måter å regne minus på. Den ene, den første, er den som de fleste har vært borti. Der hvor tallene settes under hverandre. Men de tre neste er fremgangsmåter so m kanskje for de fleste kan virke litt fremmed, men som for mange likevel vil være lettere å lære, fordi de er nærmere en praktisk måte å tenke på. 3.1 TALLENE UNDER HVERANDRE Å sette tallene under hverandre er nok den mest vanlige metoden. Her er 3 eksempler på dette. Ett eksempel uten låning (veksling), og to eksempler med låning. Tallene under hverandre Eksempel uten låning: 378 215 = Vi starter med å skrive opp oppgaven med tallene under hverandre: Eksempel 1: Trinn a 378 215 og setter en strek under det underste tallet, for å vise at hele oppgaven er skrevet og vi er klare til å begynne å regne. Eksempel 1: Trinn b 378 215 S - 3

Så begynner vi med enerplassen. 8 5 = 3 Eksempel 1: Trinn c 378 215 3 Så fortsetter vi med tierplassen: 7 1 = 6 Eksempel 1: Trinn d 378 215 63 Og til slutt tar vi tallene på hundrerplassen: 3 2 = 1 Eksempel 1: Trinn e 378 215 163 før vi skriver = og setter to streker under svaret. Eksempel 1: Trinn f 378 215 = 163 Så langt går subtraksjon helt greit for de fleste. Det er når vi kommer til tall der et eller flere siffer i det første tallet er større enn i det andre at problemene dukker opp. Da må man nemlig låne, eller veksle, og det skaper ofte problemer for mange. S - 4

I eksempel 2,3 og 4 er det nødvendig å låne. I eksempel 2 blir låning forklart i detalj, mens eksempel 3 er et regnestykke der det er behov for å låne flere ganger. I eksempel 4 dukker opp enda en utfordring, nemlig at det tallet du skal låne fra ikke har noe å låne bort. La oss først se på eksempel 2: Vi tar utgangspunkt i dette regnestykke: Eksempel 1 med låning: 363 148 = Vi starter med å sette tallene under hverandre, og sette en strek: Eksempel 2: Trinn a 363 148 Så begynner vi. Vi ser at det er et problem allerede på enerplassen. Der står det 3 8. Men det går jo ikke an å trekke 8 fra 3, fordi 8 er større enn 3. Det er her låningen, eller vekslingen, kommer inn. Vi kan nemlig tillate oss å hente en av tierne på tierplassen i det første tallet, og veksle den inn i enere. Hvis vi gjør det, øker vi 3-tallet med 10, slik at det blir 13. Det gjør vi slik: Eksempel 2: Trinn b 10 363 148 Det er viktig å sette en strek over 6-tallet på tierplassen. Den streken viser at vi har lånt en tier. Samtidig viser den at 6-tallet ikke gjelder lenger. Siden vi har lånt en tier, står det bare 5 igjen på tierplassen. På enerplassen står det nå 10 + 3 = 13. Og siden 13 er større enn 8, er det nå mulig å regne videre på enerplassen. S - 5

Vi ser at 13 8 = 5. Eksempel 2: Trinn c 10 363 148 5 og kan gå videre til tierplassen: Der står det nå 5 4, og det blir jo 1: Eksempel 2: Trinn d 10 363 148 15 Og så står vi igjen med å trekke fra på hundrerplassen: 3 1 = 2 Eksempel 2: Trinn e 10 363 148 = 215 Til slutt: To streker under svaret Eksempel 2: Trinn f 10 363 148 = 215 S - 6

Men så skal vi se på et regnestykke med låning, der låningen blir litt mer komplisert. Eksempel: 7321 2768 = Først: Skriv oppgaven med tallene under hverandre: Eksempel 3: Trinn a 7321 2768 = Vi ser at vi må låne på enerplassen : Eksempel 3: Trinn b 10 7321 2768 = Og ser at 11 8 = 3 Eksempel 3: Trinn c 10 7321 2768 = 3 Når vi så går i gang med tierplassen, ser vi at vi må låne der også. Av de 2 som opprinnelig sto der, har vi lånt 1, slik at det bare står 1 igjen. 1 6 går ikke altså må vi låne: S - 7

Eksempel 3: Trinn d 1010 7321 2768 = 3 Nå har vi 11 6 på tierplassen. Det blir 5. Eksempel 3: Trinn e 1010 7321 2768 = 53 Og dermed er vi klare for hundrerplassen. Av de 3 som opprinnelig sto der, er det nå bare 2 igjen. Altså får vi 2 7! Ny låning! 12 7 = 5 Eksempel 3: Trinn f 101010 7321 2768 = 553 På tusenplassen går alt greit, men husk: Vi har lånt 1, så det står nå bare 6 igjen. Altså: 6 2 = 4: Eksempel 3: Trinn g 101010 7321 2768 = 4553 S - 8

Det tredje eksemplet vi skal se på der vi bruker denne metoden, er når vi trenger å låne, men den vi vil låne fra ikke har noe å låne bort: Vi skal bruke et eksempel med litt enklere tall enn i eksempel 3: Eksempel: 405 58 = Eksempel 4: Trinn a 405-58 = Her ser vi at det er behov for å låne på enerplassen (5 8 går ikke). Men på tierplassen er det ingen tiere vi kan låne! Hva gjør vi da? Jo, da ser vi på hundrerplassen. Der kan vi låne en hundrer, som vi veksler inn i 10 tiere. Dermed har tierplassen noe å låne bort! Eksempel 4: Trinn b 10 405-58 = Nå kan vi låne 1 av de ti tierne vi har skaffet oss: Eksempel 4: Trinn c 1010 405-58 = Og nå har vi fått 10 enere på enerplassen, og dermed kan vi begynne å trekke fra: S - 9

Enerplassen: 15 8 = 7 Eksempel 4: Trinn d 1010 405-58 = 7 Tierplassen: Her står det nå ikke 10, men 9, siden vi har lånt 1 tier! Altså: 9 5 = 4 Eksempel 4: Trinn e 1010 405-58 = 47 Og til slutt hundrerplassen, der det opprinnelig sto 4. >Men siden vi har lånt 1 hundrer, står det bare 3 igjen. Altså: 3 ingenting = 3 Eksempel 4: Trinn f 1010 405-58 = 347 S - 10

3.2 FAST DIFFERANSE Svaret i et minusstykke kalles altså differanse. Differanse betyr i virkeligheten å finne forskjellen. Se litt på dette regnestykket: Fast differanse 23 17 = Mange klarer nok dette i hodet: 23 17 = 6 Hvis vi trenger å gjøre tallene lettere å regne med, kan vi gå tilbake til en av teknikkene for addisjon, nemlig å regne med hele tiere. 23 er 3 mer enn 20, så hvis vi kunne ta bort 3 fra 23, ville vi hatt 20 å regne ut ifra. Når det gjelder addisjon, lærte vi en fremgangsmåte som heter opp-og-nedmetoden. Den går ut på at vi kan endre et tall slik at vi får hel tier. Det kan vi gjøre ved å trekke fra eller legge til. I eksemplet vårt med 23, kan vi trekke fra 3, slik at vi står igjen med bare 20. I opp-og-ned-metoden måtte vi da legge til 3 på det andre tallet, for at dette skulle bli riktig. Les mer om Opp-og-ned-metoden i kapitlet om addisjon. Men det kan vi ikke gjøre når vi har minusstykker. Dette kan vi vise i eksemplet vårt: Hvis vi trekker 3 fra 23, måtte vi altså legge 3 til 17. Da vil vi få 23 17 = (23 3) (17 + 3) = 20 20 = 0 Vi ser at dette ikke kan stemme! Svaret skal jo bli 6! S - 11

I minusstykker kan vi altså ikke bruke opp-og-ned-metoden. Så hva kan vi gjøre da? Jo, når det gjelder minusstykker, kan vi fortsatt forsøke å få til hele tiere, men her må vi endre begge tallene samme veien. Begge tallene opp, eller begge tallene ned. Slik sørger vi for atr avstanden mellom de to tallene blir like stor, uansett hvor mye vi legger til eller trekker fra. 23 17 = (23 3) (17-3) = 20 14 = 6 Jeg gjentar: Uansett hvor mye vi øker eller minker det ene tallet, må vi øke eller minke det andre tallet på samme måte. Husker vi på det, er det ikke grenser for hvor mye vi kan øke eller minke. Se på dette eksemplet: 23 17 = (23 + 100) (17 + 100) = 123 117 = 6 Ser du? Selv om vi øker med 100, blir svaret akkurat det samme. Det er forskjellen på 6 som er det viktige. Denne metoden kan vi bruke på større tall. Jeg skal vise dette i form av 2 eksempler. Først et eksempel med ganske greie tall, og så et eksempel med litt større og vanskeligere tall. I det første eksemplet skal vi se på et minusstykke der vi trenger låning (veksling) hvis vi setter tallene under hverandre: S - 12

Eksempel: 76 37 = Vi begynner med å skrive opp regnestykket: Eksempel 5: Trinn a 76 37 = Så ser vi på tallene. 76 mangler 4 på å bli 80, mens 37 mangler 3 på å bli 70. Med fast-differanse-metoden kan vi velge å ta utgangspunkt i hvilket av de to tallene vi ønsker. Jeg velger det som er nærmest hele tiere, altså 37. Jeg øker 37 med 3. Da må jeg også øke 76 med 3. Slik: Eksempel 5: Trinn b 76 37 = (76 + 3) (37 + 3) = Når jeg nå regner ut de nye tallene får jeg: Eksempel 5: Trinn c 76 37 = (76 + 3) (37 + 3) = 79 40 = Og da er det i grunnen bare å regne ut svaret: Eksempel 5: Trinn d 76 37 = (76 + 3) (37 + 3) = 79 40 = 39 Men vi må jo se etter om denne metoden også kan virke på litt vanskeligere regneoppgaver. Så la oss bruke litt større tall i det neste eksemplet. I dette eksemplet har jeg i tillegg lagt inn problemet at de to tallene ikke har like mange siffer: S - 13

Eksempel: 3747 298 = Som vanlig begynner vi med å skrive regnestykket: Eksempel 6: Trinn a 3747 298 = Så ser vi igjen på tallene. Her ser vi at 298 bare mangler 2 på å være et helt hundretall 300, så her er det nok klokest å ta det som utgangspunkt. Vi legger til 2 på begge tallene: Eksempel 6: Trinn b 3747 298 = (3747 + 2) (298 + 2) = Og så regner vi ut de to leddene: Eksempel 6: Trinn c 3747 298 = (3747 + 2) (298 + 2) = 3749 300 = Og vi ser at vi heller ikke her trenger å tenke på låning: Eksempel 6: Trinn d 3747 298 = (3747 + 2) (298 + 2) = 3749 300 = 3449 S - 14

3.3 REGNE BAKFRA Subtraksjon handler om å finne differansen (forskjellen) på to tall. Mange lærer seg en teknikk på dette uten helt å ha forstått hva man faktisk gjør. Noen har en oppfatning om at det største tallet alltid skal stå øverst, og da går alt bra. Det er ikke alltid helt sant, og vil i beste fall handle om en mekanisk måte å regne på, der forståelsen kommer i annen rekke. Regn bakfra Dersom man forstår regnemetoden som jeg har kalt «regne bakfra», vil man ha en helt annen oppfatning av hva man gjør. Derfor kan denne metoden være svært nyttig å trene på. Så la oss se på denne metoden. Vi starter med et ganske enkelt eksempel der vi bruker den samme oppgaven som i eksempel 5: Eksempel 7: Trinn a 76 37 = Å finne forskjellen på disse to tallene, betyr på en måte å finne avstanden mellom dem. For å gjøre det på en hensiktsmessig måte kan vi gå veien om å finne hele tiere. Vi kan tenke oss at vi beveger oss langs en tallinje fra 37 til 76, mens vi lager et par nødvendige stopp underveis på tallinjen. Om tallinjen: Se eget kapittel S - 15

Ser vi på det minste tallet, 37, må vi gå til 40 for å nærme oss 76. Da flytter vi oss 3 plasser på tallinjen. Eksempel 7: Trinn b 76 37 = 37 + 3 = 40 På vår vei langs tallinjen har vi altsdå kommet til 40. Derfra flytter vi oss så mange hele tiere som det er mulig å komme. Fra 40 til 70 er det 3 tiere: Eksempel 7: Trinn c 76 37 = 37 + 3 = 40 40 + 30 = 70 Så langt har vi flyttet oss to ganger: Først 3 plasser til 40, og deretter 30 plasser til 70. Nå er vi nesten fremme. For å komme fra 70 til 76 må vi flytte oss 6 plasser: Eksempel 7: Trinn d 76 37 = 37 + 3 = 40 40 + 30 = 70 70 + 6 = 76 Sånn, da er vi fremme på 76. Vi ser at vi har flyttet oss 3 plasser + 30 plasser + 6 plasser. Det blir 39 plasser til sammen. Altså: 76 37 = 39. Eksempel 7: Trinn e 76 37 = 37 + 3 = 40 = 39 40 + 30 = 70 70 + 6 = 76 3 + 30 + 6 = 39 S - 16

En i og for seg grei metode, der vi heller ikke trenger å tenke på låning. Men vil den fungere på større tall? Vel la oss se: Eksempel: 4759 2451 = Eksempel 8: Trinn a 4756 2451 = Når vi snakker om slike store tall, vil det som regel være klokt å begynne med å gjøre avstanden mellom tallene minst mulig. Deet gjør vi f.eks. ved å se på tusenplassen først: Eksempel 8: Trinn b 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 Og så kan vi finne avstanden mellom 451 og 756: Fra 1 er det 9 plasser opp til første hele tier: Eksempel 8: Trinn c 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 4451 + 9 = 4460 Fra 2460 er det 40 opp til 2500: Eksempel 8: Trinn d 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 4451 + 9 = 4460 4460 + 40 = 4500 Deretter går vi videre til hundrerplassen: Fra 2500 kan vi legge til resten av det vi trenger: S - 17

Eksempel 8: Trinn e 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 4451 + 9 = 4460 4460 + 40 = 4500 4500 + 256 = 4756 og dermed er vi fremme: Eksempel 8: Trinn f 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 4451 + 9 = 4460 4460 + 40 = 4500 4500 + 256 = 4756 2000 + 9 + 40 + 256 = og det kan være lurt å legge sammen deler av dette først: Eksempel 8: Trinn g 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 4451 + 9 = 4460 4460 + 40 = 4500 4500 + 256 = 4756 2000 + 9 + 40 + 256 = 2256 + 49 = Her har vi en addisjon med litt kinkige tall. La oss bruke Opp-og-ned-metoden. Se kapitlet om addisjon for å lære opp-og-ned-metoden. S - 18

Eksempel 8: Trinn h 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 4451 + 9 = 4460 4460 + 40 = 4500 4500 + 256 = 4756 2000 + 9 + 40 + 256 = 2256 + 49 = ( 2256 1) + (49 + 1) = Og så er man i mål. Også denne gangen uten låning eller veksling. Eksempel 8: Trinn i 4756 2451 = 2451 + 2000 = 4451 = 2305 4451 + 9 = 4460 4460 + 40 = 4500 4500 + 256 = 4756 2000 + 9 + 40 + 256 = 2256 + 49 = ( 2256 1) + (49 + 1) = 2255 + 50 = 2305 Som man vil se er ikke dette en rask og enkel metode når tallene blir store. Den har nok sine fordeler på noe mindre tall. Men den store fordelen med denne metoden er at den bidrar til økt forståelse for hva subtraksjon handler om. Derfor er det klokt å lære seg metoden, selv om man kanskje bare vil bruke den i enkelte tilfeller. S - 19

3.4 DELE OPP TALLENE Denne metoden er på mange måter den motsatte av å regne bakover. Metoden går i korthet ut på å trekke fra en del av gangen. For å vise fremgangsmåten bruker jeg først et eksempel der jeg bruker de samme tallene som i eksempel 7: Grunnleggende om subtraksjon Eksempel 9: Trinn a 76 37 = Vi begynner med å trekke fra 30: Eksempel 9: Trinn b 76 37 = 76 30 = 46 Nå har vi trukket fra 30 av de 37. Da er det bare 5 igjen å trekke fra, og dermed har vi svaret klart: Eksempel 9: Trinn c 76 37 = 76 30 = 46 = 39 46 7 = 39 På slike greie og oversiktelige tall fungerer denne metoden aldeles utmerket. Nå skal vi se på et eksempel der tallene ikke er fullt så snille: S - 20

Eksempel: 2543 1567 = Eksempel 10: Trinn a 2453 1567 = Før vi begynner må vi stoppe opp litt og se på det siste tallet. Hva vil det være hensiktsmessig å dele dette opp i? Vel, det er mange muligheter. Jeg tror det enkleste vil være å begynne med å trekke fra 1000. Når vi har gjort det, står det 567 igjen, som vi igjen kan dele opp i f.eks. 500 + 60 + 7. La oss se hvordan det vil være. Eksempel 10: Trinn b 2453 1567 = 2453 1000 = 1453 Det neste trinnet er å trekke fra 500: Eksempel 10: Trinn c 2453 1567 = 2453 1000 = 1453 1453 500 = 953 Nå er turen kommet til å trekke fra 60: Eksempel 10: Trinn d 2453 1567 = 2453 1000 = 1453 1453 500 = 953 953 60 = 893 Og helt til slutt kommer turen til 7: S - 21

Eksempel 10: Trinn e 2453 1567 = 2453 1000 = 1453 = 886 1453 500 = 953 953 60 = 893 893 7 = 886 I dette eksemplet har vi tall som ville bety låning (veksling) på flere av plassene. Men siden vi regner med tall som er oversiktlige, slipper vi det. Vi må likevel holde tungen rett i munnen her: Muligheten for å trekke fra feil er nok større enn ved andre metoder. S - 22