Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ei de høgaste geviste derssom dei to første korta ei får er eit ess sama med ate ei tiar, ei kekt, ei dame eller ei koge. Dette blir kalla «å få ei blackjack». I kasio der ei spelar Blackjack for pegar, bladar ei gjere 8 kortstokkar som ei trekkjer desse korta frå. (Dette gjer det vaskelegare å «telje kortâ», det vil seie å reke seg fram til kor mage ess og billetkort som er igje i stokke.) Det er då så mage kort i stokke at vi ka sjå på dette som ei situasjo «med tilbakeleggigâ», altså at ei trekkjer eitt og eitt kort frå ei valeg kortstokk og legg forrige kort tilbake før ei trekkar eit ytt. Ei valeg kortstokk har 52 kort, med 4 fargar som har kvar si tiar, kekt, dame, koge og ess. a) Kva er sasyet for å få ei blackjack? Kva er sasyet for å få ei blackjack viss det første kortet du har fått er eit ess? La oss seie at ei spelar som teljer kort har fue ut at sasyet for å få blackjack o er 0.06, at sasyet for å få eit ess som første kort er 0.1 og at sasyet for at det første kortet ditt var eit ess dersom du har fått ei blackjack er 0.4. Bruk desse tala til å reke ut kva sasyet o er for å få ei blackjack dersom det første kortet du har fått er eit ess. Lars er på ferie i Las Vegas, og går i på det største kasioet ha fi. Ha set seg ved Blackjack-bordet og sett seg føre å spele fram til ha vi og å doble isatse for kvart spel. Ha satsar éi dollar i fyrste spel, to dollar i adre spel, og så vidare fram til ha vi. Gå for ekelthets skuld ut frå at Lars alltid får igje det dobbelte av det ha satsa dersom ha vi, at sasyet for at ha vi er 0.3 i kvart spel, og at Lars sluttar å spele etter å ha vue éi gog. b) La X vere talet på goger Lars spelar før ha gjev seg. Kva er sasysfordeliga til X? Gå ut frå i reste av oppgåva at Lars går tom for pegar og dermed sluttar å spele viss ha ikkje har vue etter å ha spela fem goger. La W vere talet på dollar Lars vi i kasioet (uavhegig av kor mykje ha har satsa først). Kva er forvetigsverdie til W? La Y vere geviste Lars sit igje med etter at isatse er trekt frå. Kva er forvetigsverdie til Y? eksdes13-oppg- 8. april 2016 Side 1
Oppgave 2 Aget Joh Bag går regelmessig til skytetreig. Erfarig seier at sassyet for eit treff er p = 0.8. I ei treigssesjo skyt ha 20 skudd. Ata at skudda er uavhegige og at kvart ekeltskot er ete ei treff eller bom. a) Kva er forveta atal treff? Kva er sasyet for at ha treff flere e forveta? Kva er det betiga sasyet for at ha treff 20 skot år vi veit at ha treff fleire e forveta? Sjefe bestemmer at Joh skal ha ei y pistol. Dei håper at dee skal gje betre treffsasy. Dei øskjer å udersøkje om dette holder, og Joh bruker de ye pistole i ei valig treigssesjo med 20 skot. b) Formuler problemet som ei hypotesetest. Bruk de valige ormalapproksimasjoe til å gjeomføre hypoteseteste på sigifikasivå α = 0.1 år observert atal treff er 18. c) Forklar korleis ei eksakt test vert ved bruk av de biomiske fordeliga. Kva vert P-verdie til de eksakte teste år ha treff på 18 skot? Ata sigifikasivå α = 0.1 for teste. Rek ut teststyrke for de eksakte teste år sat treffsasy er p = 0.9. Oppgave 3 Mediae til eit datasett, X, er de midterste verdie. Dersom vi har stokastiske (tilfeldige) variablar X 1, X 2,..., X og ordar dei i stigade rekkjefølje slik at X (1) < X (2) <... < X (), så er mediae defiert som X = { X( +1 1 2 2 ) hvis er et oddetall, ( ) X ( 2 ) + X ( 2 +1) hvis er et partall. Når dei stokastiske variablae våre er uavhegige og ormalfordelte med forvetigsverdi µ og varias σ 2, altså X i N(µ, σ 2 ), og vi har at talet på variablar,, er stort, ka vi gå ut frå at variase til mediae er Var( X) = der f(x) er sasystettleike til ormalfordeliga. a) For dette tilfellet, vis at der gjeomsittet X = 1 i=1 X i. 1 4 ( f(µ) ) 2, Var( X) = π Var( X), 2 X er ei forvetigsrett estimator for forvetigsverdie µ. Kvifor føretrekkjer vi valegvis X framfor X som estimator for µ?
Figur 1: Høgdee til 30 rekruttar, kaskje frå 1814. Statistisk setralbyrå har data for høgdee til malege orske rekruttar til hære kvart år tilbake til 1878. I dee oppgåva ka du gå ut frå at høgdee til rekruttae i kva år som helst er ormalfordelte. På Terigmoe leir har løytat Muthe fue eit skjema med høgdee på 30 rekruttar som ha meier må vere frå 1814. Papiret er gula og blekket har falma ei del, me løytate får ei av dei overade rekruttae sie til å skrive dataa i i eit rekeark etter beste eve. Figur 1 viser eit histogram av desse data. b) For dette datasettet, vil mediae X vere større e, midre e eller omtret like stor som gjeomsittet X? Ville du ha ytta mediae eller gjeomsittet til å estimere forvetigsverdie µ her? Grugje svaret. Oppgave 4 I medisi er det yttig å studere vekta til yfødde som ei fuksjo av deira termialder (gestatioal age eller tid sida ufagig). Data er her termialder x i (veker) og vekt y i (gram) for i = 1,..., babyer, og = 24. For dette datasettet har vi i=1 x iy i = 2 752 667, i=1 x2 i = 35 727, i=1 x i = 925 og i=1 y i = 71 194. Ata ei lieær regresjosmodell: Y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i, i = 1,...,, der ɛ 1,..., ɛ blir atatt
Figur 2: Kryssplot av termiveke og fødselsvekt for 12 gutar og 12 jeter. som uavhegige og ormalfordelte med forvetig 0 og varias σ 2. a) Bruk oppsummeriga av talmateriale over til å reke ut estimata for skjærigspukt og stigigstalet for regresjosmodelle: ˆβ 0 og ˆβ 1. Vi rekar ut eit estimat for σ 2 ved s 2 = 1 2 i=1 (y i ˆβ 0 ˆβ 1 x i ) 2 = 194 2. Rek ut eit 95 proset kofidesiterval for stigigstalet. b) Bruk data til å fie eit 90 proset prediksjositerval for vekta til ei yfødd i termiveke 40. Kva er bredda på 90 proset prediksjositervalet for termiveke 42 i forhold til det vi fa for veke 40? Figur 2 viser eit kryssplott av termiveke og vekt. I dette plottet vert data delt i i to grupper: gutar og jeter. Det er b = 12 gutar (ummerert 1 til b ) og 12 jeter (ummerert i = b + 1 til ). Vi foreslår følgjade modell for data Y i = β b + β 1 x i + ɛ i, i = 1,..., b. Y i = β g + β 1 x i + ɛ i, i = b + 1,...,.
der vi fortsatt atek at ɛ 1,..., ɛ er uavhegige og ormalfordelte med forvetig 0 og varias σ 2. c) Bruk plottet til å forklare kvifor dee modelle ka vere yttig. Forklar vidare om okre elemet av modelle ka vere uøska. Fasit Rek ut miste kvadratsums estimat (eller maximum likelihood estimat) for parametra i modelle, her beevt ved ˆβ b, ˆβ g og ˆβ 1. I tillegg til summae tidligare i oppgåva har vi o at b i=1 y i = 36 258, b i=1 x i = 460, i= b +1 y i = 34 936 og i= b +1 x i = 465. 1. a) 0.04734, 0.3077, 0.24 b) 6.567, -4.4 2. a) 16, 0.41, 0.028 b) ikkje forkast H 0 c) 0.21, 0.39 3. b) mediae er midre e gjeomsittet 4. a) -1465, 115, [69,161] b) [2789,3481], 690, 732 c) -1587, -1747, 120.22