Problemløsing 1. 4.trinn Astrid Bondø Skjåk, 22. september 2014 25-Sep-14
Drøft Hva er en problemløsingsoppgave? 1. Skriv et par stikkord individuelt 2. Diskuter med to-tre andre 3. Finn ut hva dere har felles 4. Presenter for fellesskapet
Partall - oddetall Er det alltid slik at summen av to oddetall er et partall? Hvorfor/hvorfor ikke? Hvordan kan en god forklaring fra en elev på småskoletrinnet være? Mellomtrinnet? Ungdomstrinnet? 25-Sep-14 3
Summen av to oddetall - bevis Summen av to oddetall er et partall. Det er fordi oddetall gir 1 til rest når du dividerer med 2. To oddetall gir begge 1 til rest når du dividerer med 2. Da vil summen av to oddetall gi 0 til rest når du legger dem sammen. Summen av to oddetall, nr n og m, er et partall. (2n - 1) + (2m 1) = 2n + 2m 2 = 2 (n + m - 1) 25-Sep-14 4
Når passer denne oppgaven? Forkunnskap? Formål? Lyst til å justere din beskrivelse av en problemløsingsoppgave?
Problemløsing Hva er et problem? Hvorfor skal vi arbeidet med problemløsing? Hvordan skal vi arbeide med problemløsing? Når skal vi arbeide med problemløsing? På hvilket klassetrinn? I hvilke tema/områder i matematikken? 25-Sep-14 6
En definisjon Et problem er en spesiell type oppgaver som en person ønsker eller har bruk for å løse på forhånd ikke har en gitt oppskrift eller metode for å løse må arbeide og anstrenge seg for å finne løsninger til NB! En oppgave kan være et problem for én person, men en rutineoppgave for en annen. 25-Sep-14 7
Only for genius! 90% will fail 25-Sep-14 8
Hun og kanin veier 20 kg. Hund og katt veier 24 kg. Differensen mellom katt og kanin er 4 kg, og summen av de to er 10 kg. Jeg må finne to tall som til sammen er ti, samtidig som differensen er fire. 25-Sep-14 9
Katt og kanin er 10 kg, hund og kanin er 20 kg, det blir 30 kg til sammen. Hund og katt er 24 kg. Differensen er 6 kg. Da er kaninen tatt med to ganer, så kaninen må veie 3 kg. Katten veie 7 kg fordi 3 + 7 = 10, og hunden må veie 17 kg fordi 17 + 3 = 20. Alle tre til sammen veier 27 kg, fordi 7 + 3 + 17 = 27. 25-Sep-14 10
Hva veier dyrene? Siri har en gris som veier 82 kg og en sau som veier 63 kg. Hvor mye veier dyrene til sammen? Røsseland m fl: Multi 25-Sep-14 11
LK06 Formål med faget Matematisk kompetanse innebærer å bruke problemløsing og modellering analysere og omforme et problem til matematisk form løse problem og vurdere gyldigheten av løsningen formidle, samtale om og resonnere omkring ideer bruke og vurdere hjelpemidler og teknologi utvikles ved at elevene arbeider både praktisk og teoretisk utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter ferdighetstrening 25-Sep-14 12
Formuleringer Kunnskapsløftet: 1. 2. årstrinn: utvikle, bruke og samtale om varierte regnestrategier for addisjon og subtraksjon av tosifret tall og vurdere rimeligheten av svar kjenne igjen, samtale om og videreføre strukturer i tallmønster lage og utforske geometriske mønster og beskrive dem muntlig 25-Sep-14 13
Formuleringer Kunnskapsløftet: 3. 4. årstrinn: utvikle, bruke og samtale om varierte regnestrategier for alle de fire regneartene velge regneart og grunngi valget, bruke tabellkunnskaper om regneartene og utnytte enkle sammenhenger mellom regneartene kjenne igjen, eksperimentere med, beskrive og videreføre strukturer i tall- og geometriske mønster bruke matematiske symbol og uttrykksmåter for å utrykke matematiske sammenhenger i oppgaveløsing 25-Sep-14 14
Hvor mange kombinasjoner? Det står 10 biler på en parkeringsplass. Noen av bilene er røde og noen av bilene er blå. Hvor mange røde biler og hvor mange blå biler kan det være på parkeringsplassen? Prøv å finn flest mulig kombinasjoner. Vis hver av løsningene dine på ulike måter med brikker, tegninger, ord og regnestykker. 25-Sep-14 15
Det er til sammen ti biler. Hvis det er en rød bil, må det være ni blå biler, fordi en pluss ni er ti. Hvis jeg øker antall røde biler med en, blir det en mindre av de blå bilene.. 25-Sep-14 16
Effektfull undervisning Hvilke oppgavetyper får elevene? Hvilke spørsmål stiller vi? Hva kan elevene? Matematisk kompetanse utvikler seg gjennom aktivitet! Hvilken kompetanse ønsker du å utfordre? Hvilke aktiviteter egner seg? Hvordan få øye på hvilke kompetanser elevene bruker? Hvordan evaluere? 25-Sep-14 17
Åpne opp oppgaver Mor fordeler åtte boller likt på de to barna sine. Hvor mange boller får hvert av barna? Endre teksten: Mor fordeler åtte boller. Gå utover oppgaveteksten (Hva hvis det var færre/flere boller? Flere barn?) Ta bort opplysninger (Perler) Oppgave hvor tallene mangler (Stein og skjell) Oppgi svaret (Dagens tall) Stine og Lars plukker steiner og skjell på stranda og legger dem i en stor haug. Når det blir kveld fordeler de steinene og skjellene mellom seg. Lag en tegning som viser fordelingen. (tabell, regnestykker) Dagens tall er 1 Lise har 20 perler. Hun legger perlene i esker med fire perler i hver eske. Hvor mange esker trenger hun? 25-Sep-14 18
Åpne oppgaver Gi rammer for arbeidet Tall elevene skal bruke for å lage en tekstoppgave Dagens tall http://www.skoleipraksis.no/matematikk-1-4/filmar/dagens-tall/ Gi et svar, hva kan oppgaven ha vært? Gi en kontekst hvilken matematikk kan vi finne i den? Oppgaver med mange mulige løsninger. Eks: Foreslå mål på en boks som skal romme en liter.
DELE DROPS Rike oppgaver Hedrén m. fl. En rik oppgave er et problem som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper. Eva, Ann og Ole skal dele fem drops etter disse reglene: Alle tre skal ha minst ett drops hver Det er avgjørende hvem som får hvilket antall. Det er altså forskjell på om E va og Ann får 2 mens Ole får 3 eller om en av de andre får 3! Hvor mange forskjellige måter kan de dele dropsene på? Noen kriterier introduserer viktige matematiske ideer eller løsningsstrategier har lav inngangsterskel oppleves som en utfordring, krever anstrengelse og tar tid kan løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner skaper nysgjerrighet og muligheter for utvidelse Hvorfor er det sånn? Hva hvis?
Rike oppgaver Tallkort 1 9 Finnes det flere løsninger? Er 1 2 6 det samme som 2 6 1? Kan samme tall brukes flere ganger? Gir det færre/flere/andre løsninger? Lag regnestykker med ni til svar. Hånddukke/dukke kan bare si «Ni» Du har ni kort med verdiene 1 9. Plasser tre kort i sirklene slik at summen blir 9. Endre sum, verdier, antall kort, figur Hva hvis? Hvorfor? 25-Sep-14 21
Problembasert undervisning Hvordan telle opp store mengder? Hvordan addere store tall? Hvordan multiplisere flersifrede tall? Hvordan utføre lang divisjon? Hvordan addere brøker med ulike nevnere? Hvilke tall må jeg velge for at setningene skal være sanne? Hvordan sortere geometriske figurer? Hvordan sammenligne størrelser? Hvor mange ulike kombinasjoner kan vi finne? Hva skjer hvis vi endrer betingelsene? Gjelder dette alltid? 25-Sep-14 22
Tangram Lag geometriske figurer ved hjelp av de to store trekantene Hva Lag de heter samme de figurene? geometriske Kjennetegn? figurene Har ved de tre hjelp figurene av de 5 like minste stort brikkene areal? Forklar! ved hjelp av alle 7 brikkene Hva med omkretsen? Forklar?
Utforskende, lekende, kreative, problemløsende Start timen med en utfordring Fokus på gode, utfordrende problemer og løsningsprosessen Inviterer til undersøkelse undring og refleksjon (Hva hvis? Hvorfor?) Åpne for arbeid med flere uttrykksformer og ulike abstraksjonsnivåer La elevene finne egne løsninger Gjør elevene «varm i hodet»! Eleven deltar aktivt viser både det de kan og det de ikke kan Lærer legger opp til undersøkende virksomhet og dialog signaliserer faglige forventninger stimulerer fagligheten i diskusjonene Undersøkelseslandskap (Ole Skovsmose, 1998) 25-Sep-14 24
7 18 Hvordan tenkte du? Vis hvordan du tenkte. Bruk basemateriell/tegning (vis) Sammenheng mellom metodene? 25-Sep-14 25
Løsningsstrategier 7 18 Gjentatt addisjon Hvilke strategier bruker elevene? Hvordan grupperer de når de teller opp? Hvordan skriver de det de gjør? Viktig at vi kan se igjen 7 18 både i figuren og utregninga. Hvordan har elevene tenkt i disse to eksemplene? Arealmodellen 25-Sep-14 26
Løsningsstrategier 7 18 7 18 = 70 + 56 = 120 + 6 = 126 7 18 = 7 (10 + 8) = 7 10 + 7 8 = 70 + 56 = 126 Hva tenkte du? Hva gjorde du? Laga et rektangel med ei side på sju og ei på atten. Den på atten delte jeg i to, en bit på ti og en på åtte. Sju ganger ti er sytti, og sju ganger åtte er femtiseks. Sytti og femti er hundreogtjue til sammen, og femti til blir 126. 25-Sep-14 27
Løsningsstrategier 7 18 7 18 = 140 14 = 126 7 18 = 7 (20 2) = 7 20 7 2 = 140 14 = 130 4 = 126 25-Sep-14 28
Produktive spørsmål Hva læreren gjør Fordeler Eksempler Gjenta Repetere elevutsagn, be elev respondere og bekrefte. Avklare. Repetere Ber en elev gjenta en annens resonnement Resonnere Ber en elev bruke sin egen resonnering på en annens resonnement. Tilføye Prøver å få elevene til å delta videre i en diskusjon Få klarhet i hva en elev tenker. Gir tid til å tenke så lærer og de andre elevene kan forstå. Høre ideen på en annen måte, tid til å tenke. Bekrefte at andre hørte ideen til eleven. Elevenes ideer tas på alvor. Får fram elevenes tenking. Posisjonerer elevenes ideer som viktige matematiske ideer. Fremmer engasjement. Oppmuntrer til å dele ideer. Etablerere en norm om å se samemnhenger Så du sier at? Er det det du mener? Kan du gjenta med andre ord? Forstod dere? Snakk med læringspartneren. Enig-uenig? Hvorfor? Hva mener du om det? Hvorfor tror du det? Har du noe du vil føye til? Vente Venter uten å si noe Viktig at flere elever bidrar «Ta den tiden du trenger. Vi venter.»
2. Trinn Hvilke tall passer inn? 10 - = - = 15 + + = 13 + + = 21 Hvilke verdier må kvadratet og trianglet ha for at ligningene skal stemme? Arbeid individuelt i fem minutter Klassesamtale - få fram ulike løsninger og strategier - sammenlign løsningene, hva er likt og hva er ulikt? 25-Sep-14 30
4. Trinn Ferskenterter Line vil bake ferskenterter til vennene sine. Hun trenger to tredeler av en fersken til én pai, og hun har ti ferskener. Hva er det største antall paier Line kan lage med ti ferskener? Diskuter problemet med en medelev i ti minutter Klassesamtale - få fram ulike løsninger og strategier - sammenlign løsningene, hva er likt og hva er ulikt? Hvordan skriver vi det? 25-Sep-14 31
Skrive det vi gjør: 10 ferskener delt på to tredeler per pai, det rekker til femten paier 10 2 3 = 15 eller kanskje noen foreslår 30 3 : 2 3 = 15 25-Sep-14 32
25-Sep-14 33
Lignende problem Jeg har to plater Kvikk Lunch. Alle skal ha en firedel hver. Hvor mange personer er det nok til? I en oppskrift på milkshake skal det være ¾ bananer per person. Jeg har seks bananer. Hvor mange personer er det nok til? Tegn det, skriv regnestykket. 25-Sep-14 34
Kenguru 2008 25-Sep-14 35
Problemløsingsstrategier har jeg sett noe lignende før (analogi)? løse delproblemer illustrere, konkretisere (lag ei tegning, bruk materiell) systematisk eksperimentering lage en tabell lete etter mønster omformuler problemet (reformulering) innføre hjelpestørrelser arbeide baklengs (start med svaret, hva skjedde før?) lage selvmotsigelser generalisering 25-Sep-14 36
Problemløsing Faser i en problemløsningsprosess (Polya, 1957): Å forstå problemet Hva er den ukjente, hvilke opplysninger er gitt? Tegn figur Å legge en plan Sett noe lignende tidligere? Omformulering av problem, kan du løse et lign problem/et mer generelt/mer spesielt? Å utføre planen Kontrollere hvert steg, begrunnelse for at det er korrekt? Å se tilbake Sjekke resultatet, kontroller argumentasjonen, annen måte å finne løsninger? 25-Sep-14 37
Togvogner Du har togvogner i to ulike farger. Sett sammen togvognene til togsett. Den svarte brikken skal være lokomotiv. Undersøk hvor mange togsett du kan lage med to vogner tre vogner fire og fem vogner Gjett hvor mange togsett du kan lage med 10 vogner. Klarer du å finne en regel for hvor mange togsett du kan lage når du vet hvor mange vogner toget har? Lag en oversikt. Det er antall vogner av hver farge som teller, ikke hvilken rekkefølge de kommer i! 25-Sep-14 38
Løsningsforslag Togvogner To farger, kun antall vogner gjelder! Rekkefølge betyr ingenting. 25-Sep-14 39
Løsningsforslag Togvogner To farger, kun antall vogner gjelder! Rekkefølge betyr ingenting. Antall Farger 1 0 1 2 2 0 1 3 0 3 2 1 4 0 4 3 1 2 Rød Gul Antall komb. 25-Sep-14 40 n 1 0 0 2 1 3 0 1 2 4 0 1 3 2 2 3 4 5 n + 1
To farger, rekkefølge betyr noe! Dobling 2 4 8 16 25-Sep-14 41
God regning 1 1. Forståelse Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner og relasjoner. Instrumentell relasjonell 2. Beregning Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt
God regning 2 3. Anvendelse Formulere problemer matematisk utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer 4. Resonnering Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent
God regning 3 5. Engasjement Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk
Novemberkonferansen 26.-27. november 2014 Matematikk som kunsten å tenke LAMIS Sommerkurs: Fredrikstad, 7.-9. august 2015 25-Sep-14 45