Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010
2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
Grenser og kontinuitet Kapittel 2 2.6 Kontinuitet
4 Kontinuerlig i et punkt Definisjon (Kontinuitet i et indre punkt) Hvis lim x c f(x) = f(c) så sier vi at f(x) er kontinuerlig i punktet c. Eksempel 1 1 f(x) = x er kontinuerlig i alle punkter: lim x = c x c
Definisjon (Kontinuitet i endepunkt) La en funksjon være definert på [a, b] Hvis lim x a + f(x) = f(a) er f(x) kontinuerlig i det venstre endepunktet a. Hvis lim x b f(x) = f(b) er f(x) kontinuerlig i det venstre endepunktet b. Eksempel 1
6 Diskontinuiteter Definisjon Et punkt c kalles en diskontinuitetspunkt til f(x) hvis f(x) ikke er kontinuerlig i c. Eksempel 1 1 1
7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
8 Største heltallsfunksjon Eksempel Største heltallfunksjon er definert ved det største heltall mindre eller lik x f(x) = x 3 2 1 1 1 1 2 3
9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
10 Kontinuerlige funksjoner Definisjon En funksjon er kontinuerlig på et intervall hvis og bare hvis den er kontinuerlig i hvert punkt i intervallet. En funksjon er kontinuerlig hvis og bare hvis den er kontinuerlig i hvert punkt i definisjonsområdet. Eksempel Funksjonene og er kontinuerlige f(x) = 1 f(x) = x
11 Setning om kontinuitet Hvis f(x) og g(x) er kontinuerlige, så er følgende funksjoner kontinuerlige 1. f ± g 2. fg 3. f/g 4. f r/s Eksempel Følgende funksjoner er kontinuerlige f(x) = 1/x, p(x) = x 3 + 2x 2 + x 1, f(x) = x2 1 x 2 +1, f(x) = 3 x.
12 Setning om inverse funksjoner Inverse funksjoner av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige Eksempel Den inverse av f(x) = x 3, f 1 (x) = 3 x er kontinuerlig 1 1 1 y 1 x
13 Setning om sammensatte funksjoner Teorem Om f(x) er kontinuerlig i c og g(x) er kontinuerlig i f(c) så er (g f)(x) = g(f(x)) kontinuerlig i c. Eksempel er kontinuerlig 1 1 x 2
14 Grensen av sammensatte funksjoner Teorem Om lim x c f(x) = c og g(x) er kontinuerlig i b så gjelder ( ) lim g(f(x)) = g(b) = g lim f(x) x c x c Eksempel lim x 0 sin x x = lim x 0 sin x x = 1 = 1
15 Kontinuerlig utvidelse En funksjon som har diskontinuitet i c, men der lim x c f(x) = L eksisterer, kan vi kontinuerlig utvide funksjonen ved å definere f(c) = L. 1 Eksempel f(x) = x 2 sin 1/x er ikke kontinuerlig i x = 0. Men vi kan kontinuerlig utvide funksjonen ved å definere f(0) = 0. 1 Med å utvide en funksjon mener vi å gjøre definisjonsområdet større.
16 Skjæringssetningen Teorem Hvis 1. funksjonen f(x) er kontinuelig på det lukkede intervallet [a, b] og 2. y 0 ligger mellom f(a) og f(b) så finnes et punkt c i [a, b] slik at f(c) = y 0 f(a) y 0 f(b) a c b
Grenser og kontinuitet Kapittel 2 2.7 Tangenter og den deriverte til en funksjon
18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a))
18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) Eksempel: f(x) = x 2 y = x 2
18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) y = x 2 P Q
18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Q P h 1 1 + h
18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h f(1+h) f(1) Tangentens stigningstall er lim h 0 h = 2 P h 1 1 + h
19 Stigningstallet i et punkt Definisjon Stigningstallet til kurven y = f(x) i punktet x 0 er gitt ved m = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Tangentlinjen til y = f(x) igjennom punktet P(x 0, f(x 0 )) er linjen igjennom P med stigningsgrad m: y f(x 0 ) = m(x x 0 )
20 Den deriverte i et punkt Definisjon Den deriverte til f(x) i x = x 0 er gitt ved f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h
21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x 0. 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x 0. 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x 0. 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x 0. 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x 0. 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
Derivasjon Kapittel 3 3.1 Den deriverte av en funksjon
23 Den deriverte av en funksjon Definisjon Den deriverte til f(x) er funksjonen f (x) gitt ved f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Alternativt: f (x) = lim z x f(z) f(x) z x
24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 Den deriverte av f(x) = 3 x
24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Den deriverte av f(x) = 3 x
24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h Den deriverte av f(x) = 3 x
24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h Den deriverte av f(x) = 3 x = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x.
24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h Den deriverte av f(x) = 3 x 3 z f 3 x (x) = lim z x z x = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x.
24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x. Den deriverte av f(x) = 3 x 3 z f 3 x 3 z 3 x (x) = lim = lim z x z x z x ( 3 z 3 x)( 3 z 2 + 3 xz + 3 x 2 )
24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x. Den deriverte av f(x) = 3 x 3 z f 3 x 3 z 3 x (x) = lim = lim z x z x z x ( 3 z 3 x)( 3 z 2 + 3 xz + 3 x 2 ) = 1 3 3 x 2
25 Notasjon Den deriverte av y = f(x) har mange notasjoner (skrivemåter): f (x) = d dx f(x) = y = dy dx = df dx = D(f)(x) I det matematiske dataverktøyet Maple TM skriver man > diff(f(x),x);
26 Tegne grafen til f (x) Å tegne grafen til f (x) på bakgrunn av grafen til f(x) er en nyttig øvelse. Prøv deg på f(x) = sin x 1 2 1 1 1 2
27 Deriverbarhet For at en funksjon skal være deriverbar i x = c må følgende være tilfredstillt. 1. f(x) må være kontinuerlig i x = c. 2. Tangenten til f(x) i x = c kan ikke være vertikal. 3. Grafen til f(x) må være glatt og uten hjørner.
28 Darboux Teorem Hvis f(x) er deriverbar på et intervall. Og a og b er punkter på intervallet, samt at m ligger mellom f (a) og f (b) så finnes et punkt c mellom a og b slik at f (c) = m.
Derivasjon Kapittel 3 3.2 Derivasjonsregler for Polynomer, Eksponensialfunksjoner, produkter og kvotienter
30 Den deriverte av konstant-funksjonen La c være en konstant. den deriverte av f(x) = c er gitt ved f (x) = c = d dx (c) = 0
31 Den deriverte av en potens d dx (x n ) = n x n 1 PS: n kan være et vilkårlig reelt tall. For eksempel: d dx ( 3 x) = d dx (x 1/3 ) = 1 3x 2/3
32 Den deriverte av konstant ganger en funksjon d dx (k f(x)) = k d dx (f(x))
33 Den deriverte av en sum d dx (f(x) + g(x)) = d dx (f(x)) + d dx (g(x))
34 Den deriverte av eksponensialfunksjonen d dx (ex ) = e x
35 Den deriverte av et produkt d df (f(x)g(x)) = dx dx g(x) + f(x) dg dx
36 Den deriverte av et kvotient df dg d f(x) dx g(x) = dx g(x) f(x) dx g(x) 2
37 Den n-te deriverte Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte etc. etc. Notasjon (skrivemåte): f (x), f (x) = f (3) (x), f (n) (x) = dn dx f(x) = n dn f dx (x) = dn y n dx = y (n). n