RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 6 Lars Sydnes, NITH 4.oktober 2013

I. FUNKSJONER

TILFELDIGE EKSEMPLER x-koordinaten er en funksjon av t når startposisjon x 0 og startfart v x er gitt: x = x 0 + v x t y-koordinaten fremstilt som funksjon av t med tilsv. forutsetninger. y = y 0 + v y t 4.905t 2 while ( erheltgresk(-4.905t^2)) { studerdetviarbeidetmediforrigeuke(); } Tiden t som funksjon av x: t = x x 0 v x y-koordinaten som funksjon av x: (Når v x 0) y = y 0 + v y (x x 0 ) 4.905 (x x 0 ) 2 v x v 2 x

FLERE TILFELDIGE EKSEMPER Javafunksjoner: public double y(double t) { return this.ystart + this.ystartvel*t + this.yacceleration*t*t/2; } T (t) er temperaturen T på Blindern ved tid t. Beregningsprosedyre: (i) Vent til tid t. (ii) Les av temperaturen T fra termometeret.

ENDA FLERE EKSEMPLER Abstrakt: y = f(x), x = x(t), x = x(t) Grafisk fremstilling: Vi tegner kurven y = sin(x)

INTERESSANT EKSEMPEL To rettvinklede trekanter ABC, A B C der A = A og B = B = π/2 = 90 o. (Tips: Tegn gjerne figur selv) Under disse forutsetningene er BC AC = B C A C, og dette forholdet avhenger kun av A og A (Tips: Sjekk opp teorien for formlike trekanter). Det er en funksjon av A. Sinusfunksjonen: BC AC = sin A Tilsvarende betraktninger cos, tan

VEKTORFUNKSJONER x(t) = x 0 + v x t y 0 + v y t 4.905t 2 z 0 + v z t Ved hvert tidspunkt t får vi en vektor x(t): x er her en funksjon av t

II. DERIVASJON

DERIVASJON ENDRINGSRATEN y = f(x) Endringsrate over intervallet x 0 x x 1 : Endringsrate = Endring i y Endring i x = y x = y 1 y 0 x 1 x 0 = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 Endringsrate = stigningstall for korde

DERIVASJON Beregning av endringsrate over korte tidsintervall: f (x 0 ) = lim x 1 x 0 f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 = lim h 0 f(x + h) f(x) h Den deriverte = stigningstall for tangent

HOVEDEKSEMPEL: FORFLYTNING FART AKSELERASJON Gjennomsnittsfart = Endringsrate for forflytning: s(t 1 ) s(t 0 ) t 1 t 0 Momentan fart = Den deriverte av forflytningen: v(t) = s (t) Gjennomsnittlig akselerasjon = Endringsrate for fart: v(t 1 ) v(t 0 ) t 1 t 0 Momentan akselerasjon = Den deriverte av farten: a(t) = v (t)

PRAKTISK DERIVASJON I det virkelige liv kjenner vi ofte bare noen få funksjonsverdier: x x 1 x 2 x 3 x 4 f(x) y 1 y 2 y 3 y 4 Den deriverte representerer vi så ved følgende tabell. x f (x) x 1 +x 2 x 2 +x 3 x 3 +x 4 2 y 2 y 1 2 y 3 y 2 y4 y 3 x 2 x 2 x 3 x 2 2 x 4 x 3 Oppgave: Lag den tilsvarende tabellen for f (x) (Altså den deriverte til f (x)). FARE!!! Numerisk derivasjon =Brøker av små differanser = Muligens store avrundingsfeil

NUMERISK DERIVASJON MED FAST STEGLENGDE Steglengde = h: x i+1 = x i + h, y i = f(x i ). Den førstederiverte: f ( x i+1 + x i ) y i+1 y i 2 h Den andrederiverte: f (x i ) y i+1 2y i + y i 1 h 2 Nyttig bruk (Siden akselerasjonen ofte er kjent) f(x i+1 ) = y i+1 h 2 f (x i ) + 2y i y i 1

EKSAKT DERIVASJON Funksjoner som er uttrykt ved formler av typen f(x) = x 2 + 3x 23 asin(cos(x 2 tan 2 x)) + 10 x kan ofte deriveres eksakt. Eksempler: (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tan x) = 1 cos 2 x (x n ) = nx n 1, (e x ) = e x, (ln(x)) = 1 x. Dette har kloke hoder regnet ut én gang for alle. Vi kan lese om dette i tabeller

EKSEMPEL PÅ EKSAKT UTREGNING (ax + b) (a(x + h) + b) (ax + b) = lim h 0 h ax + ah + b ax b = lim h 0 h = lim h = lim a h 0 = a h 0 ah Altså: (ax + b) = a Den deriverte = stigningstallet. (Men linjen er jo sin egen tangent, så det stemmer jo fint)

REGNEREGLER HVORDAN DERIVERE KOMBINASJONER? Parallelt eksempel: Trigonometri Vi vet at sin π 3 = 1 2 3, π sin 4 = 1 2, 2 sin π 6 = 1 2 Vi har visse regneregler: ( π ) cos x = sin 2 x, cos(x y) = cos x cos y + sin x sin yo.s.v. Dette kan vi bruke til å regne ut cos 15 = cos π ( π 12 = cos 3 π ) = cos π 4 3 cos π 4 +sin π 3 sin π 4 = blablabla Tabeller Å lese tabeller Å kombinere tabell-informasjon. (Dette foregår inni kalkulatorene våre)

REGNEREGLER HVORDAN DERIVERE KOMBINASJONER? Lineærkombinasjoner: (αf(x) + βg(x)) = αf (x) + βg (x) Produkter: (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Kvotienter / Brøk: ( ) f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) 2 Kjerneregelen: f(g(x)) = f (g(x)) g (x).

LEDDVIS DERIVASJON ( 1 2 x2 + 2x + 1) =?? Oppgave: x(t) = x 0 + v 0 t + a t2 2 Beregn x (t) Beregn x (t) = (x (t))

PRIKK-NOTASJON Det er vanlig å bruke følgende notasjon for tidsteriverte: x (t) = ẋ(t) Denne notasjonen ble oppfunnet at Isaac Newton. Kalles også fluksion-notasjon

III. VEKTORDERIVASJON

KOMPONENTVIS DERIVASJON x(t) = x(t) y(t) ẋ(t) = z(t) ẋ(t) ẏ(t) ż(t) Komponentvis derivasjon (En av mange komponentvise operasjoner) Alternativ definisjon: ẋ(t) = lim h 0 ( ) 1 (x(t + h) x(t)) h Merk: Denne definisjonen benytter seg kun av komponentvise operasjoner.

SPESIELLE REGNEREGLER Skalarmultiplikasjon: d dt (kx) = kx + kẋ Addisjon: d (x + y) = ẋ + ẏ dt Skalarprodukt: d (x y) = ẋ y + x ẏ dt Kryssprodukt: d (x y) = ẋ y + x ẏ dt

SUPEREKSEMPELET x(t) = x0 + tv + 1 2 t2 a0 Beregn ẋ(t), ẋ(0), ẍ(t). Hastighetsvektor v(t) = ẋ(t). Akselerasjonvektor a(t) = v(t) = ẍ(t).

IV. ROTASJONSBEVEGELSE

ROTASJONSBEVEGELSE I Bevegelse p(t) rundt enhetssirkelen mot klokka med hastighet v = 1 (Målt langs periferien). Anta p(0) = [1, 0] Geometrisk betraktning p(t) = [cos(t), sin(t)], v(t) = [ sin(t), cos(t)] siden p = v = 1 og p v (Tegn figur) Derivasjon av p(t): ṗ(t) = [(cos t), (sin t) ] Nå vet vi at ṗ = v. Følgelig vet vi: (cos t) = sin t, (sin t) = cos t

ROTASJONSBEVEGELSE II v(t) p(t) C Spesiell egenskap I: p = r (Konstant), i.e. p p =konstant. Konsekvens: 0 = d (p p) = ṗ p + p ṗ = 2p ṗ = 2p v dt v p. Fartsvektoren står vinkelrett på posisjonsvektoren

ROTASJONSBEVEGELSE III P 1 p p(t + h) θ p(t) P 0 C Areal av sirkelsektor CP 0 P 1 = 1 θ(p 2 p) Areal av trekant CP 0 P 1 = 1 (p 2 p) (OBS: Areal representer ved vektor) For små θ er disse arealene nokså like. Dermed θ t p p (p p) t = 1 ( ) p p p p t Når vi lar t 0, og lar ω = θ: ω = θ = p v Vinkelhastigheten er en vektor! p p

VINKELHASTIGHETSVEKTOREN ω = p v p p Denne vektoren angir rotasjonsbevegelsen: ω angir rotasjonshastigheten målt i radianer pr. tidsenhet. Retningen til ω angir rotasjonsaksen. Baklengs bevegelse rotasjonshastighet ω. p v = p v siden p v, og følgelig er p ω = v p = p v p p p = v p

BEREGNING AV HASTIGHET FRA ROTASJONSHASTIGHET La ˆp = 1 1 1 p, ˆv = v, ˆω = p v ω ω Da er ˆp, ˆv, ˆω et høyrehåndssystem av ortogonale vektorer med lengde 1. Følgelig er Dermed v = v ˆω ˆp = ˆv = ˆω ˆp v ω p ω p = ω p Vi har altså en enkel formel for hastigheten uttrykt ved rotasjonshastigheten: v = ω p

V. AKSELERASJON OG ROTASJON

ANALYSE AV AKSELERASJONSVEKTOREN Posisjonsvektoren p(t), hastighetsvektoren v(t) samt vinkelhastigheten ω(t) gav oss et høyrehåndssystem ˆp, ˆv, ˆω av vektorer av lengde 1 som står loddrett på hverandre. Vi vil nå uttrykke akselerasjonen som a = a rˆp + a bˆv + a ω ˆω. Radialakselerasjonen: a r. Dette er det vi ofte kaller sentripetalakselerasjonen. a r = ˆp a Tangensialakselerasjonen: a b, komponenten av akselerasjonen i fartsretningen. a b = ˆp a Normalakselerasjonen: a ω komponenten av akselerasjonen normalt på radial- og fartsretningen. a ω = ˆω a

RADIALAKSELERASJONEN Siden v p, der p v = 0. Følgelig er 0 = d (p v) = ṗ p + p v = v v + p a dt Følgelig er p a = v v, og ( ) p a r = ˆp a = p a = p a p = v v p Hvis v = v og r = p kan vi uttrykke dette slik: Radialakselerasjonen a r = v2 r.

TANGENSIALAKSELERASJONEN Som på forrige slide lar vi v = v. Da har vi d dt (v2 ) = d (v v) = 2v a. dt Ved kjerneregelen har vi Dermed er og d dt (v2 ) = 2v d v = 2v v. dt c a = v v, a b = ˆv a = v a v Tangensialakselerasjonen = a b = v Denne måler altså fartsendringen.

NORMALAKSELERASJONEN Fra før vet vi at ω v = 0. Følgelig er 0 = d (ω v) = ω v + ω v. dt Følgelig er så a ω = ˆω a = ω a = ω v, ( ) ω a = ω a ω ω = v ˆv ω = rˆv ω. ω Normalakselerasjonen = a ω = rˆv ω. Legg merke til: Hvis retningen til ω er uforandret, vil ω ˆv, og vi får ingen normalakselerasjon.

VI. FORKLARING AV KEPLERS 2.LOV

FORENKLET MODELL FOR PLANETBEVEGELSE Solen befinner seg i origo. Planeten beveger seg langs en bane p(t) med fart v(t) og akselerasjon a(t). La r(t) = p(t). Newton s gravitasjonslov foreskriver følgende akselerasjon: a = Kp r 3 der K er en konstant som må bestemmes eksperimentelt.

KEPLERS 2. LOV Innenfor modellen beskrevet på forrige side får vi ( ) d (v p) = v p+v ṗ = a p+v v = Kp dt r 3 p = K r 3 p p = 0 Endringsraten for v p er altså null. Det medfører at ω = v p = Konstant. Dette er en moderne form av Keplers 2.lov. Noen konsekvenser: Planeten beveger seg hurtigere nærmere solen. p står alltid vinkelrett på den konstante vektoren ω. Planeten beveger seg altså i et plan.

UTSVEIPET AREAL p(t + h) θ p(t) C P 1 p P 0 Areal av sirkelsektor 1 2 p(t) p(t) = 1 2 p(t) ( p + p) = 1 p(t) p 2 Utsveipet areal pr. tidsenhet 1 ( ) 2 p p h Når h går mot 0: Utsveipet areal pr. tidsenhet = A A = 1 p v 2

UTSVEIPET AREAL Keplers 2. lov sier at A = 1 p v = Konstant. 2 Dette betyr: Posisjonsvektoren p(t) sveiper ut et visst areal pr tidsenhet. Dette arealet pr. tidsenhet er konstant. Oppgave: Tegn figur.