KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Kvalitetsledelse med Statistikk. SMF2121 EKSAMENSDATO: 14. mai 2009 KLASSE: Ingeniørutdanning TID: kl. 9.00 13.00. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator og alle trykte og skrevne hjelpemidler. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.
Eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 14. mai 2009 1 Oppgave 1 Forklar innholdet i disse begrepene: 1. kvalitet 2. kvalitetsavvik 3. avviksbehandling 4. korrigerende tiltak 5. kvalitetsledelse 6. revisjon 7. kvalitetssystem 8. styringsprosedyre 9. dokumentstyring 10. FMEA Oppgave 2 Beskriv hvilke fordeler prosessorganisering kan innebære i forhold til tradisjonelle organisasjonsformer. Anvend prosessorganisering for å tilrettelegge for systematisk og planlagt organisatorisk læring. Vis dette ved å utforme en eller flere aktuelle prosesser, som eventuelt har et avhengighetsforhold. Er du usikker på hvordan du skal løse denne oppgaven, definer dine egne forutsetninger og løs oppgaven på dette grunnlaget. Oppgave 3 Opptaket av studenter på norske høgskoler og frafallet i løpet av studiet kan ofte beskrives som statistiske fordelinger. Tabellen nedenfor viser gjennomsnitt og standardavvik for en bestemt utdanning: b ) c ) fordeling Gjennomsnitt, antall standardavvik, antall opptak 70 10 frafall i løpet av studiet 20 5 Bestem ØRP og NRP for antall utdannede kandidater til næringsliv og samfunn. Samfunnet har behov for minst 40 kandidater årlig. Bestem evnen til å oppfylle dette samfunnskravet. Høgskolen som utdanner disse kandidatene styrer frafallet etter en ØKG på 30kan- didater. Bestem evnen til å oppfylle samfunnsbehovet. d ) Det er ønskelig fra næringslivet at leveranseevnen av 40 kandidater settes til 90 %. Høgskolen prøver å oppfylle dette kravet ved å påvirke frafallet. Forutsett at standardavviket for opptaket reduseres fra 10 til 6. Bestem ØKG for frafallet. Statistikkdelen kommer på de to neste sidene. Du er snill mot sensorene hvis du har de resterende tre oppgavene på andre ark enn de tre første.
Eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 14. mai 2009 2 Oppgave 4 Du skal betrakte stikkprøver av volumet av maling i 3 liters malingsspann. Antar volumene i spannene er stokastisk uavhenginge og N (μ, 0.10) fordelt. Anta observasjonene av en stikkprøve på 5 spann ble { 3.02, 2.84, 2.92, 2.76, 2.79 } b ) Finne empirisk forventningsverdi x og standardavvik s for dette datasettet. En storkunde ønsker åsjekkeomhanfår tilstrekkelig mengde maling fra fabrikken. Han skal derfor gjennomføre en hypotesetest om dette basert på en stikkprøve på 5 spann. Det vil si han skal teste H 0 : μ =3.00 mot H 1 : μ<3.00, signifikansnivå α =5%,σ=0.10 Sett opp denne testen. Det er venstresidig z test, siden σ =0.10 er kjent, og det kreves ikke at du utleder formelen for den kritiske verdien k. Utfør testen med dataene fra oppgaven. Gir dataene grunnlag for å klage til fabrikanten? c) Hva er styrken γ(2.90) til denne testen? Teststyrken γ(2.90) er sannsynligheten for åforkasteh 0 hvis den virkelige verdien på μ er 2.90. Oppgave 5 I følge statistisk årbok var Norges befolkning 1. januar i årene 1920, 1940, 1960, 1980 og 2000 (der vi angir årstall med 1900 som år 0): x =år etter 1900 20 40 60 80 100 y = befolkning (i millioner) 2.62 2.96 3.57 4.08 4.48 z =ln(y) 0.9632 1.085 1.273 1.406 1.500 b ) Regn ut regresjonslikingen y = a + bx for disse dataparene. Hvis vi antar en lineær vekst i befolkningen (i det minste for perioden 1920 2020), hva vil du fra dette anslå Norges befolkning vil være i år 2020? Det kreves ikke at du viser utregningene. Under visse idealiserte forutsetninger vil befolkningen følge en eksponentialfunksjon y = ke lx,derk og l er parametre. Gjør en transformasjon av dataene slik at k og l kan anslås ved hjelp av lineær regresjon, og anslå Norges befolkning i år 2020 ut fra denne modellen. Oppgavesettet fortsetter på neste side.
Eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 14. mai 2009 3 Oppgave 6 Et terningspill baserer seg på kast med 4 terninger, og gunstig resultat for hver terning er femmer eller sekser. Antall gunstige er dermed binomisk fordelt med n =4ogp =1/3, og dette gir følgende punktsannsynlighet ferdig utregnet for deg: x 0 1 2 3 4 P(X = x) 0.1975 0.3951 0.2963 0.0988 0.0123 Et pengespill basert på dette terningspillet er slik at gevinstutbetalingen er kr. 3,- for nøyaktig 3 gunstige og kr. g,- for 4 gunstige utfall. Innsatsen per spill er kr. 1,-. Hva må gevinsten g være for at spillet skal være rettferdig (dvs. at forventningsverdien på gevinsten skal være 0)? b ) Anta gevinsten g settes til kr. 50,-, og la Y i være nettogevinst i et spill (i { 1, 2,...,1000 }). Finn (tilnærmet) sannsynligheten for at en spiller vil komme ut med samlet (positiv) nettogevinst i 1000 spill. Lykke til!
Løsning, eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 14. mai 2009 1 Oppgave 4 a) x =2.866, s =0.105. b) Vi kan bruke X som testobservator, og forkaste H 0 for små verdier av denne. Vi har da Z = X 3.00 0.10/ 5 N(0, 1) hvis H 0 er sann Dermed forkastes H 0 for z<z 0.95 = 1.645 x 3.00 0.10/ 5 < 1.645 x<3.00 1.645 0.10/ 5=2.926 Dermed er kritisk verdi k =2.926, ogh 0 forkastes om x<2.926. Siden x =2.866 <kforkastes H 0,deter grunnlag for å klage. ( c) Hvis μ =2.90 er X N 2.90, 0.10/ ) 5, og sannsynligheten for åforkasteh 0 er da Oppgave 5 ( ) ( ) 2.926 2.90 P X<2.926 =Φ 0.10/ =Φ(0.58) = 0.719 5 Selv om det ikke kreves at mellomregninger vises i besvarelsen tar jeg med disse: n =5,x = (20 + 40 + 60 + 80 + 100)/5 = 60, y =(2.62 + 2.96 + 3.57 + 4.08 + 4.48)/5 =3.542 s xx =20 2 +40 2 +60 2 +80 2 + 100 2 5 60 2 = 4000, s xy =20 2.62 + 40 2.96 + 60 3.57 + 80 4.08 + 100 4.48 5 60 3.542 = 96.8 b = s xy /s xx =96.8/4000 = 0.0242, a = y b x =3.542 0.0242 60 = 2.09 Dermed er regresjonslikningen y =2.09 + 0.0242x År 2020 tilsvarer x = 120, og da anslår vi befolkningen til y(120) = 2.09 + 0.0242 120 = 4.99 (millioner) Spredningsplott (det spørres ikke etter det i oppgaven, de små siklene er regresjonskurven fra b oppgaven): 5 mill. 4 mill. 3 mill. 2 mill. 1 mill. 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020
Løsning, eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 14. mai 2009 2 b) Ved å ta den naturlige logaritmen på begge sider får vi y = ke lx ln(y) =ln(k)+lx Dette gir en lineær sammenheng mellom x og z =ln(y), med koeffisienter a =ln(k) k = e a og b = l. Tabellen for x og ln(y) kan da brukes, og lineær regresjon utføres på disse transformerte dataene: Viser ikke utregningene (som er tilsvarende de i a oppgaven), som gir b =0.006973 og a = 0.8271, som gir l = b =0.006973 og k = e a = e 0.8271 =2.287, og dermed tilpasningskurven Dette gir for år 2020: y =2.287e 0.006973x y(120) = 2.287e 0.006973 120 =5.28 (millioner) Funksjonsverdier for denne kurven er prikket inn i diagrammet. Det er vel ikke så lett å se i diagrammet om det er den rette linjen eller eksponentilafunksjonen som passer best. Oppgave 6 a) La Y være nettogevinsten i et enkelt spill. Da er Y = 1 forx =0,x =1ogx = 2 (da hele innsatsen tapes) så P(Y = 1) = 0.1975 + 0.3951 + 0.2963 = 0.8889. Med x = 3 vinnes 3 1 = 2 kroner, så P(Y =2)=0.0988, mens for x = 4 vinnes g 1 kroner, så P(Y = g 1) = 0.0123. Punktsannsynligheten for gevinsten er da på tabellform Forventet gevinst er da y 1 2 g 1 P(Y = y) 0.8889 0.0988 0.0123 E(Y )= 1 0.8889 + 2 0.0988 + (g 1) 0.0123 = 0.7036 + 0.0123g Rettferdig spill betyr E (Y )=0somfåes ved 0.7036 + 0.0123g = 0 g = 57.20 b) Y i får fordeling som Y i b oppgaven, når vi setter inn g = 50: y 1 2 49 P(Y i = y) 0.8889 0.0988 0.0123 Skal bruke sentralgrenseteoremet og si at gevinsten W = Y 1 +Y 2 + +Y 1000 er tilnærmet normalfordelt. Må da finne μ =E(W )ogσ = Var (W ), ved først å finne E (Y i )og Var (Y i ): E(Y i )= 1 0.8889 + 2 0.0988 + 49 0.0123 = 0.0886 Var (Y i )=( 1) 2 0.8889 + 2 2 0.0988 + 49 2 0.0123 ( 0.0886) 2 =30.81
Løsning, eksamen i Kvalitetsledelse med Statistikk. 14. mai 2009 3 Reglene for forventningsverdi og varians av lineærkombinasjoner av uavhengige stokastiske variable gir da: E(W ) =( 0.0886) + ( 0.0886) + +( 0.0886) = 1000 ( 0.0886) = 88.60 Var (W )=30.81 + 30.81 + +30.81 = 1000 30.81 = 30810 så σ = 30810 = 175.5 Samlet nettogevinst betyr at W>0. Med så storn bryr vi oss ikke med halvkorreksjon, og får: ( ) 0 ( 88.6) P(W>0) 1 P(W 0) = 1 Φ =1 Φ(0.50) = 0.3085 175.5