UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall Sider: iklusiv forside Atall oppgaver: 4 Atall vedlegg: Tillatte hjelpemidler er: Alle skriftlige hjelpemidler er tillatt, dvs: Lærebok, formelsamliger, ege otater etc. For digital eksame gjelder: Det er ikke tillatt kommuikasjo med adre dvs: Skype, MSN, Facebook etc. Godkjet kalkulator Joh Hauga: Formler og tabeller Karl Rottma: Matematisk Formelsamlig Paul T. Cappele, Kåre P. Dale m.fl: Tabeller og formelsamlig Alle godkjete formelsamliger for videregåede skoler for fagee: P, T, P, T, S, R, S, R, X og X, Y, MX, MY, MX, MZ, MX, MZ MA-8 Kalkulus formelsamlig av Jostei Trodal Merkader: Alle bokstavoppgaver vektes likt. ALLE MELLOMREGNINGER SKAL VÆRE MED. KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG
Oppgave ( cos ) a) Fi greseverdie år lim 0 si b) Bruk logaritmisk derivasjo til å fie y ' år y y = + e c) Deriver uttrykket d) i) Fi ' l = for alle 0 y til uttrykket y ( ) =. ii) Hva blir stigigstallet m for tagete i puktet (, )? iii) Hva er likige til tagete i puktet (, )? >. e) E sfærisk ballog fylles med helium med e rate på 00 dm / mi. Hvor raskt øker balloges radius seg i det øyeblikket radiuse er 5 dm? Og hvor raskt øker balloges overflate ved dee radiuse? f) Du skal desige e åpe sylidrisk vabeholder ute lokk. Vabeholdere skal kue romme 000 cm. Hvilke dimesjoer må e slik beholder ha dersom vi skal bruke mist materiale år vi lager de? Oppgave a) Løs følgede itegral: d + b) Løs følgede dobbeltitegral: dyd y f, y = y y y + 4 c) Fi alle. ordes partiellderiverte til fuksjoe Oppgave ( ) a) For rekka = 0 0, gjør følgede: i) Bestem kovergesitervall. ii) Når er rekka absolutt koverget? iii) Når er rekka betiget koverget? iv) Hvor er rekkas seter. v) Hva er rekkas radius? b) Bruk Taylor s formel til å fie de 4 første leddee i Taylor-rekka til f = rudt =. Skriv også opp rekka som e sum med start for = 0. Oppgave 4 a) Gitt det komplekse tallet z = + i. i) Fi reell del Re( z ) og imagiær del Im ( z ) for z. ii) Fi modulus (avstad) r = z og argumet θ = arg ( z) til z b) Forekle uttrykket ( 4 + i )( + 5i) c) Fi lieariserige L(, y) til fuksjoe f (, y) = l + l y ved puktet (, )
FASIT: Oppgave a) ( cos ) 0 lim = L ' Hopital 0 si 0 si + ( cos ) 0 lim = L ' Hopital 0 cos 0 cos si si cos + si 0 lim = lim = L ' Hopital 0 si 0 si 0 cos si + cos si + cos lim = lim = = 0 cos 0 cos b) l y = l y = l l l y = l l = l y ' = ( l ) y l y ' = y l = = l l y ' c) y = + e l y ' = e + + e y ' = e e 4e = 4e d) y = implisitt derivasjo yy ' + y = 4 yy ' yy ' y = y ' 4y y = + y + y + y y ' = = 4y y y ( ) + Stigigstall i (,) : m = = ( ) Likig: y y = m y = y = 0 0
e) 4 dv Volum til e kule er V = r. Edrig i volum er = 00 dm / mi. dt 4 Deriverer volumet: dv = dr dr r = 4 r dt dt dt dv Ved r = 5dm år = 00 dm / mi : dt dv dr 4 00 4 ( 5) dr dr dr = r = 00 = 00 = dm / mi dt dt dt dt dt Overflate edres: ds dr S = 4 r = 8 r = 8 5dm dm / mi = 40 dm / mi. dt dt f) Volum til e sylider er V = r h. Overflate til sylidere er her S rh r det ikke er lokk på de. Volumet er 000 cm som gir høyde: 000 V = r h 000 = r h h = r Setter da i for h i uttrykket for overflate: 000 000 S = rh+ r S = r + r = + r r r Deriverer dee for å fie ekstremalverdi: ds 000 r 000 000 0 = + r = 0 = 0 r = r = dr r r Mist overflate år 0 000 000 000 0 r = cm og h = = = = cm r 0 00 Oppgave a) A B d = d + d + A B = + ( + ) + = A + B = A + B A B A + B = A = B A = A B = 0 B B = 0 B = d = d d = l l + C + = +. Husk at 4
b) dyd = dy d = dy d = dy d = [ l y] d y y y y = = = = = ( l l) d l d l [ l ] l ( l l) ( l ) c) f, y = y y y + 4 f = y f = f = y f = y yy f y = f = y Oppgave a) Ka bruke forholdstest eller rot-test, me her er rot-teste litt kjappere. Rot-teste sier at dersom lim a < er rekka koverget. lim = lim = <. 0 0 0 Må da løse ulikhete. < < < 0 0 0 ( ) < 0 < 0 < > 8 Må sjekke edepukt. = 8; 8 0 0 = = = = 0 = 0 = 0 = Diverget, rekke som veksler mellom og +, dvs, ikke går mote e bestemt sum. ( ) ( 0) = ; = = Diverget 0 0 = = = i) Rekka har da kovergesitervall: 8 < < ii) Absolutt koverget år 8 < < iii) Ige verdier gir betiget koverges. iv) Rekkas seter er v) Rekkas radius er 0 5
b) Taylors formel ( ) f '' a f a f = f ( a) + f '( a)( a) + a + + a!! = Setter opp på tabellform: f = f = f ' = f ' = 4 f '' = f '' = 8 6 6 f ''' = f ''' 4 = 6 Setter i i formel: 6 8 6 f 4!! = ( ) + ( ) + ( ) = + 4 8 6 = 0 ( ) ( ) ( ) Rekka som e sum ( ) ( ) + Oppgave 4 a) i) Re( z) = Im( z) = ) : = = + = 9 + 9 = 6 = 6 ii Modulus r z Argumet : Arg ( z) = θ = ta = ta = 4 + i + 5i = 8 + 6i + 0i + 5i = 8 5 + 6i = 7 + 6i b) c) f, y = l + l y ( 0 y0 ) (, ) ( 0, 0 ) + ( 0, 0 )( 0 ) + y ( 0, 0 )( 0 ) (,) = l+ l = 0 Lieariserige i et pukt, er gitt ved: L y f y f y f y y y f f = = = f = = = y (,) y (,) L, y 0 + + y = 0 + + y = + y 6