Metodiske feilkilder ved avkastningsberegning

Utbredelsen av tilnærmede metoder for beregning av avkastning er stor. Problemet med disse tilnærmede metodene er at de har iboende svakheter ved avgang og tilgang av kapital i portefølgjen. Innledning Avkastning er et vanlig mål for å beskrive en porteføljes verdiutvikling. Forvalterens suksess eller fiasko er knyttet til den oppnådde avkastningen. Graden av suksess og fiasko avgjøres ofte ved å sammenligne avkastningen mot benchmark og konkurrenters oppnådde resultater. Suksess eller fiasko vil være avgjørende for om forvaltningsoppdraget opphører, fortsetter eller utvides. Den beregnede avkastning benyttes også i etterfølgende analyser omkring risiko, bidragsanalyser (dekomponering), fakturering av forvaltningshonorar m.m. Akademia har forsøkt å utarbeide modeller og måltall for å skille den dyktige forvalteren fra den heldige. I slike analyser inngår avkastningen som en av flere parametere. Konklusjoner fra slike analyser er betinget av at avkastningen er beregnet med høy grad av presisjon. Endret plasseringsadferd kombinert med forbedrede IT-løsninger gjør at mange bedrifter i dag mottar, beregner og analyserer avkastningsdata i egen virksomhet. Praksis viser at utbredelsen av tilnærmede metoder for beregning av avkastning er stor. Problemet med disse tilnærmede metodene er at de har iboende svakheter ved avgang og tilgang av kapital i porteføljen. Metodiske feilkilder ved avkastningsberegning Meget er skrevet om de ulike metoder for å evaluere den historiske avkastningen. Lite er skrevet om kvaliteten av den beregnede avkastningen. Denne artikkelen gir en grundig innføring i når de tilnærmede metodene for avkastningsmåling har svakheter. Svakheten ved en tilnærmet beregning blir analysert i dimensjonene porteføljevolatilitet, tid og porteføljestørrelse. Konklusjonen er at de tilnærmede metodene ofte har liten forventet feilmargin sammenlignet med den virkelige avkastningen. Variasjonen (standardavviket) til feilmarginen er imidlertid betydelig. Dermed blir utfallsrommet for feilmarginen stor, noe som forringer kvaliteten på den beregnede avkastningen betydelig. Avkastningsmåling I avkastningsmåling er det vanlig å skille mellom pengevektet og tidsvektet avkastningsberegning. Allerede sent på 960-tallet anbefalte Bank Administration Institute å anvende tidsvektet avkastning ved resultatmåling av porteføljeforvaltere. Dette er også kravet i Global Investement Performance Standards (GIPS ) som bl.a. er anbefalt av Norske Finansanalytikeres Forening. I en tidsvektet avkastningsberegning vil JØRN GUNNAR KLEVEN Jørn Gunnar Kleven (34) er Autorisert Finansanalytiker (AFA), CEFA, MBM (handelsøkonom) og har avlagt forsikringseksamen. Han er tidligere ansvarlig for bl.a. investeringsrapportering i KLP Forsikring og Storebrand Kapitalforvaltning ASA. Han er i dag controller i Oppland Energi AS og leder av Norske Finansanalytikeres Forenings komité for avkastningsmåling (GIPS-komité). Han er og deputy i European Investment Performance Committee (EIPC). 99

resultater oppnådd med en stor portefølje tillegges samme vekt som resultater oppnådd med en liten portefølje. Dette til forskjell fra en pengevektet beregning hvor resultater oppnådd med en stor portefølje tillegges mest vekt. Den tidsvektede beregningen separerer vekk effekter fra eierens beslutninger om å endre porteføljens verdi og de etterfølgende resultateffekter fra slike verdiendringer. I fravær av kontantstrømmer vil pengevektet og tidsvektet avkastning være identisk. I slike tilfeller kan avkastningen alltid beregnes som sluttverdi dividert på startverdi fratrukket ( er den investerte krona). For å beregne en korrekt tidsvektet avkastning er man avhengig av å kjenne porteføljens verdi rett før porteføljen har avgang eller tilgang av kapital. I det etterfølgende benevnes slike tilganger og avganger for kontantstrømmer. Å fremskaffe verdien av porteføljen på kort varsel kan i mange tilfeller være kostbar og tidkrevende. Av praktiske årsaker velger mange kapitalforvaltere å beregne verdien av porteføljen kun ved månedsslutt. I fravær av kontantstrømmer er dette tilstrekkelig. Ved kontantstrømmer på andre tidspunkter enn månedsslutt, forutsetter de forenklede metodene at startporteføljen og de etterfølgende kontantstrømmene har en konstant avkastning gjennom perioden. Det vil i mange tilfeller være en feil forutsetning. En global undersøkelse fra 00 viser at så mange som 57 % av alle kapitalforvaltere anvender tilnærmede metoder i sine avkastningsmålinger. Valget av en tilnærmet metode er som regel praktisk begrunnet. Norges største kapitalforvalter, Norges Bank Kapitalforvaltning, beskriver sitt metodevalg i årsberetning for 00: «Norges Bank har foreløpig kvalitetssikrede markedsverdier kun ved månedsslutt, og beregner derfor ikke tidsvektet avkastning internt i måneden. I stedet benyttes en pengevektet metode (modifisert Dietz metode)». I det etterfølgende blir det gitt en beskrivelse av utfallsrommet for feilleddet ved å benytte en pengevektet metode som substitutt for en tidsvektet avkastningsberegning.. Tidsvektet avkastning eksakt metode Under vises formelen for tidsvektet avkastning. Produktet R t er avhengig av de ulike periodeavkastningene (ri). For sluttproduktet R t utgjør 5 % i periode like meget som 5 % i periode n. Produktet Rt er således uavhengig av om porteføljeavkastningen på 5 % oppstår i en portefølje med verdi på 00 Mkr i periode eller i en portefølje på 0 Mkr i periode n. R [ + r ) ( + r )...( + r ) ] 00 t = ( n R t = tidsvektet avkastning for hele historikken t r i = avkastning i delperiode i Dersom vi kjenner porteføljens verdi (MV i ) rett før hver kontantstrøm (K i ) kan () omskrives som: MV MV 0 MV MV K R + t = +... MV0 MV + K MVn MVn + K + MVn + Kn n 00 Innenfor hver parentes står delperiodens resultat over brøkstreken. Under brøkstreken står delperiodens startverdi. Avkastningen beregnes som resultat dividert med startverdi. Vi vil i det etterfølgende beregne avkastningen for en portefølje som kun består av aksjer i Norsk Hydro. Forvalteren for denne porteføljen har kun anledning til å investere i nevnte aksje. Hans prestasjon vil også bli målt mot aksjens kursutvikling. 00 praktisk økonomi & finans 4/ 003

Tabell Periode Dag 0 5 Dag 6 30 Verdi IB (MVn ) 000 00 Kontantstrøm 0 600 (Kn ) (= 5aksjer) Verdi etter kontantstrøm 000 800 Verdi UB (MVn) 00 350 # aksjer IB 0 0 # aksjer UB 0 5 Kurs IB 00 0 Kurs UB 0 90 Avkastning 0 % 5 % Med utgangspunkt i formel () og data fra tabell kan den tidsvektede avkastningen beregnes som 00 000 350 00 600 R t = + + 000 00 + 600 00 = 0% R t = [( + 0,) ( 0,5) ] 00 = 0% Aksjen Norsk Hydro har i perioden svekket seg med 0 % (fra 00 kr til 90 kr). Vår portefølje av Norsk Hydro-aksjer har ikke uventet også falt 0 % i verdi. Vi har således eliminert effekten av at porteføljen ble tilført kapital ved dag nr. 6. Resultatet i kroner for porteføljen er 50 (UB IB kontantstrøm).. Pengevektet metode tilnærmet metode Om porteføljeverdien før hver kontantstrøm er ukjent må en tilnærmet beregning av periodeavkastningen ri utføres. Den mest benyttede metoden til dette formålet er modifisert Dietz. Den er svært anvendelig i praksis ved at databehovet begrenser seg til informasjon om de kontantstrømmer som har inntruffet i delperioden. I tillegg må porteføljen verdsettes med jevne mellomrom. Mellom verdsettelsestidspunktene forutsetter metoden at avkastningen er lineær. Forutsetningen om linearitet er også metodens svakhet. Mod. Dietz W d D = W MVE = Sluttverdi av porteføljen MVB = Startverdi av porteføljen Dj = Brøk som skalerer kontantstrømmen j etter # dager. W = Antall dager i løpet av delperioden d = Dag nr. for kontantstrøm i delperioden Kj = Kontantstrøm j delperioden t t = Delperiode t rt = Avkastning for delperiode t n = Antall kontantstrømmer Den tilnærmede avkastningsberegningen blir med utgangspunkt i formel (3) og data fra tabell r t = r = 350 000 600 = 30 6 + 000 + ( ) 600 30 t MV MV E MV B = 6,67% Til forskjell fra i formel har man i formel 3 et vektet kapitalgrunnlag under brøkstreken. Over brøkstreken står i begge tilfeller delperiodens resultat. Porteføljens avkastning er 6,67 %, mens porteføljens eneste aktiva har svekket seg med 0 %. + n j= B j n j= K D K, ved forutsetning om at kontantstrøm, investeres i slutten av dag nr. d W d +, ved forutsetning om at kontantstrøm D = W, investeres i starten av dag nr. d j j 0

Tabell Beløp Andel av Avkastning Resultat periode (D) i periode 000 00 % 6,67 % 66,67 600 83,33 % (5 dg/ 30 dg) 6,67 % 83,33 Sum 6,67 % 50,00 3 Analyse av feilleddet i en tilnærmet metode Den tilnærmede avkastningsberegningen produserer et feilledd på 6,67 % = 6,67 % ( 0 %). Avviket i forhold til den eksakte avkastningen på 0 % er således betydelig. I det etterfølgende anvendes feilledd og feilmargin synonymt. Feilleddet, F, kan i vårt tilfelle beregnes som; Tidsvektet metode () = Tilnærmet metode (3) + Feilledd Feilledd = Tilnærmet metode (3) Tidsvektet metode () Pengevektet Tidsvektet MV MV0 K MV MV F = MV0 + K D MV0 MV + K r +r +r Den årvåkne leser vil av formel (4) se at det første leddet ikke inneholder interimsverdien MV. Det er bruken av DK i stedet for MV som skaper feilleddet. Ved bruk av formel (4) og data fra tabell kan feilleddet mellom 6,67 % og 0 % etterregnes som 350 000 600 6,67% = 30 6 + 000 ( )600 + 30 00 350 + 000 00 600 + Om vi bearbeider noen av leddene i formel (4) videre kan vi lage en generell formel for feilleddet. Avkastningen før kontantstrømmen K benevnes heretter r. Avkastningen etter kontantstrømmen benevnes r. Om vi videre lager oss et forholdstall på kontantstrømmens størrelse i forhold til porteføljens startverdi lik K K = kan vi substituere og løse formel (4) V 0 mht. feilleddet F: K F = + + D K ( r D ( r + r r r )) Vi ser av formel (5) at feilleddet øker med kontantstrømmen K s størrelse. Videre vil tidspunktet for kontantstrømmen, D, påvirke feilmarginen. Til sist vil volatilitet i avkastningen påvirke feilmarginen gjennom det siste leddet i formel (5), (r D(r+r+rr). Med utgangspunkt i formel (5) og data fra tabell kan feilleddet (forskjellen mellom 0 % og 6,67 %) etterregnes som (ex.post) 0,6 F = ( 0,5 0,83 + 0,83 0,6 (0, + 0,5 + 0, 0,5) ) = 6,67% Dr. Peter Vann har i en artikkel 3 utledet en formel for forventet feilledd 4 og standardavvik 5 for feilleddet. Beregningen gjøres ex.ante. Vi vil i det etterfølgende vise hvilke 0 praktisk økonomi & finans 4/ 003

variasjoner i feilleddet vi må påregne innen en måned når vi anvender en tilnærmet metode på bekostning av en eksakt tidsvektet metode. I det etterfølgende er analyseperioden en måned. Analyseperiodens lengde gjør at alle tall er små. Dersom en forvalter forventer å gjøre det % bedre enn sin benchmark pr. år tilsvarer det en månedlig meravkastning på 7 bp. I figur og studeres en aksjeportefølje med årlig forventet avkastning på 5 % p.a. Volatiliteten til porteføljen er forutsatt å være 0 % p.a. Tidsperioden er en måned. Ex.ante er forventet feilmargin ved en tilnærmet avkastningsberegning liten. Det som er bekymringsfullt er at variasjonen til feilleddet er betydelig. Dermed blir også utfallsrommet til feilmarginen stor (forventning + / standardavvik). 4 Analyse av feilleddet i en tilnærmet avkastningsberegning I figurene benyttes forkortelsen STDAV for standardavviket til feilleddet. Når feilleddet i figuren er oppgitt til f. eks. 0,50 % så betyr det at avkastningen feilmåles med 50 bp i forhold til den virkelige avkastningen. I figur vises standardavviket til feilleddet som en funksjon av kontantstrømmens størrelse. Som vi ser må det påregnes store feilledd når kontantstrømmene øker i forhold til porteføljens startverdi. Kontantstrømmen er forutsatt å inntre midt i måneden. Allerede ved kontantstrømmer som utgjør 0 % av porteføljens verdi, vil utfallsrommet for feilleddet pr. måned i 67 % av tilfellene ligge innenfor et helt års forvaltningshonorar (0,5 %) for en stor aksjeportefølje. I avkastningsmåling vil alltid store kontantstrømmer medføre mulighet for feilmåling. Dette skyldes at startkapitalen og kontantstrømmen nesten aldri har samme avkastning. Ved store kontantstrømmer blir konsekvensen av forutsetningen om samme avkastning for startkapital og etterfølgende kontantstrøm størst. I figur vises standardavviket til feilmarginen som en funksjon av tidspunktet for kontantstrømmen. I figuren har vi forutsatt at kontantstrømmen utgjør 0 % av porteføljens startverdi. Om kontantstrømmen skjer midt i måneden er sannsynligheten for feilmåling størst. Figur Figur STDAV (feilledd) - % poeng Utfallsrom i feilledd pr. mnd,5 %,0 %,5 %,0 % 0,5 % STDAV (feilmargin) - % poeng 0,6 % 0,5 % 0,4 % 0,3 % 0, % 0, % 0,0 % Utfallsrom for feilledd mnd pr. 0 3 6 9 5 8 4 7 30 Dag i måned 0,0 % 0 % 0 % 40 % 60 % Str. kontantstrøm +/-(K) 80 % 00 % 03

Årlig portefølje volatilitet 50 % 45 % 40 % 35 % 30 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 30 bp 0 bp 0 bp Som vi husker fra formelen for modifisert Dietz (3) så forutsettes det at all kapital innen måneden har samme avkastning. Dette gjøres ved å skalere kontantstrømmen med tiden den har vært investert, se tabell. Om kontantstrømmen inntreffer tidlig i måneden, så vil ikke forutsetningen om samme avkastning for startkapitalen og kontantstrøm nødvendigvis være feil. Derfor er utfallsrommet til feilmarginen moderat i starten. Videre ser vi av formel (3) at kontantstrømmen K skal vektes med tiden D. Når kontantstrømmen skjer i slutten av måneden vil den tillegges liten vekt. Derfor blir også konsekvensen av feil forutsetning skalert ned. Ved en kontantstrøm (K) på 0 % midt i måneden vil utfallsrommet for feilmarginen være innenfor +/ 0,5 % i 67 % (ett standardavvik) av tilfellene. Utfallsrommet tilsvarer det årlige forvaltningshonoraret på en stor aksjeportefølje. Figur 3 Isolinjer - Stdav( feilledd) med årlig volatilitet på 0 % i 67 % av tilfellene vil ha et feilledd på /+ 0 bp ved en kontantstrøm på 5 %. Det understrekes at dette er feilledd for en måned og en kontantstrøm, og at beregningen er gjort ex.ante. For forvalteren bør det være bekymringsfullt at volatile perioder kombinert store kontantstrømmer alltid forringer kvaliteten på den rapporterte avkastningen. Det er nettopp i volatile markeder at investoren pålegger forvalteren å reallokere midler mellom de ulike forvalterporteføljer. For rentebærende portefølje vil den årlige volatiliteten være betydelig mindre enn for en aksjeportefølje. Det tilsier at forutsetningen om samme avkastning for porteføljens startverdi og påfølgende kontantstrøm blir mindre feil enn for en aksjeportefølje. Til gjengjeld vil mulighetene for å gjøre det betydelig bedre enn benchmark i prosentpoeng være mindre. Det tilsier høy presisjon i selve målingen. I tillegg er ofte innslaget av kontantstrømmer i slike porteføljer større enn i aksjeporteføljer. Det er derfor grunn til å være varsom også i slike porteføljer, til tross for at den underliggende volatiliteten er mindre. En feilmåling på 0 bp i en pengemarkedsportefølje må karakteriseres som betydelig i forhold til den meravkastningen som er mulig å oppnå for en slik portefølje. Av figur 3 kan vi avlese at ved porteføljevolatilitet på 4 % vil feilleddet være +/ 0 bp ved kontantstrømmer over 0 %. Figur 4 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 30 % 40 % 50 % 60 % 80 % +/-Kontantstrøm / Startverdi I figur 3 er kombinasjoner av kontantstrøm og porteføljevolatilitet vist 6). Det er beregnet isolinjer for variasjon i feilleddet på hhv. 0 bp, 0 bp og 30 bp. Kontantstrømmer inntreffer midt i måneden. Av figuren kan vi avlese at en portefølje Stdav feilledd- % poeng 0,6 % 0,5 % 0,4 % 0,3 % 0, % 0, % 0,0 % Utfallsrom for feilledd, frekvens for verdsettelse 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Tidspunkt 30 dg 7 dg 04 praktisk økonomi & finans 4/ 003

Når man ikke er i stand til å beregne porteføljens verdi før hver kontantstrøm kan presisjonsnivået økes betydelig ved å verdsette porteføljen hver uke. Som det fremgår av figur 4, er utfallsrommet for feilleddet halvert om man velger å verdsette porteføljen fire ganger pr. måned i motsetning til én. Figur 4 viser variasjon av feilleddet ved en kontantstrøm på 0 % ved hhv. ukentlig og månedlig verdsettelse. Tidspunkt lik 0,5 vil være dag 5 ved månedlig verdsettelse, og det noe teoretiske tidspunktet dag 3,5 ved ukentlig verdsettelse. Tabell 3 FOND (empiri) ANTAGELSE (figur ) Tidsperiode Jan. 99 Nov. 0 Ikke aktuelt Tilnærmet metode M. Dietz (d=5) M. Dietz (d=5) Eksakt metode Tidsvektet Tidsvektet Antall observasjoner 47 Ikke aktuelt Kontantstrøm (K) 0 % 0 % Største feilledd,4 %,04 % (95 % intervall) Minste feilledd,03 %,04 % (95 % intervall) Feilledd (STDAV) 58,4 bp 5 bp Målt volatilitet ex. post,4 % p.a 0 % p.a. 5 Empirisk test av feilrapportert avkastning Et verdipapirfond beregner sin avkastning med utgangspunkt i daglige verdier, justert for alle nytegninger og innløsninger (kontantstrømmer). En slik beregning kvalifiserer betegnelsen eksakt når verdifastsettelsen er korrekt. I tabell 3 er det foretatt en empirisk test av feilleddet som oppstår når en tilnærmet metode anvendes som substitutt for en eksakt beregning. Objektet som analyseres er en portefølje bestående av andeler i ett norsk aksjefond i perioden /999 til /00. Avkastningen for fondsporteføljen er beregnet både eksakt og tilnærmet. Feilleddet utgjør forskjellen mellom de to beregningene. Det er forutsatt at investoren (andelshaveren) kun avlegger regnskap hver måned, og at investorens fondsportefølje verdsettes den siste dagen i hver måned. Dette til forskjell fra porteføljeforvalteren som verdsetter verdipapirfondet (porteføljen) hver dag. Investoren og porteføljeforvalteren har således forskjellig utgangspunkt for sin månedlige avkastningsmåling. Det er videre forutsatt at ervervet av nye andeler skjer den 5. i hver måned, og at den månedlige spareavtalen utgjør 0 % av fondporteføljens startverdi. I tilknyting til figur hevdet jeg at kontantstrømmer på 0 % vil produsere et feilledd med standardavvik på 5 bp ved en porteføljevolatilitet på 0 % p.a. I tabell 3 fremgår det at standardavviket til feilleddet for vår fondsportefølje er beregnet til 58 bp. Største feilledd som ble målt var på,4%. Dette er marginalt utenfor konfidensintervallet (95 %) på +/-,04 prosentpoeng som ble skissert i tilknytning til figur. Det målte feilleddet (ex.post) stemmer således godt overens med det feilleddet som ble postulert ex.ante i figur for en norsk aksjeportefølje med volatilitet på 0 % p.a. Fondsporteføljen fikk økt sin annualiserte tracking error med prosentpoeng i forhold til tracking error målt ved en eksakt avkastningsberegning. Økningen skjer som en følge av økt variasjon i avkastningen over måleperioden. En økning i tracking error oppleves av de fleste forvaltere som negativt. 6 Avslutning Leseren har forhåpentligvis fått forståelse for at muligheten for feilrapportering av avkastning er stor i fravær av en eksakt tidsvektet beregning. Selv om feilleddet ikke systematisk øker avkastningen i noen retning, er det egnet 05

til å forringe all etterbruk av investeringsrapporteringen. For eksempel vil det utilsiktet øke forvalterens tracing error (TE). Forvaltere som etterlever Global Investement Performance Standards (GIPS ) er anbefalt å foreta verdsettelse av porteføljen ved alle kontantstrømmer som overstiger 0 % av porteføljens verdi. Praksis viser at selv de største forvalterne må anvende tilnærmede metoder når avkastningen skal beregnes. Både YK og innføring av Euro medførte at de fleste forvaltningsinstitusjoner anskaffet nye verdipapirsystemer. Til tross for dette, fortsetter mange å anvende kun månedlig verdsettelse når avkastning skal beregnes. Noe av årsaken må tilskrives forvalteres avhengighet av rapporter fra depotbanker for avstemming og verdsettelse av posisjoner. Slike rapporter blir ofte kun produsert én gang pr. måned. Som mottaker og bruker av historisk avkastningsinformasjon er det viktig å være kritisk til de forutsetninger og metoder kapitalforvalteren har anvendt ved beregning av avkastning. Dette er spesielt viktig siden reallokering av investerte midler normalt skjer i perioder med stor volatilitet. Som forklart er det kombinasjonen av store kontantstrømmer og volatile markeder som produserer feilleddene. Noter og henvisninger Bank Administration Institute (968), Measuring the Performance of Pension Funds, Bond Administration Institute, Park Ridge, Illinois Price WaterhoseCoopers: 00 Global Trends in Performance Measurement. 3 Dr. Peter Vann (999). An Analysis of a Source of Errors in Performance Measurement. 4 5 K Forventet feilledd = µ ( F) = + T K µ p N T ( T ) Variasjon feilledd = Var K ( F) T ( T ) N σ p T K + K = kontantstrøm dividert med startverdi av porteføljen (K )/MV T = andel av delperiode en kontantstrøm er investert, eks 0,5 N = # dager i delperioden, eksempel 30 for en måned µ p = forventet årlig avkastning eks.5% p. a eller ( + 5% p. a) pr. dag σ p = årlig var iasjon i avkastning, eks.(0% p. a) eller (0,0 ) / 365 pr. dag, forutsatt uavhengighet 6 I figuren er det forutsatt at feilleddet er det samme ved positive og negative kontantstrømmer. Det er en forenkling. Funksjonen er en andregradligning med to løsninger (en for positiv kontantstrøm og en for negativ kontantstrøm). En negativ kontantstrøm vil medføre større feilledd enn en postitiv kontantstrøm. Eksempel vil K = 0 % medføre et på feilledd på 0,7 % ved en årlig porteføljevolatilitet på 0 % p.a. og forventet avkastning på 0 % p.a. Ved K = 0 % er feilleddet 0,30 %, altså større. (/ 365) 06 praktisk økonomi & finans 4/ 003