Oppgavesett for pensum uke 5

Oppgavesett for pensum uke 5 Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. P. 1 12, 31, 32, 41 App. I. 5, 23, 34, 37, 51 29, 41 P.6 4 10, 11 Eksamensoppg Oppgavene 1 og 2 på neste side av dette oppgavesettet. Avsnitt 1.2 30 Avsnitt 1.5 3, 4 Hint til oppgavene i P.6: det kan være komplekse røtter. Innleveringsoppgaver Oppgavene 4, 5, 6 og 7 på de neste sidene av dette oppgavesettet. Seminaroppgaver App. I 20, 46,,53 Eksamensoppg Oppgave 3 på neste side av dette oppgavesettet. P.6 7, 8 Dybdeoppgaver App. I 57 P.6 23 (17), 24 (18), 25 (19), 26 (20), 27 (21)

Oppgave 1 Denne oppgave er tatt fra eksamen i emnet M100 ved UiB høst 2000. (a) Skriv det komplekse tallet 2+5i 2+ 5i på formen a + i b. (b) Finn et argument og absoluttverdien (modulus) til det komplekse tallet z = 3 3i. Hva blir z 6? (c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z 10 + 2z 5 + 2 = 0. Oppgave 2 Denne oppgave er tatt fra eksamen i emnet M111 ved UiB høst 2004. (a) Betrakt de to komplekse tallene z = 3 + i og w = 2 i 2. Regn ut z + w og z/w. Skriv z, w og z/w på polar form. Avmerk z, w, z + w og z/w i det komplekse plan. (b) Finn alle løsningene til z 3 = 8i. Oppgave 3 Denne oppgave er tatt fra eksamen i emnet M100 ved UiB høst 2002. La z 1 = 1 1 2 + i 2, z2 = 2 2 1 1 2 + i 2. 2 2 (a) Beregn i) z 1 + z 2, og ii) z 1 z 2, og skriv løsningene på formen x + i y. Tegn z 1, z 2, z 1 + z 2 og z 1 z 2 (b) Skriv z 1 på polar form. Regn ut z 4 1. (c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z 4 + 1 = 0. i det komplekse planet. Oppgave 4 Denne oppgave er tatt fra eksamen i emnet M111 ved UiB høst 2011. La z = 1 + i 3. (a) Merk av z i det komplekse planet og skriv tallet på formen r(cos θ + i sin θ), med 0 θ 2π. (b) Løs ligningen og merk av løsningene i det komplekse planet. w 4 = 8(1 i 3),

Oppgave 5 La oss betrakte ulikhetene og 6 x 4 x 1 (1) 3x 4 2 (a) Skriv tallene som oppfylder ulikheten (1) som en union av intervaller. (b) Skriv tallene som oppfylder ulikheten (2) som en union av intervaller. (c) Skriv tallene som oppfylder begge ulikhetene over som en union av intervaller. (2) Oppgave 6 1. La z være det komplekse tallet z = 2+i og la vinkelen ϕ være slik at tan ϕ = 1 og π/2 < ϕ < π/2. 2 Beregn modulus z og beskriv prinsipalt argument θ = Arg(z) ved hjelp av ϕ. Skriv opp polarformen til det komplekse tallet z. 2. Løsningene til ligningen z = 2/z kan beskrives som en geometrisk figur i det komplekse planet. Hvilken figur er det? Oppgave 7 1. Skriv polynomet x 2 3x 10 som et produkt av lineære faktorer. 2. Skriv den rasjonale funksjonen x 3 x 2 + 2x + 3 som en sum av et polynom og en annen rasjonal funksjon med et polynom av grad mindre enn to i telleren.

Oppgavesett for pensum uke 6 Oppgavenenumrene under passer med både 6., 7. og 8. utgave av læreboken. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 1.2 30, 49 22, 24, 36, 75 1.3 8, 11, 13 7, 21, 22 1.5 11 20, 29, 31 2.3 1, 2 41 Oppgave 1 på dette oppgavesettet. Innleveringsoppgaver Oppgavene 4, 5, 6 og 7 på de neste sidene av dette oppgavesettet. Seminaroppgaver 1.2 12, 34, 74 1.3 3, 14 1.5 12, 17, 19 Oppgave 2 på dette oppgavesettet. Dybdeoppgaver 1.2 79 1.3 30 1.5 9, 34, 35 Oppgave 3 på dette oppgavesettet. Oppgave 1 Vis ved hjelp av induksjonsprinsippet at for alle positive heltall n holder formelen n i=1 3 i 1 = 1 + 3 + 3 2 + + 3 n 1 = 3n 1 2 Oppgave 2 Bruk induksjonsprinsippet og de elementære regneregler for grenser i 1.2, Thm 2 til å bevise at formelen lim x a (a nx n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 ) = a n a n + a n 1 a n 1 + + a 1 a + a 0 holder for alle reelle tall a, a 0, a 1,..., a n.

Oppgave 3 (Bernoullis ulikhet) Vis at for alle positive heltall n gjelder formelen (1 + x) n 1 + nx for x 1. Oppgave 4 La oss anta at en partikkel som beveger seg langs x-aksen til tiden t er på stedet x = x(t) = 5t 2 10t + 7 målt i meter til høyre for stedet markert med 0 på x-aksen. (1) Finn gjennomsnittshastigheten over tidsintervallene [0, 1], [1, 2] og [0, 2]. (2) Finn den momentane hastigheten til tidene t = 1 2 og t = 2 ved å skrive gjennomsnittshastigheten x(t + h) x(t) på formen f (t) + ah for en funksjon f (t) og et tall a som i eksempel 3 i Seksjon 1.1 av læreboken. (3) I hvilken retning bevæger partikelen seg til tidene t = 1 og t = 2? (4) Vis at for ethvert positivt tall k og enhver tid t er gjennomsnittshastigheten til partikelen over tidsintervallet [t k, t + k] lik den momentane hastigheten til tiden t. Oppgave 5 Beregn følgende grenser, eller forklar hvorfor de ikke eksisterer h (1) lim x 3 x + 3 2x + 3 x 5 + 1 (2) lim x 1 x + 1 x 2 2 (3) lim 1 x (4) lim x 1+ x x x 2 Oppgave 6 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at lim (x 2 + 2) = 2. x 0 Oppgave 7 Vis at gitt et positivt heltall n er summen av de n minste oddetallene lik n 2.

Oppgavesett for pensum uke 7 Advarsel: Oppgavenenumrene under passer ikke lenger alle med 6. utgave av læreboken, men de passer med både 7. og 8. utgave. Når numrene er forskjellige er nummeret i 6. utgave skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 1.4 6, 30 10 2.2 11, 45 (43) 19 (17) 2.3 10, 45 54 På oppgavesettet Opgave 5 Oppgave 7 Innleveringsoppgaver Oppgavene 1 til og med 4 på dette oppgavesettet. Seminaroppgaver Avsnitt Oppgaver 1.4 17, 29 2.2 12 2.3 41 2.9 5 På oppgavesettet Opgave 6 Dybdeoppgaver Avsnitt Oppgaver 1.4 32 2.2 51 (49) 2.3 51 2.9 27 På oppgavesettet Opgavene 8 og 9 Oppgave 1 (a) Har funksjonen x 2 et maksimum på det åpne intervallet 1 < x < 1? Og et minimum? Forklar. (b) Vis at funksjonen f (x) = (x a) 2 (x b) + x har verdi f (c) = (a + b)/2 for et tall c. Oppgave 2 (Eksamen MAT111, vår 2007) Finn ligningen for tangenten til kurven x sin y + y sin x = π 4 (1 + 2) gjennom punktet (π/2, π/4).

Oppgave 3 Finn et tall k slik at linjen x + y = k er normal til kurven y = x 2. Oppgave 4 Beregn den deriverte til f (x) = 2x + 1 direkte fra definisjonen og skriv opp resultatet som en formel med dy på venstre- dx på høyre side av likhetstegnet. Oppgave 5 Du har fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar hjemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter på et hotell. Dagen etterpå kjører du nøyaktig samme rute tilbake. Det er mindre trafikk, slik at du starter kl 08:32 og ankommer 11:01. Vis at det finnes et punkt på strekningen der du var på nøyaktig samme tidspunkt de to dagene. (Husk å begrunne hvilken matematisk setning du bruker.) Oppgave 6 La p(x) være et polynom med reelle koeffisienter av odde grad. Vis at ligningen p(x) = 0 har minst en reel løsning. Oppgave 7 Vi sier at en funksjon f = f (x) er ɛ-δ-kontinuerlig i tallet c dersom f (c) er definert og følgende betingelse er oppfyldt: For ethvert ɛ > 0 finnes et δ > 0 slik at hvis både x c < δ og f (x) er definert, da er f (x) f (c) < ɛ. Vi sier at f er ɛ-δ-kontinuerlig hvis den er ɛ-δ-kontinuerlig i alle tall c der f (c) er definert. (a) La f (x) være funksjonen Beskriv tallene c slik at f (x) = x ikke definert x rasjonal x irrasjonal (1) f er ɛ-δ-kontinuerlig i c (2) f er kontinuerlig i c ifølge definisjon 4 i seksjon 1.4 i læreboken (b) La f og g være ɛ-δ-kontinuerlige funksjoner. Vis at funksjonen f g er ɛ-δ-kontunerlig. Husk at f g er funksjonen med f g(x) = f (g(x)) dersom både g(x) og f (g(x)) er definert, og som ellers ikke er definert. (c) La f være en ɛ-δ-kontinuerlig funksjon som er definert på et åpent intervall som inneholder tallet c. Kan du vite om f er kontinuerlig i c? Forklar. (d) La f være en kontinuerlig funksjon med et intervall I som definisjonsmengde. (Se definisjon 7 i seksjon 1.4. Definisjonsmengde kalles domain i læreboken.) Kan du vite om f er ɛ-δ-kontinuerlig? Forklar.

Oppgave 8 La n 0 være et heltall. Betrakt funksjonen g n (x) = x n sin( 1 x ). 1. Hva er definisjonsmengden til g n (x)? (Lærebokens ord for definisjonsmengde er domain. Se The Domain Convention i avsnitt P.4.) 2. Finn den deriverte g n (x). (Husk at x 0 = 1, så du må betrakte tilfellet n = 0 for seg.) La oss betrakte funksjonen f n (x) = g n (x) når g n (x) er definert 0 når x = 0. Vi skal vurdere oppførselen til funksjonen f n (x) i punktet x = 0. 3. Vis at f 0 ikke er kontinuerlig i 0. 4. Vis at f n er kontinuerlig i 0 for n 1. 5. For hvilke n 0 er f n deriverbar i 0? 6. For hvilke n 0 er den deriverte f n kontinuerlig i 0? (Hint: du må bruke definisjonene på at en funksjon er kontinuerlig i et punkt og deriverbar i et punkt.) Oppgave 9 (En funksjon som er diskontinuerlig overalt!) La f (x) være funksjonen f (x) = 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal. Rasjonale og irrasjonale tall ligger tett på tallinjen, dvs. at i ethvert intervall, uansett hvor lite det er, vil det finnes både rasjonale og irrasjonale tall. Vis at f er diskontinuerlig i alle punkter. Forsøk først å argumentere intuitivt. Forsøk deretter med et formelt bevis. Du kan for eksempel vise at lim x a f (x) ikke eksisterer i noe punkt. (Hint: Anta at f er kontinuerlig i et punkt a og skriv ned hva lim x a f (x) = L betyr med den formelle definisjonen av grenseverdi. Bruk så det faktum at for enhver δ > 0 så vil det i intervallet (a δ, a + δ) finnes både rasjonale og irrasjonale tall, dvs. både x er med f (x) = 0 og x er med f (x) = 1, til å vise at det ikke kan finnes noen δ som oppfyller kravene i definisjonen hvis ε 1 2.) Funksjonen f (x) blir kalt Dirichlets funksjon, etter den tyske matematikeren Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 1859), som regnes som faren til det formelle funksjonsbegrepet.

Oppgavesett for pensum uke 8 Oppgavenenumrene under passer ikke lenger mellom 6., 7. og 8. utgave av læreboken. Numrene under refererer til 8. utgave. Når oppgavene er forskjellig nummerert er nummeret i 7. utgave skrevet i rødt og satt i parantes, og nummeret i 6. utgave er skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 2.4 21 23 2.5 30, 50 37 2.6 (2.8) 28 2.7 5 (1), 9 (5) 12 (8) 2.9 21 Oppgave 6 på dette oppgavesettet. Innleveringsoppgaver Oppgavene 1 til og med 4 på dette oppgavesettet. Seminaroppgaver 2.4 36 2.5 45 2.6 (2.8) 4 2.7 21 (31) (27) 2.8 10 (2.7.24) (2.7.20) 2.9 16 Dybdeoppgaver 2.4 46 2.5 15 2.9 28 Oppgave 5 på dette oppgavesettet. Oppgave 1 (1) Finn en ligning for tangentlinjen til funksjonen f (x) = (1 + x 3/2 ) 3 gjennom punktet (1, 8). (2) Finn en ligning for tangentlinjen til kurven x sin(x y y 2 ) = x 2 1 gjennom punktet (1, 1).

Oppgave 2 MAT111 - Høst 2014 Kan du bruke kjerneregelen til å beregne den deriverte til x 4 og x 4 i x = 0? Eksisterer den deriverte til disse funksjonene i x = 0? Hvorfor? Oppgave 3 Bruk matematisk induksjon til å bevise at den deriverte til f (x) = sin(ax + b) er gitt ved formelen ( 1) k f (n) a n sin(ax + b) hvis n = 2k (x) = ( 1) k a n cos(ax + b) hvis n = 2k + 1 for et tall k = 0, 1, 2,.... Oppgave 4 Jorden tiltrekker et bestemt objekt med en tyngdekraft F som er gitt ved formelen F = k/r 2 der r er avstanden fra objektet til sentrum av jorden og k er en konstant. Hvis objektet er slik at F avtar med raten 1 Newton/kilometer når r = 4000 kilometer, med hvilken rate avtar F da når r = 8000 kilometer? (Newton er en kraftenhet.) Oppgave 5 (a) La f (x) være definert ved: 0 x rasjonal; f (x) = 1 x irrrasjonal. Vis at f (x) ikke er kontinuerlig i 0. Er f (x) deriverbar i 0? (b) La f (x) være definert ved: 0 x rasjonal; f (x) = x x irrrasjonal. Vis at f (x) er kontinuerlig i 0, og at f (x) ikke er deriverbar i 0. (c) La f (x) være definert ved: 0 f (x) = Vis at f (x) både er kontinuerlig og deriverbar i 0. x 2 x rasjonal; x irrrasjonal. Hint: For kontinuiteten i (a), anta lim x 0 f (x) = a. Forklar hvorfor vi må ha både 1 a < 1 2 og 0 a < 1 2 hvis vi velger ɛ = 1 2 i definisjonen av grenseverdi, og hvorfor dette er absurd. For deriverbarhet i (b), start med å skrive ned uttrykket f (h) f (0) h og bruk (a). For deriverbarhet i (c), bruk (b).

Oppgave 6 Vurder om funksjonen f er 1. kontinuerlig i 0; 2. deriverbar i 0. (a) (b) 0 x rasjonal; f (x) = 1 + x x irrrasjonal. 0 x rasjonal; f (x) = x(1 + x) x irrrasjonal. (c) f (x) = 0 x 2 (1 + x) x rasjonal; x irrrasjonal. Hint: Denne oppgave kan løses som oppgave 1 over. Alternativt er det i orden å bruke resultatene fra oppgave 1 og sammenligne f (x) med funksjonen f (x)/(1 + x) ved hjelp av regneregler for grenseverdier.

Oppgavesett for pensum uke 9 Oppgavenenumrene under passer ikke lenger mellom 6., 7. og 8. utgave av læreboken. Numrene under refererer til 8. utgave. Når oppgavene er forskjellig nummerert er nummeret i 7. utgave skrevet i (rødt) og satt i rund parantes, og nummeret i 6. utgave er skrevet i [blått] og satt i kantet parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 2.7 15 [11] 2.8 [2.6] 13 (9) [9] 6, 15 (11) [9] 2.10 7, 33 11, 25, 42 3.1 11, 28 21, 27, 29 Oppgavene 1, 2 og 3 på dette oppgavesettet. Seminaroppgaver 2.8 [2.6] 4, 17 (13) [13] 2.10 12, 29, 39 3.1 9, 23 Oppgavene 4 og 5 på dette oppgavesettet. Dybdeoppgaver 2.8 31, 32, 33 ( 2.6.30, 2.6.31, 2.6.32) [2.8.30, 2.8.31,2.8.32] (bruk sekantsetningen) 2.8 22, 29, 30 ( 17, 19, 20) [2.6.17, 2.6.19,2.6.20] Oppgavene 6 og 7 på dette oppgavesettet.

Oppgave 1 Vis at ligningen x 3 + 2x = cos x har nøyaktig en løsning i intervallet [0, π/2]. (Hint: sammenlign med oppgave 1 over.) Oppgave 2 Bruk sekantsetningen til å vise at tan a tan b a b for alle a, b ( π/2, π/2). (Hint: begynn med å vise dette for a > b.) Oppgave 3 En romrakett beveger seg i en rettlinjet bane med akselerasjon a(t) = k(t +1), der k er en positiv konstant. (Dette betyr at akselerasjonen øker etter hvert som avstanden til Jorden øker.) 1. Finn hastigheten v(t) og tilbakelagt veilengde s(t) til romraketten som funksjon av tiden t når v(0) = v 0 og s(0) = 0. 2. Etter hvor lang tid har romraketten nådd en hastighet som er dobbelt så stor som starthastigheten v 0? (Facit: t = 1 + 1 + 2v 0 ) k Oppgave 4 I Oppgave 1.4.29 brukes skjæringssetningen til å vise at funksjonen f (x) = x 3 + x 1 har et nullpunkt mellom 0 og 1. Bruk Rolles teorem til å vise at f (x) har kun ett nullpunkt på hele den reelle tallinje. Oppgave 5 Vi har en 50 cm lang metallstang og holder endepunktene med konstant temperatur 25 og 85. Anta at vi velger x-aksen parallel med metallstangen slik at T(0) = 25 og T(50) = 85. Eksperimenter viser at temperaturen T(x) tilfredsstiller Finn T(x) for 0 x 50. Oppgave 6 d 2 T d x 2 = 0 Du og en venninne løper Cooper-testen (som går ut på å løpe så langt dere klarer på en bane i løpet av 12 minutter). Når dere er ferdige har din venninne løpt nøyaktig dobbelt så langt som du har. Vis at det finnes et tidspunkt der din venninne løp med en fart som var nøyaktig dobbelt så stor som din. Formulert på en annen måte skal du vise at dersom f (t) og g(t) er strekningene du og din venninne henholdsvis har løpt ved tid t etter start, er g (t) 2 f (t) = 0 til et tidspunkt t. (Hint: Bruk Rolles teorem og at g (t) 2 f (t) er den deriverte til funksjonen g(t) 2 f (t).) Oppgave 7 Vurder følgende påstand fra side 243 i boken Sinus R1 brukt i VGS: Dersom f (x) > 0 i eit punkt, så er f veksande rundt punktet. (Hint: gjør først Oppgave 2.8.30 i læreboken (2.8.20 i 7. utg. og 2.6.20 i utg. 6)). Sammenlign svaret med Teorem 12 i 2.8 i læreboken (2.6 i utg. 6).

Oppgavesett for pensum uke 10 Denne uke passer oppgavenumrene i 7. og 8. utgave av læreboken overens. Når numrene 6. utgave har andre oppgavenumre er forskjellige er nummeret i 6. utgave skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 3.1 27 3.2 3, 8, 15 4, 29 3.3 13, 24, 66 57 3.4 3 15 Ch. Probl. Kap. 1, s. 93 [s. 92] 7, 8 Oppgaver på dette oppgavesettet 6 7 Innleveringsoppgaver Oppgavene 1 4 på neste side av dette oppgavesettet. Seminaroppgaver 3.1 34 3.2 5 3.3 35, 55, 61 3.4 1, 2, 9 Dybdeoppgaver 3.1 37, 38 Oppgave 5 på dette oppgavesettet 3.2 35, 36

Oppgave 1 (Ekasmen UiB) Er følgende utsagnen sanne? Begrunn svarene kort. 1. Om man kjører 100 km (på en deriverbar måte fra Voss til Bergen) på en time trenger man ikke på noe tidspunkt ha kjørt i 100km/t. 2. Det finnes ett og bare ett tall x [0, π/2] slik at tan x = 17. Oppgave 2 (Ekasmen UiB) I denne oppgaven skal vi studere en bestand av edderkopper som lever på en øy. Vi lar y(t) være antallet av edderkopper ved tid t (målt i måneder), og vi går ut fra at endringsraten til bestanden ved tid t er gitt ved differensialligningen d y d t = k y cos(πt 6 ), der k er en konstant. (Den periodiske faktoren cos( πt ) skyldes endringer med årstiden av faktorer 6 som klima, paringstid og tilgang på næring.) 1. Bekreft at når vi lar y 0 være antallet av edderkopper ved tid t = 0, da er antallet av edderkopper til tiden t gitt ved formelen y = y 0 e 6k πt sin( π 6 ) 2. Dersom y 0 er en million og bestanden er dobbelt så stor etter tre måneder, hva er da det minste antall edderkopper det til noen tid vil være på øyen? Oppgave 3 (Eksamen UiO) La f være en funksjon definert på et intervall I. Alt vi vet om f er at det finnes en konstant K > 0 slik at f (a) f (b) K a b 2 for alle a, b I. Vis at f da må være konstant på I. (Hint: start med å regne ut den deriverte ved hjelp av definisjonen av den deriverte.) Oppgave 4 (Eksamen UiB) Funksjonen f er kontinuerlig på [0, 1] og deriverbar med positiv derivert på (0, 1). Er følgende utsagnen sanne? Begrunn svarene kort. 1. Ligningen f (x) = 0 har maksimalt en løsning i intervallet [0, 1]. 2. Om f (0) = 4 og f (1) = 23 så har ligningen f (x) = 0 nøyaktig en løsning i intervallet [0, 1].

Oppgave 5 La f være en voksende kontinuerlig funsksjon på et intervall (a, b). Vis at den inverse funksjonen f 1 er kontinuerlig. Hva skjer hvis det finnes presis ett punkt c der f ikke er kontinuerlig? Er f 1 da fremdeles kontinuerlig? Kan du gi et eksempel på en voksende funksjon som har en ikkekontinuerlig invers funksjon? (Hint: kan du gi et eksempel på en ikke-kontinuerlig voksende funksjon?) (Første del av denne oppgaven kan finnes i mange tekstbøker, eller som Theorem 37 i http://www.math.uga.edu/~pete/2400calc2.pdf) Oppgave 6 La f være en voksende funksjon. Er f 1 voksende? Forklar. Oppgave 7 (Vanskelig og teoretisk) La f være en voksende deriverbar funksjon. I denne oppgaven skal vi vise direkte fra definisjonen at hvis f (c) 0, da er den inverse funksjonen f 1 er deriverbar i y = f (c). 1. La F(k) og k(h) være funksjoner der k(h) 0 for h 0. Bekreft at hvis lim k 0 F(k) = L og lim h 0 k(h) = 0, da er lim h 0 F(k(h)) = L. 2. La F(k) = k f (c+k) f (c). Verifiser direkte fra definisjonen at lim k 0 F(k) = 1/f (c). 3. La k(h) = f 1 (y + h) f 1 (y). Brug at f 1 er kontinuerlig og voksende til å bekrefte at k(h) 0 for h 0 og at lim h 0 k(h) = 0. 4. Bruk stegene over til å konkludere at lim h 0 F(k(h)) = 1/ f (c). 5. La y = f (c), så c + k(h) = f 1 (f (c) + h). Bekreft at F(k(h)) = f 1 (y + h) f 1 (y). h 6. Bruk stegene over til å konkludere at f 1 er deriverbar i y med (f 1 ) (y) = 1/f (f 1 (y)). 7. Finn et bevis for at den inverse funksjon til en deriverbar funksjon er deriverbar og sammenlign det med denne oppgaven. (For eksempel kan du finne et bevis i Kalkulus av Tom Lindstrøm, eller du kan se på Teorem 39 i http://www.math.uga.edu/~pete/2400calc2.pdf)

Oppgavesett for pensum uke 11 Også denne uke passer oppgavenumrene i 7. og 8. utgave av læreboken overens. Når numrene 6. utgave har andre oppgavenumre er forskjellige er nummeret i 6. utgave skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 3.5 3, 16, 55 7, 45, 49 3.6 2 5 4.1 16, 17, 31 18, 29 (Hint: sammenlign med Eksempel 1). 4.2 (4.6) 3 (19), 15 (9) 22 (16), 23 (17) Seminaroppgaver 3.5 15, 31, 53 3.6 7 4.1 7, 19 4.2 (4.6) 21 (15) Dybdeoppgaver Avsnitt Oppgaver 3.5 50 4.1 37 4.2 (4.6) 26 (24), 27 (25) Ch. Probl. Kap. 2, s. 162 (s. 159) 8

Oppgavesett for pensum uke 12 Også denne uke passer oppgavenumrene i 7. og 8. utgave av læreboken overens. Når numrene 6. utgave har andre oppgavenumre er forskjellige er nummeret i 6. utgave skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 4.3 (4.9) 4, 19 23, 32 4.4 (4.2) 14, 47 48 4.5 (4.3) 17 31 4.6 (4.4) 19 33 Innleveringsoppgaver Oppgavene 1 til og med 4 på dette oppgavesettet. Seminaroppgaver 4.3 (4.9) 1, 29 4.4 (4.2) 7, 8, 13, 29 4.6 (4.4) 23 Dybdeoppgaver 4.3 (4.9) 35 4.4 (4.2) 46, 49 4.5 (4.3) 42

Oppgave 1 1. Forenkle uttrykket e 4 / e 7. 2. La f (x) = (x 2 1)(x 2 2)(x 2 4) (x 2 + 1)(x 2 + 2)(x 2 + 3). Finn f (1) og f (2). Bruk gjerne logaritmisk derivasjon. Oppgave 2 I en barnehage går det 100 barn. På et tidspunkt bryter det ut en omgangssyke i barnehagen. La y(t) være antall barn som er smittet av viruset etter en tid t målt i dager. I dette tilfellet er en god modell for utbredelsen av smitten at vekstraten til antall smittede barn er proposjonal til både y (siden dette er antall barn som er smittet) og til (1 y/100) (siden dette er andelen av barn som kan smittes). Merk at vi antar at alle barn møter i barnehagen selv om de er smittet. 1. La oss godta at det gir mening at for eksempel 3, 2 barn er smittet, og at det betyr at tre barn er smittet og at et fjerde barn er på vei til å bli smittet. Forklar hvorfor den logistiske ligningen modellerer dette problemet og gi en formel for y(t). 2. Smitten bryter ut idet ett av de 100 barna mandag morgen kommer i barnehagen med omgangssyke. Neste morgen er fire barn smittet (inkludert barnet som var smittet dagen før). Hvor mange barn er smittet onsdag morgen? Hvilken dag i uken er den første dag der mer enn halvdelen av barna er smittet om morgenen når de kommer i barnehagen? Oppgave 3 Toppen av en 6, 5 meter lang stige hviler mot en loddrett vegg. Bunnen av stigen dras vannrett vekk fra veggen med en hastighet på 0, 5 meter/sekund. Hvor hurtig beveger toppen av stigen seg nedover idet den er 6 meter oppe på veggen? Oppgave 4 Gitt en konstant a > 0, bruk implisitt derivasjon til å beregne d d x tanh 1 (x/a) på samme måten som d d x tan 1 (x/a) er beregnet i eksempel 8 i seksjon 3.5 av læreboken.

Oppgavesett for pensum uke 13 Også denne uke passer oppgavenumrene i 7. og 8. utgave av læreboken overens. Når numrene 6. utgave har andre oppgavenumre er forskjellige er nummeret i 6. utgave skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 4.8 (4.5) 17, 37 (35) 28 (26) (perimeter = omkrets) 4.9 (4.7) 17 27 4.10 (4.8) 5, 10, 19 21, 27 På dette oppgavesettet 1 Seminaroppgaver Avsnitt Oppgaver 4.8 (4.5) 9 (issoceles=likebeint, perimeter=omkrets, equilateral=likesidet), 21 4.9 (4.7) 19 4.10 (4.8) 13, 23 På dette oppgavesettet 2 Dybdeoppgaver Avsnitt Oppgaver 4.8 (4.5) 40 (38) På dette oppgavesett 3, 4, 5 Challenging Problems 7 Chapter 2 Oppgave 1(Eksamen i M100 Høst 2000) La g(x) = (1 + 5x) 1/5, 1. Vis at Taylorpolynomet P 4 (x) av grad 4 til g(x) om punktet x = 0 er gitt ved P 4 (x) = 1 + x 2x 2 + 6x 3 21x 4. La E 4 (x) være restleddet. Vis at 0 E 4 (x) 80x 5 når x > 0. 2. Bruk punkt (1) til å beregne en tilnærmet værdi for 5 3/2. Finn også en øvre grense for feilen i denne tilnærmingen.

Oppgave 2(Eksamen i M100 Høst 1999) La f (x) = x 1/4 1. Finn 2. ordens Taylorpolynom for f (x) omkring x = 16 med restledd. 2. Regn ut approksimasjonen til 15 1/4 man får ved bruk av Taylorpolynomet fra delspørsmål 1. Er denne approksimasjonen større eller mindre enn den eksakte verdien av 15 1/4? Begrunn svaret (uten bruk av kalkulator). Oppgave 3 La f være en funksjon og la x 0 være et tall i et åpent intervall (a, b). Anta at f er kontinuerlig på (a, b) og at for alle x i (a, b) som oppfylder x x 0 er f deriverbar i x. 1. Bruk l Hôpitals regel til å vise at dersom lim x x0 f (x) = L for et reelt tall L, da er f (x) f (x 0 ) lim = L. x x 0 x x 0 (Husk å sjekke antagelsene i l Hôpitals regel.) f (x 0 ) = L. 2. Vis at dersom lim x x0 f (x) =, da er f ikke deriverbar i x 0. Konkluder at f er deriverbar i x 0 med 3. Vis at dersom lim x x0 + f (x) = L og lim x x0 f (x) = M for reelle tall L og M med L M, da er f ikke deriverbar i x 0. Oppgave 4 1. Hvor brukte du at f er kontinuerlig i oppgave 3.1 over? Vis at denne betingelsen er nødvendig ved å studere funksjonen x når x 0 f (x) = x + 1 når x > 0 i x = 0. 2. Vis at det finnes en funksjon f slik at lim x 0 f (x) ikke eksisterer, men f likevel er deriverbar i 0. Hvorfor strider dette ikke mot resultatene i oppgave 3? Hint: prøv funksjonen x 2 sin 1 når x 0 f (x) = x 0 når x = 0 Oppgave 5 Bruk resultatene fra oppgave 3 over til å avgjøre om følgende funksjoner er deriverbare i 0: e x 1 når x 0 f (x) = sin x når x < 0 tan x når x 0 g(x) = ln(x 2 + 1) når x < 0

Oppgavesett for pensum uke 15 Denne uke stemmer alle oppgavenumre overens i 6., 7. og 8. utgave av læreboken! Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 5.1 9, 17 33, 41 5.3 1, 9 6, 10 5.4 1, 7, 24 9, 29 Innleveringsoppgaver Oppgavene 1 til og med 4 på dette oppgavesettet. (Dette nesten til et halvt eksamenssett.) Seminaroppgaver 5.1 39 5.3 3, 7 Finn en funksjon f, et intervall og en partisjon slik at de to summene i oppgavene 11 og 12 i 5.3 er henholdsvis øvre og nedre Riemannsum. 5.4 13, 31 Dybdeoppgaver Avsnitt Oppgaver På dette oppgavesettet 5 5.3 17 (merk at vi ikke trenger å bruke at f er kontinuerlig) 18 Challenging Problems 13 (på s. 162) Chapter 2 Challenging Problems 2 (på s. 285) Chapter 4 Oppgave 1 Gitt de komplekse tallene z = 3 + i, (a) Regn ut og skriv på formen a + i b tallene z + 3w, w = 1 + i z w, w4. (b) Finn alle komplekse tall z som oppfyller ligningen z 4 = 16.

Oppgave 2 La h(x) = (8 + 3x) 1/3. (a) Vis at taylorpolynomet P 3 (x) av grad 3 til h(x) rundt punktet x = 0 er gitt ved P 3 (x) = 2 + 1 4 x 1 32 x 2 + 5 768 x 3. Bruk P 3 (x) til å regne ut en tilnærmet verdi for 11 1/3. (b) Beskriv restleddet E 3 (x) til taylorpolynomet i (a), og bruk dette til å gi et lite intervall som inneholder 11 1/3. Oppgave 3 Finn en approksimasjon til 11 1/3 ved å bruke tre iterasjoner av Newtons metode med startpunkt x 0 = 3/2 på en passende funksjon. Grunngi om verdien er for stor eller for liten i forhold til den nøyaktige verdien uten å bruke kalkulator. (Du har lov å bruke resultatet fra oppgaven over hvis det er til noen hjelp.) Oppgave 4 Det skal bygges en bro fra fastlandet til en øy utenfor. Strandlinjen til fastlandet har funksjonen y = 0 mens strandlinjen til øya vi ser på har funksjonen y = f (x) = 1 4 cos(x) + x 8, der både x og y er avstander i km. Broen skal bygges slik at x er i intervallet [0, π]. Det er billigst å bygge kortest mulig bro. Finn plassen (x øy, y øy ) på øyen og plassen (x land, y land ) på land slik at broen mellom disse to plassene er billigst mulig. Oppgave 5 Definisjonen av øvre og nedre Riemannsum i 5.3 i læreboken fungerer for alle funksjoner som har en maksimal- og minimalverdi i hvert av delintervallene [x i, x i 1 ] i partisjonen. (Og dere vil se i MAT112 at definisjonen lett kan utvides til alle funksjoner som er begrenset på det lukkede intervallet [a, b] i definisjonen.) La oss betrakte Dirichlets funksjon: 1 x rasjonal f (x) = 0 x irrasjonal Beregn øvre Riemannsum U(f, P) og nedre Riemannsum L(f, P) for en vilkårlig partisjon P på et vilkårlig intervall [a, b]. Du vil få de samme svarene uansett partisjon. Bruk dette til å forklare at f ikke er integrerbar på noe intervall [a, b]. Hvordan passer dette inn med Teorem 2 i 5.3? (Hint: Bruk det faktum at det i ethvert intervall, uansett hvor lite det er, vil finnes både rasjonale og irrasjonale tall.)

Oppgavesett for pensum uke 16 Også denne uken stemmer alle oppgavenumre overens i 6., 7. og 8. utgave av læreboken! Der er mange oppgaver her, men de fleste er nokså enkle. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 5.5 8, 15, 33, 39, 40 18, 44, 48, 49 5.6 5, 9, 21, 23 8, 18, 39, 46 5.7 13 16, 24 Seminaroppgaver Avsnitt Oppgaver 5.5 19, 41, 47 5.6 17, 41, 47 5.7 15 Chapter review Chapter 5 19 Dybdeoppgaver Avsnitt Oppgaver 5.5 50,51 5.7 30 3.3 75 Challenging problems 11 Chapter 1

Oppgavesett for pensum uke 17 Denne uke stemmer alle oppgavenumre overens i 7. og 8. utgave av læreboken! I 6. utgave er avsnittene 6.2 og 6.3 byttet rundt, og noen oppgavenumre er annerledes. Det som er spesielt for 6. utgave er skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 6.1 4, 5, 29 8, 13, 33 6.2 (6.3) 4, 5, 12, 13 16, 21, 25 6.3 (6.2) 2, 8, 9, 29, 30 35, 52 (46) Innleveringsoppgaver Oppgavene 2, 5 og 6 på eksamenssettet fra våren 2011 som finnes her: http://math.uib.no/adm/eksamen/content/mat111/mat111_2011_v_eksamen.pdf b For å regne del d) i oppgave 6 er det enklest å benytte formelen V = π ( f a (x))2 d x for volumen til legemet i (x, y, z)-rommet oppnådd ved å rotere området i (x, y)-planet mellom x-aksen og grafen til y = f (x) fra x = a til x = b omkring x-aksen. Seminaroppgaver 6.1 19, 31 6.2 (6.3) 9, 20 6.3 (6.2) 3, 19, 51 (45) Dybdeoppgaver 6.1 36, 37, 38

Oppgavesett for pensum uke 18 Denne uke stemmer alle oppgavenumre overens i 7. og 8. utgave av læreboken! I 6. utgave er avsnittene 6.2 og 6.3 byttet rundt, og noen oppgavenumre er annerledes. Det som er spesielt for 6. utgave er skrevet i blått og satt i parantes. Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 6.5 1, 6, 24, 30 11, 23, 35 7.9 4, 6, 11, 18 19, 21, 28 (Husk konstant løsning y = 0 i 4) Oppgaver på dette oppgavesettet 2 Seminaroppgaver Avsnitt Oppgaver 6.5 13, 19, 31 7.9 7, 17, 22 Oppgaver på dette oppgavesettet 1 Dybdeoppgaver 6.5 41, 45 (43), 46 (44) Oppgave 1 (Eksamen NTNU) Et firma dyrker og selger en bestemt bakteriekultur. Bakteriekulturen vokser med en rate som er proporsjonal (proporsjonalitetsfaktor k) med bakteriemengden til enhver tid, og fordobler seg i løpet av ett døgn. (a) Finn proporsjonalitesfaktoren k. Når bakteriemengden har nått et visst nivå M 0 kg, begynner en å høste 10 kg pr. døgn. Høstingen antas å foregå kontinuerlig og med konstant rate. (b) Still opp differensialligningen som bakteriemengden M = M(t) oppfyller etter at høstingen er begynt, og finn M(t) når en antar at høstingen starter ved tiden t = 0, dvs. M(0) = M 0. Hvor stor må M 0 være for at bakteriemengden skal holde seg konstant?

Oppgave 2 (Eksamen NTNU) I en innsjø er det en fiskebestand som på grunn av en lekkasje fra en nærliggende fabrikk sluttet å formere seg ved tidspunktet t = 0. Målinger viser at endringen i fiskebestanden p r. tidsenhet etter dette er omvendt proporsjonal med kvadratroten av fiskebestanden. Det var 900 fisk i innsjøen da utslippet skjedde, og en måling etter 657 dager viste at det da var 441 levende fisk i i nnsjøen. Hvor mange dager vil det ta før all fisk er død?

Oppgavesett for pensum uke 19 Denne uke stemmer alle oppgavenumre overens 6., 7. og 8. utgave av læreboken! Gruppeoppgaver Avsnitt Regn først disse og så disse. 6.6 2, 3 6.7 2, 3 7, 12 Tidligere eksamensoppgaver Vår 08 Oppgave 7, Høst 09 Oppgave 7 i MAT111 Høst 10 Oppgave 7 Oppgaver på dette oppgavesettet 4 Seminaroppgaver Avsnitt Oppgaver 7.1 1, 11 Oppgaver på dette oppgavesettet 1, 2, 3 Dybdeoppgaver Avsnitt Oppgaver 6.7 8 Oppgaver på dette oppgavesettet 5 Oppgave 1 (Eksamen NTH) (a) Hva blir volumet av figuren som fremkommer når y = x 2, 0 y h roteres om y-aksen? (b) Figuren i (a) er en tank som fylles med vann med konstant hastighet 2m 3 /s. Hvor raskt øker vannhøyden når den er 1 m? Oppgave 2 (Eksamen NTNU) Forskere har over flere år foretatt tellinger av en hvalart og har utfra tellingene lagt fram forslag til fangstkvoter. Dersom forslaget blir fulgt, vil hvalbestanden ved tidspunktet t etter fangststart endre seg med en rate som er proporsjonal med produktet av hvalbestanden P(t) og e αt, hvor α er en positiv konstant. Skriv opp differensialligningen som hvalbestanden P(t) oppfyller etter at fangsten har startet, og løs denne med initialbetingelsen P(0) = P 0. Vis at når t nærmer hvalbestanden seg en konstant.

Oppgave 3 (Eksamen UiO) Et svømmebasseng er fylt med 1 000 000 liter badevann som inneholder 0, 004% klor målt i volum per volumenhet. Eieren synes klorprosenten er for høy og begynner derfor å tappe ut 50 000 liter per dag samtidig som bassenget fylles opp med 50 000 liter per dag nytt badevann som kun inneholder 0, 001% klor. Vi antar her at blandingen vann/klor hele tiden er perfekt. La y(t) betegne antall liter klor som finnes i badevannet ved tiden t (målt i dager), der vi setter t = 0 når prosessen begynner. Forklar hvorfor y tilnærmet er en løsning av differensialligningen y + 1 20 y = 1 2 og regn ut hvor lang tid det tar før klorprosenten er nede i 0, 003%. Oppgave 4 (Eksamen NTH) Et vannkar fremkommer ved å dreie kurven x = 4 sin y, for 0 y π 2 om y-aksen. (Benevning for x og y er dm.) Sett opp et integral (uten å regne ut integralet) for vannvolumet når vanndybden midt i karet er h. Karet fylles med vann. Vannmengden som strømmer ned i karet per tidsenhet er konstant og lik 2 liter per minutt. Hvor fort øker vanndybden h når h = π/6 dm? Oppgave 5 (Eksamen UiO) Finn alle funksjoner y = f (x) med følgende egenskap: La P være et vilkårlig punkt på grafen til f og T P tangentlinjen til f i punktet P. Da deles det rette linjestykket mellom T P s skjæringspunkter med koordinataksene på midten av punktet P.