Matematisk kompetanse Svein H. Torkildsen, NSMO Hent presentasjoner mv på: www.matematikksenteret.no
Oppdrag Matematikkundervisning i videregående skole spenner over vidt spekter fra 1PY til R2 1PY dekkes av FYR dekker bredt gjennom ulike valg elever med svake forkunnskaper «normaleleven» kvalitet hos matematikkspesialistene
Dette har vi fokus på Robust matematikkunnskap God undervisning teoretisk grunnlag sentrale begrep kommunikasjon representasjoner praktiske tilnærminger laborasjoner
Dyrk mangfoldet! Fra LK06 Matematikk (revidert 2013) Formål Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktiviteter og ferdigheitstrening.
Kompetanser Niss Kyndighet Kilpatric Mathematical profiency Figuren er hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell (2001, s. 117).
The Math Wars - kortversjon Reformer i 80- og 90-årene nedvurderte ferdigheter i å beregne (i det minste tolket de fleste det slik) la vekt på at elevene skulle forstå og være i stand til å bruke matematikk elevene skulle utvikle forståelse på egen hånd Motkreftene la økt vekt på huskeregler og ferdigheter forventet at elevene skulle ta til seg prosedyrer presentert av lærer eller lærebok
Hvem har rett? Reformatorene eller Motkreftene? Kilpatric: Ingen av dem Begge er for smale! Argumenterer vi bare for en av trådene taper vi det overordnede mål av syne! Ekstreme posisjoner gir ikke god undervisning! Begrepsforståelse og ferdigheter i beregning utfyller hverandre.
Stålkabler Hvor mange ståltau? Hvor mange ståltau trengs det til kabelen på figuren? Hvor mange ståltau går med til andre tykkelser på kabelen? Finn en sammenheng mellom tykkelsen og antall ståltau
Strategier 1 Tabelltenkerne Nr Antall Antall - 1 1 1 0 2 7 6 3 2 3 2 1 3 19 18 3 3 2 3 3 2 4 37 36 3 3 2 2 3 4 3 5 61 60 5 3 2 2 3 5 4 6 91 90 5 3 3 2 3 6 5 n 3n(n 1) + 1 3n(n 1)
Strategier 2 Tabelltenkerne Nr Antall Øker 1 Øker 2 1 1 2 7 6 1 6 + 1 3 19 12 6 3 6 + 1 4 37 18 6 6 6 + 1 5 61 24 6 10 6 + 1 6 91 30 6 15 6 + 1 n Trekanttallene! n(n + 1) 6 + 1 2 n = 1: 7 n = 5: 91 Test: Funker ikke! Nytt forsøk: (n 1)n 6 + 1 2 n = 1: 1 n = 4: 37 Test: Funker!
Strategier 3 Geometrikerne, eksempel n = 4 Bygger på trekanttall Bygger på firkanter 3n(n 1) + 1 n(n + 1) 2 6 6n + 1 n 1 n 2 6 + 1 3n 2 3n + 1
En lærers løsning Jeg la til de røde punktene slik at jeg fikk tre romber med 3n 2 punkter til sammen. Når jeg tar bort de røde punktene igjen blir det 3n 2 3n punkter. Når jeg så legger til punktet i midten, får jeg 3n 2 3n + 1
Strategier 4 Gjenkjenner system 1 tråd i sentrum 6 tråder i 1. ring 12 tråder i 2. ring 18 tråder i 3. ring 24
n Antall i ring n SUM 1 1 1 2 1 6 7 3 2 6 19 4 3 6 37 5 4 6 61
Aritmetrisk rekke n Antall i ring 1 1 2 1 6 3 2 6 4 3 6 5 4 6 a 1 = 6 a n = 6(n 1) S n a 1 n ( n 1) n = 5 a n = 24 S n = 4 15 = 60 Ser bort fra «kjernetråden». Evt adder 1. 2 a a 1 = 1 a n = n Tykkelse n a1 a n 1 1 + 6 S n 1 = 1 + 6 (n 1) 2 = 1 + 3(n 1)(1 + (n 1)) 1 + 6 S n 1 1 + 3n(n 1)
Kan det være det samme? n(n + 1) 2 6 6n + 1 3n(n 1) + 1 n 1 n 2 6 + 1 3n 2 3n + 1
Eksamen 2014 2P
Begrepsforståelse Elever som forstår behersker matematiske begreper, operasjoner og relasjoner kan bruke og tolke matematiske symboler, diagrammer og prosedyrer Instrumentell og relasjonell forståelse Elever som har utviklet (relasjonell) forståelse kan mer enn isolerte fakta og prosedyrer. De kan forklare hvorfor en algoritme fungerer!
Forståelse, eksempel Elevene er i stand til å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og de kan se sammenhenger mellom forskjellige representasjoner knyttet til en gitt situasjon. 6 2 3 = 9 Oppskriften er på 2/3 kopper sukker. Du har 6 kopper sukker. Hvor mange oppskrifter rekker sukkeret til? Relasjonell forståelse reduserer det som må huskes!
Beregning Utføre prosedyrer som involverer operasjoner med tall, størrelser, verktøy og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt. Beregning handler om å beherske forskjellige prosedyrer ved å bruke hoderegning, blyant og papir, digitale verktøy eller andre hjelpemidler. Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest nyttige i den bestemte situasjonen. De kan også tilpasse prosedyrene slik at de blir lette å bruke.
Beregning 2 Digitale verktøy trenger ikke hindre utvikling av ferdigheter! Bevisst bruk enten som regne- og tegneteknisk hjelpemiddel med vekt på tolking og vurdering er svaret rimelig pedagogisk verktøy for å utfordre elevenes forståelse Sinus 2P oppg. 2.74 På ei saftflaske står det at vi skal bruke 0,8 L saft til 2,8 L vann. Hvor mye vann må vi bruke til 1,5 L saft? Kanskje ser vi dette svaret: 2,8 : 0,8 x 1,5 = 5,25 Spørsmål vi kan stille?
Anvendelse Formulere problemer matematisk utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer Et begrep eller en prosedyre er ikke nyttig hvis ikke elevene vet når og hvor det skal brukes. Elevene må være i stand til å formulere og avgrense problemer. De må utvikle løsningsstrategier, velge den strategien som er mest hensiktsmessig for å løse problemene, bruke den og tolke resultatet.
Anvendelse 2 Rutineproblem og Ikke-Rutineproblem Elevene bør beherske vanlige rutineproblem. Virker å være et problem, jfr tallforståelse og multiplikativ tenking. Gjør det vanskelig å løse sammensatte problem, energien går til å utføre enkle rutineoperasjoner. Ellers blir de ikke effektive problemløsere! Polya (1957): How to solve it?
Faser i en problemløsingsprosess Å forstå problemet Hva er den ukjente, hvilke opplysninger er gitt? Tegn figur. Å legge en plan Sett noe lignende tidligere? Omformulering av problem, kan du løse et lign problem/et mer generelt/mer spesielt? Å utføre planen Kontrollere hvert steg, begrunnelse for at det er korrekt? Å se tilbake Sjekke resultatet, kontroller argumentasjonen, flere løsninger, annen måte å finne løsninger på?
Problemløsingsstrategier reformulering (omformuler problemet) analogi (har jeg sett noe lignende før?) løse delproblemer innføre hjelpestørrelser Trekanttallene «areal firkant» Deler figuren i tre- eller firkanter illustrere, konkretisere (tabell, figur, materiell) Figur Tabell arbeide baklengs (start med svaret, hva skjedde før?) systematisk eksperimentering lete etter mønster lage selvmotsigelser Undersøker størrelse 1, 2 osv Studerer tallene i tabellen
Resonnering Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra det kjente til det ukjente. LIMET som holder matematikken sammen Resonnering handler om å forklare sammenhengen mellom begreper og situasjoner. Elevene bruker resonnering for å navigere mellom faktakunnskap, begreper, prosedyrer og løsningsmetoder. Elevene blir gode i resonnering ved å forklare og begrunne løsningene sine for andre.
Håvard: 10 trinn Til moren som er matematikkdidaktiker: «Mamma, tenk om matematikk hadde vært logisk, da hadde det vært enkelt da!»
Engagement Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk. Å være engasjert i en matematisk aktivitet er nøkkelen til å lære matematikk. Det handler også om elevenes selvtillit og følelse av mestring i læringsprosessen.
Som trådene i et tau De fem komponentene er avhengige av hverandre som trådene i et tau. Elever blir gode i matematikk når de arbeider med å utvikle alle trådene samtidig. Taumodellen er hentet fra et stort forskningsarbeid i USA. Figuren er hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell (2001, s. 117).